СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ, ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ В ОКРЕСТНОСТИ БАЗОВОГО ДВИЖЕНИЯ, ПО КРИТЕРИЯМ "МИНИМУМ ЭНЕРГИИ" И "МИНИМУМ СИЛЫ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(40)

УДК 519.7

Сравнительный анализ результатов управления динамической системой, линеаризованной в окрестности базового движения, по критериям "минимум энергии" и "минимум силы"

С. В. Лутманов, Т. Ю. Кучкова, В. А. Овчинников

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected]; 8(342) 239-63-09

Решена задача наведения фазового вектора линеаризованной динамической системы на начало координат. В результате формируется программное управление, совмещающее возмущенное движение динамического объекта с его базовым движением. На решение задачи наведения налагаются дополнительные требования оптимальности по критериям "минимум энергии" и "минимум силы". Проводится сравнительный анализ полученных решений по указанным критериям. Результаты исследований проиллюстрированы на конкретных примерах управляемых динамических объектов.

Ключевые слова: базовое движение; возмущенное движение; линеаризованная модель; оптимальное управление; программное управление.

DOI: 10.17072/1993-0550-2018-1-19-26

Введение

В работе [3] была предложена методика исследования управляемой динамической системы, в рамках которой возмущенное движение системы требовалось возвратить на ее базовое движение. Указанное возвращение осуществлялось путем решения задачи наведения фазового вектора линеаризованной системы на начало координат. При этом программное управление, решающее задачу наведения, дополнительно удовлетворяло требованию оптимальности по некоторому критерию. В частности, в статьях [2, 4] при исследовании конкретных динамических объектов в качестве такого критерия был взят "минимум энергии" [1].

В данной работе для тех же динамических объектов, что и в указанных выше стать-

ях, решение задачи оптимального управления производится по критерию "минимум силы" [1]. Дается сравнительный анализ решений задачи управления по указанным критериям.

1. Базовый закон движения и базовое программное управление

Динамика управляемого динамического объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

> II 5= V,)

'/О м

' Т ], р =

V Рп ) V ^ ,

© Лутманов С.В., Кучкова Т.Ю., Овчинников В.А., 2018

где t — текущее время, р — фазовый вектор системы, V — вектор управляющих параметров.

Относительно функций

Р;: [/0, Т] х Рп+Г Я1, г = 1, • • •, п предполагается, что они непрерывны по совокупности своих аргументов и удовлетворяют локальным условиям Липшица по переменной р е Я" . Предполагается также, что уравнения (1.1) могут быть разрешены относительно вектора управления V е Яг, т. е. приведены к виду

На базовый закон движения объекта р = р€(7), t е [^, Т] накладывается ряд формализованных требований, состоящих, в частности, из необходимости удовлетворить начальному и конечному положению, фазовым ограничениям и др. Базовый закон движения объекта подбирается непосредственно.

Базовое программное управление

V = €€(t), t е [^, Т], реализующее базовый

закон движения, определяется путем подстановки последнего в уравнения (1.2).

Таким образом,

^ ) =

л е^Т]

2. Возмущенные законы движения и линеаризованная модель управляемой динамической системы

В случае, когда начальные условия р (^ ) = р0 не удается выдержать точно, кинематический закон движения р = р ро + 8р(), €(■)), t е [т,, Т] динамического объекта, порожденный управлением V = €€(t), t е [^, Т], не будет совпадать с базовым законом.

Определение 1. Кинематический закон

р = р (^ ^ ро Щ),t е [t0 > Т]

будем называть возмущенным движением, а разность

8р () = р (■, , ро + 8ро, €(■)) — р (•)

возмущением движения динамического объекта.

Для совпадения возмущенного и базового законов движения требуется обратить в ноль возмущения. Приближенное описание динамики возмущений дает система линейных дифференциальных уравнений х = А(/)х + В(^и, (2.1)

'О

где, х =

аппроксимация возмущения

V х" J

(и \

8 р, а и =

вектор дополнительных

V иг J

управляющих параметров. Матрицы А (t) и В (^), t е [^, Т] вычисляются по формулам

(дР дРЛ

А (t ) =

дрх

дРп

удРг Ф„у

' дРх дРх л

дух дуг

v(í )

В (t ) =

д^ Vдvl

дЦ

ду.

