CC BY
33
СТАБИЛИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ ПОСТОЯННОГО УПРАВЛЕНИЯ
М. Б. Батый
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, marishkin20@mail.ru
1. Введение. В работе изучается класс нелинейных систем, являющихся простейшими математичеими моделями процессов горения в аппаратах полного перемешивания. Уравнения топочного процесса, приведённые в данной работе, являются математической моделью некоторых процессов, происходящих в кислородном конвертере в области полного перемешивания вблизи фурмы. Оказалось, что задача исследования процесса горения углерода имеет самостоятельный интерес. В качестве примера рассмотрена модель горения порошкового углерода в аппарате полного перемешивания.
Процесс горения человечество начало изучать с момента появления первого огня и его использования в бытовых и военных целях. Строгая теория горения возникла лишь в 30-х годах прошлого века [1]. Общей теорией горения посвящена очень большая литература, часть которой приведена в работе [2]. Из более поздних работ можно отметить [3, 4] и [5]. Из работ последнего десятилетия — книги [5-7]. Так как нас будут интересовать процессы горения топлива в аппаратах полного перемешивания, необходимо отметить также работы [8-10]. Наконец, занимаясь теорией управления топочными процессами, нельзя не отметить, что автоматизации таких процессов посвящено небольшое число работ [11-14].
Далее приводится постановка задачи, дается решение поставленной задачи, приводится алгоритм управления, формулируется теорема о стабилизации и теорема об устойчивости при постоянных во времени возмущениях правой части системы. Затем рассмотрен важный пример горения углерода в аппарате полного перемешивания. Разработана математическая модель в случае учета температуры углерода, поступающего в аппарат. Показывается, что этот пример укладывается в рамки доказанных теорем. Приведены результаты имитационных экспериментов.
Работа частично была доложена на Международной научной конференции по механике «Пятые Поляховские чтения», СПбГУ, 2009 г. (см. [15]).
2. Постановка задачи. Рассматривается нелинейные управляемые системы вида
где предполагается, что существует единственное решение этой задачи Коши. Здесь А — гурвицева матрица, и — вектор управления, и Є V ^ Ет, нелинейность /(х,и) (при некотором фиксированном х*) удовлетворяет условию Липшица по и Є V. Состояние х(Ь) не измеряется. Задача состоит в выборе управления и(.) такого, что выполнено целевое условие стабилизации заданного стационарного решения х*:
Х = Ах + / (х,и), х(іо )= хо,
(1)
Ііт ||х(і) - х*|| = 0.
(2)
© М.Б.Батый, 2011
При наличии в правой части системы (1) малых, постоянно действующих возмущений, целевым условием будет являться устойчивость стационарного состояния ж* при постоянно дейсвующих внешних возмущениях. То есть, должно быть выполнено условие диссипативности
при некоторой постоянной 1Х, зависящей от внешних возмущений (определяемой максимумом нормы внешних возмущений).
3. Решение задачи. Для решения поставленной задачи используем постоянное управление, которое позволяет не измерять вектор состояния. Такое управление является частным случаем программного управления и, как всякое программное управление, имеет недостатки, связанные с влиянием внешних возмущений. Поэтому после формулировки теоремы о стабилизации будет рассмотрен случай присутствия в правой части системы (1) малых, постоянно действующих возмущений.
3.1. Выбор управления. Начиная с середины сороковых годов, нелинейные конечные уравнения вида / (ж) = 0 решали на аналоговых вычислительных машинах, сводя их решение к получению предельного значения решения дифференциального уравнения х = /(ж) (см., например, [16]). В нашем случае будем решать обратную задачу, а именно, стационарное значение управления и* будем определять из условия получения заданного стационарного значения ж* состояния ж(£). Близкая задача рассматривалась в работе [17] в применении к управлению процессом полимеризации.
3.2. Основные утверждения.
