CC BY
92
МЕТОДОЛОГИЯ И ИНСТРУМЕНТАРИЙ УПРАВЛЕНИЯ
С. Г. СВЕТУНЬКОВ, И. С. АБДУЛЛАЕВ
Сергей Геннадьевич Светуньков — доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики и экономико-математических методов СПбГУЭФ.
В 1982 г. окончил Ташкентский политехнический институт по специальности «Электрические станции».
Автор 150 публикаций.
Сфера научных интересов — конкуренция, предпринимательство, инновации, математические методы в экономике.
Илес Султанович Абдуллаев — кандидат экономических наук, доцент кафедры экономики Ургенчского государственного университета (Узбекистан).
В 1993 г. окончил Ташкентский государственный университет по специальности «Математика». За счет средств гранта научного фонда Узбекистана «Истъедод» проходил стажировку в Германии в Магдебургском университете в 2005 г. Автор 42 статей.
Сфера научных интересов — менеджмент, региональная экономика,
математические методы в экономике. ^ ^ ^
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ В МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ*
Моделирование экономической динамики сегодня является одним из важнейших и наиболее развитых направлений современной экономической науки. В ее распоряжении имеются многочисленные модели, описывающие различные типы возможных или маловероятных траекторий экономического развития. В настоящее время построено огромное множество моделей экономической динамики, в каждой из которых предлагаются те или иные ограничения на исходные переменные, строятся оригинальные агрегированные модели взаимосвязи между исходными переменными и результатами, предлагаются производственные функции разного рода.
Арсенал моделей экономической динамики используется в двух направлениях:
1) для проведения модельных экспериментов на условных примерах, описывающих поведение идеализированных объектов;
2) для моделирования реальной экономической динамики с целью проведения многовариантных исследований возможных направлений экономического развития и принятия соответствующих управленческих решений.
Сразу же следует оговориться, что моделей первого типа построено на порядок больше, чем моделей второго типа, поскольку практическая реализация построенных моделей приводит к получению весьма неточных результатов. Это обусловлено тем, что при попытке построить модели реальной экономической динамики эконо-
ГРНТИ 06.35.51 I
© С. Г. Светуньков, И. С. Абдуллаев, 2010
* Статья выполнена при поддержке РФФИ, грант № 07-06-00151 «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных».
мисты сталкиваются с многочисленными трудностями, которые им сложно преодолеть, и они вынуждены заниматься идеализацией моделей, придавая им свойства, не присущие описываемой реальной экономике.
В этой статье мы рассмотрим проблему формирования моделей реальной экономической динамики, связанную с выбором адекватной модели производственной функции. Мы покажем, что форма этой функции оказывает решающее влияние на моделирование траектории экономического роста и вообще на пригодность модели к практическому применению.
Исторически первой была построена модель экономической динамики Солоу (1956 г.), принципы которой с теми или иными изменениями лежат в основе большинства современных моделей экономической динамики, поэтому и мы возьмем ее за основу.
Логика этой модели такова. ВВП страны или ВРП какого-либо региона можно рассматривать как результат сложного преобразования трудовых и капитальных ресурсов в производственный результат. Этот результат может быть рассчитан с помощью производственной функции. Базовой и весьма часто встречающейся производственной функцией является производственная функция Кобба-Дугласа.
С другой стороны, ВВП является не только результатом производства, но и объектом потребления, сложная структура которого в первом приближении может быть определена в виде суммы двух составляющих — потребление и инвестиции. Впервые эту сторону экономики рассмотрел Дж. М. Кейнс в книге «Общая теория занятости, процента и денег» [2]. Рассматривая экономическую динамику, Кейнс, в частности, предложил разделение экономического дохода (ВВП) на потребление и накопление. Накопление направляется в виде инвестиций в расширение производства, что способствует увеличению экономического дохода.
Если обозначить ВВП текущего года как Yt, потребительский спрос — как С, инвестиции — как /г, то очевидно, по Кейнсу, выполнение равенства:
У = С + /
1 г ^г ^ 1г (1)
Объем потребительского спроса складывается из двух составляющих: минимального объема потребления (С), определяемого гигиеническими нормами потребления, и дополнительной частью, вызванной ростом дохо-
сУ
дов. По предположению Кейнса, эта вторая часть отражается как доля в ВВП прошлого периода: г 1. Тогда потребительский спрос текущего года является линейной функцией от ВВП прошедшего года:
С = С + с У—. (2)
Откуда, подставляя это значение в (1), получаем:
Уг = С + сУ-+ (3)
Здесь с — доля потребления в ВВП. Если предположить, что инвестиции являются величиной постоянной, при практическом применении получим элементарное уравнение авторегрессии первого порядка. Параметром, влияющим на рост ВВП, выступает склонность к потреблению (доля с). В этой модели динамика инвестиций может задаваться различными способами, например с учетом «склонности к накоплению». Поскольку это модель авторегрессии, то, подставляя в нее некоторые начальные условия и задавая различные величины склонности к потреблению, можно получить различные траектории изменения роста ВВП. Однако, очевидно, что ВВП, в свою очередь, определяется размером и направлением инвестиций. Поэтому модель (3) является весьма упрощенной.