г J

р(*)=т.

v(í)

3. Задачи оптимального управления

Система (2.1) является линеаризованной системой (1.1) в окрестности пары "базовое движение, базовое программное управление". Ее можно трактовать как дифференциальные уравнения движения линейного управляемого динамического объекта, для которого можно ставить и решать задачу наведения на некоторое целевое множество.

Задача 1. Определить программное

управление и* (7), t е [^, Т], переводящее фазовый вектор линейного объекта из начального положения х (^ ) = 8р0 в начало коорди-

нат.

Задача 1 дополняется требованием оптимальности программного управления, ре-

шающего эту задачу, по критериям минимум энергии" и "минимум силы". Таким образом, приходим к следующим двум задачам теории оптимального управления.

Задача 2 ("минимум энергии"). Определить программное управление иэн (г), г е[г0, Т], решающее задачу 1, и удовлетворяющее при этом условию

Iэн [иэн (■)] :

T

J(иэн (г),иэн (т)) dz

= min

T

J^ и (т), и (z)J dz

Задача 3 ("минимум силы"). Определить программное управление

исил (t), t G [t0, T], решающее задачу 1, удовлетворяющее при этом условию

Iсил [исил (■)] = vrai maxi|исил (т)|| =

L J TG[t0,T] 11

и

= min

vrai max| и (т)

ze[in ,T ]

Следуя монографии [1] и учебному пособию [5] изложим кратко алгоритмы решения задач 2 и 3, соответственно. Пусть

/ 4 X.

X [t,z] =

ixii(t,z) ••• xin(Т

V xn1(t,z) ••• Xnn(t,z)

, t,ze[t0,T]

- фундаментальная матрица Коши для однородного векторного дифференциального уравнения х = А (7) . Полагаем

H [T, t] = X [T, t] B (t) =

\U(t) ■ • ^{tf

h(4t)j Л(й)(0 • ■ m

te[t0,T].

Определение 2. Матрица Н [Т, 7], 7 е [го, Т] называется переходной

матрицей линейного объекта. Символом

л««=(л1(0(0 -

обозначим 7-ю, / = 1,-• •,// строку матрицы перехода.

Оптимальное управление иэн (г), г е[г0, Т ], решающее задачу 2, строится по формуле

п / \ Т

иэн 0 = 1V(*«(•)) ,

i=\

в которой числа V®, • • •, являются решением с истемы линейных алгебраических уравнений

(Н • • • П ~\( 1/ ^ (с ^

"11 м1и у\ Ч

V^nl

ann ) \УП J \Cn У

где

«.=^(A(<)(z))T , (hU)(z))T)dz, i, j = 1,-,n

fr \

= -4TM

xn.

V сп j

Оптимальное управление исил (t), t g [t0, T], решающее задачу 3, строится по формуле

1

ии 0 = ^0 ■

( o)T

где

( h0 (-))T, ( h0 (■))'

( ho o)T=i i: ( h" чо) (■),

i=1

f° = Щh° (■)) • (h° 0) )dz.

to

a числа /,",•••, С - решение задачи математического программирования

¡Zj((h"'(■)) , (*"'(■)) min,

i0 г,] = > \ / n

=i.

S=1

4. Анализ решения задач оптимального управления

Пусть w*(t), t g [t0, T]— решение задачи 1. Эффективность полученного решения проверяется путем вычисления величины

T

T

к = €(т)—р* (т), €(т)—р* (т )),

где р*(-) — решение системы дифференциальных уравнений

Рп = Р„ (', А , ■••■ Рп А (0+(0 , •■■■ Л (0 ■+ < (0) >

с начальными условиями

р(7о) = ро +8ро . При этом, чем меньше величина K, тем более

эффективно построенное управление и*(х), t е [7о,Т].

Иллюстрацией того факта, что управление и (х), t е[70, Т], решающее задачу 1,

может быть оптимально по разным критериям ("минимум энергии", "минимум силы") служит следующая таблица.

