ОБ ОДНОЙ МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(36)

МЕХАНИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.7

Об одной методике исследования управляемой динамической системы

С. В. Лутманов

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 mpu@psu.ru; (342) 239-63-09

Приводится методика исследования управляемой динамической системы, включающая в себя линеаризацию модели в окрестности базового движения, проверки полученной линейной модели на полную управляемость и решение задачи оптимального управления по возвращению возмущенного движения на базовое движение. Эта задача рассматривается как в классе программных, так и позиционных управлений, в том числе и в игровой постановке.

Ключевые слова: базовое движение; возмущенное движение; оптимальное управление; дифференциальная игра; программное управление; позиционное управление.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-1-13-20

Введение

Предлагаемая в статье методика исследования управляемой динамической системы содержит следующие пункты:

- вывод дифференциальных уравнений движения управляемой динамической системы в форме уравнений Лагранжа второго рода и их нормализацию;

- подбор базового кинематического закона движения системы, удовлетворяющего заданным формализованным требованиям;

- решение обратной задачи динамики по нахождению программного управления, реализующего базовый закон движения динамической системы;

- построение линеаризованных дифференциальных уравнений управляемого движения в окрестности базового кинематического закона, описывающих динамику возмущений;

- проверку качества полученной линеаризации;

- при отсутствии геометрических ограничений на вектор дополнительных управ-

© Лутманов С. В., 2017

ляющих параметров проверку линеаризованной системы на полную управляемость;

- при отсутствии геометрических ограничений на вектор дополнительных управляющих параметров и доказанной полной управляемости линеаризованной математической модели решение задачи оптимального управления по обнулению возмущений по критериям "минимум энергии" и "минимум силы";

- при наличии геометрических ограничений на вектор дополнительных управляющих параметров решение оптимизационных задач "наведения на начало координат" и "быстродействия";

- применение позиционной схемы правления, использующей информацию о реализации фазового вектора нелинейной математической модели динамической системы, для улучшения качества программного управления;

- при наличии неконтролируемой помехи сведение задачи оптимизации к дифференциальной игре "наведения-уклонения" и построение в ней оптимальной гарантирующей стратегии первого игрока.

1. Математическая модель управляемой динамической системы

Рассматривается управляемая динамическая система с п степенями свободы. Дифференциальные уравнения движения записаны в форме уравнений Лагранжа второго рода и приведены к виду

«11 (t, Я, Ч) К + + «1„ (t, Ч, Ч) Чп = = g^ (t, Я, Ъ , ....................................... . (1.1)

(t, Я, Я) Я + ■■■ + «„„ (t, Я, Я) Чп =

окончания, Я =

4 =

соответственно,

к =

V К у

е Яг —

управляющих параметров.

Относительно функций

а

', 1

а

а

а.

а„

ф 0.

(1.2)

= (t, Я, Я К ).

Здесь t е ^ ] - текущее время, ^ -момент начала процесса, tk — момент его

е R„ — векто-

V Я„ У V Я„ у

ры обобщенных координат и их скоростей

вектор

: ^]хR2„ ^R1,

gi:^]хЯ2„нг,/,] = 1,„

предполагается, что они непрерывно дифференцируемы по совокупности своих аргументов. Известно, например [13], что

Я = У„+^ у„ = у2 „

У„+1 =

= % (I, Уl, ■ У„ , У„н.^-У2„ , К ) , У2„ =

= (*, У1,— У„ , У„+1, — У2„ , К )

Уравнения (1.2) будем называть линейной математической моделью рассматриваемой управляемой динамической системы.

2. Обратная задача динамики

К кинематическому закону движения у = у), ? е[ ¿0,1к] динамической системы

предъявляются некоторые требования, допускающие математическую формализацию. Например, у (^) = Уо, У (^) = ук,у (t) е Y(t), (2.1)

где Y ^), t е[t0, tk ]— заданное открытое множе-

п„

ство в пространстве Я , а у0, ук — заданные векторы из множеств Y (t0) , Y (tk ), соответственно.

Закон движения у = у (t), t е[t0, ^ ],

удовлетворяющий условию (2.1), подбирается непосредственно. В дальнейшем он будет на-зы ваться базовым.

Поставим задачу об определении допустимого (интегрируемого) программного управления системой, которое порождает базовый закон движения.