Объединив модель Кейнса и функцию Кобба-Дугласа, можно получить замкнутую модель, задавая параметры которой легко получить различные траектории экономического роста. ВВП в модели Солоу определяется с помощью функции Кобба-Дугласа:
У = аК"1}. а
г г г (4)
В дискретном времени (г) распределение ВВП (У) производится на валовые инвестиции (/) и потребление
(С):
Уг = /г + Сг. (5)
Предполагается, что та часть ВВП, которая идет на инвестиции, задается в виде нормы накопления (р):
/г = рУг. (6)
Инвестиции, очевидно, способствуют приросту основных производственных фондов (ОПФ) будущего года (Кг+1) и выражаются через устаревшие фонды (К) с учетом доли выбывших за год основных производственных фондов (м):
К+1 = (1-ц)К+/. (7)
Число занятых в экономике (£г+1)определяется через число занятых в текущем году (Ц) с учетом годового темпа прироста числа занятых (у):
1+1 = (1+у)1, (8)
По экономическому смыслу переменных они все являются положительными.
Получив значение ОПФ и численность занятых в будущем году, вновь можно рассчитать ВВП, инвестиции и т. п. Задавая различные значения констант, получают те или иные траектории развития. Иногда поступают и
наоборот — по имеющимся статистическим данным рассчитывают значения констант и делают выводы о том, какой характер имеет та или иная экономическая динамика. Или, получив статистически достоверные значения коэффициентов модели, применяют ее для различных экономических задач, например многовариантного прогнозирования.
Уравнения (4)-(8) и составляют математическое выражение модели Солоу. Очевидно, что эта модель может использоваться для описания реальной экономики только в том случае, когда каждое из ее уравнений описывает действительно существующую зависимость между переменными. Но если, например, рост численности занятых непредставим в виде авторегрессии первого порядка, то модель будет плохо описывать реальный экономический объект.
Основные усилия ученых, направленные на использование подобной модели в научных исследованиях, связаны в основном с уточнением характера взаимосвязей (5)-(8). Исследования вида производственной функции и ее влияния на результат моделирования экономической динамики практически прекратились повсеместным признанием того, что в этом качестве должна выступать «неоклассическая функция» или ее незначительные модификации. Рассмотрим свойства этой «неоклассической функции» более подробно, поскольку они предопределяют поведение модели экономической динамики в целом и модели Солоу в частности.
Производственная функция Q = F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям:
1) при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно:
F(0, L) = F(K, 0) = 0; (9)
2) с ростом ресурсов выпуск растет, что означает положительность первых производных:
"О > 0, <& > 0
ёК ёЬ • (10)
3) с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется, что означает отрицательность второй производной:
дО < 0, дО < 0
ЭК' дЬ ; (П)
4) при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет, т. е.:
F(К, да) = F(да, Ь) = да . (12)
Всем указанным условиям соответствует степенная производственная функция с положительными показателями степени:
0 = (13)
где А — коэффициент «нейтрального технического прогресса», всегда положительный; а, в — показатели степени, пределы изменения которых легко определяются.
Действительно, вычислим первые производные функции (13) по каждому ресурсу:
ав = д( АК'ь>') = Аак
дк ак , (14) о=д( Акаьр) = аьР_х
дЬ дЬ . (15)
Нетрудно заметить, что эти первые производные в соответствии с требованиями к «неоклассическим производственным функциям» (10) будут положительными только в условиях, когда
а > 0,р > 0. (16)
Широчайшее распространение в моделировании экономической динамики производственных функций «неоклассического типа» объясняется простым экономическим толкованием коэффициентов этой функции. Так, частные производные выпуска по факторам в теории производственных функций называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями ресурсов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста ресурса.
Из (14) следует:
дО АКаЬ о
— = а-= а —
дК К К
аР в = а —
(17)
т. е. в неоклассической производственной функции предельный продукт фондов или предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов) пропорциональна средней фондоотдаче ^/К) с коэффициентом пропорциональности а.
Из (15) следует аналогичный вывод относительно трудовых ресурсов:
= р АКаЬР =
дЬ Ь Ь , (18)
значит, в модели (13) предельный продукт труда или предельная производительность (предельная эффективность) труда пропорциональна средней производительности труда (б/Ь) с коэффициентом пропорциональности в.
Кстати, из (17) легко получить коэффициент эластичности производства по капитальному ресурсу:
дК О , (19)
а из (18) легко вычислить расчетную формулу коэффициента эластичности производства по труду:
£ =р
' дЬб . (20) Так как показатели степени для «неоклассической функции» положительны (16), то и коэффициенты эластичности производства по каждому из ресурсов, моделируемые рассматриваемой функцией, также будут положительны.