Управления и (■) Функционалы I u (^)J

Минимум энергии Iэ■ [»(■)] = 1 Т 2 = (т), и (т)^ dт [7о ] Минимум силы Iсил [u (.)]= vrai max u (г) L re[i0,r ] J

Минимум энергии 6 иэн (7) = ]Г ^)(7) 1=1 Iэн [иэн (■)] Iсил [uэн (•)]

Минимум силы /Л 1 Ь0 (7) ии (х)= 1 . V/ Р' Р' ('). Ь (7» Iэн [исил (■)] Iсил [исил (•)]

В этой таблице каждый диагональный элемент должен быть наименьшим в своем столбце. Кроме того, имеют место равенства

Iсил [исил (■)]^-1, Iэн \исил (■)] = ^1Т — 70 ■ Iсил [исил (■)],

а график функции

u

на промежутке

['с. T]

не выходит за пределы полосы шири-

ной vrai max

гфо.Г ]

uэн (т

Пример 1[1]. Платформа А массы тА движется поступательно без трения вдоль горизонтальной плоскости (см. рис. 1).

На платформе установлен цилиндрический шарнир, который разрешает вращаться

однородному стержню В массы т и длиной 21 в плоскости, параллельной Оху .

На конце стержня имеется точечный

схват массы m

с.

Рис. 1

К платформе приложены управляющая сила

Г к ^

F =

к

V 0 /

и управляющим момент

Гм}

Уравнения Лагранжа, разрешенные относительно старших производных имеют вид

у = Ъ(<р,Ф,Ру№х), Ф = Л(<Р,Ф,РУМХ),

где

(4.1)

M =

0

V 0 /

Обобщенные координаты x, y, р механизма связаны с декартовыми координатами xC, yC, zC "схвата" формулами

xc = x, yc = y + 2l cos р, zc = 2l sin р.

f (Fx ) =

F

m + mB + mc

f2(p,p,Fy,Mx)

3l (mB + 2m) [_Mx + gl (mB + 2m) cos р] sin р

4 (m + mB + mc) (mB + 3mc) - 3 (mB + 2m) cos 2р

+ -

4/2 (mB + 3mc) +1 (mB + 2 mc) cos pp2 J

4 (mA + m + mc) (mB + 3mc) - 3 (mB + 2m) cos 2р

t \ 6MY (

f3(p,p,Fy,Mx)= , 2X\

m + m + mc) - 6 gi (m + m + m) (mE

- 2m) cos р

5m2B + 20mm + 12m^ + 8mA (m + 3mc) + 3 (m + 2m )2 cos 2р

6F i (m+2m) sin р

+

+-

5m^ + 20mm +12m2+8m (m + 3m)+3 (m + 2m) cos 2р 312 (m+2m) sin 2pp2

i2

5m^ + 20mm +12m2+8m (m + 3m)+3 (m + 2m) cos 2р

Я (f ) = a3xf 3 + «2 xf2 + aJ + «0 x , A (0 = a3/ + ayt2 + aiyt + % >

P (f) = V3 + а2рр2 + V + «V

A )= 3a3xt2 + 2a2xf + aix , P5 ) = 3a3 yf 2 + 2ayf + «ly , P6 )= 2 + Ba2рt + ^

Дифференциальные уравнения (4.1) нормализуются заменой

Pi=x,p2=y,p3=(p,p4=x,

Ps =У,Рб= Ф, V1 = V2 = Fy> V3 =М*

и приводятся к виду

Pi = P4, Р2 = P5, PS = P6, Р4 = fM ),

Р 5 = f2 fe P6,^2,^3 ), P6 = f3 fe P6,^2,^3 )

Подбирается базовый закон движения и вычисляется базовое программное управле-

механизма

ние, реализующее базовый закон движения:

2

l

2

l

2

l

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(40)

%(т) = (тА+тв+тс)'^(т), (г) = - (1тв + 2тс) сое (тв + 2тс) вт & (г) & (г) + (тА + тв + тс) Д (г),

% (?) = 4/(/ив +3/ис) (г)-3(/ив +2/ис)зт (?) + glmв сов^, (t) + 2g¡mc сое Д (?).

Строится линеаризованная система дифференциальных уравнений

х = А^х + В^и, ?е[?0,Г].