Для решения этой задачи кинематический закон у=у(t), t е[^, ^] подставляем в уравнения (1.2):

у ) = у„+1 (г),

Тогда уравнения (1.1) могут быть разрешены относительно обобщенных ускорений

Я1 = % (t, Я^-Я„, Я„, wl,-К), Я„ = %„ (t,Я^-Я„, Яl,-Я„, wl,-К)

и стандартной заменой переменных

у1 = Яl,-, уп = Я„, у„+1 = Яl,-, у 2„ = Я„

преобразованы к нормальному виду

у„ (') = у2„ (') ,

уп+1 ^) = % (t, у1 ^) у„ ^) ,

),

у„+1 ^ ) у 2 „ ( 0 , wl,-К

у2„ = %„ (^ у1 (t) у„ ^) ,

у„+1 ^ ) у 2 „ ( 0 , wl,-К )

и, разрешая их относительно вектора к е Яг, находим искомое программное управление

w = W (*), * е [*0, *к ]. Тот факт, что найденное

программное управление является искомым, проверяется непосредственно путем подстановки его в уравнения (1.2) и их интегрирования с

начальными условиями у (*0 ) = у0. Полученное решение должно совпасть с базовым кинематическим законом динамической системы.

В случае, когда начальные условия у (*0 ) = у0 не удается выдержать точно, кинематический закон движения динамической системы у = у ^ У0 + 8Уo, w (•)), * е [^ Ч ], порожденный управлением w=W(*), *е[*0,*к],

не будет совпадать с базовым законом. В связи с этим возникает новая задача управления, состоящая в выборе дополнительного управления и = и (*) е Rr, * е [*0, *к ], возвращающего движение системы на базовый закон движения.

3. Линеаризованная модель управляемой динамической системы

Символом у(•,*0,у, +8у„141 (•))-у(•)

обозначим возмущение кинематического закона движения. Для приближенного описания его динамики служит следующая система линейных дифференциальных уравнений:

х = А (*) х + В (*) и, х е Rr, * е[*0, гк ], (3.1)

А (* ) =

Г 0 0 1 .•• 0 1

0 0 0 ... 1

дф дФ ... дк

ду1 ду„ ду„+1 ду2п

дф п дФп дФп ... дк

1^1 ду„ ду„+1 ду2п у(* )=у(< )• w(í ^ (,)

Г 0 0 1

0 0 Г и> 1

В (* ) = дф ди'1 дwr , и = V иг у

дФп дФп

дК у у(> )=у(>),

В уравнениях (3.1) вектор х является приближением возмущения 8у , а вектор и -вектором дополнительных управляющих параметров, распоряжаясь которыми следует осуществить возвращение возмущенного движения динамической системы на базовое движение. Заметим, что для этого достаточно в

некоторый момент времени Т е [*0, *к ] обратить в ноль вектор х , а далее отключить (обратить в ноль) дополнительные управления.

Уравнения (3.1) будем называть линеаризованной математической моделью динамической системы. Для проверки качества выполненной линеаризации следует проинтегрировать уравнения (3.1) с начальными условиями х (*0 ) = 8у0 при и (*) = 0 и сравнить результат интегрирования с возмущением 8 у (•) по какому-либо критерию близости.

Важным инструментом исследования системы (3.1) является фундаментальная матрица Коши X [* , т ], *, т е [*0, *к ] для однородного уравнения х = А (*) х. Эта матрица размера п х п удовлетворяет условиям

|X [* ,т] = А (*) X [* ,т],

X [*, * ]= Е, /,те[/0, ],

где Е — единичная матрица размера п х п. Построение фундаментальной матрицы Коши можно осуществить, например, по формуле

X [*,т] = X ИХ"1 [т], *,те[*0, *к ], X [•] = (х(1) (•) ^ х(п>(•)),

где х

(1)

(•)

х

(п)

(•)— фундаментальная

система решений однородного уравнения

х = А (*) х.

4. Случай неограниченных дополнительных программных управлений

В этом пункте предполагается, что на дополнительные управления не наложено никаких ограничений. Решению задачи о возвращении движения динамической системы к базовому закону следует предпослать исследование уравнений (3.1) на полную управляемость.

Определение 1. Линейная динамическая система (3.1) называется вполне управляемой на промежутке времени [г0, Т], если

для любых векторов х0, хТ е Я„ существует

такое программное управление и (•) , что для

него выполняется х(Т, t0, х0,и (•)) = хТ.

Приведем критерий полной управляемости системы (3.1) . Полагаем

Ц (t ) = в (t),

L2 (г ) = А (г) ц (г) — ^Ц (г), -,

Ц„ (г) = А(г)Ц—1 (г) — ^Ц„—1 (г)

К (г ) = ( Ц (г), Ц2 (г),-, Ц„ (г)), К (г „ х („ • г).

