CC BY
0УДК 624.072 Б01 10.52928/2070-1683-2024-36-1-39-44
СТАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ БАЛОЧНОЙ ПЛИТЫ НА ОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С УЧЕТОМ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
канд. техн. наук О.В. КОЗУНОВА1), А.Г. ПУСЕНКОВ2) Белорусский национальный технический университет, Минск, 22 завод КПД ОАО «Гомельский ДСК») 11 kozunova@gmail.com, 2рusenkov_а@mail.ru
В статье рассматриваются публикации статического расчета, позволяющие определить напряженно-деформированное состояние (НДС) упругого основания под балочной плитой без учета касательных напряжений (продольных деформаций) в зоне контакта, а также приводится новая методика расчета с их учетом. Проводится числовая апробация вариационно-разностным методом (ВРМ) и верифицируются результаты для оценки влияния касательных напряжений на НДС упругого основания.
Ключевые слова: упругое однородное основание, балочная плита, осадки основания, напряженно-деформированное состояние, касательные напряжения, контактная зона.
Введение. Актуальность данной статьи связана с тем, что в расчетах конструкций на упругом основании учитывают только нормальные напряжения в зоне контакта. В представленной работе авторы применяют (усложняют) методику расчета, учитывая касательные напряжения (продольные деформации).
Статическими расчетами балочных плит на упругом основании занимались следующие отечественные ученые:
1. Клубин П.И. проводил расчет способом ортогональных многочленов. Данный способ более точен, чем гипотезы Винклера, и учитывает особенности реактивных давлений основания. Статический расчет заключается в решении системы из дифференциального уравнения изгиба плиты и интегрального уравнения для осадок с соблюдением условий равновесия и удовлетворением граничных условий. Однако возникают сложности при расчетах плит переменной жесткости и при воздействии на плиту произвольной нагрузки [1].
2. Жемочкин Б.Н. предложил заменить сплошной контакт основания и балочной плиты точечными связями в виде жестких вертикальных стержней. Количество таких стержней определяется произвольно, но чем больше их принято, тем точнее результат расчета. Для удержания балки от боковых смещений используется горизонтальный стержень (рисунок 1).
Рисунок 1. - Расчетная схема балки
Получается статически неопределимая система, решение которой проводится смешанным способом строительной механики. Между балкой и основанием стержневые связи заменяют неизвестными силами Х1,Х2_ХП и вводят горизонтальную заделку в сечении балки [2].
3. Яголковский С.Н. для расчета предложил использовать упругий слой, который сцеплен с недеформируе-мым основанием в зоне взаимодействия с балкой. Такой способ по сравнению со смешанным методом приводит к уменьшению числа неизвестных, однако гораздо сложнее определяются коэффициенты при неизвестных [3].
4. Дураев А.Е., Синицын А.П. и др. предложили способ решения методом конечных разностей. При помощи данного метода на расчетной области непрерывного изменения аргумента строится сетка с конечным множеством точек (узлов). Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки - сеточные функции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами - линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей (разностной схемой), представляющей собой систему конечного числа линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Эту систему уравнений решают с получением приближенного значения решения в узлах.
Проблемой МКР является построение правильной разностной схемы, т.к. для одной такой задачи возможно построить множество разностных схем, а также он не может быть применен для абсолютно жесткой конструкции [4; 5].
5. Горбунов-Посадов М.И. в своих работах использовал уравнения для определения коэффициентов степенного ряда и таблицы для расчета определяемых параметров балочных, прямоугольных и осесимметрично нагруженных круглых плит на упругом однородном изотропном полупространстве.
Такой метод расчета совпадает с методом расчета полос в условиях плоской задачи, но имеет отличия в том, что функции влияния берутся от нагрузки поверхности основания по прямоугольнику, а не по линии [6].
Также статические расчеты предложены в работах Е.Ф. Винокурова с итерационным методом нелинейных расчетов [7]. В статье В.Г. Федоровского предлагается реализация итеративного алгоритма Шварца методом конечных элементов (МКЭ) плиты на любой модели упругого основания [8].
Однако все решения контактных задач происходят в традиционной постановке, т.е. без учета касательных напряжений в зоне контакта.
Различные вариации балочных плит и упругих оснований не позволяют получить строгое решение пространственной задачи. В связи с этим допускается приближенное решение, при котором касательные напряжения и жесткость балочной плиты определяют строго в плоской постановке. Эти факторы используют для приблизительной оценки влияния на результаты расчетов существующими методами, но без их учета1.
