Сравнительный анализ способов аппроксимации транспортного запаздывания в системе управления гидродинамическим вибратором Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.6-52

А. А. КАПЕЛЮХОВСКИЙ

Омский государственный технический университет

сравнительна 1Й анализ способов аппройссимации

транспортного запаздывания

в системЕ управления гидродинамическим Вибратором

Проведена срагнинелигкя оцеика ртзличныхметодов аппроис^ллс^^ис транспори-ного запаздй1гения паян еявнкс гитойчивости системы автоматического управления частотой излучения гидродинамического вибратора. Ориентируясь на величину фазовой погрешности сделан №шод о возможности применение аппроксимации Паде. Результаты работы могут быть использованы при разработке системы у гуавления чнчгксквнятиыю изсупаниа гедроувсамическеу ввЕэнсорюк с целью пкеышенра нефвзотдаие пластов.

Ключевые слова: повышение нефтеотдачи, скважинный генератор, аппроксимация транспортного запаздывания, устойчиость системы управления.

В настоящее время для осуществления низко-чесгеиногоакустикехкыно иоздействия еа евтза-бойную зону пласта с целью очистки или повыше-нин неТ^'^еяхсави кктивно испольеуютхз нкважин-гые хоЛесховыразличнын прие-

ципов действия [1]. Данные устрраенва сеесобны гетиеироватг ек-ьсации нзввянис и скхрости ляи-жения жидкости в области затрубного пространства, что способствует нарушению целостности по -ристой среды пласта.

С целью повышения эффективности оказываемого на пласв воздействия предложено < 2- иинсх-ма aвтoвaтиочcвoЕryпрнлквния сасчкхяй ес лутенин погружного гидродинамического вибдатдра, обе-aпeчизвющaолкоелдoвaнвый с диминаивной часте-той пласта режим работы.

I- сливке с тем.тто печееаче оозмущешой в ги-дравл-легких леи[иех еc)сцecтвогeтcя с нзеим запаздыванием, необходимо проендание оценки всш-иеия и^^^г^/^т^^и^яна ^тойгеа^то {злЁю-уте-темы управления.

Для этого представим стбдрцусарацсхемучииое-мы управленгев вида яоиехдеaттерллкгн ге^д^не-ния двух динамических звброев, одео кч ееачиыи гСзъедасягв в сгее асе и]эзнспортные зоваздешаеия системы (рис, 1).

Тогда передаточную функцию разомкнцгой чи-соямзы еи звееам запазхеханит моисне apтдндтгввд в виде

щр)=^да-илр»-, (1)

где передаточная функция -^вюмкнобо^ слоси—в: без звена запаздывания епределяется вьфвжефча ем [22

ООт(р) = е"

(3)

^(т) тРТт + 1)(Г42т^+2^Г4т + 1)'

Здесь К — объединенный увсфрсициент переуа-чи системы; Т , Т4 — постоянные времени элементов аестемы управлнния; Тл = —— — величина, об-

1-л

ратная скорости распространения волны возмуще-днб; - — р — коэффициент зату-

хания; р — комплексная переменная Лапласа.

Дчо аносчил устсХчиаоати дасаматривавмой си -стеиы недопустимо использованиеам'ебраических критериев устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурийце, посковчкл харакгериатдческоу уреане-ние системы не является алгебраическим полиномом. Наиболеепоущовщлмявнееаб мапользоаа-ние критерияНайквж::та д-р ра^зомкнутой аиетемы с передаточной функцией (1),т.к. и^]вест^о ]Т], что одожитель е~2Тлр не приводит кпоявлениюдополни-тельт^ п^^ию^есв ии^ рулей впер едаточной фикции , алишь вноаит -^оу^ол^ит^^лун^^^ тт^тси^^т-е^и^н^^й фазовый сдвиг, невлияя приэтом наамплитудную характеристику системы.

Поетроитьимплитидно-фазсивые разомкнутой системы с учетом звена транспортного запаздывания и получить рекомендации по обе-спечекию триТугемозон^в^си уатойчнаоати зизнн^1>1 управлпния неаост-воет оаобого труад [2]- (^.р^р^о, длядальнейшегоанализазамкнутой системы с за-паздешпнием, приходится иапользовать eпeциaль-ные приемы и методы, поскольку уревнениепере-даточной функции (1) является трансцендентным и

/зад +

(2)

<СЦа

ИО](о)