Теперь вычислим вторые производные степенной производственной функции (13):
д б _ Л„.Г„. ПГ«-^Р
£К — = а
= Аа(а-1) К а-2 ЬР = Ар(р- 1)К аЬР-2
дК 2 , (21)
дЬ2
. (22)
Модель производственной функции имеет право носить имя «неоклассической», если ее вторые производные отрицательны (11). Так как показатели степени а и в положительны, то отрицательность каждой из вторых производных (21) и (22) достигается только в том случае, когда эти показатели меньше единицы.
Теперь ясно, что степенная производственная функция (13) будет считаться «неоклассической», если для ее показателей степени выполняются условия:
0 < а < 1; 0<Р<1. (23)
Итак: модель степенной производственной функции будет отнесена к «неоклассическому типу» только в том случае, когда показатели степени лежат в пределах от нуля до единицы, в противном случае модель перестает быть «неоклассической» и не рассматривается учеными при моделировании экономической динамики как не имеющая права на существование.
Производственная функция Кобба-Дугласа, показатели степени которой равны:
0 < а < 1; 0<1-а<1 (24)
отвечает всем указанным требованиям «неоклассической производственной функции» и является одной из ее разновидностей.
Из (19) и (20) понятно, что прирост одного из факторов на один процент ведет к приросту результата соответственно на еК % и еЬ %, а из (23) следует, что этот прирост производственного результата никогда не будет больше одного процента! Но ведь на практике довольно часто бывает совсем иначе, например, рост капитального ресурса на один процент приводит к росту производства на два процента. Поэтому становится понятно, что «неоклассическая производственная функция» не является универсальной, а пригодна только для одного из множества вариантов производства. Выясним, какому типу производства соответствует класс этих функций, дадим экономическую интерпретацию тем производственным процессам, которые моделируются как «неоклассическая производственная функция».
Для этого вспомним из экономической теории такое понятие, как «отдача ресурса». Там доказывается следующий закон ее изменения. С ростом привлекаемого ресурса ресурсоотдача сначала возрастает, затем — остается постоянной, а далее — уменьшается. Все это формируется как закон изменения ресурсоотдачи.
Каким случаям производства соответствует тот или иной тип ресурсоотдачи?
1. Ресурсоотдача возрастает, когда производство еще не доведено до уровня номинальных значений. Оборудование задействовано не полностью, поэтому увеличение ресурса на один процент приводит к производству
объема продукта более чем на один процент. При этом производство еще неэффективно, но себестоимость на промежутке увеличивающейся ресурсоотдачи уменьшается с увеличением объема привлекаемых ресурсов и, соответственно, с увеличением объема производства.
2. Ресурсоотдача постоянна. Этот участок зависимости производства от количества привлекаемого ресурса характеризует наиболее эффективное использование данного ресурса. Небольшое увеличение или уменьшение используемого ресурса приводит к прямо пропорциональному увеличению или уменьшению объема производства. Это участок максимальной ресурсоотдачи. При этом себестоимость производства минимальна, поскольку производственные мощности, использующие этот ресурс, загружены полностью.
3. Ресурсоотдача уменьшается. Каждый вновь привлекаемый ресурс уменьшает степень его отдачи, объем производства растет в меньшей степени, чем объемы привлекаемых ресурсов. Себестоимость увеличивается. Это участок работы с перегрузкой производственных мощностей, когда эффективность работы производства ниже, чем при постоянной ресурсоотдаче, а себестоимость растет с ростом объема привлекаемых ресурсов.
Переведем теперь закон изменения ресурсоотдачи на математический язык. Ресурсоотдача г характеризует количество произведенной продукции б при использовании некоторого объема ресурса R и представляет собой их отношение:
г = б
R . (25)
Возрастающая или убывающая ресурсоотдача есть показатель динамический, когда расчетная величина (25) сравнивается с такой же, но при большем объеме привлекаемого ресурса. Поэтому обозначим положительное приращение ресурсов через AR, а приращение объемов производства — через А0. Тогда объем произведенной продукции при увеличивающемся количестве ресурсов R + АЯ будет соответствовать величине б + А0. Ресур-соотдача при этой величине ресурсов легко определяется:
г =б + Аб
' Я + АЯ . (26)
Если теперь от ресурсоотдачи (26) вычесть ресурсоотдачу (25), получим формулу изменения ресурсоотдачи Лг, по знаку которой можно судить о том, возрастает ли ресурсоотдача, остается постоянной или убывает:
б- б = Адя-Аяд_
Я-АЯ Я (Я + АЯ) ■ Я
Тогда при возрастающей ресурсоотдаче Лг > 0; при убывающей ресурсоотдаче Лг < 0; при постоянной ресу-роотдаче Лг = 0.
