Стабилизация космической платформы с помощью трех автоколлиматоров Текст научной статьи по специальности «Физика»

список литературы

1. Справочная книга по светотехнике / Под ред. Ю. Б. Айзенберга. М.: Знак, 2006. 972 с.

2. Мешков З. В. Основы светотехники: Учеб. пособие. М.: Энергия, 1979. Ч. 1. 368 с.

Сведения об авторах

Алёна Юрьевна Голубева — аспирант; Университет ИТМО, кафедра твердотельной оптоэлектро-

ники, Санкт-Петербург; E-mail: golubevaay@gmail.com Александр Игоревич Иванов — аспирант; Университет ИТМО, кафедра твердотельной оптоэлектро-

ники, Санкт-Петербург; E-mail: ale4103@gmail.com Виктор Трофимович Прокопенко — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра твердотельной оптоэлектроники, Санкт-Петербург; E-mail: prokopenko@mail.ifmo.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

твердотельной оптоэлектроники 21.02.14 г.

УДК 629.78

А. П. Смирнов, Т. Л. Романова

СТАБИЛИЗАЦИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАТФОРМЫ С ПОМОЩЬЮ ТРЕХ АВТОКОЛЛИМАТОРОВ

Представлены результаты математического анализа возможности трехмерного позиционирования двух твердых тел по отношению к третьему и рассмотрены варианты технических решений.

Ключевые слова: автоколлиматор, призма, система координат, матрица.

Техническая задача трехмерного позиционирования твердых тел относительно базового элемента возникает, например, при стабилизации космической платформы [1]. При этом твердые тела представляют собой контрольные элементы в виде призм с двумя зеркальными гранями, а базовый элемент, также в виде призмы, удерживается в пространстве заданным образом по отношению к внешнему источнику света. Одним из технических решений данной задачи является замкнутая система из трех автоколлиматоров К/—КЗ [2], сопряженных с твердыми телами — контрольными элементами КЭ/, КЭ2 и базовым элементом БЭ (рис. 1). Автоколлиматоры состоят из направленных друг на друга пар плоских зеркал, при этом коллиматоры К/ и К2 расположены между плоскими зеркальными гранями призменных элементов и базового элемента, а коллиматор КЗ — между призменными элементами (рис. 1, а).

Оптическую схему автоколлиматора рассмотрим на примере коллиматора КЗ (рис. 1, б). Автоколлиматор КЗ содержит оптический блок, состоящий из объектива с вынесенной передней главной плоскостью Н, в исходном состоянии во внешней системе координат 0ХУ2 оптическая ось объектива совпадает с осью У. Точка О — главная точка объектива, совпадающая с его узловой точкой. Измерительная марка А совмещается с точкой О. Марка А с увеличением +1 изображается в заднюю главную точку О'. На расстоянии 0,5/', где /' — заднее фокусное расстояние объектива, устанавливается зеркальная грань КЭ/. Параллельный пучок лучей, вышедших из объектива, отражается от зеркальной грани КЭ2 и в обратном ходе образует в плоскости Н автоколлимационное изображение марки А'. Если зеркальная грань КЭ/ наклонена относительно оси у на угол в, то из объектива выходит параллельный пучок лучей также под углом в относительно оси у. Если автоколлимационная зеркальная грань

КЭ2 наклонена на угол а относительно оптической оси объектива, то изображение марки А смещается в точку с координатой у' в плоскости Н, при этом

у' = /' №(а-р)].

Такая конструкция оптической системы делает автоколлиматор нерасстраиваемым. Малые смещения объектива в плоскости, перпендикулярной оси у, а также малые наклоны объектива не приводят к смещению автоколлимационного изображения марки А, т.е. к изменению значения координаты у', и, соответственно, не приводят к изменению контролируемой разности (а-р).

