CC BY
24
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
2022, № 06 (июнь) Раздел 5.8. Педагогика (13.00.00 Педагогические науки) ART 221046 DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11046 УДК 372.851
Сравнительный анализ содержания математической подготовки абитуриентов России и Китая при поступлении в вуз
Comparative analysis of the content of mathematical training of applicants from Russia and China when entering the university
Автор статьи
I
Author of the article
Квашко Людмила Павловна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Приморского института железнодорожного транспорта - филиала ФГБОУ ВО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» в г. Уссурийске; магистрант ФГАОУ ВО «Дальневосточный федеральный университет», г. Владивосток, Россия ORCID: 0000-0002-4803-7297 lkvashko@mail.ru
Конфликт интересов
Lyudmila P. Kvashko,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Primorsky Institute of Railway Transport, a branch of the Far Eastern State Transport University in Ussuriysk; Graduate Student, Far Eastern Federal University, Vladivostok, Russia ORCID: 0000-0002-4803-7297 lkvashko@mail.ru
Conflict of interest statement
Конфликт интересов не указан
Conflict of interest is not declared
Для
цитирования
For citation
Квашко Л. П. Сравнительный анализ содержания математической подготовки абитуриентов России и Китая при поступлении в вуз // Научно-методический электронный журнал «Концепт». 2022. № 06. С. 91106. URL: http://e-koncept.ru/2022/221046.htm. DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11046
L. P. Kvashko, Comparative analysis of the content of mathematical training of applicants from Russia and China when entering the university // Scientific-methodological electronic journal "Concept". 2022. No. 06. P. 91-106. URL: http://e-koncept.ru/2022/211046.htm. DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11046
Поступила в редакцию Received 17.04.22 Получена положительная рецензия Received a positive review 20.05.22
Принята к публикации Accepted for publication 20.05.22 Опубликована Published 30.06.22
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2022 © Квашко Л. П., 2022
Аннотация
Актуальность исследования связана с выстраиванием взаимовыгодного сотрудничества России и Китая. Такое сотрудничество может проходить по многим направлениям и во многих областях, но нас интересовали проблемы педагогики, затрагивающие вопросы возможного сотрудничества российских и китайских преподавателей в области дидактики и методики обучения математике при подготовке к поступлению в высшие учебные заведения. В представленном исследовании дана описательная сравнительная характеристика математического содержания дисциплины и её структурирования при подготовке абитуриентов к сдаче вступительного экзамена по математике в вузы КНР и России. Предметом исследования было определено содержание учебного материала только трёх тем: теория множеств; функции, их свойства и графики; тригонометрические функции. Ограничение в тематике связано с ограниченными рамками статьи. Эти темы традиционно изучаются в наших школах, а также выносятся на контроль при сдаче вступительного испытания в вузы. Цель исследования - установить сходство и различие между российской и китайской дидактикой математического образования, отражённой в учебнике для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы Китая и российскими учебниками и учебными пособиями. В статье приведён анализ содержания и дидактических особенностей математического контента, необходимого для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы Китая, в сравнении с российскими математическими образовательными традициями. Основным подходом к исследованию явился сравнительный анализ, проводимый по следующим критериям: содержание учебного материала по математике и его дидактические особенности. В результате исследования получен вывод о том, что содержание математического образования и его дидактические особенности во многом сходны и практически совпадают с дидактикой школьной математики в России. Это сходство может обеспечить преемственность при переходе от обучения в школах России к обучению в вузах Китая и наоборот. Установленные различия могут взаимно обогащать не только дидактику, но и методику обучения в обеих странах. Теоретическая значимость исследования состоит в постановке вопроса о возможностях взаимодействия китайских и российских преподавателей вузов в области дидактики и методики обучения математике в учреждениях высшего образования. Дальнейшие исследования могут расшириться и обеспечить реальное сотрудничество двух соседних стран в области математического образования.
Ключевые слова
Abstract
The relevance of the research is related to building mutually beneficial cooperation between Russia and China. Such cooperation can take place in many directions and in many areas, but we were interested in the problems of pedagogy, affecting the issues of possible cooperation between Russian and Chinese teachers in the field of didactics and methods of teaching mathematics in preparation for entering universities. The research provides a descriptive comparative characteristic of the mathematical content of the discipline and its structuring in the preparation of applicants for the entrance exam in mathematics in Chinese and Russian universities. The subject of the research was determined by the content of the educational material of only three topics: set theory; functions, their properties and graphs; trigonometric functions. The limitation in the subject is due to the limited scope of the article. These topics are traditionally studied in our schools, and are also submitted for control when passing the entrance exam to universities. The purpose of the research is to find the similarity and difference between the Russian and Chinese didactics of mathematical education, reflected in the textbook for preparing applicants for entering universities in China and Russian textbooks and teaching aids. The article provides an analysis of the content and didactic aspects of mathematical content necessary to prepare applicants for entering universities in China in comparison with Russian mathematical educational traditions. The main approach to the research was a comparative analysis made according to the following criteria: the content of educational material in mathematics and its didactic aspects. As a result of the study, it may be concluded that the content of mathematical education and its didactic aspects are in many ways similar and practically coincide with the didactics of school mathematics in Russia. This similarity can ensure continuity in the transition from studying in Russian schools to studying in Chinese universities and vice versa. The found differences can mutually enrich not only didactics, but also teaching methods in both countries. The theoretical significance of the study consists in raising the question of the potentials of interaction between Chinese and Russian university teachers in the field of didactics and methods of teaching mathematics in universities. Further research can expand and ensure real cooperation between the two neighboring countries in the field of mathematical education.
Key words
абитуриент, дидактика математики, математическое образование, обучение в вузе
applicant, didactics of mathematics, mathematical education, university education
Благодарности
Acknowledgements
Автор выражает благодарность научному руководителю Наталье Леонидовне Коршуновой за идею о проведении компаративистского исследования в области математики, а также преподавателю дисциплины «Образование в странах АТР» Елене Владимировне Чалой за конструктивные замечания в процессе проведения данного исследования.
The author expresses her gratitude to the scientific adviser Natalia L. Korshunova for the idea of conducting a comparative study in the field of mathematics, as well as to the teacher of the discipline "Education in the Asia-Pacific countries" Elena V. Chalaya for her constructive comments in the process of conducting this study.