Поскольку знаменатель положителен, направление изменения ресурсоотдачи определяется знаком числителя. Ресурсоотдача возрастает, когда числитель положителен; ресурсоотдача постоянна, когда числитель равен нулю, ресурсоотдача уменьшается, когда числитель отрицателен. Рассмотрим каждый из этих случаев:
1) ресурсоотдача возрастает — Лг > 0. Тогда числитель (27) положителен:
АбЯ -АЯб > 0. (28)
Отсюда со всей очевидностью следует, что:
АОЯ >АЯ0 = £Я > 1
АЯ б . (29)
Это означает, что для участка, когда производство еще не доведено до номинального уровня и ресурсоотда-ча возрастает, коэффициент эластичности производства по ресурсу больше единицы;
2) ресурсоотдача остается постоянной Лг > 0. Тогда числитель (27) равен нулю:
АбЯ -АЯб = 0. (30)
Отсюда следует, что:
АОЯ = АЯ0 = £Я = 1
АЯб . (31)
То есть для участка, когда производство доведено до номинального уровня и является эффективным, коэффициент эластичности производства по ресурсу равен единице;
3) ресурсоотдача уменьшается (Лг > 0). Тогда числитель (27) меньше нуля:
АбЯ -АЯб < 0. (32)
Для этого случая имеем:
Аг = гА-г = ^—тт:-Щ:= „ . (27)
< 1
Следовательно, если наблюдается перепроизводство, а именно для него характерна убывающая ресурсоот-дача, производство является неэффективным, а коэффициент эластичности производства по ресурсу меньше единицы.
Теперь, зная, какой участок ресурсоотдачи и, соответственно, уровень эффективности производства отражают коэффициенты эластичности по ресурсу, можно по этим коэффициентам осуществлять диагностику экономического процесса. Это поможет нам дать более расширенную интерпретацию свойств «неоклассической производственной функции». Поскольку для этой функции, как это было показано выше, коэффициент эластичности по капиталу еК равен показателю степени а при этом ресурсе (19), а коэффициент эластичности по труду еЬ равен показателю степени в, в который возводится величина трудового ресурса (19), а сами эти коэффициенты положительны, но меньше единицы (23), т. е. 0 < еК < 1; 0 < еЬ < 1, то это соответствует условию (33), т. е. последнему третьему участку закона ресурсоотдачи, когда проявляется «закон убывающей ресурсоотдачи».
Таким образом, «неоклассическая производственная функция» описывает исключительно участок убывающей отдачи [3]. Этот участок, как только что было показано, характеризует такое производство, при котором производственные мощности работают с перегрузкой, привлекаемые ресурсы используются неэффективно, а себестоимость с привлечением ресурсов увеличивается.
Поэтому, когда исследователь заявляет, что он априорно при моделировании экономической динамики будет использовать «неоклассическую производственную функцию», то это означает, что он заведомо объявляет о том, что рассматриваемый им производственный процесс является неэффективным, оборудование работает на износ, объемы производства превышают номинальные, а себестоимость производства выше своего оптимального значения.
Теперь важно найти ответ на другой вопрос, а именно: какому рынку соответствует производство, описываемое «неоклассической производственной функцией», при котором производственные мощности предприятий перегружены, а потребители готовы покупать товары по более высокой цене и в больших объемах, чем это могло бы быть при номинальных объемах производства? Очевидно, что это условие повышенного спроса на производимый продукт, когда объем спроса превышает объем предложения и для его удовлетворения производитель готов идти на увеличение себестоимости, поскольку рынок все равно готов приобрести товар и по такой цене.
Ситуация, когда цену на рынке устанавливают производители товара, отличается большей силой на рынке производителя, чем покупателя, и, в свою очередь, характеризуется большой концентрацией со стороны производителя, т. е. в этом случае можно говорить либо об олигополии, либо о монополии, существующих в условиях жесткого контроля со стороны государства на предмет ценообразования, — для того, чтобы оправдать завышенные цены, производители завышают себестоимость. По этому поводу можно, конечно, рассуждать и далее, предлагая разные интерпретации конкурентного положения на рынке, но в любом случае ясно одно — это рынок несовершенной конкуренции. Условия, когда производство описывается «неоклассической производственной функцией», несовместимы с условиями совершенной, чистой или даже монополистической конкуренцией. Теперь очевидна ошибочность обратного утверждения, но в теории моделирования экономической динамики подобные утверждения встречаются повсеместно, например: «...производственный сектор экономики описывается с помощью неоклассической производственной функции. Все рынки предполагаются совершенно конкурентными» [1, с. 30]. Эти два противоречивых друг другу условия — одновременное присутствие в модели «неоклассической производственной функции» и совершенной конкуренции, которые совмещены в одной модели, — существенно снижают ценность полученных научных результатов, поскольку такая модель не отражает свойств экономических систем и описывает объекты, не имеющие отношения к экономике.
