Средне-термодинамическая температура Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 63 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1944

СРЕДНЕ-ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА

ФУКС г. и.

Профессор, доктор технических наук

Вычисление средне-термодинамической температуры

Средне-термодинамическая температура1) процесса есть температура изотермического процесса, дающего тот же теплойой эффект, что и рассматриваемый. Введение этого понятия упрощает рассмотрение вопросов технической термодинамики, а в некоторых случаях придает доказатель* ствам очевидность.

Пусть АВ—^ изображение процесса в ТБ координатах, А8 — приращение энтропии рабочего тела (рис. 1). Тепло,"сообщенное рабочему телу, изобразится площадью АВЬа. Для нахождения с -тт процесса строится равновеликий этой площади прямоугольник с абсциссой А5. Высота этого прямоугольника будет Тс—с-тт процесса. Если тепло процесса АВ будет q, то

А

При постоянной теплоемкости процесса АВ выражение (4) может быть написано так:

О В дальнейшем обозначается сокращенно с-тт

Ясно, что соотношение (5) может быть применено к любому процессу при условии С = Const, в частности, для изохорического, изобарического и политропического процессов газа (при Cv = Const).

При неизменной теплоемкости процесса его с-тт вычисляется как средне-логарифмическая из конечной и начальной абсолютных температур процесса.

Если сообщение тепла идет несколькими процессами, то можно поставить вопрос о с-тт сообщения тепла рабочему телу. Пусть (рис. 2) сообщение тепла идет в процессах AI3 и ВС в количестве q! и qs при с-тт каждого процесса Тс' и Тс\ С-тт процессов ABC будет

_ qi+q»

7

Тг =

AS[ -4- Д S2 Согласно определению

Тс'

Тс"

Следрвательно,

q.

AS,

qt + q« q?

Tc"

q.4

Tc' '

(6) (П

(Г)

(7)

откуда

II.

Т/

Рис. 2

_ I -f- Ш

T>

1+m

Tc"

где

m = Sl-

4t

(9)

(9)

Из последнего соотношения следует, что с-тт сообщения тепла рабочему телу в двух процессах является средней между с-тт первого и второго процесса. В частности, если к данному процессу сообщения тепла добавляется второй, идущий при более высокой с-тт, чем первый, то с-тт сообщения тепла рабочему телу всегда повышается. Эти выводы будут использованы ниже.

Не представляет также труда написать соотношение, аналогичное (8), при сообщении рабЬчему телу тепла в 3 и более процессах.

Коэфициент полезного действия

Пусть дан произвольный цикл из обратимых процессов (рис. 3). Нанесем на диаграмму с-тт сообщения тепла рабочему телу Тс' и отъема тепла Т<Л Тогда сообщенное и отнятое тепло будут соответственно

и

q2 = Tc" AS.

(10) (И)

Следовательно, к.п.д.

■4t

Тс' - Тс'

Т'с

Т"с Тс

(12)

На основе этого соотношения получается наглядный прием сравнения циклов по к.п.д. Так, для цикла Отто и Дизеля при одинаковых наибольших давлениях имеем (см. рис. 4) одинаковую с-тт отъема тепла от рабочего тела и разные с - тт сообщения тепла Г со и Т'сд . Так как в данном случае

Т

сд

Т'

А СО)

то, очевидно,

*4U>TJto.

Этим приемом можно производить сравнение циклов по к.п.д. в более сложных случаях, когда обычный метод не дает решения. Так, вопрос о сравнении по к.п.д. циклов 123 и 141, нанесенных на рис. 5, решается так. С - тт * сообщения тепла обоих циклов, очевидно, одинакова. Согласно (5), одинакова также с-тт процессов 31 и 41 (Су = Const). Следовательно, к.п.д. сравнительных циклов одинаковы.

Введение перегрева повышае? к.п.д. парового цикла, так как при неизменной с-тт

отъема тепла от рабочего тела, мы, на основании (8), имеем более высокую с-тт сообщения тепла пару.

Введение промежуточного перегрева пара может рассматриваться, как сообщение рабочему телу добавочного количества тепла при с-тт Тс ,

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

отличной от с-тт основного процесса нагрева, при одной и той же с-тт отъема тепла от рабочего тела.

Условием повышения к.п.д. при промежуточном перегреве, согласно (8), будет наличие неравенства

Т-

1 +Ш>1+Ш

откуда

Т"с>Т,с

Следовательно, промежуточный перегрев пара повышает к.п.д, цикла в том случае, если с-тт промежуточного перегрева выше с-тт сообщения тепла основного цикла.