Решение задачи биконтактного взаимодействия основания и плиты с учетом касательных напряжений (продольных деформаций) в зоне контакта представляет собой разновидность задачи теории упругости [9]. Решение данной задачи можно выполнить в нелинейной постановке при работе упругих сред в зоне небольших упруго -пластических деформаций, т.е. с учетом физической нелинейности.
Нелинейный расчет деформирования балочной плиты позволяет выполнить более достоверную оценку работы плиты по предельным состояниям эксплуатационной пригодности за счет перераспределения и уменьшения максимальных значений усилий. Также можно отметить, что при таком расчете возникает возрастание неравномерности осадок.
Постановка задачи. На упругом однородном основании глубиной (толщиной) Н расположена балочная плита ленточных фундаментов с приложенной внешней нагрузкой д(х). Параметры плиты следующие: высота плиты к, ширина плиты 21, изгибная жесткость Е1.
Вводим гипотезы (предположения) и допущения для расчета балочных плит на упругом основании:
1) допущения и гипотезы теории упругости справедливы для рассчитываемой области упругого основания;
2) допущения и гипотезы плоского изгиба балки (плиты) справедливы для плиты;
3) при моделировании контактной зоны между балочной плитой и основанием могут возникать и растягивающие, и сжимающие напряжения, силы трения при моделировании учитываются, также учитываются касательные напряжения в зоне контактного взаимодействия.
Алгоритм решения задачи. Задача решается вариационно-разностным методом (ВРМ)2, который реализуется в перемещениях через конечно-разностные соотношения теории упругости (вид плоской деформации) при использовании в решении функционала полной потенциальной энергии деформации системы, состоящей из фундаментной плиты, непросадочных грунтов основания и зоны контактного взаимодействия.
Основание заменяется прямоугольной расчетной областью и аппроксимируется разбивочной сеткой конечных размеров с постоянным шагом по осям (рисунок 2). На границах расчетной области перемещения равны нулю, а в зоне контакта осадки основания - соответствуют прогибам плиты.
Рисунок 2. - Разбивочная сетка расчетной области
1 Руководство по проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа. Разработано к СНиП 11-15-74. - М.: Стройиздат, 1984. - 265 с.
2 Козунова О.В. Особенности проектирования плитных фундаментов на многослойных основаниях со слабыми слоями грунтов // Рекомендации по проектированию и устройству рациональных фундаментов на основаниях, сложенных озерно -ледниковыми и лессовидными грунтами: Р 5.01.056.09: введ. 01.10.09. - Минск: Стройтехнорм, 2009. - Гл. 8. - С. 39-47.
За неизвестные принимаем: и(х,у), у(х,у) - компоненты вектора перемещения ьтой узловой точки основания, направленные вдоль осейX и У соответственно; Р^^х,у) - реактивные давления в зоне контакта балочной плиты
с основанием, т^/ (х,у) - касательные напряжения.
Рисунок 3. - Прямоугольная ячейка МКР
Зависимость интенсивности напряжений и деформаций для упругого однородного основания определяется по следующей формуле3:
C = с yth
( 77 ^
E (к) — £,■ )
с
y
)
(1)
где о у - предел текучести основания;
Е - начальный модуль деформации основания;
г(к-> - интенсивность деформаций в точке к упругого основания.
Интенсивность деформации имеет следующее выражение:
е(к) =
f I
(г(хк) — г(ук) )) + (г(ук) ) + (г(хк) ) +1 )
(2)
где е у
(к) Jk) Y(Jy) - деформации в точке к. Они определяются по соотношению Коши:
е (к) = дЧ х дх
ub + ud ua + uc | 1 ub + ud - ua - uc .
e y =
д y
Yxy
ду дх
1 2 2 ) Ах 2A х
( vc + vd va + vb ] 1 vc + vd - va - ~vb .
l 2 2 , ) Ay 2A y
'uc + ud ua + ub 1 1 ( vb + vd va + vc ^ | 1
^ 2 2 ) A y l 2 2 ) 1 A х
c + ud - u a - ub , vb + vd - v — v ac
2 A y 2 A x
Энергия деформаций прямоугольной ячейки имеет следующее выражение:
(3)
(4)
2( 1 + vk)
Vк
( е(хк> + é}> )2 +
( )2)2+2 ( ^ )2
1 - 2Vk
/ ii
A хА y.
(5)
3 Босаков С.В., Машкова (Козунова) О.В. Расчет балки на упругой физически нелинейной полуплоскости // Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь: материалы Х междунар. науч.-метод. межвуз. семинара. - Гомель: БелГУТ, 2005. - С. 40-43.
Величина полной потенциальной энергии балочной плиты на упругом основании Э состоит из суммы энергии деформации плиты и, энергии деформации упругого основания А и работы внешней нагрузки П:
Э = и + А + П.