Из всего сказанного выше следует вывод о том, что в прикладном экономическом анализе, который осуществляется с помощью степенной производственной функции, не следует априорно задавать никаких пределов изменения показателей степени. Для моделирования различных производственных ситуаций необходимо оценивать значения этих коэффициентов по имеющимся статистическим данным. Тогда степенная производственная функция (13) будет диагностировать производство, близкое к оптимальному, если показатели степени а и в равны единице (или в случае эконометрических оценок — близки к единице), или неэффективное производство, если показатели степени далеки от единицы. Если какой-то показатель степени больше единицы, то это говорит о том, что соответствующий ресурс находится в стадии возрастающей отдачи.
Поскольку мы предлагаем снять все ограничения на коэффициенты степенной модели, то возникает необходимость интерпретации случая, когда некоторые или все показатели степени могут быть отрицательными — в теории производственных функций этот случай не расматривается. Какому типу производства он будет соответствовать? Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к (29), (31) и (33). Отрицательность показателя степени свидетельствует о том, что эластичность ресурса, который возводится в отрицательную степень, является отрицательной. Это означает, что увеличение данного ресурса только ухудшает производство, поскольку объемы его
уменьшаются. Следовательно, отрицательность какого-либо показателя степени в степенной производственной функции (13) означает, что моделируемый процесс характеризуется крайним проявлением закона убывающей ресурсоотдачи, когда производство является неэффективным и для его улучшения необходимо либо сокращать объем привлекаемого ресурса, либо использовать инновационные процессы, меняющие технологию производства. В экономической практике приходится иметь дело с подобными ситуациями, когда, например, увольнение работников повышает производительность труда и объем производства.
Все это позволяет утверждать, что, построив на реальных статистических данных модель производственной степенной функции (не налагая априорно ограничения на значения коэффициентов), ее можно не только использовать в целях моделирования экономической динамики, но также по вычисленным значениям коэффициентов судить о том, какой уровень ресурсоотдачи характерен для данного производственного процесса.
Построим модели экономической динамики Хорезмской области Республики Узбекистан за 1997-2007 гг. Исходные данные, собранные по данным Госкомстата Узбекистана, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Данные экономического развития Хорезмской области Узбекистана
Год Инвестиции, млн сум Валовой региональный продукт, млн сум Основные фонды, млн сум Численность занятых, тыс. чел.
1997 12 354,00 140,6 609663,0 442,00
1998 17 767,00 145,60 624370,7 449,00
1999 21 670,10 152,20 640747,5 456,00
2000 25 839,50 144,30 671715,9 467,20
2001 52 614,20 148,60 713787,1 468,30
2002 68 966,90 283,50 755740,8 478,30
2003 45 404,70 372,80 799915,6 490,40
2004 123 802,60 483,20 930449,0 506,60
2005 63 263,50 562,00 1010865,4 522,30
2006 113 406,30 930,20 1091063,0 538,00
2007 114 503,20 1 003,70 1230510,0 547,00
Для того чтобы построить модель экономической динамики, эти данные были приведены к безразмерным величинам.
Попытка построить производственную функцию Кобба-Дугласа на этих данных оказалась бессмысленной, поскольку модель, коэффициенты которой были найдены с помощью метода наименьших квадратов (МНК), имеет вид:
о, = 0,9471К4'0021ЬГ3'0021, (34)
а показатели степени функции Кобба-Дугласа, как известно, лежат в пределах от нуля до единицы (24). Поэтому данная производственная функция для анализа экономической динамики в данном случае применима быть не может.
Простая степенная производственная функция (13), коэффициенты которой также были найдены с помощью МНК по безразмерным данным табл. 1, имеет такой вид:
о, = 0,87 К2'17766 Ь,3-10876. (35)
Значит, эластичность использования капитальных ресурсов за 1997-2007 гг. в Узбекистане составила 2,17766 единиц, а эластичность использования трудовых ресурсов — 3,10876 единиц. В соответствии с ранее полученными результатами (29) это свидетельствует о том, что производственные мощности экономики Хорезмской области существенно недозагружены, поэтому увеличение любого ресурса — капитального или трудового — приведет к существенному росту эффективности производства. Проверим, как будет вести себя эта функция в составе модели экономической динамики.
Для построения этой модели необходимо описать и другие взаимосвязи. Поскольку ВРП делится на потребление и накопление, то по данным табл. 1 следует вычислить норму накопления р, которая отражает ту часть ВРП, которая идет на инвестиции. Эта доля оказалась чрезвычайно малой - всего 0,04! То есть 4 % в год. Тогда величина инвестиций в год , определяется с помощью этой нормы накопления так:
I, = 0,040,. (36)
Инвестиции способствуют приросту основных производственных фондов будущего года К+ и выражаются через устаревшие фонды К с учетом доли выбывших за год основных производственных фондов ц. При вычис-
лении этой доли мы столкнулись с неожиданностью, поскольку доля выбытия основных фондов оказалась... отрицательной и равна -0,0093. Иными словами, фонды не выбывают, а, наоборот, прирастают, и прирост этот существенно превышает величину инвестиций. Этот парадоксальный результат может быть объяснен (исключая возможность статистической недостоверности данных государственной статистики) так. После объявления республиками бывшего СССР независимости и разрыва как результата этой независимости основных хозяйственных связей между предприятиями республик многие производства либо перестали существовать, либо работали с очень малой загрузкой производственных фондов. В этих условиях часть основных фондов была выведена из статистического баланса как неиспользованная в хозяйственных целях, например пустующие помещения и тяжелые станки. Незначительные инвестиции в такие основные фонды способствовали их «реанимации», и поэтому прирост стоимости основных фондов оказался выше, чем инвестиции в основные фонды.