а передаточная функция звена запаздывания, соответственно, имеет вид

Рис. 1. Преобразованная структурная схема системыуправления

Таблица 1

Фазовые погрешности звеньев, аппроксимирующие звено чистого запаздывания

ют 0,3 0,7 1,1 1,5 1,9 2,3 2,7

Д(1) -0,0022 -0,0267 -0,0943 -0,2130 -0,3805 -0,5899 -0,8335

Д(2) 0,0011 0,0137 0,0500 -6,1698 0,1940 0,2687 0,3103

Д(3) 5^10-6 310-4 310-3 0,0149 0,0474 0,1191 0,2533

Д(2-) 0,0040 0,0476 0,1260 -6,1292 0,0716 -0,1083 -0,3541

Д(2+) -0,6044 -1,4476 -2,326 -3,1539 2,4116 1,7915 1,2373

Д(3-) 810-5 0,0005 0,0481 -6,0798 0,4870 0,6776 0,6576

Д(4-) — 2^10-5 -0,0001 -0,0008 -0,0206 0,0004 0,3249 1,3741

Д(5-) — 2^10-7 -940-5 -0,0002 -0,0149 -0,0636 -0,1944 -0,5185

Д(П1) — 2^10-3 -0,276 -0,0943 -0,2130 -0,3805 -0,5899 -0,8335

Д(П2) -3^10-6 -2^10-4 -0,0002 -0,0009 -0,0273 -0,0636 -0,1243

Д(П3) -8^10-7 -240-5 -240-4 -840-4 -0,0003 -0,0007

Д(П4) -8^10-13 -2^10-9 -9^10-8 -110-6 -140-5 -640-5 -240-4

может иметь бесконечное множество корней. Подобные мероприятия направлены на использование различных методов аппроксимации экспоненциальной функции, например, интегральными полиномами Лежандра [3], рядам и Макло р ена [4т, 5] и рядами Паде [4, 6]. Проанализируем право мерность применения некоторых методов аппроксимлцип для дцьн-ки устойчивости системы автоматического управления частотой излучения погружного гидродинамического вибрато °а.

Ноибонеу жтстипдым ориомом ягляечгя разложение экспоненты в ряд с конечным чиоиом слагаемых степенной функции. Для этой цели широко используют ряд Макло ре на, согласно которомупо-казательнро фузкциюэкспоненты мржно средата-вить гяк покином отецен и с [3]:

^ , т X2 хв р = > - = 1+-^ - + - -И :::, - Ю < К < (ОО :

(О к! 1! У! 3! 4

(4)

,тр/2 '

И/(1)(р) =

1-

1

;ТР

1 ' - - тр

2

^а)

1 - 1 тр и 1 (тр)2

^т(2)(р)=-^—1—

1 и - тр и - (тр)2 2 8

У[(3)(Д):

1 р 1 тд 4 У-(тд)Р р — (тд)3

р Р ь ( ць

1 4 И ТД 4- И (тд)р 4 — (тд)3

р ь ць

(6б)

(Л р)

Оосникоот в-п]сяc о порядсе степонр полинома для п олуаения удовлетво рительного результата. Едиааог(з мнения ел эттма довози нет. "+о.:о о дебите [Н] ке]+отгянесегют окранилтаванакя дК о 10 чыонапл ряда. Тес,та как к сракои [Г] рекыпснсуюн чораяьгт-лкьте полиномы тишп о прт свеКших случтмь ила в акаддмнадгких а:тс;д|рд(т^ания:т.

/Уес оц<онр^ с^оузавтирочти толк ьли иноп фозмы дьиао+с]^01^ми1^ устпоненциальго° Кяутнрир т>я,оа1М ПГаклсотла прыменытнленя к ряосматимвядмгЯ системе была ацс +тны &тизоатт умплипсдпксЫ) т.^с+вв^сзк характер+стия оа^ом^]эугоМ асттeмыcозтeнoм за-нс!к]п^ыз5с^ния бег (эаз;к(а:]к^-син в ркд а с ]гзп1,ажк1^Ис ем л илноп при самнитные поряисаах ссигепини повис лпмт коуквс^ности нс.ансериой тоькис координа-одии ]и 1, Ю):

Cргпacнo-Л] лс^ивадам пдказательиую функцсю экяпднениык вид,

(оо

Иипaмуеитуонo-фaгрвыб идpa+ыepиеаиы пaгcуу-триваемой системы с збoaздыимнини пои значони-яи иaиимбуpoв

Т. = 2 Си Т= 0]l Ыи т = P,ИУ о, о = р,5, К =0,4. (7)

Л '2 4 ~

иообргжены ня ржи 2. (Пгяионтиии -рроноски] И5[i;зд-

ныт чосиотных фянтциГ бТирсоД б<Р,(со), бТ3)(т) я>т Гоизг] фой частотной функлии звтнь чистого зaпсLУoывиг

ния фт(сФ) трилтдены в бабл. а, приием Д(к) = бт(к)- б';')(т),

р 7

гдск 4 1, 2, 3,при частотах ой — . т = 4 с.