Теорема 1 (О постоянном управлении). Пусть в системе (1) функция /(ж, и) удовлетворяет условию Липшица по и
д(и) = и — 7[Ах* + /(х*, и)]. Предположим, что выполнены также условия
1) х* — единственное стационарное решение уравнения (1) в некоторой окрестности начального значения хо Є X С Д”;
2) для начального вектора ио Є V выполнены неравенства ||д(ио) — ио|| ^ К и ||и — ио|| < 5;
3) для чисел К, 5 и 1д выполнено условие К/(1 — /д) ^ 5, где 0 < 1д < 1 — постоянная Липшица функции д(и);
4) для любых векторов и(1),и(2) Є V выполнено покоординатное неравенство
Итэир ||х(і) — х*|| ^ /Х
(3)
1, 2,...,п.
Тогда приближения и^, полученные по формуле
иь+1 = ик — 7 [Ах* + / (х* ,иЙ)], к = 0,1, 2,..., 0 <7< 1,
(5)
сходятся к и* Є V — единственному решению уравнения статики
Ах* + /(х*, и*) = 0
(6)
и верна оценка ||и& — и*)|| ^ К/(1 — /д)/^.
Доказательство теоремы 1. Приведём типичную теорему о сходимости метода последовательных приближений, взятую из книги [18] (с. 372-376), где рассматривается уравнение
ж = д(ж) (7)
в некотором пространстве X.
Теорема (Метод последовательных приближений). Пусть выполнены условия:
1. Оператор д(ж) определен в замкнутом шаре Б радиуса р с центром в (•)жо
р(ж, жо) ^
2. Для любых векторов ж и у из шара Б выполнено соотношение
Р[д(ж),дЫ] < 1др(ж,у), 0 < 1д < 1.
3. Для начального вектора жо выполнено неравенство р[д(жо),жо] ^ К.
4. Для чисел 1д и К выполнено условие К/(1 — 1д) ^ £.
Тогда приближения жп, полученные по формуле жп+1 = д(жп), жо € Б, сходятся к ж* € Б — единственному решению уравнения (7), и верна оценка р(жп,ж*) ^ К/(1 — 1д)1^.
Применим эту теорему в нашем случае. Пусть выполнены условия 3 и 4 из теоремы о методе последовательных приближений. Функция д(ж) при ж = и имеет вид д(и) = и + Аж* + /(ж*,и). Докажем основное условие сходимости, а именно то, что функция д(и) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица 0 < 1д < 1. При этом вначале рассмотрим скалярный случай.
Пусть функция /(ж*, и) удовлетворяет условию Липшица (4) с постоянной Липшица ^. Запишем разность д(и(1)) — д(и(2)) = [1 — 7^(и(1), и(1))](и(1) — и(2)), где Й(и(1),и(1)) = [/(ж*,и(1)) — /(ж*, и(2))]/(и(1) — и(2)). Ввиду предположения теоремы 1 о покоординатной ограниченности разностного отношения с1 (в скаляном случае предполагаем выполнения неравенства с| ^ ^ <1 для всех и*-1), и*-2) £ II С Я1)
из неравенств |1 — сМ\ ^ |1 — 7^| ^ |1 — М\ следует выполнение неравенства |1 — 7^| ^ тах(|1 — с1\, |1 — <1\). Так как тах(|1 — с1\, |1 — й|) достигает наименьшего значения по 7, когда 1 —7<1 = —(1 —7^), верно есть при 7 = 2/то и(2)) ^ {<! — <£)для
и*-1), и*-2) (Е £/. Итак, получено оптимальное значение постоянной Липшица для функции д(и), равное (й — + с|).
В векторном случае задача оценивания постоянной Липшица вектор-функции д(и) сводится к скалярному случаю, если рассматривать систему Аж* + /(ж*, и) = 0 и применять к ней покоординатный метод последовательных приближений Зайделя решения нелинейных систем, где на каждом к-м шаге решается п скалярных систем, и при этом использовать 1-норму (т-норму): ||ж||1 = шах^- |ж^|. Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (О стабилизации). Пусть для нелинейности /(ж, и) в уравнении (1) выполнено условие
||/(ж, и) — /(ж*, и*) || < 1(т1)|ж — ж* || + ^2)||и — и* || (8)
для ж € X, и € и и фиксированных значениях ж* € X, и* € и. Пусть также выполнено
условие
Ад > 2Лн41}, (9)
где Ад и Лн — наименьшее и наибольшее собственные числа матриц Q и Н соответ-
ственно, в уравнении Ляпунова АН + НА* = —Q, Q > 0 — заданная матрица. Тогда стационарное управление и* стабилизирует стационарное решение ж* уравнения (1).