С учетом этого динамика капитального ресурса за рассматриваемый период описывается следующей моделью:
К+1 = 1,0093 К, + I. (37)
Число занятых в экономике не принесло подобных сюрпризов. Прирост занятых составил 2 % в год (у = 0,02), поэтому число занятых в экономике определяется через число занятых в текущем году Lt, с учетом годового темпа прироста числа занятых (у) так:
Ьт = 1,02Ь, . (38)
Уравнения (35)-(38) и составляют модель экономической динамики для Хорезмской области Узбекистана. Однако попытка использовать эту модель для прогнозирования экономического развития области потерпела неудачу. Как видно из данных табл. 2, эта модель рассчитывает невиданный рост объемов производства. Очевидно, что ни одна из областей такими темпами развиваться не может, значит, модель ошибочна.
Таблица 2
Траектория экономического развития Хорезмской области по модели со степенной производственной функцией
Год Инвестиции, I, Величина основных фондов, К, Численность занятых, Ь, Валовой региональный продукт, б,
2008 0,462106 2,22 1,262308 11,55265
2009 0,955558 2,71 1,287554 23,88896
2010 3,102306 3,69 1,313305 77,55764
2011 34,31417 6,83 1,339571 857,8542
Бурный рост валового регионального продукта в модели вызван тем, что показатель степени капитального ресурса в производственной функции (35) больше двух. Это означает, что увеличение капитального ресурса, например, в два раза приведет к росту производственного результата более чем в четыре раза. Следовательно, несмотря на то, что модель производственной функции неплохо описывает прошлую динамику, использовать ее в модели экономической динамики Хорезмской области нельзя.
В ряду производственных функций действительных переменных известна и производственная функция в аддитивной форме. Она довольно проста и не обладает теми замечательными теоретически выводимыми свойствами, которые присущи степенной производственной функции. Поскольку основной задачей нашего исследования является изучение влияния различных производственных функций на результаты моделирования экономической динамики на примере Хорезмской области, то пренебрегать возможностью использования этой модели нет смысла, тем более что наиболее популярные производственные функции Кобба-Дугласа и степенная производственная функция продемонстрировали свою неприемлемость к практическому использованию для моделирования экономической динамики этого региона.
Простая линейная модель производственной функции в аддитивной форме будет иметь вид:
а = а + ьк + СЦ . (39)
Метод наименьших квадратов позволяет оценить коэффициенты этой модели по данным Хорезмской области следующим образом:
б = 3,9819К, +10,008!, -13,6114
^ , ' , . (40)
Используя эту модель и найденные ранее соотношения (36)-(38), можно использовать их вместе как модель экономической динамики и выполнить прогноз экономической динамики Хорезмской области на перспективу. Результаты этого прогноза приведены в табл. 3.
Таблица 3
Траектория экономического развития Хорезмской области по модели с линейной производственной функцией (40)
Год I К — Q,
2008 0,280112 2,004324 1,262308 7,002793
2009 0,302909 2,084003 1,287554 7,572732
2010 0,328271 2,178512 1,313305 8,206774
2011 0,356373 2,288932 1,339571 8,909325
Полученные расчетные значения следует признать правдоподобными, поскольку экономический рост, описанный в табл. 3, вполне укладывается в рамки возможных траекторий. Таким образом простая линейная модель производственной функции оказывается в рассматриваемом случае более пригодной для моделирования экономической динамики, нежели более сложные нелинейные модели.
Помимо производственных функций действительных переменных в моделях экономической динамики могут использоваться и производственные функции комплексных переменных [5]. Из возможного многообразия этих функций оценим возможность использования производственной функции комплексных переменных с действительными коэффициентами:
I, + 1С, = а( К, + — )Ь
(41)
г2 =-1
где г — мнимая единица,
О возможности использования этого вида модели производственной функции в модели экономической динамики можно судить по тому, как меняются ее коэффициенты во времени, ведь, в отличие от степенной производственной функции действительных переменных, для точечной оценки коэффициентов которой необходимо иметь наблюдения за тремя временными моментами, коэффициенты модели (39) легко находятся по одному наблюдению. Действительно, прологарифмировав левые и правые части (39), например, по натуральному основанию, получим:
1п( + ¡С() = 1п а + Ь 1п( К( + — )
Или, вспомнив свойства логарифма комплексного числа, получим для главного значения логарифма:
1п R . + т.г = 1п а + Ь 1п R . + ¡Ьв
пг т, рг г (43)
= в( = аг ^ —
I'.