Введение / Introduction
Актуальность исследования обусловлена тем, что в системах образования разных стран наблюдается тенденция к взаимообмену студентами. Об этом пишут в своих исследованиях С. Ю. Павлина [1], А. О. Аверьянов, В. А. Гуртов, Д. Н. Семенов,
В. И. Круглов [2]. По их оценкам, Россия в этом процессе находится в пятёрке лучших по количеству иностранных студентов, обучающихся в вузах страны [3]. В таком взаимообмене важна преемственность в обучении, особенно в дисциплинах естественнонаучного цикла. Математика лежит в основе многих направлений подготовки специалистов высшего образования. Она необходима для освоения математических, физических, информационно-технологических, инженерно-технических и даже психологических специальностей.
Обзор литературы / Literature review
Указом Президента РФ от 07.05.2012 № 599 «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки» предусматривалось развитие математического образования в России. С. Л. Еремина и И. Е. Яловега, анализируя результаты проекта «5-100» [4], установили, что задача вхождения университетов нашей страны в международную образовательную среду выполнена, а значит, и выполнено Распоряжение Правительства РФ от 29.10.2012 № 2006-р (ред. от 12.03.2016) «Об утверждении плана мероприятий по развитию и повышению конкурентоспособности ведущих университетов России среди мировых научно-образовательных центров» [5].
Одной из целей Проекта являлось установление взаимодействия с зарубежными странами и обмен опытом в сфере высшего образования. Г. А. Ключарев и А. В. Неверов подвели некоторые итоги реализации Проекта, проанализировали причины неудач и высказали рекомендации по совершенствованию Проекта на его завершающих этапах [6]. Заметим, что вопрос о дидактическом и методическом взаимодействии с зарубежными коллегами в указанной работе не обсуждался.
Аудитор Счётной палаты России Д. А. Зайцев объявил, что проект «5-100» положил начало развитию отечественной системы высшего образования [7], которая продолжит и дальше развиваться. Проведя опрос мнения научно-педагогических работников разных поколений, И. Г. Дежина и Г. З. Ефимова [8] подтвердили, что, несмотря на разброс мнений, научно-педагогическое сообщество нацелено на совершенствование своей работы в рамках национального проекта «Образование».
В Китайской Народной Республике (КНР) существуют подобные проекты. Проект 985 и проект 211 - это проекты, которые ставили своей целью развитие системы высшего образования в Китае и при сотрудничестве с местными правительствами поддерживали и улучшали высшие учебные заведения страны. В рамках этих проектов расширялась связь с зарубежными странами в области обучения студентов в вузах этих стран. По исследованиям С. С. Донецкой и М. Ли, за последние 10 лет наибольшее количество китайских студентов обучается в англоязычных станах [9]. Чтобы привлечь абитуриентов из Китая в Россию и наоборот, необходима их заинтересованность в этом. Одним из аспектов привлекательности должна стать дидактическая и методическая идентичность учебного процесса, отражённого в учебниках и учебных пособиях, а также наличие преемственности обучения в связке школа - вуз.
В Китае, так же как и в России, педагогическое сообщество нацелено на повышение математической подготовки молодёжи и их профессиональное становление [10]. По мнению А. В. Васильева, О. А. Машкиной, О. А. Новиковой, А. В. Орловой и А. И. Суры-гина, проводивших предвузовскую подготовку в Санкт-Петербурге [11, 12], китайские студенты хорошо адаптируются в наших вузах и непрерывно наращивают свою математическую подготовку [13, 14]. Однако есть факты, которые говорят о том, что не всегда иностранные студенты успешно обучаются в российских вузах. Такие факты установила
О. М. Прудникова [15]. Поэтому очень важно выявлять причины как успешного, так и не успешного обучения иностранных студентов в вузах России.
В исследовании, проведённом В. В. Бондаренко, С. В. Полутиным, В. А. Юдиной, М. А. Таниной и О. Н. Лескиной, было установлено, что одним из факторов, притягивающих иностранных студентов в Россию, по мнению самих студентов, является возможность быстрой адаптации к новым условиям обучения [16]. Авторы указывают, что адаптация иностранных студентов происходит через специальные подготовительные курсы и качественную методическую работу преподавателей. Однако К. С. Т. Кинг и К. С. Бейли, проведя опрос иностранных студентов в вузах США, показали, что студентам больше нравится, когда преподаватели с ними много общаются, делятся личной информацией, помогают повысить успеваемость [17].
Ежегодно, начиная с 2000 года, в мире проводится изучение уровня математического образования. В рамках "Program for International Student Assessment (PISA)" устанавливаются рейтинги среди ведущих стран мира. Как правило, первые строчки рейтинга занимают страны Азиатско-Тихоокеанского региона (АТР), в том числе и Китай. Министерство образования Китая финансирует специальную программу "Excellent Engineer Plan", которая поддерживает и стимулирует к дальнейшему развитию лучших представителей китайской молодёжи. По мнению Л. Шу, М. Пэйцзюнь, Л. Донга, это приводит к мотивации студентов и их упорному учебному труду [18]. Причиной такого высокого рейтинга, по мнению Чжан Дяньчжоу, является то, что Китай возвращается к своим национальным традициям [19], а по мнению Ту Жунбао, высокие результаты математического образования в Китае зависят от методики преподавания и качественной профессиональной деятельности преподавателей [20].
Изучая успехи Китая в области математического образования, исследователи Линци Мэн, Мун Йи Лай, Сара Мюррей установили, что для китайских преподавателей наиболее приемлемым является применение эвристических методов обучения [21], которые затрагивают эмоциональную сферу обучаемых, что ведёт к глубокому пониманию математики [22]. Особенности обучения математике в Сингапуре [23], установленное Лим Най Тянь, можно экстраполировать на другие страны этого региона, в том числе и на Китай. Эти особенности, и по мнению Л. Ю. Уразаевой, Н. Н. Да-цун, И. А. Галимова, связаны с ориентацией методики обучения на образовательные потребности учеников [24].
Одним из направлений, которые разрабатываются в системе образования Тайваня, является STEM-образование (STEM - Science, Technology, Engineering and Mathematics), которое, по мнению Шихуань Сюй, Чиа-Чи Сунг, Хорн-Чжун Шин, позволит современному человеку «приобрести способность самостоятельно проводить исследования и решать проблемы» [25]. Одной из базовых дисциплин в приобретении ключевых компетенций авторы называют математику.