а)

Стабильная

несущая конструкция

КЭ2

К2

г

А >

У

Рис. 1

Объективы автоколлиматоров с матричными приемниками расположены в начальном положении так, что их оптические оси составляют равнобедренный треугольник с углом 2и при вершине. Измерительные марки расположены на оптической оси, причем плоские зеркала базового элемента расположены по нормали к боковым сторонам. Внешняя (глобальная) декартова система координат 0ХУ2 связана с базовым элементом. Оптическая ось автоколлиматора КЗ в номинальном положении расположена вдоль оси ординат. Под действием внешних возмущений происходит смещение относительно оси автоколлимационных изображений, сформированных при последовательном отражении луча от плоских зеркальных граней призм в поле зрения матричных приемников. По координатам центров тяжести пятен на

приемнике необходимо восстановить пространственное положение контрольных элементов. Рассмотрению алгоритма восстановления и посвящена данная статья.

В качестве локальных систем координат автоколлиматоров К/ и К2 выберем правые декартовы системы с направлением осей ординат вдоль нормалей к зеркалам базового элемента (см. рис. 1). Оси абсцисс и аппликат служат поперечными осями матричных приемников. Переход к локальным координатам осуществляется поворотом вокруг глобальной оси аппликат на угол и для автоколлиматора К/ и угол п-и для К2.

В предположении, что оптическая система идеальная, проанализируем влияние первичных методических погрешностей измерений на точность стабилизации платформы, при этом влияние первичных погрешностей установок и технологических угловых погрешностей призм не учитывается.

Рассмотрим математическую модель конструкции оптической системы, для описания которой воспользуемся законом отражения от зеркала в векторном виде [3]:

Ь'(Ь, N) = Ь - 2N(ЬЫ). (1)

Здесь Ь' — векторная функция направляющих косинусов отраженного луча; Ь — функция направляющих косинусов падающего луча; N — нормаль к зеркалу, сонаправленная с падающим лучом.

Для осуществления матричных операций требуется определить во внешней системе координат матрицу поворота на угол а относительно оси с направляющими косинусами Р = (Р0, Р1, Р2) [4]:

М (Р, а) =

соб а - Р2 • Бт а Р • Бт а

Р2 • Бт а

соб а - Р0 • Бт а

- Р • Бт а Р0 • Бт а соб а

(Р. У

Р • Р0

Р0 • Р1 2

Р2 • Р0

0

0

(Р1У

Р2 • Р

Р0 • Р2 Р • Р2 (Р2 )2

•(1 - соб а). (2)

Используя выражение (2), сформируем номинальные значения нормалей к плоским зеркалам автоколлиматоров: задав угол и = 35°, посредством поворота, например, орта ординат ] вокруг оси аппликат с ортом к , используемым в качестве оси поворота Р = (0,1,0), на заданные углы (используется правовинтовая декартова система координат) получим

N1 = М (к ,-и )• ], N2 = М [к ,(и-я)]-], N3 = М [к,(я-и)]-], N4 = М (к, и) • ], N5 = М (к, я) • ], N5 = М (к, 0) • |

(3)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть значения углов, характеризующих положение контрольных призм при возмущающих воздействиях, не превышают 30', а фокусные расстояния объективов автоколлиматоров /' = 400 мм. Тогда с использованием встроенных стохастических функций в среде МаШСАО произведем моделирование неизвестных нормалей посредством поворота контрольных призм на случайные углы относительно координатных осей. В результате будет сформирован случайный вектор углов поворота, в минутах, последовательно вокруг осей КЭ/ (14, -29, 9) и КЭ2 (-19, 4, 20), тогда реальные нормали к зеркалам контрольных призм могут быть представлены в следующем виде:

С

^3 = М (,14')М ((, -29')М (к,9')3 =

0,452 - 0,892

Л

ч-1,766 •Ю-4 J

N 4 =

0,459 0,888

Л

ч5,444 -10-3 у

(-2,618-10-3 ^

ыг 5 =

-1

ч 4,094-10

-3

nr 6 =

(5,818-10-3 ^

ч 5,534 -10"' у

(4)

В локальных координатах автоколлиматоров К1 и К2 нормали ЫГЬ3 и -ЫГЬ4 к зеркалам КЭ1 и КЭ2 определяются согласно преобразованию (2).