Теорема 1[3]. Пусть существует момент времени г„ е[г0, Т] такой, что

га^ [К (4)] = „. Тогда система (1) вполне

управляема на промежутке времени [г0, Т ].

В случае, когда условия теоремы 1 выполнены, рассмотрим две задачи теории оптимального управления для линеаризованной модели (3.1) и приведем алгоритмы их решения.

Задача 1. (Управление по "минимуму энергии"). Для начального положения х0 программное

и

определить .0

U (t), t e[t0, T ] такое, что x (T, t0, x0, и и при этом

J ly\t), и\т)) dt

- min

и(-)

1

J (и(т), и(т)) dt

полагается

h(n)[]

- X [T. •]B (•),

« • .. « V ^ (c ^

czn 1n 1 h

V«n1

«nn JVVn J v Cn J

где

av =

J(h[i](t), h[;](t))dt, i, j - 1,

, n,

Г с Л

= - X [T, to ] xo.

V Cn J

Задача 2. (Управление по "минимуму силы"). Для начального положения х0 определить программное управление и0 (г), г е[г0,Т] такое, что х (Т, г0, х0, и0 (•)) = 0 и при этом

max J(и°(t), и (t)) - mmnrn^^(t),u(t)

(t), и° ( t I/ -

где min берется по всем программным управлениям, для которых

x(T,t°,x°,и(•)) - 0.

Оптимальное управление строится по формуле [3]

и 0 (•)-Л .JL

w pö I/ 1J0 i\ u0 ,

где

управление и0 ,

0, x0, "

(•), hh (•) h° (•)-jL/i°h[il(-),

i-1

p0 (h0 ( t ), h0 ( t ))dt.

где min берется по всем программным управлениям, для которых x (T, t0, x0, и (•)) — 0. Оптимальное управление строится по

n

формуле [3]: и0 (•) — ^vi0h[i] (•), в которой

i—1

70 70

а числа l1 , • • •, ln - решение задачи математического программирования

iZ)/(hW( t ), h[j](t ))¡¿dt

t0 i,j—1 n

TcJ. -1.

^ min,

а числа у, ,-,у„ представляют собой решение системы линейных алгебраических уравнений

5. Случай ограниченных дополнительных программных управлений

В этом пункте предполагается, что на дополнительные управления наложены геометрические ограничения в форме включений

0

0

и е Р, где Р ^ Rr — выпуклый компакт. Рассмотрим две задачи теории оптимального управления для линеаризованной модели (3.1) и приведем алгоритмы их решения.

Задача 3. (Наведение на целевое множество). Для начального положения х0 определить программное управление и0 (*), * е[*0,Т] такое, что

max

И=1

х,

, X[T,¡оГ!) +

= о,

1

+|тт(В(т)и, XТр [Т,т] Т е[*0,Ч],

а оптимальное управление определяется из условия

(Т,*0,х0,и0 (•))! = тт||х(Т,*0,х0,и0)1, и(*),вТр(^[П*]/0) = тш{и Вр[П^

* е[*0, Т]. (5.3)

Заметим, что для ограничений на управляющие параметры в форме "эллипсов"

где min берется по всем программным управлениям, для которых

u0 (t)g P, t e[t0,T].

Оптимальное управление определяется из условия [8]:

u0 (t), ВТр (t) X [T, t]l=, = min(u, BTp (t)XTp [T, t]l0), t e[to, T],

+

Jmin(B(r)u, XTp [T,r]l0

хо, X[T,tofl) + .

= max

И=i

i

+Jmin(B(r)u, XTp [T,r]l)dr

. (5.2)

Известно, что решение задачи (5.2) существует и единственно, если

max

И=1

х

., X [T, to ]Tpl)+

1

+Jmin(B(r)u, XTp [T,r]l)dr

> 0.

0

ние u

(t )g P, t e[to, T0 ]

такие, что

х(T0,t0,х0,u0 (•)) = 0.

Оптимальное время перехода определяется [12] как наименьший корень уравнения

P =

V ur у

2 2

U-+—+< i

22 a1 ar

(в частности

(5.1) "кругов" P =

где вектор 10 е Rn — решение задачи математического программирования

*0, X [Т, *0 ]ТР1 Л +

V ur У

и + — + ur2 <R2

) и

"прямоугольников

P =

V ur у

иЛ < a1, —h ul < ar

) задачи (5.1)

и (5.3) допускают аналитическое решение.