Подводя итог проведённому обзору отечественной и зарубежной литературы, можно утверждать, что математическое образование КНР находится на пике своего развития. Это обусловлено как поддержкой правительства Китая, так и научно-педагогическим, преподавательским составом университетов. Настойчивость в овладении знаниями и устремлённость студентов в приобретении навыков в науках, в том числе и в математике, - отличительная черта китайской молодёжи. Изучение опыта китайских коллег для нас, несомненно, было бы весьма полезным.
Методологическая база исследования / Methodological base of the research
Впечатляющие результаты китайского математического образования приводят к пониманию необходимости устанавливать тесное сотрудничество России и Китая в области математического образования и изучения особенностей математического образования в Китае. В рамках изучения этого опыта нами поставлены следующие исследовательские вопросы: 1) насколько дидактическая составляющая математической подготовки абитуриентов высших учебных заведений китайских и российских учебников и учебных пособий совпадает? 2) возможно ли осуществлять успешное сотрудничество с китайскими коллегами в области методики преподавания? Отсюда цель исследования - установить сходство и различие в содержании математической подготовки абитуриентов вузов России и Китая.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: 1) отобрана необходимая литература для проведения сравнения; 2) выбраны разделы (темы), которые изучаются и в Китае, и в России; 3) проведён сравнительный анализ содержания математического образования, представленного в этих разделах; 4) сделаны выводы о возможности эффективного сотрудничества китайских и российских преподавателей для осуществления преемственности обучения.
Основным методом исследования стал сравнительный и контент-анализ содержания математического учебного материала китайского учебника [26] для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы и ряда российских учебников и учебных пособий, предназначенных для изучения математики школьниками и студентами отечественных вузов [27-32]. Структура и содержание образовательного контента стали критериями сравнения.
Теоретическая значимость проведённой работы состоит в том, что данным исследованием обозначена область возможного тесного взаимодействия преподавателей вузов. Этой областью является дидактика и методика обучения российских и китайских студентов по дисциплине «Математика».
Практическая значимость данного исследования заключается в том, что при сравнении китайского и российского математического образовательного контента выяснилось, что в нём больше общего, чем различного. Это говорит о хороших перспективах сотрудничества с китайскими коллегами в области математического образования.
Рассмотрим детально содержание указанных учебников по темам: теория множеств; функции, их свойства и графики; тригонометрические функции. Ограниченные рамками журнальной статьи, мы выделили только три темы. При анализе использовался многолетний опыт автора по обучению математике школьников и студентов вузов.
Сравнительный анализ содержания математического контента
1. Теория множеств и её основные понятия
Это первый раздел курса математики, отражённый в китайском учебнике [33], также является традиционным в российских школах. Ученики встречаются с понятиями теории множеств в пятом классе, а потом, на протяжении следующих трёх лет обучения, до 8-го класса включительно, их знания пополняются и обобщаются. Проследим логику изучения этой темы в указанном китайском учебнике.
Глава начинается с представления числовых множеств: натуральных N, целых Z, дробно-рациональных Q и действительных чисел R. В учебнике используются те же обозначения и показываются те же отношения между числами разных числовых систем, что и у нас. Определения числовых систем расширяются понятием операций
над числами. Раскрываются понятия объединения и пересечения числовых множеств (П и и), используются знаки принадлежности элемента множеству (е и £), даётся представление о пустом множестве 0. Эти понятия сопровождаются примерами, достаточными для того, чтобы вчерашние школьники систематизировали свои знания в этой области. Параграф заканчивается примерами, предназначенными для отработки навыков действий над множествами.
Далее теория множеств представляется через изучение числовых промежутков, открытых и закрытых, уточняются понятия «больше» и «меньше», используются знаки > и <, рассматриваются свойства неравенств [34].
Решение квадратных неравенств гармонично вписывается в логику последовательного изложения учебного материала. Решение квадратных неравенств вида ах2 + Ьх + с > 0, ах2 +Ъх + с < 0, ах2 + Ъх + с > 0, ах2 + Ъх + с < 0 показывается на основании свойств квадратичной функции с использованием её графика. Рассматриваются случаи, когда дискриминант больше нуля, равен нулю и меньше нуля. Разница между китайской и российской математической терминологией в том, что дискриминант, обозначаемый у нас буквой Б, там заменяется знаком (буквой) Д.
Далее приводятся примеры решения неравенств без геометрической интерпретации, что может усложнить самостоятельную подготовку абитуриентов, но даст возможность преподавателю организовать поиск правильного решения в аудитории, используя числовую прямую.
Задания № 2-8 позволяют понять способы решения квадратных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений, способы решения уравнений с модулем, где применяется метод интервалов, приводятся примеры решения систем линейных неравенств. Параллельно с практикой решения уравнений и неравенств предлагается набор свойств неравенств, которые отражаются в приведённых в конце главы примерах.
Порядок изложения учебного материала и подбор примеров закладывает успех усвоения учащимися указанной темы. Однако отсутствие подробных решений и обоснований смысловых шагов решения в учебниках и учебных пособий требует от преподавателей определённых методических усилий по доведению способов решения до учащихся. Возьмём учебное пособие для подготовки абитуриентов и сравним способы решения алгебраических уравнений и неравенств [35]. В нём подробно обоснованы способы решения всех видов уравнений и неравенств, включая применение теоремы Безу, показаны приёмы разложения многочлена на множители «уголком» и метод замены переменной.
Вторая глава китайского учебника раскрывает основы математической логики с демонстрацией примеров и применения кванторов теории множеств с использованием знаков V, 3,3, Л, V. Изложение учебного материала аналогично тому, как это делается в специальных разделах дискретной математики, которая изучается в школах и вузах Белоруссии, автором О. И. Мельниковым [36], а также в вузах РФ автором Н. А. Черняк [37].
2. Функции, их свойства и графики
Одной из основных методических линий изучения математики в российских школах является функциональная линия. Функция изучается на протяжении всего периода обучения с 7-го по 11-й класс. Начинается изучение функций с введения понятия зависимости между величинами и их графического изображения [38], а заканчивается изучением тригонометрических [39], показательных и логарифмических функций [40]. В вузе никакие функции более не изучаются.