Пт разбсо-- омшлlлрднo-фдзoуо-o ияpaкдосиy стик и ыеличинт ттклонения Д(с видно,что аппрок-c-имс-ти-с птpeдлтоинoп фннкпии зртиa зипаздотгн сия пь-paжeниямo (6^] и (ббо отрисяттси мало: тинl ностяю, и испoльзуолсиe яои.ажения(6в) влечетза собор днпoнниичисноIЫ рт-чиoлиуeльныр

Пр-менкм друоой епотет аппиоятим-щои и раз-уоюты р кспонеиту ар врядМаклорена двумясле-ддощнми cиятoлсни (ы];

1 - ТД +

тдр

тд

33!

(8а)

1т Пчп:

разложивзатем числитель и знаменательв ряд Ма-с^1^0р{^]сб. Оярдничи+нись диумЯ) арлмя а чедырлмд чдвнами получим кьoтвесгтврунo:

Щ.с2'(ш) и;'1' рш) \ и4(10))

II

-2 -1.5 -1.0 -0.5 Ке И'(ш1

Рис.2. Амплитудно-фазовые характеристики системы с запаздыванием в окрестности характерной точки с координатами(—1, /0|приаппроксимацииэкспоненты двумяи тремячленамирядаМаклорена

-тр

а

1т

И

»ко«)

О

в)

1 Ке Ж(ю>)

1т IV (ко)

о

е

1 Ке »"(¿га)

1т »'"(¿га)

1 Ке »"(¿га)

Рис.3. Амплитудно-фазовыехарактеристики системыс запаздыванием при аппроксимации экспоненты выражением (8), учитывая(к +1) — членовряда:а) к = 2,б) к = 3, в) к = 4,г) к = 5

1 + тр +

тр 2!

Ч> 3!

(8б)

Ограничивширь тр емн первыми слагаемыми разложения, полупим передаточную ф^пщию зве-зтпаздывавияв ввде:

М<М) = 1+ Тр+ММЕ1_ + М. + М- ;

- )! 3! 4!

и = 5, мри/и 1 -хр ^р-:!2. _м.+.

)! 3!

1 иц _ м.

■4! 5!

3116)

(12а)

^2->(р ) = 1 - тр + М), (ррр

ит(2+)(р) = 1 р р р

22!

(9а)

(06)

(ио ^мплитудно-0^<азоиызс характеристик рассматриваемой системы с иодобнмр слпрокскмсищ-сгта сверт запазлыатнот ори соатоноох ^-т]тс1]у[«эт]0(0:а (р) ^рзт-рзтса-^:-! на рми. .в. Отс;а_о^ес;[^!^ (]-)<а;^ноо^и) фу) :ызе! оцортоттенз.-зт: -ъ-: фР '(|:£|))'Ч)^::!т)с<п)) о"т фаотвра

частотной фуируии ;рве1-^ (истото

ф )(с) припсеаср^ис^^ в табл. 1, ррис-и = нт (у)- о!--'):)

) Р

и Л()+) = от(у)- фО)+)(у>), при частотах у < —, т = врс;.

т

рая ааеа]ерыскМ(а]с1^и увел,)

роса гисло (^лтеоом1--р; о рыдсе Маютосина. Тоста пе-рС!С:етев^нт1«- 0р^к1(и:и зсора т-а-тс-тт^нсн-нс^я про ссотг соост]е!)оо1-]]и:!р ткачсти-о к примиг гиа:

мни (р^ =а ^+ ..рН + (рГ !+ !ТсО_)] .(;Р1)5]. (26)

т С Л 3! р 5! И 5

Соответствующие амплитудно-фазовые ха-плиоесрны нр ржс. °-(С, в,т {[оот^ет1-ствлтно. Оукл-ненир фасотыо частотното ро'ттноЕсз-.и:^

оТи-Су) от фаслвой чоститиoй Ятон(зпи]о звянл орято-гозапаздыюиия фт(ю) приведенывтабс. 1, причем Лит = 0т(у)- 0Тяде к = 2, 3, 4, 5 при частотах

у < —, з =в С н т

Один из возможных вариантов аппроксимации епспоненциальной функцин — использовение рядов Пее,е [В], в (^^(^^^а^^^1^© ппгс;^1^с^позене^замс^п-ется дробной фуницклй, ео^оожге-1 из пднестепзн-ныр по ли нодюв (чн-лизолт и знт мeнагенe. Вэ том случае передаточные функциизвена запаздывания присоответствующих значениях п примут вид:

■ = зо мм (р) = 1-Хр.1М:^(тр)1

)! 3!

Мм'(Р) = 1 + тр-тМ-^!р!р;

к = 4, М-<М(р) = 1-нр + Хтр)2— М. + М.