Гы^

е Л , ы =

: Л

А (' ) =

5 (' ) =

Г0 0 0 1 0 01

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 дРз 0 0 др6

0 V 0 / Фз 0 0 др6

Г 0 0 0 1

0 0 0

0 0 0

0/1 0 0 ,

0 Зу2 д/г.

0 V дУ2 д/ъ_ д'з р= й' ,

р=Я'),

' е['о, Т ].

В примере приняты следующие числовые данные

= 10 кг, тв = 4 кг, тс = 2 кг, I = 1 ж,

£ = 9.8,-

ж

2 ' 1о

^ = 0 сек, Т = 1сек,

сек

хс = .Ус = = 0.5 ж, = = = 1 ж,

сек

= 0.55 ж, ^ = 0.45 ж, г^ = 0.45 ж,

ж

Суог

= у" = 0 = г" =0-

^ Стог Стог

сек

В результате расчетов было получено:

К = 0.00076, К = 0.00078,

эн ? сил ?

Кэн [ыэн (■)] = 4.43934, Г [ысш 0] = 5.09758, П =ыэн (■)] = 7.52627, Iсил [ысш (■)] = 5.09758

установлены равенства

Iсил [ысш1 (■)]= 5.09758 = ,

Iэн [ысил (■)] = 5.09758 = ^Т - '0 ■ Iсил [ысил (■)] и построен совместный график функций I | ысил (■)!, ||иэн (г)|| на промежутке ['0, Т], (см. рис. 2, иллюстрирующий неравенство)

«II, ' е['0,Т ].

и

!(')||

< угш тах

ге['0 ,Т ]

и

\ / N /

V /

V /

N /

--||и™(г)||

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 2

Пример 2 [4]. Абсолютно твердое тело вращается относительно неподвижной точки О (см. рис. 3). С телом связана подвижная система координат Оху2 , оси которой совпадают с главными осями инерции. Тензор инерции тела и вектор мгновенной угловой скорости в этой системе координат имеют вид

Г А 0 01 Г р 1

I = 0 в 0 , ( = ч

V0 0 Су г V У

X =

у=«'

Рис. 3

К телу приложен управляющий момент

f мх Л

М = Му

v М У

Положение тела относительно неподвижной системы координат определяется углами Эйлера р, ¡р,0, а скорость его вращения - проекциями вектора угловой скорости p, q, r на оси подвижной системы координат.

Дифференциальные уравнения движения тела, разрешенные относительно производных имеют вид

p = P(q,r,M0x), q = Q(p,r,M0yl r=R(p,q,M0,\ (4.2)

V = <S>{p,q,<p,e\

в = "Z(p,q,<p),

где

C_в 1

P (q, r, mox ) =—— qr+- mOx ,

A _ C 1 Q(p, r, Moy ) =--— rp + -Moy,

B B

B _ A 1 R(p, q, Мо2) =--— pq +— Moz,

Ф( p, q, p, 0) = _ p sin pctg0 _ q cos pctg0 + r,

,T,. cosp sinp

Y(p, q, p, 0) = q —+ p—^, sin0 sin0

S(p, q, р) = p cosp_ q sinp

Дифференциальные уравнения (4.2) нормализуются заменой

p = p^ q = p2 , r = p3,p= p4,^ = p5 ,

0 = P6, MOx = ^ MOy = , MO: = ^3

и приводятся к виду

А =Р(Р2,РъЛ\ p2=Q(Pl>P3>V2)>

p3=R(p1,p2,v3),

Рл=Ф(Р1'Р2'Рл'Рб)'

P5=x¥(p1,P2,P4,P6),

p6=S(Pl>P2>P4)>

Подбирается базовый закон движения механизма

Д(0 = Á sin#6 Á (0 + Á (0cos Д, (О'

(0 = Л sin #6 (О cos Л (0 " Á (0sin А (') >

#з(0 = Á cos^g + (/).

p4 (t)

a3pt 3 + a2pt 2 + aipt + a0

€ (') = аз/3 + а2г'2 + V + а0¥,

р6 (') = а3в'3 + а2в'2 + а1»' + а0в

и вычисляется базовое программное управление, реализующее базовый закон движения

Строится линеаризованная система дифференциальных уравнений

х = А^)х + В^)и,

СО

Л ( t ) =

f dP dpi ÔQ_ dPi dR dPi dQ dPi

_dY.

dPi ds

VdPi

дР Л дРб ÔQ_ дРб

dR

др6

дФ

дРб

ау

др6

дЕ

дРб )P=$(t\

v)

X =

е R6

и =

fu^

\u3

е R3

B ( t ) =

f дР dp dP ^

dvi dv2 dv3

dQ 3Q_ dQ

dPi dv dv3

dR dR dR

dPi dv2 dv3

dQ dQ dQ

dPi dv2 dv3

ST. dT dT

dPi dv3

as ds ds

^dPi dv dv3 J

t е [t0,T].