Одним из основных вопросов обозначенной темы является вопрос об области определения функции. В китайском учебнике приводятся примеры, которые позволят абитуриентам вспомнить область определения дробно-рациональных функций, иррациональных функций с чётным показателем корня. Уровень трудности отыскания области определения функции соответствует 9-му классу основной российской школы [41] и не охватывает область существования логарифмической функции, область значения показательной функции, область определения функции у = tgx и у = &дх, а также у = агсэтх и у = агссоэх. Эти вопросы отнесены к моменту изучения указанных функций и рассматриваются в главе 4.
Второй параграф главы посвящён краткому изложению свойств и графиков степенной функции вида у = х2 и у = х3, а также степенной функции с отрицательным показателем вида У =~, причём графики показаны только для первых двух функций. В следующих параграфах будет расширен круг изучаемых функций и их графиков.
В российской методической традиции обобщённое изучение степенной функции выпадает на начало 11-го класса, где рассматриваются степенные функции с дробным показателем [42]. В данном китайском учебнике этот учебный материал рассматривается в параграфе 3.5, что вполне оправданно.
Такое свойство функции, как монотонность, рассматривается в учебнике [43] на примере одной функции, чтобы напомнить абитуриенту об определении возрастающей (убывающей) функции: большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Однако в учебнике не строятся графики возрастающей и убывающей функции, что обедняет учебный материал и ведёт к его низкой усвояемости учащимися.
Российские школьники впервые знакомятся со свойством монотонности функции на интуитивном уровне ещё в 9-м классе при изучении свойств квадратичной функции у = ах2. Дальнейшее изучение функций по учебному плану выпадает на начало 10-го класса средней школы, где уже даётся строгое определение монотонности функции так, как это мы видим в китайском учебнике.
Следующее свойство функций, рассмотренное в параграфе 3.3 указанного учебника, - чётность и нечётность функции. Нашим школьникам известно это понятие именно так, как оно излагается в данном параграфе китайского учебника, и поэтому никаких трудностей в понимании этого вопроса у наших абитуриентов, скорее всего, не возникнет. Однако удивляет тот факт, что для иллюстрации чётной функции приводится её график в схематическом виде (рис. 1), а для нечётной - нет.
ГО з-з мгмвшга
Рис. 1. График чётной функции в китайском учебнике
Это наверняка вызовет вопрос и у ученика, а преподавателю необходимо будет рисовать график нечётной функции с указанием особенностей построения симметрии относительно точки. В конце параграфа даны посильные и разнообразные упражнения, что, несомненно, поможет преподавателю организовать практические занятия.
Четвёртый параграф третьей главы посвящён изложению функции, обратной данной, способу её получения, области определения и области значений взаимно обратных функций. Этот вопрос излагается так, как это принято в вузах нашей страны [44]. Это изложение для наших школьников новое, поэтому полезно данное изложение сопроводить графическими иллюстрациями и примерами. Особенно важно показать, что, следуя строгому определению, функция, обратная данной, не всегда является функцией. Замечательной особенностью такого изложения является использование определения функции с отрицательным показателем (рис. 2).
Рис. 2. Введение понятия обратной функции в китайском учебнике
Дальнейшее изложение учебного материала связано с расширением понятия степенной функции в зависимости от знака коэффициента а, стоящего перед степенью. Приводятся схематические графики функций, где указаны и взаимно обратные функции. Для а > 0 показан рис. 3, а для а < 0 - рис. 4.
газ I ¡шйюжйшюга*
Рис. 3. Графики взаимно обратных функций с положительным показателем
га3-5 лтйювитмгал
Рис. 4. Графики взаимно обратных степенных функций с отрицательным показателем
Далее приводятся упражнения на умение сравнивать значения степени с рациональным показателем, что является весьма трудным для школьников. Но при этом надо заметить, что предложенный уровень не выходит за рамки школьной программы в России.
Логичным и оправданным является дальнейшее изложение, связанное со свойствами степени с рациональным показателем, и дальнейшее изучение свойств и графиков показательной и логарифмической функции. При этом можно утверждать, что рисунки графиков показательной и логарифмической функции в китайском учебнике и российском школьном учебнике [45] похожи друг на друга, что говорит о схожести методических подходов к данному вопросу (см. рис. 5 и 6).
газ-в у-г- »(у)' мм* газ-7 -««титлой*
Рис. 5. Графики показательной функции в китайском учебнике
Рис. 6. Графики показательной функции в российском учебнике
Изложение понятия логарифма и связанной с ним логарифмической функции аналогично школьным учебникам в России. Наряду с этим есть и отличия. Логарифмические равенства, указанные на с. 49 анализируемого китайского учебника, весьма полезны будут даже для выпускника школы, потому что при выполнении задания № 15 ЕГЭ могут потребоваться эти формулы (рис. 7).
2. lofc-ü'-^log^ (a.
Рис. 7. Свойства логарифма в китайском учебнике
Задания, которые приводятся после изучения указанной темы, пригодны не только для тематического, но и для итогового контроля. Некоторые из них предлагаются в тестовой форме.
3. Тригонометрические функции
Этот раздел математики впервые для российских учащихся появляется в курсе геометрии 8-го класса [46] и продолжается изучение в 10-м классе [47]. В китайском учебнике изложение начинается с введения понятия положительного и отрицательного угла (угла, отложенного по часовой или против часовой стрелки). Разбирается способ перевода градусной меры угла в радианную и наоборот, даются определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса острого угла.
Методика обучения российских школьников предполагает эти определения связывать с прямоугольным треугольником, поэтому в данном изложении не хватает наглядного образа для наших школьников. Таблица основных значений тригонометрических функций вполне привычна и востребована в период обучения российскими школьниками. Не привычны обозначения тригонометрических функций. Если синус (sina) и косинус (cos а) угла а обозначается так же, как и у нас, то тангенс (tg а) и котангенс (ctg а) иначе - tan а и cot а. Из опыта обучения российских школьников по указанному китайскому учебнику можно констатировать, что это не затрудняет наших школьников и они быстро привыкают к новым обозначениям.
В анализируемом китайском учебнике, так же как и в российских учебниках, рассматривается вопрос о знаках тригонометрических функций по четвертям в прямоугольной системе координат и связанной с ней единичной окружностью. Если схематический образ наши учителя представляют в виде единичной окружности, где указаны знаки тригонометрических функций (рис. 8), то в китайском учебнике эти знаки представлены в виде таблицы (рис. 9).
sin cosec cossec tg ctg
m>®
Рис. 8. Знаки тригонометрических функций, представлены в российской методической традиции
* sino СО*> lana rote
+ + + +
fllnftH! + - - -
SíHftR! - - + +
¡ЯРЧ«Ш - + - -
Рис. 9. Знаки тригонометрических функций, представлены в китайской методической традиции
Тригонометрические формулы, отражённые в китайском учебнике, включают в себя основное тригонометрическое тождество, формулу для тангенса острого угла и произведения тангенса и котангенса одного и того же угла (рис. 10).