Но, с другой стороны, повышение к.п.д., достигаемое введением промежуточного перегрева пара, не всегда обозначает увеличение экономичности установки, т. е. уменьшение расхода топлива. Так, в случае парового промежуточного перегрева, поскольку с-тт греющего пара всегда выше с-тт нагреваемого, увеличение к.п.д. цикла не может дать экономии в топливе.

В некоторых случаях соотношение (12) позволяет сразу написать выражение для тц цикла без промежуточных вычислений. На рис. 6 а и

Р|

Г

3 4

1 т

'J.L

Рис. 6а

Рис, 6Ь

6Ь нанесен цикл идеальной газовой турбины с горением при р = Const. (2—3 и 5—1—процессы в регенераторе).

Отъем тепла от рабочего тела происходит в процесс 1—2 при постоянной температуре Tj. Сообщение тепла идет при р = Const (процесс 3—4). При постоянной теплоемкости с - тт сообщения тепла по (5)

In

Т,

Термический к.п.д. цикла по (12)

Т3 "

(5'>

п

Т:;

Если в цикле имеются необратимые процессы (например, цикл паросиловой установки на рис. 7, где расширение 12 нанесено на диаграмме условно), то, очевидно,

ГсАЭ,, (14)

Ч, = Т"е ДБ2.

К.п.д. этого цикла будет

1

Т/'сД32 ГсД^

(15)

(16)

Это выражение удобно применять в ходе некоторых доказательств. Для вычислений ему можно придать иной вид.

Необратимость процесса расширения ведет к тому, что изменение энтропии в процессе отъема тепла от рабочего тела Д32 больше ее изменения в процессе сообщения тепла А51в Назовем

¿Б — ДБ* — АЭ! Тогда из (16)

Т'с.88

ц = 1

V,

Но

Т'с Т'сДБ!

Т'с.88 = &1,

(17)

(18)

(19)

где Ц — добавочный, благодаря необратимости в работе машины, отброс тепла в конденсатор. Из (14), (16) и (19) имеем

Т'с Тг

(20)

Рис. 7

Отличие реального цикла от теоретического оценивается относительным к.п.д. цикла кцо. Очевидно,

д>—д'2 — йд д! — д'2

1

8д

д! - д г

(21)

где q'2 — отъем тепла от рабочего тела в теоретическом цикле. Для теоретического цикла

д<—да д1

1

Т",

г,

Из (20), (21) и (22)

Ч = чи» (1

V

(22)

(23)

Если количеств» вещества, участвующее в цикле, меняется (например, отбор пара для нагрева питательной воды), но установка выдает исключительно механическую работу, то выражение для к.п.д. составится следующим образом.

К.п.д. цикла

Пусть в котле сообщается тепло gJ кг рабочего тела в количестве Я! ккал/кг. Полное количество сообщенного рабочему телу тепла будет

— ё\<1г = 41 Т'с А Бь (24)

где Гс и Д8! —с-тт и приращение энтропии рабочего тела на кг при сообщении ему тепла.

Аналогично, отнятое тепло

(25)

(26)

Т'сДБ!

Это выражение можно рассматрибать как общее выражение к.п.д. для чисто силовой установки, из которого легко получить частные формулы (12) и (16). Оно будет использовано в дальнейшем для исследования регенеративного цикла паросиловой установки.

Более общим будет случай, когда количество рабочего вещества в машине меняется не только за счет внутреннего теплообмена установки, но и за счет отбора рабочего вещества для теплофикационных целей. В этом случае к.п.д. цикла

= q2^gкVtc&$2. &С Т"с Д Б*

7] — 1

§1

1

gк Т'с Д Б-

&ТС ДБ

& Т'с ДБх ^Т'с ДБ!

(27)

Здесь g, Тс и ДБ — количество теплофикационного отбора, его с-тт и изменение его энтропии на 1 кг. Соотношение (27) дает, конечно, термический к п.д. силовой части, а не всей установки в целом.

По внешнему виду выражения (27) нельзя установить разницы влияния на к.п.д, отборов для внутреннего и внешнего (теплофикационного) нагрева. Эта разница сказывается в том, что отбор для внутреннего нагрева влияет на величину с-тт сообщения тепла (Тс')» повышая ее. Теплофикационные отборы прямого влияния на Т'с не оказывают.

Регенеративный процесс паросиловой установки

Пусть имеется регенеративный цикл с одной точкой отбора пара (см. рис. 8) в точке 10- Пусть в машину поступает, считая на 1 кг топлива, gl кг пара, а в конденса-тор — gк кг пара. Согласно (28), к.п.д. этого цикла будет

gк Гсдб2

Рис. 8

1

(26)

gl Т'с ДБ!