6. Проверка качества построенного управления

Качество оптимального управления

и0 (•) , полученного при решении задач 1-4,

проверяется путем построения программного управления

и

(' )=

и

(t), t G [to, T),

Задача 4. (Быстродействие). Для начального положения х0 определить наименьший момент времени Т0 е[*0, *к ] (оптимальное время перехода) и программное управле-

0 t g[T, tk ] и подстановки его в систему (1.2)

У = Уп^

Уп = y2 п

Уп+1 = Ф (t, У1, — Уп , Уп+1,— У2п , w + г/1, — wr + Ur),

У 2п = Фп (t, У1,— Уп, Уп+1, — У 2п , W + й1, — wr + ur).

(4.1)

0

Пусть

у (•) = у (•, ^ у0 + 8Уo, (•) + и 0 (•))

решение системы (4.1) с начальными условиями у (*0) = у0 + 8у0. Это решение должно быть близко к базовому кинематическому закону у = у (*), * е [Т, *к ] и удовлетворять включению

у (*, *0, у0 +8у0, w (•) + и0 (-))е У (*), * е[Т, *к ].

7. Позиционная схема управления

В случае программного управления используется информация только о текущем времени. Качество управления можно повысить, если привлечь информацию о реализации в процессе движения фазового вектора нелинейной математической модели динамической системы, т. е. если осуществлять управление по позиционной схеме. С этой

целью промежуток времени [*0, Т ] разбивается на интервалы точками

*0 = т0 < т1 < Т2 < . < Т,—1 < Т, = Т . На полуинтервале [т0,т1) реализация

оптимального управления и(1)0 (•) отождествляется с программным управлением, полученным в результате решения задачи оптимального управления для линеаризованной

модели (3.1) на промежутке времени [*0, Т ] с

начальными условиями х (*0 ) = 8у0. Далее

управление и(1)0 (•) подставляется в систему (1.2):

у = у уп+1 = Ф (*,у:/"уп,Уn+l,.у2п, У 1 У п+1'

уп = у2 п

,(1)0

, хч- - , (1)0

14'1 + и!' ,■••+ и)'

) ■

Лп = Фп (t, Уl,. уп , уп+1,■■■ у 2п ,

,(1)0

, ХЧ" - , (1)0

14'1 + и;' ,■•• + и)'

)

и(2)0 (•) отождествляется с программным

управлением, полученным в результате решения задачи оптимального управления для линеаризованной модели (3.1) на промежутке

времени [т1, Т] с начальными условиями

х(т1) = у(1) (т1) — у (т1) . Далее управление

и(2)0 (•) подставляется в систему (1.2). Эта система интегрируется на промежутке времени [т1,т2 ] с начальными условиями

у (т1) = у(1) (т1). Процесс продолжается пока промежуток [*0, Т ] не будет пройден до конца.

В результате будет построена функция

у™ (* ) = у(0( *),

* е[т ,тг+1 ], г = 0,1,■••, Я —1, которая является кинематическим законом движения динамической системы в нелинейной модели, отвечающим позиционному способу управления.

8. Игровые задачи управления

В этом пункте предполагается, что в процессе управления динамической системой возникает помеха, мешающая реализовать цель управления. Задача состоит в том, чтобы вывести движение динамической системы на базовый закон в предположении, что реализация помехи происходит самым неблагоприятным для этого образом. Неконтролируемая помеха формализуется наличием собственного вектора управляющих параметров

V =

в правых частях дифференциальных

{ V У

которая интегрируется на промежутке времени [*0,т1 ] с начальными условиями

у (*0) = у0 + 8у0. Символом у(1) (•) обозначим результат интегрирования. На полуинтервале [т1,т2) реализация оптимального управления

уравнений линеаризованной модели (3.1) х = А (*) х + В (*)(и + V),.

х е Rr, * е[*0,*к] (8.1)

Предполагается, что в текущий момент времени * конкретное значение V (*) не известно, а известно лишь выпуклое компактное множество Q ^ К, служащее геометрическими ограничениями на вектор управляющих параметров помехи.

Поставленная задача сводится к построению оптимального гарантирующего по-

зиционного способа управления за первого игрока в дифференциальной игре "наведения-уклонения" следующего вида. Динамика игры описывается дифференциальными уравнениями (8.1), игра происходит на промежутке

времени [¿0, Т], Т < ^, на векторы управляющих параметров наложены ограничения и е Р, V е Q, целевое множество совпадает с началом координат. Требуется реализовать такой позиционный способ управления

и„03 ['], который бы обеспечивал условие

max

v(.)