мп*а+соя'а=-]
cos"
tarto • coto= 1
<апга=М^д = 1-со^а= 1--j i
; 2 2 a TOS ft —--:—
cos 'a cos'o cos а ° | +|апгв
Рис. 10. Формулы тригонометрии в китайском учебнике
На основе указанных формул предлагается решать задачи, которые умеют решать и наши дети: если известна одна тригонометрическая функция, то надо найти все другие на заданном интервале или без его указания.
Авторы учебника не обошли стороной формулы приведения, представленные в параграфе 4.3. Изложение данного учебного материала и упражнения к нему представлены в тех же методических традициях, что и в России.
Графики тригонометрических функций предъявляются в готовом виде с описанием их основных свойств: области определения, области значений функции, периодичности, чётности-нечётности, промежутков знакопостоянства и монотонности. Изложение аналогично российским методическим традициям.
В параграфах 4.6-4.7 рассматривается вопрос построения графиков функций вида у = Asin(MX + <р) с подробным описанием пошаговой процедуры построения на конкретных примерах. Конечно, такие сложные задания необходимо сопровождать рисунками, которые, по всей видимости, должны осуществляться в аудитории во время занятий.
Следующие параграфы, 4.8 и 4.9, обозначены знаком (*) и рассматриваются нами как не обязательные для изучения всеми абитуриентами. Эти параграфы посвящены обратным тригонометрическим функциям с освещением следующих вопросов: определение arc-функций, их свойств, графиков и применения. В России в программе 10-го класса arc-функции являются материалом, обязательным для изучения всеми учениками. Это связано с тем, что дальнейшее изучение тригонометрии переходит к изучению тригонометрических уравнений и неравенств, где обязательными являются знания arc-функций и их свойств.
Результаты исследования / Research results
Подведём итоги выполненного сравнительного анализа методом контент-анализа, где укажем количество сравниваемых элементов (показателей) и степень их сходства и различия (индикаторы), отражённых в анализируемом китайском учебнике и российских школьных учебниках.
Показатели и индикаторы сравнения содержания математического образования
в Китае и России
№ п/п Название показателя Индикаторы сходства (+) и различия (-)
1. Теория множеств и её основные понятия
1 Символьные обозначения числовых множеств +
2 Кванторы теории множеств +
3 Методика изучения решения квадратных неравенств с помощью графика квадратичной функции +
4 Обозначение дискриминанта -
5 Применение числовой прямой в решении линейных неравенств -
6 Применение метода интервалов при решении систем линейных неравенств, уравнений с модулем +
7 Методика решения дробно-рациональных, иррациональных уравнений +
8 Порядок и структура изложения учебного материала +
9 Использование специальных методов в решении уравнений и неравенств -
10 Символы математической логики +
11 Логика изложения учебного материала +
2. Функции, их свойства и графики
12 Виды изучаемых функций: линейная, степенная, квадратичная, тригонометрическая, показательная и логарифмическая +
13 Иллюстрация графиков изучаемых функций +
14 Область определения функций +
15 Изучение свойства функций: чётность-нечётность, монотонность +
16 Полнота иллюстраций графиков функций -
17 Определение обратной функции +
18 Область определения и область значений взаимно обратных функций +
19 Графическое представление взаимно обратных функций +
20 Методика изучения показательных и логарифмических функций +
21 Иллюстрация графиков показательных и логарифмических функций +
22 Свойства логарифмов -
3. Тригонометрические функции
23 Введение тригонометрической окружности (круга) +
24 Откладывание положительного и отрицательного угла +
25 Перевод градусной меры угла в радианную и обратно +
26 Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла с использованием единичной окружности +
27 Определение секанса и косеканса острого угла -
28 Таблица основных значений тригонометрических функций +
29 Обозначения синуса, косинуса угла а +
30 Обозначения тангенса и котангенса угла а -
31 Изучение знаков тригонометрических функций +
32 Представление знаков тригонометрических функций в единичной окружности -
32 Основное тригонометрическое тождество и следствия из него +
33 Методика изучения формул приведения +
34 Графики тригонометрических функций +
35 Свойства тригонометрических функций +
36 Обязательное изучение агс-функций и их свойств -
Таблица составлена автором.
Таким образом, из 36 показателей, которые были выделены для сравнения, девять не совпадают, а 27 аналогичны китайской дидактике и методике обучения математике. Из условных 100% показателей сходство наблюдается у 75%. Это говорит о существенной схожести дидактики и методики обучения математике в КНР и РФ.
Заключение / Conclusion
В работе был проведён сравнительный анализ фактического содержания учебника по математике, предназначенного для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы КНР. Были проанализированы четыре главы, которые включают вопросы теории множеств, функций и их графиков и тригонометрии. Это было сделано с целью получения фактического материала, по которому можно судить о сходствах и различиях математического содержания двух соседних стран - Китая и России. Такая картина нужна для того, чтобы установить степень возможности и реализуемости проектов по обмену студентами, преподавателями, учебниками и учебными пособиями, которые требуются в реализации проектов обеих стран по развитию высшего образования.
Анализ учебников России и Китая показывает, что содержание учебного материала, методические особенности его изложения, уровень сложности заданий, терминология во многом идентичны. В анализируемом материале было найдено несколько различий, которые существенно не влияют на успешную подготовку российских абитуриентов к поступлению в вузы КНР, равно как и китайских абитуриентов в российские вузы.
Следовательно, в нашем Дальневосточном регионе есть благоприятные методические и дидактические условия в предметной области «Математика» для успешного продолжения обучения в вузах КНР бывших школьников и молодёжи России, а китайской молодёжи - в России. Также содержание математического образования и методика его преподавания не является препятствием для совместной работы преподавателей вузов и их взаимообмена.