)10а) (10б)

п =1,

п = 2,

^(р) = -

тр - 2

(11а) п = 3

V)?3 ) р )==-

тр> + 2

(тр)2 - 6тр + 12 Рт р)2 + 6тр +1 12 '

(трР - 12(тр )2 (тр )3 + 122(-ср )2

(13а) (13б)

0

1

е

Im W(ico)

0,5

-0,5

-1 -1,5

\

-1,0

Re Wfirn)

Рис.4. Амплитудно-фазовые xa рактеристики системы с заптздыванаем приаппроксимациы экспоненты .яром Паде тторон я кретьейстепени

- 60тн - 1К0 + 60-н + 1К0'

(13в)

n _ 4 W (п4)(н) = +р) 4 ~ К 0(-н)3 + 180(-Н)К _н

11 4 - 1р3 (--3 +- КК0(тн )3 +180(та(- н

- 840-ф -п 1680 + 840-н - 1680'

(13г)

Ви/г, амплитудно-фазовыххарактеристик рассматриваемой системы с запаздыванием при значени-яхпараметров (7)изображенына рис. 4.

Отклоныния фазовых частотных функций Ф("п)(со) оТ фазовой частотной функции звена чистого запаздывания ф (ю) приведены в табл. 1, при-

3« X

6« хл-е ф(Д

>)хо " а^0р0г---дебзх

0

ДФ-)6

.0-5 д(3]

хГ^ -

дР-> дР->

6 шт

¿(Пи] 6

д<па]

¿014)

Рис. 5. Зависимость фазовых погрешностей звеньев от ыт приразличных способах аппроксимации звена чистого запаздывания

чем А(п") = фт(ю)-фТ"п )(ю), где п = 2,3, 4 причастотах

2,7 , и < —, т = 4 с.

т

Для наглядности сравнения величин отклонений фазовых частотных функций при использовании различных способов аппроксимации экспоненты изоТразнмыыиведенные в табл. 1 результаты в виде снвысиисстей фазовыхпогрешностей аппроксимирующих звеньевот ют (рис.5). Врезультате анализа кривы1хссаы овится видно, что при малых значенных зс ыЦтазовые частотныефункции аппроксими-рующихзвеньев(13)отличаютсяотфазовой частотной функции звена чистого запаздывания меньше, чем фазовые частотные функции звеньев (6), (9), (10), (11)и(12).

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что использование полиномов для аппроксимации экспоненциальной функции при оценке уствйчавости системы автоматического управления не только существенно повышает степень характеристического уравнения системы (что вызывает дополнительные вычислительные трудности), но и не приводит к получению достоверных резуль-татви. Исключением является применение аппроксимации Паде, причем удовлетворительные результаты для величины фазовой погрешности получены уже при использовании полинома второй степени.

Библиографический список

1. Кузнецов, О. Л. Физические основы вибрационного и акустического воздействия на нефтегазовые пласты / О. Л. Кузнецов, Э. М. Симкин, Дж. Чилингар. — М. : Мир, 2003. — 060 с.

2. Капелюховский, А. А. Система управления частотой излу-чеххя гитроимпульсного генератора / А. А. Капелюховский // ООбспДоваеие о зехнологии для нефтегазового комплекса. — 2014. — № 4. — С. 15-19.

3. Окипте, х. М. Моделирование запаздывания с использованием пбсостоов Лежандра / В. М. Осипов, В. И. Гончаров ; Изв. ТПИ. — 1972. — Т. 255. — С. 157-163.

0. Побсоаев, И. А. Об интерполяции экспоненциальной фусто-и полинхмами в моделях САУ с транспортным запаздыванием / И. А. Полетаев // Труды Псковского политехнического института. — Псков : ППИ, 2011. — № 14/3. — 0. 36Т-360.

5. Ким, Д. П. Теория автоматического управления. В 2 т. Т. 1. Лхнеоные системы / Д. П. Ким. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 311 с.

6. Baker, G. A. Pade Approximants / G. A. Baker, P. GravesMorris. — Cambridge : University Press, 1996. — 746 p.

7. Клиначёв, Н. В. Теория систем автоматического регулирования и управления : учеб.-метод. комплекс / Н. В. Клиначёв. — Offline версия 4.5. — Челябинск, 2013. — 680 файлов [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://model. exponenta.ru/tau_lec.html (дата обращения: 16.04.2014).

КАПЕЛЮХОВСКИИ Андрей Анатольевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

Адрес для переписки: vesto4ka@bk.ru

Статья поступила в редакцию 10.09.2014 г. © А. А. Капелюховский

-6

0

2

4

0

-6

шт

0

2

4

6