Величины g^ и gк определяются из теплового баланса подогревателя При смешивающих подогревателях последний записывается так:

~ЫТрДБр,

откуда

=

Т0 ДБ,

ДЧ + ТрДБр

2П

Здесь Aq — количество тепла, идущее на подогрев 1 кг воды в подогревателе. Из (26) и (29) имеем

% = 1 ~ T'cAS» TpASp-. (30)

Ф VcAS, Aq-|-TpASp.

Последняя дробь правой части (30) — правильная. Прибавим в числителе и знаменателе этой дроби одно и то же число

ii — ici.

Тогда абсолютное значение этой дроби увеличится, т. е.

> ! _ T%AS2 ToASp + tii-ioi)_^ (31>

Т7с A SI Aq + Tp ASp+О,— i0l)

Но TPASP +(ii — ioi) равно площади lO'qlpnlO', т. е. представляет собою тепло, затрачиваемое на 1 кг пара в котле в цикле с регенерацией,» или

Тр A Sp -j- (ij — i01) — T'cASî (32)

Аналогично, величина

Aq + Tp ASp+Ox — Joi),

измеряемая площадью mk'Ol'q 1 pm, дает затрату тепла на кг пара в-цикле без регенерации, т. е.

Aq + TpAS + (i1 — io1) = T/RAS'Rt . (33)

где значок R относится к циклу Ренкина. Из (31), (32) и (33) имеем

tv/ * ç

-IjlA^L, (34)

что с учетом (16) дает

ТГ)р > TjR . (35)

Таким образом, отбор пара для подогрева питательной воды дает повышение к.п.д. установки. Но абсолютная величина этого повышения зависит от давления (температуры) отбора. Так, если отбор проводить при котельном давлении, то

TP=T't, ■

ASP= ASH, (а)

A q ~ q — пл. mK'qrm. При этом (30) переходит в

__T"CAS2 VAS,* ■ Т', AS^q + THASji

Но

q + Ta»AS1» = T'RAS/R , (37)

откуда, с учетом (16), получается

т. е. отбор острого пара для подогрева питательной воды бесполезен.

Равным образом не имеет смысла отбор пара для подогрева питательной воды при конденсаторном давлении. В этом случае

Л q — 0. (b)

Из балансового уравнения подогревателя (29) следует, что

ч gK — giî (с)

215

Далее

Т7 = ТЧ (с!)

АБ^Д^ц.

Следовательно, из (26) и (16)

При всех промежуточных давлениях отборов

Наиболее удобное для непосредственного применения выражение для к.п.д. регенеративного цикла с одной точкой отбора можно получить из (30). Учитывая, что (см. рис. 8)

Тр Д Бр = ¡01

Т'с ДБ^Ц

ДЯ + Тр ДБР=101 —

имеем

101 — ¡01 1к — 1к

*01 У

^01 9

(38)

1

и'

(39)

1| — 1 01 Чо

Из этого соотношения еще раз подтверждается, что отбор пара при котельном и конденсаторном давлениях не дает выгоды. В самом деле, в

первом случае

I]

а во втором

*оь

101 — ¡К

и

1011

к >

тих

Ряс. 9

что в обоих случаях дает Чр — Чи •

Переходя к установке с несколькими точками отборов пара, покажем прежде .всего, что добавление второй точки отбора (после первой) ведет к повышению к.п.д. установки. Пусть в установке с двумя точками отбора, процесс которой изображен на рис. 9, работает в первой части, считая на 1 кг топлива, gl кг пара, во второй — g2 и в третьей — g^ кг. К.п.д. этой установки по (26) будет

, ёкГсДБз

чр

gl ГсДБ1

Составим тепловые балансы подогревателей:

= Т'рДБ'р

Здесь

(40)

(41)

(42)

Д к1 02' пшк1,

Дя'~пл. п 02' 0Г гп.