Ссылки на источники / References
1. Павлина С. Ю. Образование без границ: Эразмус глазами участников программ студенческого обмена // Высшее образование в России. - 2021. - Т. 30. - № 4. - С. 146-156. DOI: 10.31992/0869-3617-2021-30-4-146-156
2. Аверьянов А. О., Гуртов В. А., Семенов Д. Н., Круглов В. И. Развитие экспорта российского образования: ориентация на потребность национальных рынков труда // Высшее образование в России. - 2021. - Т. 30. - № 4. -С. 9-21. DOI: 10.31992/0869-3617-2021-30-4-9-21
3. Аверьянов А. О., Гуртов В. А., Семенов Д. Н., Круглов В. И. Развитие экспорта российского образования: ориентация на потребность национальных рынков труда.
4. Еремина С. Л., Яловега И. Е. Проект «5-100» и интеграция России в международное образовательное пространство // Вестник Томского государственного университета. Экономика. - 2016. - 1 июня (вып. 2 (34)). -С. 240-254. DOI: 10.17223/19988648/34/21.
5. Распоряжение Правительства РФ от 29.10.2012 № 2006-р (ред. от 12.03.2016) «Об утверждении плана мероприятий по развитию и повышению конкурентоспособности ведущих университетов России среди мировых научно-образовательных центров». Документ предоставлен КонсультантПлюс.
6. Ключарев Г. А., Неверов А. В. Проект «5-100»: некоторые промежуточные итоги // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Социология. - 2018. - Т. 18. - Вып. 1. - С. 100. DOI: 10.22363/2313-2272-2018-18-1-100-116.
7. Зайцев Д. А. Проект 5-100 положительно отразился на российских вузах. Счётная палата России (18 февраля 2021). - URL: https://ach.gov.ru/checks/proekt-5-100-polozhitelno-otrazilsya-na-rossiyskoy-nauke-khotya-i-ne-prines-ozhidaemykh-rezultatov.
8. Дежина И. Г., Ефимова Г. З. Риски Проекта 5-100: оценки научно-педагогических работников различных поколений // Высшее образование в России. - 2022. - Т. 31. - № 3. - С. 28-39. DOI: 10.31992/0869-3617-2022-31-3-28-39.
9. Донецкая С. С., Ли М. Китайские студенты за рубежом: динамика численности и цели выезда // Высшее образование в России. - 2020. - Т. 29. - № 6. - С. 153. DOI: https://doi.org/10.31992/0869-3617-2020-6-153-168.
10. Машкина О. А. Профессиональное образование в КНР: экономические потребности и социальные ожидания // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. - 2016. - № 2. - С. 49-50.
11. Машкина О. А. Профессиональное образование в КНР: экономические потребности и социальные ожидания.
12. Орлова А. В. Сформированность математической компетенции у студентов из Китая на этапе довузовской подготовки в России // Новые образовательные стратегии в современном информационном пространстве. Электронные ресурсы информационной образовательной среды: сб. науч. ст. по материалам международной научной конференции 12-26 марта 2018 года. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. - C. 128-134.
13. Новикова О. А., Орлова А. В., Сурыгин А. И. Анализ уровня математической подготовки иностранных студентов программы предвузовской подготовки // Актуальные вопросы международного образования: сб. науч.-метод. тр. / под ред. И. И. Барановой, В. В. Краснощёкова. - СПб., 2017. - С. 188-195.
14. Васильева А. В. Исследование динамики развития математической компетенции китайских студентов подготовительного факультета в России // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Гуманитарные и общественные науки. - 2019. - Т. 10. - № 3. - С. 124-136. DOI: 10.18721/JHSS.10311.
15. Прудникова О. М. К вопросу о преподавании математики иностранным гражданам на подготовительном отделении технического вуза // Аллея науки. - 2018. - № 4(20). - С. 890-894. - URL: http// alley-science.ru/do-mains data/files/047April18.pdf.
16. Привлекательность российских вузов среди иностранных студентов в условиях глобальной конкуренции на рынках образовательных услуг / В. В. Бондаренко [и др.] // Интеграция образования. - 2022. - Т. 26. - № 1. -С. 79. DOI: https://doi.org/10.15507/1991-9468.106.026.202201.072-092.
17. Tucker King C. S., Bailey K. S. Intercultural Communication and US Higher Education: How US Students and Faculty Can Improve: International Students' Classroom Experiences // International Journal of Intercultural Relations. -2021. - Vol. 82. - P. 278. DOI: https://doi.org/10.1016Zj.ijintrel.2021.04.007.
18. Shu L., Peijun M., Dong L. The Exploration and Practice of Gradually Industrialization Model in Software Engineering Education - A Factual Instance of the Excellent Engineer Plan of China // CSEE&T 12. IEEE 25th Conference on Software Engineering Education and Training. - P. 23-31.
19. Zhang Dianzhou. Introduction to the theory of Mathematics education. 1st edition. - Higher Education Publishing House of China. - April 2003.
20. Tu Rongbao. Characteristics of Mathematics Education in China. - URL: http://math.unipa.it/~grim/Characteristics of Mathematics Education in China (English version) pdf.
21. Lingqi Meng. A Confucian Approach to Teaching Algorithms in the Pre-Service Teacher's Program in the United States. Proceedings of the 13th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education 2010.
22. Mun Yee Lai, Sara Murray. Teaching with Procedural Variation: A Chinese Way of Promoting Deep Understanding of Mathematics. - URL: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/lai.pdf.
23. Lim Nai Tian. Mathematical education in Singapore. - URL: http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-05-2/Mathematical education in Singapore (Lim Nai Tian).pdf.
24. Уразаева Л. Ю., Дацун Н. Н., Галимов И. А. Особенности математического образования в Китае // Приволжский научный вестник. - 2015. - № 4-2 (44). - С. 59-64.
25. Шихуань Сюй, Чиа-Чи Сунг, Хорн-Чжун Шин. Разработка междисциплинарного STEM-модуля для учителей средней школы: поисковое исследование // Вопросы образования / Educational Studies Moscow. - 2020. -№ 2. - С. 230. DOI: 10.17323/1814-9545-2020-2-230-251.
26. Mathematics // Beijing language and culture university press. - 2012. - 295 p.
27. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: в 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). - М.: Мнемозина, 2010. - 399 с. (и последующие издания).
28. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Буни-мович и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева; Рос. Акад. Наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». -М.: Просвещение, 2009. - 256 с. (и последующие издания).
29. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. (и последующие издания).
30. Шипачёв В. С. Основы высшей математики: учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2013. - 479 с.
31. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - М.: Просвещение, 2009. - 384 с. (и последующие издания).