Сформируем матрицы перехода в локальную систему координат автоколлиматоров К1 и К2 соответственно:

ЫГЬ3 = М (к, и ) Ыг 3 =

(-2,636 -10-3 ^ -1

1,766 -10-4 у

, ЫГЬ4 = М(к,л-и)N.4 =

(-5,825 -10-3 -1

у-5,444-10-3у

(5)

Поскольку в автоколлиматорах К1 и К2 сигнальный луч распространяется вдоль нормали к граням базовой призмы, то, отразившись от них, луч будет направлен к орту ординат -] . Отразившись от граней контрольных призм, луч, пройдя через объектив, попадет в пятно на приемнике. Измерив координаты Х1 и 2\, можно восстановить направляющие косинусы отраженного луча:

Ь =

X,

V/2 - X!2 -

_1_

/

( 5,272 -10-3 ^

ч3,532 -10-4 у

т' =

, -^4 _

Х2

V/2 - Х22 - г22

( 0,012 ^ 1

0,011

V '

(6)

у

Как следует из выражения (1), нормаль к зеркалу в локальной системе координат может быть определена, если известны направляющие косинусы падающего и отраженного лучей:

Ь - Ь'(Ь, Щ = Ь - Ь'(Ь, И)

N = ■

2N(ЬИ) \Ь - Ь'(Ь, И)\'

(7)

В формуле (7) использовано свойство единичной длины нормали, на основании которого находим нормали к зеркалам контрольных призм в локальных координатах автоколлиматоров К1 и К2 соответственно:

N3 =

- ] - Ь3 +Ь3|

(-2,636 -10-3 ^

-1

-1,766-10

-4

N4 =

- ]- Ь4 к+Ь4|

(-5,825 -10-3 ^

-1 5,444 -10

-3

(8)

Переход во внешнюю систему координат позволяет осуществить восстановление реальных значений нормалей N3 и N4 к зеркалам контрольных призм, обращенных к базовой призме, которые полностью совпадают с реальными значениями и N,4:

Nv3 = М(к, и)N3 = N.3, ^4 = М(к, и - л)N4 = N.4.

(9)

Таким образом, в данном случае методическая погрешность восстановления равна нулю. Рассмотрим два способа восстановления нормалей N5 и N6 к зеркалам автоколлиматора КЗ (см. рис.1).

1-й способ. Одна из призм, например КЭ1, имеет два положения в пространстве, отличающиеся направлением нормали: одно — ^ (см. формулу (4)), другое —полученное

в результате поворота вокруг оси N с направляющими косинусами на некоторый угол у. С помощью преобразования (2) сформируем матрицу поворота

Мп = М (у) =

Г а11 а12 а13 "

а21 а22 а23

V а31 а32 а33 )

(10)

где элементы а^ матрицы сформированы из координат вектора N и угла у.

Если луч направлен вдоль оптической оси к зеркалу с нормалью N5 по орту —^ а отразившись, — к зеркалу с нормалью Ы6, то, применяя дважды выражение (1), получаем

ьп = ь'(( (- ], n 5), кг 6 ) =

хп

п

2 т^2

- ХП- 7п

1 7

Г ь Л

с

V ё )

Ь'п = Ь' (Ь'(-], МпК 5), ыг 6 ) =

х'„_

2 -и-Л гу)2

л/7^- хп - 7п

7'

п

(11)

1 7

Г ь ' Л

с

Л

(12)

здесь Хп, 7п и Xп, 7'п — координаты меток на приемнике.

Выделим скалярные уравнения для составляющих по осям абсцисс и аппликат и

2 2 0 5

выразим неизвестные координаты нормалей через величины р, т, г, #г5 = (р, —(1—р —т ) , , т),

2 2 0,5

Nг6 = (г, (1—г —^ ) , , ¿). Подставив полученные векторы в уравнения (11) и использовав дважды выражение (1), после преобразований получим систему из четырех нелинейных уравнений.

к1 р + к3г = -Ь /2;

кт + кз^ = -ё /2;

аххкАр + а13к4т + к5г = а^к^к^ -Ь' /2;

о^кр + а33к4т + к5^ = 032^4 -ё' /2

где

к1 = 1 - р2 - т2, к2 = 1 - г2 - ¿2, кз = -2к1 [рг + т^ - кк ] - к2, к4 =-021 р-023т + 022к1, к5 =-к2-2к4 [г(апр-а12к1 +авт)-к2к4 (031 р-032^ +а33т).