(6)
В соотношении определения полной энергии деформации упругого основания А (6), авторами предлагается усложнение расчета за счет учета касательных напряжений в зоне:
А = иг + и,
(7)
где и у — энергия деформации упругого основания (плоская деформация)4;
и - энергия продольных деформаций в контактной зоне плиты с основанием. Энергия деформаций упругого основания
МУ—1 ых —1 1 ми —1 ых -
иг = х х и(у = х
/=1 I 1=1 У /=1 I I =1
ЫХ—1
М—1
—1 ( ЫХ—1 (
Е,
1 + V*
--1 (иЪ + ий — иа — ис ) +
1—2vk V2Дх Ъ й а с
1
+ —-(Ус + — va — ) | '(иЪ + ий — иа — ис ) I +
1
2Д у
•(ус + — ^ — ч )| +
+ 2 -(и° + ий — иа — иЪ ) + "К + -й — — ^ )|
Д х Д у
(8)
где ЫХ - число узлов по оси X; ЫУ - число узлов по оси У. Энергия продольных деформаций
клл/ \2
и, =ДХ X ЕАг = П+1 [ ^ 2 1 = /1+1 I Д х
(9)
Энергия деформации изгиба плиты
К1—1
U =ДХ X EJl=п+1 • 2 i = /1+1
-1+1 - 2-1 + VI— —1
Л2
V Д х У
(10)
Потенциал внешней нагрузки
К1—1
П = — X Ъ(х)у1 Дх
I = /1+1
(11)
2
Вначале решается задача в линейной постановке. По вычисленным значениям перемещений /-той узловой точки и(х), у,(у), используя геометрические уравнения Коши и конечно-разностные соотношения (3, 4), определяется интенсивность деформаций и напряжений в центрах ячеек (см. формулы теории упругости).
Учитывая значения напряжений и перемещений, полученные при решении задачи в первой итерации, определяется касательный или секущий модули деформации для каждой ячейки, и задача решается во втором и последующих приближениях с учетом изгибной и продольных жесткостей балочной плиты.
Нелинейный расчет заканчивается, как только разница между последующим и предыдущим приближением исследуемой функции будет соответствовать установленной точности решения задачи.
4 Козунова О.В. Статический анализ системы "балочная плита—нелинейно-упругое неоднородное основание" вариационно-разностным методом: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17. - Минск: БНТУ, 2017. - 168 л.
Решение задачи. Для решения задачи составлена расчетная программа МаШетайса 10.0 и проведена ее числовая апробация для однослойного основания.
В качестве непросадочного основания выбираем пылевато -глинистые грунты (супесь) с коэффициентом пористости е=0,7 и следующими упругими постоянными: о у = 0,25 МПа; V = 0,33; Е = 10 МПа .
Балочной плитой выступает железобетонная плита ленточного фундамента (ФЛ) с классом бетона по прочности С20/25 с типовым армированием. Задаем следующие характеристики плиты: длина - I = 1,6 м; высота - к = 0,3 м;
модуль упругости бетона - Еб = 2,75 • 1010 Па .
На балочную плиту действует равномерно распределенная нагрузка д(х), которая заменяется сосредоточенными силами Р1 = Р3 = 100 кН, Р2 = 200 кН.
Для итерационного процесса сходимости устанавливаем критерий равный 3%.
В компьютерной программе Mathematica 10.0 составляем алгоритм расчета и определяем горизонтальные и вертикальные перемещения узловых точек в линейном, а затем и в нелинейных расчетах. Результаты получаем как с учетом касательных напряжений, так и без них. Далее проводится верификация.
Ниже представлены результаты осадок основания и фундаментной плиты с учетом касательных напряжений и без них в зоне контакта. Сходимость подтверждена во второй итерации и составила 2,2%. По результатам расчета осадки упругого основания с учетом касательных напряжений снизились на 3,1% в сравнении с расчетом без учета касательных напряжений.
нелин. расчет без кас.напр
— • — нелин. расчет с кас.напр
линеиныи расчет
0
1
2
Рисунок 4. - Результаты осадок в зоне контакта
Заключение. В представленной статье авторами усложнена постановка задачи и методика расчета системы балочной плиты с однородным упругим основанием ВРМ с использованием конечно-разностных уравнений полной потенциальной энергии, что, в свою очередь, позволяет более полно исследовать эту зону биконтактного взаимодействия с учетом касательных напряжений, вычислить осадки упругого основания под плитой и определить внутренние усилия в балочной плите.
