Научная статья на тему 'Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements'

Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
45
19
Поделиться
Ключевые слова
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА / ТЕПЛОВОЙ ПОТОК / ЭНЕРГООБМЕН / ГЕНЕРАТОР / НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА / PROBLEM OF OPTIMIZATION / HEAT FLUX / ENERGY TRANSFER / GENERATOR / LOW-TEMPERATURE PLASMA

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Dykhta V. A., Samsonyuk O. N., Sorokin S. P.

This article is devoted to the studying of strongly and weakly invariant sets with respect to dynamical control systems with unbounded velocity sets. The concepts of weakly invariant and weakly preinvariant sets in relation to impulsive control system are introduced, together with infinitesimal conditions in a form of systems of proximal Hamilton-Jacobi inequalities. Applications of some family of weakly preinvariance, which sets to inner estimations of the integral funnel and necessary global optimality conditions for impulsive processes, are given.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Dykhta V. A., Samsonyuk O. N., Sorokin S. P.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements»

УДК 537.523 ББК 22.19

© Б.Д. Цыдыпов

Отдел физических проблем Бурятского научного центра СО РАН, Улан-Удэ E-mail: lmf@pres.bscnet.ru

© С.Г. Баргуев

Бурятский филиал Сибирского университета телекоммуникации информатики, Улан-Удэ

E-mail: barguev@yandex.ru

Постановка нелинейной термической задачи для системы сопряженных элементов

В работе представлена тепловая задача для осесимметричного катодного узла генераторов низкотемпературной плазмы. Тепловая задача основана на решении двумерного уравнения нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями для системы вставка -обойма с учетом всех видов энергообмена с внешней средой.

Ключевые слова: оптимизационная задача, тепловой поток, энергообмен, генератор,

низкотемпературная плазма.

© B.D. Tsydypov

Department of physical problems of Buryat Scientific Center of SB RAS, Ulan-Ude

© S.G. Barguev

Buryat branch of Siberian University of Telecommunication and Information, Ulan-Ude

E-mail: bareuev@yandex.ru

Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements

The article deals with the thermal problem for the axis-symmetrical cathode assembly of generators of low-temperature plasma. The thermal problem is based on solution of two-dimensional unsert-sleeve system with consideration of all types of heat transfer between the electrode assembly and the ambient environment.

Key words: problem of optimization, heat flux, energy transfer, generator, low-temperature plasma.

Введение

Развитие вычислительной математики и ее приложений в значительной степени связано с необходимостью решения крупных физико-технических проблем. Одной из таких задач является математическое моделирование функциональных режимов сильноточных плазменных систем (СПС), работающих в экстремальных условиях по уровням радиационных излучений и тепловых потоков [1]. Решение ее требует многопараметрической оптимизации токовой нагрузки и радиационного потока из плазмы, электро- и теплофизических свойств материалов, геометрических размеров и характеристик теплообмена катодного узла, представляющего сложную конструкцию в тепловом поле большой интенсивности в 103 - 105 Вт/см2 [2, 3]. Оптимизация на основе прямых натурных экспериментов является чрезвычайно трудоемким и дорогостоящим процессом, а цена ошибок и просчетов в эксплуатации «изделия в единственном экземпляре» недопустимо высока.

Теоретический подход к данной проблеме основан на решении уравнения нестационарной теплопроводности

дТ

ср— = div(A, grad Т) + qv (1)

dt

с нелинейными граничными условиями с учетом основных видов радиационного и термического энергообмена электродной системы с внешней средой. Здесь Т -температура, с - удельная теплоемкость, р - плотность материала, X - коэффициент теплопроводности, - объемная плотность внутренних источников и стоков,

обусловленных различного рода физико-химическими процессами выделения и поглощения энергии.