32. Математика. Избранные главы из школьного курса: учеб. пособие / Н. Г. Поймётов, Т. И. Баженова, Н. Д. Линник. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2014. - 115 с.
33. Mathematics // Beijing language and culture university press.
34. Ibid. - С. 9.
35. Математика. Избранные главы из школьного курса: учеб. пособие / Н. Г. Поймётов, Т. И. Баженова, Н. Д. Линник. - С. 12-24.
36. Мельников О. И. Обучение дискретной математике. - М.: Издательство ЛКИ, 2019. - 222 с.
37. Черняк Н. А. Логика: учеб. пособие. - Омск: Омск. гос. ун-та, 2004. - 84 с.
38. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Буни-мович и др.]. - С. 40-50.
39. Мордкович А. Г. Указ соч. - С. 23-87.
40. Там же. - С. 232-256.
41. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений. - С. 7.
42. Мордкович А. Г. Указ соч. - С. 200.
43. Mathematics // Beijing language and culture university press.
44. Шипачёв В. С. Указ. соч. - С. 159.
45. Мордкович А. Г. Указ. соч.
46. Геометрия. 7-9 классы. - Гл. VII. - § 4.
47. Мордкович А. Г. Указ. соч. - Гл. 2.
1. Pavlina, S. Yu. (2021). "Obrazovanie bez granic: Erazmus glazami uchastnikov programm studencheskogo obmena" [Education without borders: Erasmus through the eyes of participants in student exchange programs], Vysshee obrazovanie v Rossii, t. 30, № 4, pp. 146-156. DOI: 10.31992/0869-3617-2021-30-4-146-156
2. Aver'yanov, A. O., Gurtov, V. A., Semenov, D. N. & Kruglov, V. I. (2021). "Razvitie eksporta rossijskogo obrazovaniya: ori-entaciya na potrebnost' nacional'nyh rynkov truda" [Development of Russian education export: focus on the needs of national labor markets], Vysshee obrazovanie v Rossii, t. 30, № 4, pp. 9-21. DOI: 10.31992/0869-3617-2021-30-4-9-21
3. Ibid.
4. Eremina, S. L. & Yalovega, I. E. (2016). "Proekt "5-100" i integraciya Rossii v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe pro-stranstvo" [The 5-100 Project and Russia's integration into the international educational environment], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Ekonomika, 1 iyunya (vyp. 2 (34)), pp. 240-254. DOI: 10.17223/19988648/34/21.
5. Rasporyazhenie Pravitel'stva RF ot 29.10.2012 № 2006-r (red. ot 12.03.2016) «Ob utverzhdenii plana meropriyatij po razvitiyu i povysheniyu konkurentosposobnosti vedushchih universitetov Rossii sredi mirovyh nauchno-obrazovatel'nyh centrov» [Decree of the Government of the Russian Federation dated 29.10.2012 No. 2006-r (ed. dated 12.03.2016) ""On approval of the plan of measures for the development and improvement of the competitiveness of Russia's leading universities among the world scientific and educational centers"]. Dokument predostavlen Konsul'tantPlyus.
6. Klyucharev, G. A. & Neverov, A. V. (2018). "Proekt "5-100": nekotorye promezhutochnye itogi" [Project "5-100": some intermediate results], Vestnik Rossijskogo uni-versiteta druzhby narodov. Seriya: Sociologiya, t. 18, vyp. 1, p. 100. DOI: 10.22363/2313-2272-2018-18-1-100-116.
7. Zajcev, D. A. Proekt 5-100 polozhitel'no otrazilsya na rossijskih vuzah. Schyotnaya palata Rossii (18 fevralya 2021) [The 5-100 Project has had a positive impact on Russian universities. Accounts Chamber of Russia (February 18, 2021)]. Available at: https://ach.gov.ru/checks/proekt-5-100-polozhitelno-otrazilsya-na-rossiyskoy-nauke-khotya-i-ne-prines-ozhidaemykh-rezultatov.
8. Dezhina, I. G., & Efimova, G. Z. (2022). "Riski Proekta 5-100: ocenki nauchno-pedagogicheskih rabotnikov razlich-nyh pokolenij" [Project 5-100 risks: assessments of scientists and teachers of different generations], Vysshee obrazovanie v Rossii, t. 31, № 3, pp. 28-39. DOI: 10.31992/0869-3617-2022-31-3-28-39.
9. Doneckaya, S. S. & Li, M. (2020). "Kitajskie studenty za rubezhom: dinamika chislennosti i celi vyezda" [Chinese students abroad: the dynamics of the number and the purpose of departure], Vysshee obrazovanie v Rossii, t. 29, № 6, p. 153. DOI: https://doi.org/10.31992/0869-3617-2020-6-153-168.
10. Mashkina, O. A. (2016). "Professional'noe obrazovanie v KNR: ekonomicheskie potrebnosti i social'nye ozhidaniya" [Vocational education in China: economic needs and social expectations], Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 20. Pedagog-icheskoe obrazovanie, № 2, pp. 49-50.
11. Ibid.
12. Orlova, A. V. (2018). "Sformirovannost' matematicheskoj kompetencii u studentov iz Kitaya na etape dovuzovskoj podgotovki v Rossii" [The actual formation of mathematical competence among students from China at the stage of pre-university training in Russia], Novye obrazovatel'nyestrategii vsovremennom informacionnom prostranstve. Elektronnye resursy informacionnoj obrazovatel'noj sredy: sb. nauch. st. po materialam mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii 12-26 marta 2018 goda, Izd-vo RGPU im. A. I. Gercena, St. Petersburg, pp. 128-134.
13. Novikova, O. A., Orlova, A. V. & Surygin, A. I. (2017). "Analiz urovnya matematicheskoj podgotovki inostrannyh studentov programmy predvuzovskoj podgotovki" [Analysis of the mathematical training level among foreign students of the pre-university training program], Aktual'nye voprosy mezhdunarodnogo obrazovaniya: sb. nauch.-metod. tr. / pod red. I. I. Baranovoj, V. V. Krasnoshchyokova, St. Petersburg, pp. 188-195.
14. Vasil'eva, A. V. (2019). "Issledovanie dinamiki razvitiya matematicheskoj kompetencii kitajskih studentov podgo-tovitel'nogo fakul'teta v Rossii" [The study of the dynamics of mathematical competence development among Chinese students of the preparatory faculty in Russia], Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Gumanitarnye i obshchestvennye nauki, t. 10, № 3, pp. 124-136. DOI: 10.18721/JHSS.10311.