Доказательство теоремы 2. Стационарное решение ж* и стационарное управление и*, полученное по формуле (5), удовлетворяют уравнению (6). Обозначим г = ж—ж*.
Вычтем из системы (1) левую часть уравнения (6) и запишем полученную систему в виде
г = Аг + /(ж, и) — /(ж*, и*). (10)
Рассмотрим квадратичную функцию V = г*Нг, где матрица Н находится из уравнения Ляпунова А*Н + НА = —Q, Q > 0 — заданная положительно определенная матрица.
Так как матрица А гурвицева, функция Ляпунова V будет положительно определенной, следовательно, для асимптотической устойчивости системы (10) необходимо, чтобы полная производная её (V) в силу системы (10) была отрицательно определённой, где
V = —г*Qz + 2г*Н[/(ж, и) — /(ж*, и*)].
Так как Q > 0, первое слагаемое отрицательно.
Рассмотрим второе слагаемое. Используя условие (8) для функции /(ж, и), получим
V = —г*Qz + 2г*Н[/(ж,и) — /(ж*,и*)] < — АцЦгЦ2 + 2г*Н[1(г1)|ж — ж*|| + ^2)||и — и*||]. Для и = и* имеем
V ^ —АЧ|г||2 + 2г*Н1( У ^ [—Ад + 2Лн 1( )]|г||2.
При выполнении неравенства (9) отсюда следует отрицательность функции V и, следовательно, асимтотическая устойчивость решения ж* системы (1). Теорема 2 доказана.
3.3. Устойчивость при малых возмущениях. Цель дальнейшего исследования — получение условий устойчивости системы при постоянно действующих возмущениях, когда малому отклонению в начальных условиях и малому во все моменты времени возмущению в правой части отвечает малое значение решения уравнений объекта. Предполагаем, что такое возмущение возникает в правой части системы (1) из-за несоответствия математической модели реальному объекту, а также из-за присутствия в правой части реального объекта малых внешних возмущений. Для исследоания этого вопроса воспользуемся теоремой об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [19].
Пусть ж = |ж^ }”=1. Рассмотрим уравнения
йж . .
Л=Х{,'х)' (11)
йж
— =Хи,х) + т,х). (12)
от
Функция Д(£, ж) характеризует постоянно действующие возмущающие факторы. Эта функция, также как и функция X(4, ж), определена в области
£ ^ 0, \х^ | ^ Н, j = 1, 2,..., п, (13)
где эти функции непрерывны и удовлетворяют условию, что при заданных начальных условиях каждое из последних двух уравнений имеет единственное решение. Функция Д(£, ж), в отличие от функции X(4, ж), практически никогда не известна. Относительно неё можно лишь предполагать, что она удовлетворяет вышеуказанным общим условиям
и достаточно мала. Невозмущенное решение будет устойчивым при постоянно действующих возмущениях, когда величины ж(£) остаются все время малыми при условии, что они были малыми в начальный момент времени и что возмущения также малы. Более точное определение формулируется следующим образом.
Определение. Невозмущенное движение (тривиальное решение ж = 0 уравнения (11) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для всякого числа £ > 0, как бы мало оно ни было, существуют два других числа П1(£) > 0 и П2(е) > 0 таких, что всякое решение уравнения (12) с начальным значением ж(о) (при 4 = £о), удовлетворяющим неравенствам |ж^о) | ^ П1(£), при произвольных Д, удовлетворяющих в области t ^ £о, \хз\ ^ Н, ] = 1,2,...,гг, неравенствам |Д(£, х)\ ^ удовлетворяет при всех 4 > £о неравенствам |ж^1 < £.