Постановка задачи

На рис. 1 показана полуплоскость осевого сечения расчетной модели типичного осесимметричного катодного узла плазменных устройств, составленного из двух соосно сопряженных элементов с различными физико-механическими свойствами. Для СПС наиболее работоспособными являются конструкции, состоящие из стержневого электрода -вставки I из тугоплавкого металла (например, из чистого или активированного вольфрама), запрессованного в медный цилиндрический корпус держателя - обойму II [4]. Длина вылета катода из обоймы варьируется от Ьс = 0 (заделка заподлицо) до Ьс / й1 >>1 (длинный катод). В [5] показано, что при анализе энергообмена для таких электродных узлов в источниковом составляющем уравнения (1) определяющим является вклад джоулевой диссипации энергии. Поэтому температурное поле в осесимметричном катодном узле находится совместным решением уравнения (1) в виде:

ск Р к

дТк

дї

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 _д_ г дг

дТк г%к (Г)-

дг

+ -

_д_

дг

х к (т )5Гк

дг

и уравнения непрерывности тока

1 _д_

г дг

/ -2 . -2\1/2 Л = Ог + Л) ,

г о к (Г)Ъх}"

дг

+ -

_д_

дг

о к (г )

дг

+ Л2/ О к (Г)

0,

(2)

Лг = -ок (Г )дик /дг, = -ок (Г )дик /дг

для вставки (к = 1) и обоймы (к = 2).

В расчетной схеме (рис. 1) на рабочий торец стержневого термоэмиссионного катода (г = 0) в пределах круга радиуса г0 поступает осесимметричный тепловой поток, моделирующий термическое воздействие плазмы разряда: д0 = F(r), где Г(г) - в общем

случае известная функция, г и г - цилиндрические координаты. Граничные условия к уравнению (2) поставлены следующим образом.

1) на рабочем торце вставки (поверхность ОА) реализуются теплоперенос из дугового разряда на катод, теплообмен с газовой средой и излучение по закону Стефана-Больцмана

-дo, 0 < г < го

ав (Ті - Г8) + еДТ )а, (ТХЛ - Т/), Го < г < Я і

2) на горячем торце держателя (ВС) происходит теплообмен с газом

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

МТ) М=]

дг

(4)

дТ (Г Т )

Х2(т)_2(_1^ = а (Т 2-Т8), Я і < г < Я 2 (5)

дг

3) холодный торец держателя (КЕ) охлаждается жидкостью

дТ (Г Т )

К(Т)—= -а. (Т 2 -Т.), о < г < Я 2 (6)

4) на цилиндрических поверхностях вставки (АВ) и держателя (СЕ) осуществляются конвективный теплообмен и излучение по закону Стефана-Больцмана

Хі(Т) 1(, 1,г) = -а,(Ті -Т8)-Єі(Т)ств (Ті4 -Т4), 0< г <- (7)

ЭТ1(Я1,г) = а (Т Т ч „ ^4 ^4,

= -а г (Т1-18,

т 2(Я 2, г) =-а

Эг а *(Т 2 ^

дг

X2(Т)дТ^2’г) =-а' (Т2 -тг), Ьс < г < Ь (8)

5) на оси симметрии катодного узла (ОК) радиальный тепловой поток равен нулю

= 0, 0 < г < Ь (9)

дТ„ (0, г)

дг

Уравнение (3) решается для катода с граничными условиями:

1) на рабочем торце катода (ОА)

I

ди 1(г ,0)

®і(Т )-

дг

-, 0 < г < г

пг0

0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(10)

[а го <г < я!

2) на холодном торце (ЬН)

и 1(г,Ь1) = 0,0 < г < Я1 (11)

3) на цилиндрической поверхности (АН)

ди 1(Ярг} = 0, 0<г <Ьс (12)

дг

иг(Я!,г) = 0, Ьс <г <Ьх (13)

4) на оси катода (ОЬ)

ди‘(0,г} = 0, 0<г <Ь1 (14)

дг

В выражениях (2) - (14) приняты следующие обозначения:

ик - потенциал электрического поля, стк(Т - удельная электрическая проводимость, I -разрядный ток, ]к - плотность тока, ств - постоянная Стефана-Больцмана, £к(Т) - степень

черноты, а8, а - коэффициенты теплоотдачи газу и жидкости, Т&, Т-^ - температуры газа и жидкости.

Отметим особенности поставленной задачи.

1. Система уравнений (2) и (3) с граничными условиями нелинейна, так как коэффициенты 'ки(Т), £к(Т) и стк(Т) зависят от температуры. Поскольку зависимости 'ки(Т) и £к(Т) слабые, в практических расчетах ими можно пренебречь. Важен учет зависимости стк(Т). Например, для вольфрамового электрода при изменении температуры от 300 до 3660 К ст1 уменьшается примерно в 20 раз, Х1 - 1.4 раза, а е1 увеличивается в 2 раза [6].