(г, t0, х0,С [•]), v(•)( =.

х(г,to,Хо,u[•]), v(•)!. (8.2)

= min max

u„ [•] v(.)

В формуле (8.2) операция max берется по всем возможным программным управлениям v Q, для которых v (t)е Q, t e[t0, T].

Искомый позиционный способ управления за первого игрока в предположении, что Q = ЛР, Л > 1, реализуется по схеме, описанной в предыдущем пункте. На полуинтервале

[ T, Ti+1 ) полагается

„(i)0 м - „(i)

(t) = u(i) (Ti-1, xi_1 ) = const, i = 0, • • •, s -1

[4], где

(ß ( Ti ) u0 ( ^, Xi ), ( X [Г, ^ ]fl0 ( Ti, x )) =, = imn( В ( t. ) u ( X [Г, t. fl0 ( t. , x. )), а вектор l0 ( Ti, xi ) определяется из условия ,(X [T,t. ]fl0 (т., x. )) + (1 - Я).

•J mrn( В (т) u, (X [T, t])TPi 0 ( T, x ) ^т =

T.

= niax [( x., ( X [T, t . ]fl) +

T

-(1 - A)J mrn(B (T) u, (X [T, т. fl^T,

Ti

x = ¿im, x (t, T-i, x-i, u (i)0 (•), v(i) (•)).

Заключение

В статье предложена методика исследования управляемой динамической системы, позволяющая реализовать кинематический закон движения системы, удовлетворяющий заданным требованиям. Учитывается ситуа-

ция, когда начальные условия соблюдаются не точно. Для этого случая предусматривается возможность решения ряда задач оптимального управления по возращению движения системы на базовый закон, в том числе и в игровой постановке. Для реализации каждого пункта методики ставится математически формализованная задача и приводится эффективный алгоритм ее решения. Примеры применения данной методики для конкретных динамических систем приведены в работах [1-2], [5-7], [9-11].

Список литературы

1. Елыгин С А., Лутманов С.В. Линеаризован-

ная математическая модель двуствольного строительного артиллерийского орудия // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2015. Вып. 47. С. 32-44.

2. Елыгин С.А., Лутманов С.В. Проверка пол-

ной управляемости линеаризованной модели двуствольного строительного артиллерийского орудия // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2016. Вып. 48. С. 84-92.

3. Красовский Н.Н. Теория управления дви-

жением. М.: Наука, 1968. 476 с.

4. Красовский Н.Н., Субботин А.И., Позици-

онные дифференциальные игры М.: Наука, 1974. 456 с.

5. Куксенок Л.В., Лутманов С.В. Управление

движением плоского двухзвенного манипулятора по критерию "минимум энергии" // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2012. Вып. 44. С. 33-41.

6. Куксенок Л.В., Лутманов С.В. Управление

движением плоского двухзвенного манипулятора по критерию "минимум силы" // Проблемы механики и управления: меж-вуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. унта, 2013. Вып. 45. С. 20-29.

7. Куксенок Л.В., Лутманов С.В. Решение за-

дачи предельного быстродействия управления движением плоского двухзвенного манипулятора // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып. 3(26). С. 28-33.

8. Лутманов С.В. Вариационное исчисление и

теория оптимального управления в примерах и упражнениях: учеб. пособие / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2010. 200 с.

x

9. Лутманов С.В., Куксенок Л.В., Попова Е.С.

Задачи управления двухзвенным манипулятором с вращательными кинематическими парами // Фундаментальные исследования. 2013. № 6. Ч. 4. С. 886-891.

10. Лутманов С.В., Попова Е.С. Игровые задачи управления двухзвенным манипулятором с вращательными парами // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2012. С.59-73.

11. Лутманов С.В., Любимов А.А. Задача оптимального быстродействия по управлению измерительной головкой в двухсте-

пенном кардановом подвесе // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 2011. Вып. 43. С. 24-34.

12. Лутманов С.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное по быстродействию управление поступательным перемещением твердого тела // Вестник Пермского университета, Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 1(1). С. 50-57.

13. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

On one method of studying controlled dynamic systems

S. V. Lutmanov

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia mpu@psu.ru; (342) 239-63-09

The article presents a method of studying controlled dynamic systems, including linearization of the model in the neighborhood of the basic motion, verification of the obtained linear model on complete controllability, and solution of the optimal control task for the return of the perturbed motion to the basic motion. This task is covered both in the class of program control and positional control, including a game situation.

Keywords: basic motion; perturbed motion; optimal control; differential game; program control; positional control.