2 + С2
^ =
л/К
2 +—2
I
К
Здесь
Поскольку два комплексных числа равны друг другу только тогда, когда равны друг другу действительные и мнимые части этих чисел, получается, что равенство (42) равносильно системе двух равенств:
Г1п Кг = 1п а0 + Ь 1п Крг,
= Ьв.
г (44)
Из второго равенства легко найти для каждого г величину коэффициента Ь, а из первого, зная это значение коэффициента, — найти коэффициент а. Анализируя изменение во времени этих коэффициентов, можно принять решение о пригодности или непригодности модели к реальному использованию. Если коэффициенты не будут претерпевать существенных изменений во времени, а будут оставаться примерно постоянными, то модель (39) может быть использована для моделирования реального процесса. В табл. 4 приведены расчеты коэффициентов а и Ь, осуществленные по формулам (44).
Таблица 4
Коэффициенты степенной модели (39), рассчитанные по данным Хорезмской области
Год а Ь
1997 0,49 1,97
1998 0,49 1,97
1999 0,49 1,98
2000 0,42 2,00
2001 0,39 2,01
2002 0,67 2,11
2003 0,79 2,20
2004 0,71 2,34
2005 0,66 2,49
2006 0,88 2,58
2007 0,62 2,81
Легко убедиться в том, что каждый из коэффициентов комплекснозначной модели меняется во времени. При этом изменение каждого коэффициента не носит случайный характер, а, наоборот, имеет ярко выраженную систематическую составляющую. Это говорит о том, что модель степенной производственной функции комплексных переменных (41) не может быть использована для решения поставленной задачи.
Рассмотрим возможность использования логарифмической комплекснозначной производственной функции типа:
Л + С, = (а0 + Ц ) + (Ь0 + Ь )1п( К, + Ц ). (45)
Здесь коэффициенты модели являются комплексными.
И вновь для этой модели, как и для большинства моделей комплексных переменных, имеется возможность не только рассчитать коэффициенты моделей с помощью МНК, но и оценить значения каждого коэффициента для каждого момента наблюдения, что является неоспоримым преимуществом комплекснозначных производственных функций по сравнению с моделями действительных переменных. Если провести предварительное центрирование исходных переменных производственного результата относительно их средних арифметических, то можно получить такую систему двух уравнений с двумя неизвестными коэффициентами:
11[ = Ь01п -
[с' = ь,1п Я + ь^. (46)
Как видно, решая это уравнение, можно получить оценку комплексного коэффициента пропорциональности модели (45) в каждый момент наблюдения. Результаты расчета для Хорезмской области приведены в табл. 5.
Таблица 5
Коэффициенты пропорциональности логарифмической модели (45), рассчитанные по данным Хорезмской области
Год Ь1 Ьс
1997 1,637915 -0,38874
1998 1,524467 -0,30394
1999 1,392846 -0,224
2000 1,261594 -0,12783
2001 1,030879 -0,13834
2002 0,378361 -0,03935
2003 0,046316 0,00964
2004 -0,29692 4,210089
2005 -0,96459 9,084506
2006 -4,24566 27,78288
2007 -8,70618 38,22332
И вновь можно убедиться в том, что коэффициенты модели меняются систематически, следовательно, логарифмическая комплекснозначная производственная функция не может использоваться для моделирования экономической динамики Хорезмской области.
Так же как и в случае с производственными функциями действительных переменных, посмотрим, будет ли пригодна для моделирования Хорезмской области линейная комплекснозначная функция. Применительно к рассматриваемому случаю она имеет следующий вид:
Л + с, = (а0 + Ц ) + (Ь0 + )(К, + Ц ). (47)
Вновь рассмотрим возможность применения этой функции для описания динамики экономики Хорезмской области Республики Узбекистан. Для этого рассмотрим динамику комплексного коэффициента пропорциональности на исходном отрезке времени. Если использовать центрированные переменные, то эти коэффициенты легко находятся из решения системы уравнений:
|¡:=ьк,' - ьц
= ь0ц + ьк. (48)
Поэтому для каждого года наблюдений легко рассчитать соответствующую пару коэффициентов. Результаты вычислений сведены в табл. 6.