2. Решение уравнения (3) позволяет корректно учесть мощность объемного источника тепла. При использовании в электродном узле элементов W - Си в силу соотношений ст1 << ст2 и ]1 >> ]2 уравнение непрерывности тока решается только для вольфрамовой вставки. Эти же соотношения учтены при постановке граничных условий (11) и (13), т.е. на всей поверхности контакта двух элементов конструкции и(г,1) = 0. По локальным значениям плотности тока ]1(г,1) вычисляется джоулево тепловыделение в катоде.

3. Удельный тепловой поток #0 и радиус пятна г0 находятся из эксперимента или же из совместного решения замкнутой системы уравнений, описывающих катодные и

прикатодные процессы. Граничное условие (4) при 0 — г — Г соответствует случаю, когда #0 и г0 определяются из экспериментальных данных кондуктивного теплового потока в катод. Ввиду отсутствия точных данных по распределению ^0(г,0) и ]1(г,0) для определенности считаем их постоянными в пределах катодного пятна, а вне пятна равными нулю, т.е. аппроксимируем ступенчатой функцией Хевисайда

интегральный тепловой поток. При обобщенной математически замкнутой постановке задачи [5] #0 и г0 вычисляются из энергобаланса на катоде, учитывающего тепловые потоки, отводимые электронами эмиссии, испаряющимися атомами металла и радиационным излучением с активной поверхности, а также тепловые потоки в катод, подводимые ионами, «обратными» электронами и атомами, излучением из плазмы разряда и др. Кроме этих составляющих баланса на величину и знак #0 сильное влияние оказывает джоулев нагрев внутри катода [7].

4. Граничные условия задачи также нелинейны - для высоких температур, реализующихся в термоэмиссионном режиме, доля лучистой энергии с поверхности катода достаточно велика [3, 4].

5. Условия сопряжения элементов катодного узла зависят от метода их соединения. Наиболее простой вариант - идеальный тепловой контакт, когда выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

где п - нормаль к внутренней границе, совпадающая с координатой г на поверхности ЬИ с координатой г на ВН.

Тепловая задача в данной постановке аналитически не решается. Поэтому используется численный метод конечных разностей с локально-одномерной схемой прогонки [8]. Метод позволяет строго учесть все рассмотренные выше факторы, такие как двумерность задачи, нелинейности граничных условий, зависимостей тепло- и электрофизических свойств материалов от температуры и неравномерность распределения тока в объеме электрода. Область интегрирования I - II разбивалась на несколько простых областей (рис. 1) и смежные области «сшивались» едиными граничными условиями. Применены неявные

где постоянная а0 принимает значения соответственно % =йПО2 и І0 = I/ПО2, й

т і = т 2

(15)

(16)

двухслойные консервативные разностные схемы, где уравнения и граничные условия аппроксимируются со вторым порядком точности. При этом для устранения немонотонности в решении сеточной функции коэффициенты разностного уравнения выбирались на полушаге пространственной сетки. Численный алгоритм позволяет рассчитать температурное поле Tk (r, z) во всей системе вставка - обойма.

В последующих работах будут представлены метод решения задачи и результаты математического моделирования.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Литература

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

2. Fauchais P., Vardelle A. Thermal plasmas // IEEE Trans. on Plasma Sci. 1997. Vol. 25. № 6. P. 1258-1280.

3. Дресвин С.В. Генераторы низкотемпературной плазмы // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том II / под ред. В.Е. Фортова. М.: Наука, 2000. С. 280-328.

4. Жуков М.Ф., Засыпкин И.М., Тимошевский А.Н. и др. Электродуговые генераторы термической плазмы. Новосибирск: Наука, 1999. 712 с.

5. Цыдыпов Б.Д. Динамика нестационарных процессов в сильноточных плазменных системах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2002. 268 с.

6. Амосов В.М., Карелин Б.А., Кубышкин В.В. Электродные материалы на основе тугоплавких металлов. М.: Металлургия, 1976. 224 с.

7. Цыдыпов Б.Д. О критериях теплового состояния термокатода // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. Вып. 18. С. 87-94.

8. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.