Теорема 3 (Об устойчивости при возмущениях). Пусть в уравнении (1) присутствуют неизмеряемые внешние возмущения, то есть оно имеет вид
ж = Аж + /(ж, и) + г(ж),
где г(ж) — постоянно действующие малые неизмеряемые возмущения.
Тогда при выполнении условий теоремы 1 и теоремы 2 стационарное управление и* делает стационарное решение ж* устойчивым при постоянно действующих малых возмущениях, и выполнено целевое условие (3).
Доказательство теоремы 3. Приведём сначала теорему из книги [19].
Теорема И. Г. Малкина. Если для дифференциальных уравнений невозмущенного движения (11) существует определенно-положительная функция V(4, ж), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, и если в области (13) частные производные дУ/дж., (] = 1, 2,..., п) ограничены, то невозмущенное движение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.
Проверим условия теоремы в нашем случае. Производная дУ/дж., (_?’ = 1, 2,..., п) ограничена, так как V = г*Нг —квадратичная функция, а её производная Нг — линейная функция, которая ограничена в области (13). Если в уравнениях возмущенного движения (1) отсутствует возмущение, то, как доказано в теореме 2, для такого уравнения производная функции Ляпунова отрицательна. Следовательно, выполнено основное условие теоремы из книги [19]. Таким образом, данный выбор управления в виде и = и* делает стационарное решение системы (1) устойчивым при постоянно действующих возмущениях, и выполнена цель управления (3) (условие диссипативности) при некотором значении постоянной 1Х. Теорема 3 доказана.
4. Пример. Задача о горении углерода. Исходя из известных положений химической кинетики, можно составить дифференциальные уравнения горения углерода в аппарате полного перемешивания, не разбивая реакцию на простые составляющие. Аналогичные уравнения, но стационарного неуправляемого горения углерода в аппарате с перемешиванием (конечные уравнения), имеются в работе [3, 4, 8-10]. Рассматривается динамическая управляемая система горения углерода при свободном доступе кислорода
= —ксС — дсЬ\С) ц(Т) + Ьси,
(14)
7Л7~1
— = -ктТ + дт1г(С)/1,(Т) + Ъти.
Здесь С — концентрация углерода в топке, Т — абсолютная температура, ко, кт, Цс, цт, Ьс, Ьт — положительные постоянные, и — расход углерода, подаваемого в аппарат, Л.(С) = /о2 — кОС, /о2 —расход кислорода, ^(Т) = кт ехр{—Е/(ДТ)}, где кт = (Т — Т0)/(Т* — Т0) ^ 1 (см. [4]), Е — эффективная энергия активации, а Д > 0 — универсальная газовая постоянная.
Введем ряд обозначений: А = diag[—ко, —кт], ж = [С,Т]* —вектор состояния объекта, ц = [—цс, Цт]* и Ь = [Ьс, Ьт]* —постоянные векторы (* знак транспонирования), ц^(ж) — скалярная непрерывная функция состояния ж, означающая скорость реакции горения, ^(ж) = Л.(С)^(Т). Тогда система (1) примет вид
ж = Аж + Ц^(ж) + Ьи, (15)
где предполагается, что функция ^(ж) удовлетворяет условию Липшица
|^>(ж(1)) — ^(ж(2))| ^ С^||ж(1) — ж(2)||.
Система (15) является частным случаем системы (1) в основной части статьи.
Уточним модель для изменения температуры реакции, упростив выкладки из работы [20] применительно к данной задаче. Рассмотрим второе уравнение системы (14). Коэффициент Ьт при управлении температурой рассчитывается следующим образом. Считаем, что масса добавляемого углерода (т) мала по сравнению с массой то содержимого топки, теплоемкость которого условно принимаем за единицу (сто = 1). Пусть текущая теплота, отдаваемая содержимым топки при поступлении более холодного углерода с температурой Т0, есть Q = ст(Т — Т0), где Т — температура сгорания углерода, т — масса углерода, с — его удельная теплоемкость:
^ = ст(г)(Т-Т0)+стТ(г).