V хб у

яя яя яя

v=i(f)

В примере приняты следующие числовые данные:

A = 10 кг • м2 ,5 = 8 кг • м2 , С = 6 кг • м2,

= 0.5/?а<3, % = 0.3/?а<3,6{) = 0.5рад, ф{) = 0.1 ^а<>, ц/{) = 0.3 ^а<>, = 0.2 ^а<>,

сек сек сек

= 0.Ърад,у/1=0.2рад,в1 = 0.1 рад, ф = 0.3^,^ = 0.2^,6, = 0.3^-,

сек сек сек

fëovoz =% АШрад, Povoz = ^0 •0 95Рад. ^0voz =&0 А.03рад, . рад . рад à à рад

сек сек сек

t„ = 0 сек, T = i сек.

В результате расчетов было получено Кэн = 0.00i20399, Ксил = 0.00i26597, Iэн \иэн (•)] = 0.798349, Iэн \исил (•)] = 0.907i3,

Iсил [иэн (•)] = i.29334, Iсил \исил (•)] = 0.907i3 :

установлены равенства

Iсил \исил (•)] = 0.907i3 = , Iэн \исил (•)] = 0.907i3 = ylT -t0 • Iсил \исил (•)]

Заключение

1. В статье решена задача наведения фазового вектора линеаризованной системы на начало координат с дополнительными требо-

и построен совместный график функций ваниями °птимальн°сти ш критериям "мини-

II сил/\|| II эн/ \|| п т-1 / мум энергии" и "минимум силы".

и (•) , и (г) на промежутке [t0,1 ] (см.

рис. 4), иллюстрирующий неравенство

\ысил (t)|| < vrai max||uэн (г)|| , t е [t0,T].

гФ),т ]

Рис. 4

2017. Вып. 49. С. 25-36.

3. Лутманов С.В. Об одной методике исследования управляемой динамической системы лиц // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2017. Вып. 1(36). С.

4. Лут-МаОнов С.В., Овчинников В.А. Оптимальная

коррекция движения твердого тела, вращающегося относительно неподвижной точки // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 2017. Вып. 49. С. 37-50.

5. Лутманов С.В. Вариационное исчисление и

теория оптимального управления в примерах и упражнениях: учеб. пособие / Перм. ун-т. Пермь, 2010. 200 с.

2. Проведен сравнительный анализ полученных решений по указанным критериям.

3. Результаты исследований проиллюстрированы на двух примерах управляемых динамических объектов с тремя степенями свободы.

Список литературы

1. Красовский Н.Н. Теория управления движе-

нием. М.: Наука, 1968. 476 с.

2. Кучкова Т.Ю., Лутманов С.В. Задачи управ-

ления одной динамической системой с тремя степенями свободы // Проблемы механики и управле-»""(■)« ния: межвуз. сб. ||и™(г)|1 науч. тр. Пермь,

^ Comparative analysis of the re-

sults of controlling a dynamic system linearised around the basic motion, based on the "energy minimum" and "power minimum" criteria

S. V. Lutmanov, T. Yu. Kuchkova, V. A. Ovchinnikov

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia [email protected].; 8(342)239-63-09

The paper solves the problem of directing the basic vector of a linearised dynamic system to the reference point. As a result, programmed control is generated aligning turbulent motion of the dynamic object with its basic motion. Some additional optimality requirements on the basis of "minimum energy" and "minimum power"criteria are applied to the directing problem solution. A comparative analysis of the obtained solutions in accordance with the criteria above is done. The study results are illustrated by specific examples of controlled dynamic objects.

Keywords: basic motion; turbulent motion; linearised model; optimal control; programmed control.