Из (40), с учетом (41) и (42), имеем

ч = 1 - r*AS»_г»А V П д s% {43)

T'cAS, Aq' + rpAS'p Aqff+T"p AS/7P

Обе последние дроби правой части, очевидно, правильные. Если к числителю и знаменателю последней дроби прибавить одно и то же число

ioi — io2> *

то абсолютное значение этой дроби увеличится, т. е.,

Г T"'AS* T'pAS'p VAS%+(io.-io,)__т

Т'с A Sj Aq' 4- T'pAS'p Aq" + T,/pAS',p + (iei-iea) '

Но

T"p AS"p-f(i0t —¡02)~пл. n 02' Ol'O/sn — Aq'+T'pAS'p, (45)

Aq"-hT"pAS"P + (i01 — Ы~пл. гак' 02' 01' 01 sm~

~Aq' + Aq'r-f T'pAS'p=Aq + T'PAS'P . (46)

Таким оброзом,

У, A S, T',AS'p-

T'c A Sj Aq + T'pAS'p

Согласно (30), правая часть последнего соотношения равна величине к.п.д. цикла с 1 точкой отбора. Следовательно, добавление второй точки отбора при с-тт Тр"

Т'р>Т"р>Тк (48)

дает повышение к.п.д. установки. Можно аналогичным приемом показать, что добавление третьего отбора дает дальнейшее увеличение к.п.д.

Однако это увеличение имеет предел, который нетрудно вычислить.

При бесконечно большом числе точек отбора пара к.п.д. по (26) будет

= (26)

gi Т'с A S!

При бесконечно большом числе точек отбора теплообмен в каждом подогревателе происходит при бесконечно малой разности температур, т. е., квазистатически, без приращения энтропии. Если и расширение будет итти квазистатически, то не должна изменяться энтропия всех тел „системы", т. е.,

gK Д S3 = gi A St. (49)

Из (26) и (49) следует, что

г

Ti

]р = 1--;—(при П=00). (50)

Т с

Таким образом, если подвод и отвод тепла идут изотермически, то при бесконечно большом числе точек отбора к.п.д. цикла будет тот же, что и для цикла Карно.

Для вычисления к.п.д. регенератичного цикла при двух точках отбора имеем

т = I _ Т'р А Э'р Т"р А Б-р ГсАБг 3)

'Р Т'с А Б, Дд' + ГрАЗ'р Дч' + ТР"А8"Р '

По рис. 9 Т'р АБ'р =и0. — Гоь

Т"р А Б'р = ¡о2 — Г02,

ГсАБ^!« — Гк , (51)

ГеДБ! — Г«!,

Aq' + T'p AS'p=ioi — A q" -j- T"p A S"p = io2 — i'n •

Следовательно,

= i —iK ~• (52

il — i Ol ioi-i o2 io2-*к

Используя указаннный прием, можно написать общее выражение для к.п д. регенеративного цикла при любом числе точек отбора

__ 1 ¡01 i f)l ^02 i 02 ion i on Îk i к /cov

rip — 1 : : .... - - e - ; • (pôf Il — 1 01 loi — * 02 (n—1) * on Ion —"1k

Выражение (53) можно написать иначе. Так, для цикла 1 01 ОГ I (рис. 9) имеем:

ъ = (54)

ii —1,1

откуда

' (55)

11—loi

Аналогично для цикла 01 02 02' ОГ 01:

= (56)

loi-1 02

и т. д. Из (53), (55), (56) и т. д. получается

1 — ч = (1 — Ч1) (1 — Чз).... (1 — Чп ) ( 1 - 7în+1), (57)

где тп, Yj2.----7in, rjn+i — к.п.д. циклов от первого до(п-{-1)> на которые

разбивается основной цикл изобарами отборов.

Стра-

ница

89

92

95

97

98

101

178

193

203

203

214

221

318

318

323

323

325

326

3 A M Е Ч Е H II Ы M О П Е Ч А

ТКИ

Строка

Напечатано

Должно быть

Рис. 3

7 снизу 19 снизу

19 снизу 15 снизу

17 снизу 4 сверху

12 сверху ; 17 снизу

8 снизу

4 сверху

Подпись к рис. 5

14 снизу 1 сверху 1 сверху На рис. 6 33 сверху

(Рисунок перевернут)

02

Z

2тД

окружающей

s =

I/ -

п п

__Е_

1 + Z2

I = К. V 1-е

заключающихся (28)

¡о2-

Гм

LM

t" 1 а

»1)1

î" 1 а

Потери тепла неполноты горении.

(рис. 3)

атуру

г = 58

П'вод н я"вод

/2 3 f- 25 ~ 293 К,

- *02

ZT

В уравнении (27) ос является гкн^ателем степени

Zmv

окружностей

п

"о

1о

i + Z2

Гм

Lm

t

i = 1м \ 1 — e заключающийся (26)

ï v

log — t a

kl

itf 1 a

Потери тепла от неполноты горения.

(рис. 4)

пературу

г = 587

Q 'вод И Я'вод

S /273 + 25 = 293 К/,