Здесь управление и = т(4) —расход массы углерода, подаваемого в топку. Для изменения температуры в аппарате получим соотношение ДТ = си(Т — Т0) + стТ(4). Итак,
ЙТ1
= —ктТ + дт<р(х) — АТ или
йТ1
= —ктТ + цт^р(х) — си(Т — Та) — стТ(£). Отсюда йТ1
(сто + ст)— = —ктТ + дт<р(х) — си{Т — Т0), да
где сто = 1. Заменяя 1 + ст на 1, так как расход т массы углерода, подаваемого в топку, мал по отношению к массе углерода, находящегося в топке, и, учитывая, что всегда Т > Т0, получаем второе уравнение системы (14) в виде
7т
— =-ктТ + дТ(р(х)+Ъти, Ьт = —с(Т — Т0), Ь=[ЬС,ЬТ}*-
Так как кислород присутствует в избытке, то для него нет отдельного уравнения, как это принято в химической кинетике. Расход углерода, подаваемого в топку (и), измеряется и его можно использовать для решения задачи управления.
Уравнения статики для объекта (14) линейно зависят от неизвестного стационарного значения концентрации углерода (С*). Поэтому из первого уравнения статики можно найти концентрацию углерода С* как функцию управления и стационарного значения температуры Т*, а затем найти стационарное управление и* как функцию от Т*, решая соответствующее линейное уравнение относительно управления и*. Окончательно формула для вычисления стационарного управления имеет вид
_ ЧсЧт1о2кс:н1 ~ гпст
— --------------------
Чт к°а м*Ъа + гпЬт*
в предположении, что знаменатель не равен нулю, где м* = м(Т*), гп = чак°см* — ка,
ст = чт /о2М* — ктТ*, Ът* = —с(Т* — Т0).
Выполнение условий теоремы 2 проверялось экспериментально на компьютере. График функции у>(С, Т) приведён на рисунке 1.
Проверим основное неравенство (9). В рассмотренном далее примере А = diag[—1, —2]. Если взять Q = diag[1, 2], то получим Н = diag[0.5, 0.5], Лн = 0.5, Лц = 1. Для в теореме 2 должно быть выполнено неравенство 1(1) < 1. Оно выполнено, так как в примере функция /(х, и) = чу>(х) не зависит от и и, как видно из графика (рис. 1), ||У{у>(х)}|| < 1. Кроме того, перед функцией у>(х) стоит коэффициент Ч = 0.01.
0.75
1008 4 Т-ах18 С-ах|5
Рис. 1. Функция <р(С,Т).
5. Результаты имитационных экспериментов. Проведены имитационные эксперименты для моделирования процессов управления и стабилизации горения углерода в аппарате полного перемешивания в случае сложной реакции горения (1). Первое уравнение системы (14) рассматривалось при м = ехр{ —Е/(ЕТ)} и постоянном коэффициенте Ът.
Большинство начальных параметров заимствовалось из специализированной литературы, остальные же подбирались в соответствии с моделью. Некоторые коэффициенты были безразмерными, другие рассматривались с системе единиц измерения «Си»: / = 6 —длина рассматриваемого интервала времени; сИ = 0.01 —шаг интегрирования;
кС = -1, кТ = —2 — коэффициенты в матрице А;
Ч = [—0.01, 0.01] —коэффициенты при нелинейности;
fo2 = 0.95 — расход кислорода;
к°с =0.1 —коэффициент при С в нелинейности;
Е = 150 — энергия активации;
К = 8.3 — универсальная газовая постоянная;
Ь = [1, 483] —вектор коэффициентов при управлении;
с = 0.69 — теплоемкость углерода;
хо = [2, 500] — начальное значение вектора состояния объекта;
Т0 = 300 — температура углерода, подаваемого в топку;
Т* = 1000 — желаемое значение температуры в аппарате;
С* = 4.1460 — вычисленное предельное значение концентрации углерода;
и* = 4.1408 — вычисленное стационарное управление;
£ = 0.0001 — точность при вычислении управления.