В нулевом приближении р=т=г—1=0 и все пять коэффициентов к1—к5 равны единице, и тогда система сводится к линейной. Для следующего приближения требуется вычислить новые значения коэффициентов к1—к5 и перейти к следующему шагу, также решая систему линейных уравнений.

Как показали исследования, при нулевом приближении погрешность восстановления нормалей N и Ы6 составляет 17,97", в первом приближении — 2,03"; следующие приближения достигают стационарной области и не обеспечивают повышения точности.

Если погрешность линейного наведения автоколлиматора составляет, например, 3 мкм, то при /' = 400 мм погрешность углового наведения составит 10-5 рад = 2,06". Эта оценка показывает, что первое приближение при решении системы (12) достаточно для обеспечения данной точности.

2-й способ. На одну из призм, например КЭ1, наклеивается небольшой зеркальный клин (рис. 2) с углом ф при вершине. Для определения нормали к гипотенузной грани клина требуется осуществить поворот на угол ф вокруг оси, перпендикулярной плоскости, составленной

реальными нормалями N,-3 и N,-5. Математически виртуальная ось поворота выражается векторным произведением восстановленной с нулевой методической погрешностью нормали к грани 3 и неизвестной нормали к грани 5 (см. рис. 2).

X

Рис. 2

Выразив нормаль N3 через величины q, V, э, которые математически точно восстанавливаются по данным координат автоколлиматора К1, и нормаль #г5 — через неизвестные величины р и т, составим функцию Т направляющих косинусов оси вращения, переводящей нормаль N5 к нормали к зеркальной грани приклеенного клина:

Г-skl -

T =

qm - ps vp - qki

Используя формулы (2) и (13), сформируем матрицу преобразования

vm

Л

(13)

Г gll gl2 gl3 ^

T =

g2l g3l

S22

g32

g23 g33 J

где

gll = cos ф + (skl + vm)2 (l - cos ф),

gl2 = (VP - qkl )sin ф-(skl + vm )(qm - ps) (l - cos ф),... (ит.д.).

Элементы gi матрицы Tn зависят от известных составляющих нормали Nr3, а также неизвестных координат p и m нормали Nr5. На первом шаге p = m = 0, на следующих шагах коэффициенты матрицы и коэффициенты kl—k5 (см. систему уравнений (l2)) уточняются.

Заметим, что для восстановления нормалей к зеркалам автоколлиматора КЗ, когда они имеют неопределенное положение в пространстве, требуется дополнительное конструктивное решение, чтобы получить два пятна на приемнике. Для нахождения математического решения в этом случае используются нелинейные, трансцендентные уравнения, и решение зависит от начального приближения, которое отождествляется с номинальным положением

зеркал. В номинальном положении нормали к зеркалам расположены по оси ординат, а поперечные составляющие нормалей, абсциссы и аппликаты, равны нулю.

Погрешность восстановления зависит от пространственного положения контрольных призм: например, если угол, определяющий положение призм, не превышает 30', то погрешность составляет 2". Таким образом, предложенные способы изменения конструкции оптической системы позволяют обеспечить стабильность платформы.

Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ.

1. Тезисы третьей Всесоюзной научно-технической конференции „Современные проблемы ориентации и навигации космических аппаратов": Сб. материалов / Под ред. Г. А. Аванесова и др. М.: ИКИ РАН, 2008.

2. Цифровой двухкоординатный автоколлиматор / А. Н. Королев, А. И. Гарцуев, Г. С. Полищук, В. П. Трегуб // Оптич. журн. 2009. Т.76, № 10. С. 42—47.

3. ГерцбергерМ. Современная геометрическая оптика. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981.

Татьяна Леонидовна Романова — аспирант; Университет ИТМО, кафедра компьютерной фотоники и

видеоинформатики, Санкт-Петербург; E-mail: RTL87@mail.ru

список литературы

Александр Павлович Смирнов

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра компьютерной фотоники и видеоинформатики, Санкт-Петербург; E-mail: apsmirnov@bk.ru

Рекомендована кафедрой компьютерной фотоники и видеоинформатики

Поступила в редакцию 25.12.13 г.