Результаты уменьшения осадок в зоне контакта (см. рисунок 4) говорят о влиянии касательных напряжений, что также подтверждается в работах И.И. Гудушаури [10].
ЛИТЕРАТУРА
1. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании // Инженерный сборник. - 1952. - № 12. - С. 95-135.
2. Жемочкин Б.Н., Синицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. - М.: Стройиздат, 1962. - 262 с.
3. Яголковский С.Н. Влияние учета сцепления упругого слоя с подстилающим основанием на результаты расчета балок // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1969. - № 4. - С. 3-5.
4. Дураев А.Е. Расчет методом конечных разностей прямоугольных плит, лежащих на грунтовом основании, модуль деформации которого изменяется с глубиной // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1971. - № 4. - С. 32-34.
5. Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости. - М.: Стройиздат, 1974. - 176 с.
6. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. - М.: Стройиздат, 1984. - 631 с.
7. Винокуров Е.Ф. Итерационный метод расчета оснований и фундаментов // Стр-во и архитектура Белоруссии. - 1970. -№ 1. - С. 31-34.
8. Федоровский В.Г., Кагановская С.Е. Жесткий штамп на нелинейно-деформируемом связном основании (плоская задача) // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1975. - № 1. - С. 41-44.
9. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит. спец. вузов. - 2-е изд., испр. -М.: Высш. шк., 2002. - 400 с.
10. Гудушаури И.И. Расчет фундаментных полос на действие симметричных и обратносимметричных нагрузок с учетом касательных напряжений на поверхности контакта // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. - 1960. - № 5. - 49-57.
REFERENCES
1. Klubin, P.I. (1952). Raschet balochnykh i kruglykh plit na uprugom osnovanii. Inzhenernyi sbornik, (12), 95-135. (In Russ.).
2. Zhemochkin, B.N. & Sinitsyn, A.P. (1962). Prakticheskie metody rascheta fundamentnykh balok iplit na uprugom osnovanii. Moscow: Stroiizdat. (In Russ.).
3. Yagolkovskii, S.N. (1969). Vliyanie ucheta stsepleniya uprugogo sloya s podstilayushchim osnovaniem na rezul'taty rascheta balok. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov, (4), 3-5. (In Russ.).
4. Duraev, A.E. (1971). Raschet metodom konechnykh raznostei pryamougol'nykh plit, lezhashchikh na gruntovom osnovanii, modul' deformatsii kotorogo izmenyaetsya s glubinoi. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov, (4), 32-34. (In Russ.).
5. Sinitsyn, A.P. (1974). Raschet balok iplit na uprugom osnovanii za predelom uprugosti. Moscow: Stroiizdat. (In Russ.).
6. Gorbunov-Posadov, M.I., Malikova, T.A. & Solomin, V.I. (1984). Raschet konstruktsii na uprugom osnovanii. Moscow: Stroiizdat. (In Russ.).
7. Vinokurov, E.F. (1970). Iteratsionnyi metod rascheta osnovanii i fundamentov. Str-vo i arkhitekturaBelorussii, (1), 31-34. (In Russ.).
8. Fedorovskii, V.G. & Kaganovskaya, S.E. (1975). Zhestkii shtamp na nelineino-deformiruemom svyaznom osnovanii (ploskaya zadacha). Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov, (1), 41-44. (In Russ.).
9. Aleksandrov, A.V. & Potapov, V.D. (2002). Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti: ucheb. dlya stroit. spets. vuzov. Moscow: Vyssh. shk. (In Russ.).
10. Gudushauri, I.I. (1960). Raschet fundamentnykh polos na deistvie simmetrichnykh i obratnosimmetrichnykh nagruzok s uchetom kasatel'nykh napryazhenii na poverkhnosti kontakta. Izvestiya ANSSSR. Mekhanika i mashinostroenie, (5), 49-57. (In Russ.).
Поступила 06.02.2024
STATIC CALCULATIONS OF A BEAM SLAB IN THE ELASTIC DIRECTION TAKING INTO ACCOUNT SHEAR STRESSES
O. KOZUNOVAv, a. pusenkov2
Belarussian National Technical University, Minsk, 2) KPD plant OJSC "Gomel DSK")
In the article on static calculation, it is possible to determine the crisis-strain state (CSS) of the elastic foundation under a beam slab without taking into account tangential stresses (longitudinal deformations) in an open contact, and also leads to a new calculation method taking them into account. Numerical testing is carried out using the variation-difference method (VDM) and the results are checked to estimate the shear stresses on the stress-strain state of the elastic foundation.
Keywords: elastic homogeneous base, beam slab, base settlements, stress-strain state, tangential stresses, contact zone.