Таблица 6
Коэффициенты пропорциональности модели (47), рассчитанные по данным Хорезмской области
Год Ьх Ьс
1997 4,485144 1,532588
1998 4,817213 1,490618
1999 5,2005 1,440646
2000 6,642619 1,446864
2001 9,049463 2,240542
2002 6,978283 1,175514
2003 3,557407 0,058516
2004 2,638015 1,260488
2005 3,597303 0,942233
2006 7,909553 2,264882
2007 6,083935 1,362086
По данным этой таблицы можно заметить, что как коэффициент Ь0, так и коэффициент Ь1 не остаются неизменными. Однако ни тот, ни другой коэффициенты не имеют ярко выраженной тенденции к росту или падению или какой-либо иной тенденции. Наблюдаются некоторые отклонения этих коэффициентов от их средних значений, но такие отклонения не носят систематического характера. Это означает, что линейная комплекснознач-ная производственная функция может быть использована для расчета экономической динамики Хорезмской области. Используя МНК применительно к этой модели [4], получим такие ее коэффициенты:
I + С = (4,34 + /6,30) + (1,38 + /5,54)(К, + ^ )
Поскольку производственная функция (49) позволяет сразу вычислять разделение валового продукта на потребление и накопление, не вводя такие коэффициенты, которые характеризуют «склонность к потреблению» или «склонность к накоплению», то модель экономической динамики Хорезмской области имеет следующий вид:
I + С = (4,34 + /6,30) + (1,38 + /5,54)(К + ^ )
К+ = 1,0093 К+1. (51)
1+1 = 1,021, . (52)
Необходимо отметить еще одну особенность производственной функции комплексных переменных — сумма двух переменных производственного результата в левой части равенства (49) дает нам величину валового регионального продукта:
й = 1 +Сг, (53)
которая и включена нами в итоговую табл. 7.
Таблица 7
Сравнительные траектории экономического развития Хорезмской области по разным моделям экономической динамики
Год Модель действительных переменных Модель комплексных переменных
I К I, К
2008 0,28 2,00 7,0028 0,27 2,00 6,8244
2009 0,30 2,08 7,5727 0,08 2,08 7,0760
2010 0,33 2,18 8,2068 -0,24 1,95 6,0874
2011 0,35 2,29 8,9094 -0,98 1,52 2,9773
Сравнительный анализ траекторий развития Хорезмской области, полученных моделью с производственной функцией действительных переменных (35)-(40) и моделью с производственной функцией комплексных переменных (50)-(53), показывает следующее.
Модель с действительными переменными (35)-(40) демонстрирует уверенный рост валового регионального продукта с незначительным нелинейным приростом: для промежутка между 2009 и 2008 гг. он составляет 0,57, а для промежутка до 2011 г. — уже 0,95. Такие результаты легко объяснимы — модель продолжает тенденции, существовавшие в 1997-2007 гг., в том числе и рост капитала.
Напротив, модель экономической динамики с комплекснозначной линейной производственной функцией (50)-(53) вычисляет траекторию снижения объема валового регионального продукта (ВРП). Если в 2008 г. эта
модель вычисляет ВРП в размере 6,82 от 1997 г., взятого за базу, то уже в 2011 г. вычисляет 2,97. При этом инвестиции снижаются и в 2010 г. становятся отрицательными, что по экономическому смыслу этого показателя невозможно. Но принципиально важно, что модель комплексных переменных отражает сложную динамику инвестиций в экономике Хорезмской области. Как было показано ранее, статистика прироста основных фондов такова, что эти фонды не изнашиваются, а прирастают значительно большими объемами, чем на величину инвестиций в них. Этот экстенсивный рост, который может быть объяснен восстановлением разрушенных в 90-е годы ХХ в. промышленных фондов региона, имеет свой предел и, судя по модели комплексных переменных, он наступает именно в 2008 г., когда величина инвестиций начинает стремительно убывать.
Так или иначе, но мировой экономический кризис приведет к неминуемому снижению объемов валового регионального продукта, и, вполне вероятно, сведет инвестиции в региональную экономику Хорезмской области к минимуму. С этих позиций вторая модель предпочтительнее первой, которая кризисные явления не улавливает. Для того чтобы использовать каждую из этих моделей экономической динамики для целей социально-экономического прогнозирования, конечно, необходимо адаптировать эти модели так, чтобы они учитывали текущую информацию в большей степени, чем предыдущую, а значит, адаптировали модель к изменениям в тенденциях развития, в том числе и к кризисным. Но это задача другого исследования. Данное же исследование показало, что модель «неоклассической производственной функции» обладает свойствами, существенно ограничивающими ее практическое применение. Степенная производственная функция действительных переменных, используемая в модели экономической динамики Хорезмской области, приводит к тому, что модель неудовлетворительно описывает эту динамику, так же как и другие нелинейные модели действительных и комплексных переменных. В этом случае предпочтительными оказались линейные производственные функции действительных и комплексных переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Борисов К. Ю., Фадеев В. Ю. Модель роста малой экономики с эндогенными коэффициентами дисконтирования // Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. Вып. V: Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. С. 29-38.
2. Кейнс Дж. М. Избранные произведения. М.: Экономика, 1993. С. 224-518.
3. Светуньков С. Г. Моделирование инновационной динамики // Инновации, конкуренция и предпринимательство / под науч. ред. проф. С. Г. Светунькова. СПб.: Изд-во ГОУ ВПО СПбГУЭФ, 2008. С. 18-25.
4. Светуньков С. Г. Эконометрия комплексных переменных. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2008. 108 с.
5. Светуньков С. Г., Светуньков И. С. Производственные функции комплексных переменных. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 136 с.