15. Prudnikova, O. M. (2018). "K voprosu o prepodavanii matematiki inostrannym grazhdanam na podgotovitel'nom otdelenii tekhnicheskogo vuza" [On the question of teaching mathematics to foreign citizens at the preparatory department of an engineering university], Alleyanauki, № 4(20), pp. 890-894. Avalable at: http//alley-science.ru/domains data/files/047April18.pdf.
16. Bondarenko, V. V. et al. (2022). "Privlekatel'nost' rossijskih vuzov sredi inostrannyh studentov v usloviyah glob-al'noj konkurencii na rynkah obrazovatel'nyh uslug" [Attractiveness of Russian universities among foreign students in the context of global competition in the educational services markets], Integraciya obrazovaniya, t. 26, № 1, p. 79. DOI: https://doi.org/10.15507/1991-9468.106.026.202201.072-092.
17. Tucker King, C. S. & Bailey, K. S. (2021). "Intercultural Communication and US Higher Education: How US Students and Faculty Can Improve: International Students' Classroom Experiences", International Journal of Intercultural Relations, vol. 82, p. 278. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijintrel.2021.04.007 (n English).
18. Shu, L., Peijun, M. & Dong, L. "The Exploration and Practice of Gradually Industrialization Model in Software Engineering Education - A Factual Instance of the Excellent Engineer Plan of China", CSEE&T 12. IEEE 25th Conference on Software Engineering Education and Training, pp. 23-31 (n English).
19. Zhang, Dianzhou. (2003). Introduction to the theory of Mathematics education. 1st edition, Higher Education Publishing House of China, April (n English).
20. Tu, Rongbao. Characteristics of Mathematics Education in China. Available at: http://math.unipa.it/~grim/Charac-teristics of Mathematics Education in China (English version) pdf (n English).
21. Lingqi, Meng. (2010). A Confucian Approach to Teaching Algorithms in the Pre-Service Teacher's Program in the United States. Proceedings of the 13th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education (n English).
22. Mun, Yee Lai & Sara, Murray. Teaching with Procedural Variation: A Chinese Way of Promoting Deep Understanding of Mathematics. Available at: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/lai.pdf (n English).
23. Lim Nai Tian. Mathematical education in Singapore. Available at: http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-05-2/Mathematical education in Singapore (Lim Nai Tian).pdf (n English).
24. Urazaeva, L. Yu., Dacuni, N. N. & Galimovi, I. A. (2015). "Osobennosti matematicheskogo obrazovaniya v Kitae" [Characteristics of mathematical education in China], Privolzhskij nauchnyj vestnik, № 4-2 (44), pp. 59-64.
25. Shihuan' Syuj, Chia-Chi Sung, Horn-Chzhun Shin (2020). "Razrabotka mezhdisciplinarnogo STEM-modulya dlya uchitelej srednej shkoly: poiskovoe issledovanie" [Developing an Interdisciplinary STEM Module for Secondary School Teachers: An Exploratory Study], Voprosy obrazovaniya / Educational Studies Moscow, № 2, p. 230. DOI: 10.17323/1814-9545-2020-2-230-251.
26. (2012). Mathematics, Beijing language and culture university press, 295 p. (n English).
27. Mordkovich, A. G. (2010). Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10-11 klassy [Algebra and the beginning of mathematical analysis. Grades 10-11]: v 2 ch. Ch. 1. Uchebnik dlya uchashchihsya obshcheobrazovatel'nyh uchrezhdenij (bazovyj uroven'), Mnemozina, Moscow, 399 p. (i posleduyushchie izdaniya).
28. Dorofeev, G. V. (ed.) (2009). Algebra. 7klass: ucheb. dlya obshcheobrazovatel'nyh uchrezhdenij [Algebra. Grade 7: textbook for general education institutions], Prosveshchenie, Moscow, 256 p. (i posleduyushchie izdaniya).
29. Telyakovsky, S. A. (ed.) (2009). Algebra. 9 klass: ucheb. dlya obshcheobrazovatel'nyh uchrezhdenij [Algebra. Grade 9: textbook for general education institutions], Moscow, 271 p. (i posleduyushchie izdaniya).
30. Shipachyov, V. S. (2013). Osnovy vysshej matematiki [Fundamentals of Higher Mathematics]: ucheb. posobie dlya vuzov, Vyssh. shk., Moscow, 479 p.
31. Atanasyan, L. S. et al. (2009). Geometriya. 7-9 klassy: ucheb. dlya obshcheobrazovat. uchrezhdenij [Geometry. Grades 79: textbook for general education institutions], Prosveshchenie, Moscow, 384 p. (i posleduyushchie izdaniya).
32. Pojmyotov, N. G., Bazhenova, T. I. & Linnik, N. D. (2014). Matematika. Izbrannye glavy iz shkol'nogo kursa [Mathematics. Selected chapters from the school course]: ucheb. posobie, Izd-vo DVGUPS, Habarovsk, 115 p.
33. (2012). Mathematics, Beijing language and culture university press, 295 p.
34. Ibid., p. 9.
35. Pojmyotov, N. G., Bazhenova, T. I. & Linnik, N. D. (2014). Op. cit., pp. 12-24.
36. Mel'nikov, O. I. (2019). Obuchenie diskretnoj matematike [Teaching discrete mathematics], Izdatel'stvo LKI, Moscow, 222 p.
37. Chernyak, N. A. (2004). Logika [Logic]: ucheb. posobie, Omsk. gos. un-ta, Omsk, 84 p.
38. Dorofeev, G. V. (ed.) (2009). Op. cit., pp. 40-50.
39. Mordkovich, A. G. (2010). Op cit., pp. 23-87.
40. Ibid., pp. 232-256.
41. Telyakovsky, S. A. (ed.) (2009). Op. cit., p. 7.
42. Mordkovich, A. G. (2010). Op cit., p. 200.
43. (2012). Mathematics, Beijing language and culture university press.
44. Shipachyov, V. S. (2013). Op. cit., p. 159.
45. Mordkovich, A. G. (2010). Op cit.
46. Atanasyan, L. S. et al. (2009). Op. cit., gl. VII, § 4.
47. Mordkovich, A. G. (2010). Op cit., gl. 2.