Были проведены эксперименты, результат одного из которых представлен на рисунке 2.
На верхнем графике показано изменение концентрации углеролерода от начального до вычисленного стационарного значения. На нижнем графике показано изменение температуры объекта от заданного начального значения до заданного стационарного значения. Из графика следует, что цель управления выполняется, температура объекта стабилизируется.
6. Выводы. В работе рассмотрен специальный класс нелинейных управляемых систем, описывающих процесс горения углерода в аппарате с полным перемешиванием при избытке кислорода. Управляющим параметром являлся расход углерода, подаваемого в аппарат. Были составлены дифференциальные уравнения сложной реакции горения. Доказана теорема о сходимости метода последовательных приближений для определения стационарного управления и теорема о стабилизации стационарного решения с помощью этого управления. При наличии малых внешних возмущений исходная задача сведена к задаче устойчивости общей системы при постоянно действующих
возмущениях. Разработан алгоритм управления. Проведены эксперименты по имитационному моделированию процесса горения. Результаты проведенных экспериментов показали практическую работоспособность рассматриваемого алгоритма управления процессом горения углерода.
Автор выражает благодарность своему руководителю Б. М. Соколову за помощь в работе.
Литература
1. Семёнов Н.Н. Тепловая теория горения и взрыва // Успехи физических наук, 1940. Т. 23. Вып. 3. С. 251-292.
2. Горение и взрыв. Библиография. М., 1968. 557 с.
3. Вильямс Ф. А. Теория горения М., 1971. 615 с. (Combustion Theory by Forman A. Williams. Addison — Wesley Publishing Company, 1964.)
4. Математическая теория горения и взрыва / Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либ-рович, Г. М. Махвиладзе. М., 1980. 478 с.
5. Варнатц Ю., Маас У., Диббл Р. Горение. Физические и химические аспекты, моделирование, эксперименты, образование загрязняющих веществ. М., 2003. 352 с. (J. Warnatz, U. Maass, R. W. Dibble. Combustion. Physical and chemical fundamentals, experiments, pollutant formation. Springer, 2001)
6. Ассовский И. Г. Физика горения и внутренняя баллистика. М., 2005. 358 с.
7. Гельфанд Б. Е., Попов О. Е., Чайванов Б. Б. Водород. Параметры горения и взрыва. М., 2008. 288 с.
8. Горение углерода / Под ред. А. С. Предводителева. М., 1949. 408 с.
9. Лавров Н. В. Физико-химические основы процесса горения топлива. М., 1971. 272 с.
10. Хзмалян Д. М. Теория топочных процессов. М., 1990. 351 с.
11. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.; Л., 1956. 264 с.
12. Персункин Б.Н., Дегтярёв В. В. Оптимизация управления процессом сжигания топлива // Автоматическое управление металлургическими процессамии. Магнитогорск, 1966. С. 48-53.
13. Автоматизация крупных тепловых электростанций. М., 1974. 240 с.
14. Иваненко В. И., Повещенко Г. П., Чеховой Ю. Н. Имитационное моделирование теплового режима горения. Киев, 1990. 196 с.
15. Батый М. Б. Управление горением углерода в случае сложной реакции // Международная научная конференция по механике «Пятые Поляховские чтения». Тезисы докладов. СПб., 2009. С. 110.
16. Электронная нелинейная аналоговая вычислительная машина МН-14 / В. Б. Ушаков, Г. М. Петров, Е. П. Басов и др. М., 1965. 235 с.
17. Любачевский Б. Д., Якубович В. А. Адаптивное управление устойчивыми динамическими объектами // Автоматика и телемеханика. 1974. №4. С. 116-127.
18. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Том 2. М., 1977. 400 с.
19. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966. 532 с.
20. Блинов Е. Н., Соколов Б. М. Устойчивость, оценка состояния и управление в одной нелинейной системе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 7-14.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
