Моделирование регионального развития на основе производственных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)

Гафарова Елена Аркадьевна

Gafarova Elena A.

ФГБУ Институт социально-экономических исследований Уфимского научного центра РАН, г. Уфа Institute of social and economic researches USC RAS, Ufa Научный сотрудник / staff scientist Кандидат экономических наук / PhD in Economics

E-Mail: gafarovaea@mail.ru

080013 «Математические и инструментальные методы экономики»

Моделирование регионального развития на основе производственных функций1

Modeling of regional development based on production functions

Аннотация: В статье обсуждаются эконометрические проблемы построения

производственных функций региона на основе временных рядов. Представлены результаты моделирования валового регионального продукта Республики Башкортостан на основе «традиционных» и «нетрадиционных» производственных функций.

The Abstract: The article is devoted to the econometric problems of constructing production functions of region based on time series. In this paper we presented the result of simulation of the gross regional product of the Republic of Bashkortostan, based on traditional and non-traditional production functions.

Ключевые слова: производственная функция, регион, эластичность, валовой

региональный продукт, факторы производства.

Keywords: production function, region, elasticity, gross regional product, factors of production.

***

Введение

Как известно, классическая производственная функция (ПФ) определяет взаимосвязь выпуска Y с факторами производства (капиталом K и трудом L): Yt = f (Kt , L t, t) . Несмотря на значительное количество работ в области аппарата производственных функций, у ряда авторов возникают сомнения в возможности использования методологии производственных функций для прогнозирования региональной экономики на основе временных рядов. Предпринимаются попытки построения производственных функций не по временным рядам одного региона, а по пространственным региональным данным, предполагая при этом, что экономика всех субъектов РФ функционирует по одним и тем же принципам.

В Институте социально-экономических исследований УНЦ РАН при разработке комплексной имитационной модели для Республики Башкортостан для описания

1 Работа выполнена при поддержке РГНФ (проект №13-02-00039 "Технология моделирования комплексного развития региона на основе имитационного подхода").

Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ) Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №3 2013

Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http: //publ. naukovedenie.ru

зависимостей между потоками и запасами возникла необходимость в построении

производственной функции региона. В данной статье представлены результаты

эконометрического моделирования на основе различных производственных функций на

основе временных рядов РБ.

Проблемы построения производственных функций региона

Анализ работ разных авторов, а также собственный опыт построения

производственных функций для Республики Башкортостан позволили выделить основные проблемы, с которыми сталкиваются исследователи при эконометрическом моделировании на основе производственных функций (рис.1). На этапе параметризации эконометрического уравнения требуется выбрать математическую форму и факторы производственной функции. Кроме того, на этапе идентификации и верификации модели возникают дополнительные технические проблемы, такие как отрицательные значения эластичностей, нестабильность их оценок, а также невыполнение условия постоянной отдачи производства и др.

Выбор формы ПФ /| М п р Отрицательные значения эластичностей

о

Предварительное /1 Б к Нестабильность оценок

преобразование данных N Л Г" 1/ коэффициентов ПФ

Е

Отбор факторов ПФ /1 м М Ы Нарушение условие постоянства отдачи производства

Рис. 1. Основные проблемы оценивания производственных функций в прикладных

региональных исследованиях

Обсудим эконометрические проблемы построения производственных функций в порядке их появления. Прежде всего, требуется предварительное преобразование данных. При построении макроэконометрических зависимостей предполагается, что данные должны быть представлены в сопоставимых ценах. Поэтому все переменные типа запаса необходимо дефлировать. Кроме того, в мультипликативно-степенных моделях используется операция возведения в степень, которая корректно определяется для безразмерных величин. Поэтому, в соответствии с [2], исходные данные должны быть представлены безразмерными величинами, а точнее базисными индексами. Однако, на практике это требование не выполняется: исследователи чаще строят ПФ либо на недефлированных данных, либо на цепных индексах.

Выбор математической формы модели и число оцениваемых параметров ограничены длиной имеющихся в арсенале аналитика статистических временных рядов. Поэтому наиболее популярными у исследователей являются относительно простые функциональные зависимости: линейная и мультипликативно-степенные производственные функции. Второй класс представлен функцией Кобба-Дугласа с постоянной эластичностью:

У = А • Ка • . (1)

Для учета влияния технического прогресса ПФ Кобба-Дугласа записывается в форме Я. Тинбергена:

У = А • ег • Ка • Ьр, (2)

Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ) Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №3 2013

Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

где а и Ь представляют собой эластичность выпуска по факторам (а, /3е [0; 1]),

член А^ер1 характеризует уровень технического прогресса (А>0), р - темп технического развития (р > 0).

Перейдем к вопросу о факторах производственной функции. Традиционно в качестве факторов ПФ выбирают стоимость основных фондов и среднегодовую численность занятых в экономике. Однако, как известно, основные фонды и труд используются далеко не в полной мере. Для учета реально используемой части основных фондов предпринимаются попытки корректировки факторов производства. Так, в работе [2] предлагается производить корректировку основных фондов на уровень загрузки производственных мощностей в промышленности. Однако данные об уровне загрузке в целом по экономике на региональном уровне отсутствуют. Проблемы также возникают с адекватным измерением труда. Как отмечается в [2], занятость искусственно поддерживается на избыточном уровне с целью снижения социальной напряженности. Автором [1] предлагается производить переоценку численности занятых с учетом уровня безработицы.

Наиболее перспективным решением данной проблемы другим авторам представляется не корректировка, а построение ПФ с использованием нетрадиционного набора факторов: инвестиций в основной капитал (1() вместо основных фондов (см.,

например, [2], [4]), а также затрат на оплату труда работников () [4] или количества отработанного рабочего времени [5] вместо среднегодовой численности занятых. Так, в

работе [2] приводятся результаты оценивания уравнения У1 = А • ер 1 • 1(а • 3, а в работе

[4] региональная ПФ имеет вид Уг = А • ер •!1а -Ж(3.

Кроме того, автор [6] считает недостаточным описание научно-технического прогресса

членом А • ер и поднимает вопрос о необходимости экономической оценки вклада инноваций в экономический рост региона. Для этого требуется включение фактора инноваций в производственную функцию и расширение перечня факторов производства.

Учитывая выше сказанное, изобразим на схеме (рис. 2) переменные, которые выбираются в качестве факторов производства в прикладных исследованиях. Дальнейшее расширение набора учитываемых факторов для ПФ не представляется целесообразным ввиду снижения качества оцениваемых параметров.

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)

Заметим, что включение новых переменных в модель означает замену производственной функции типа «поток - запасы» на функцию типа «поток - потоки». Анализ свойств традиционных ПФ полно представлен в работе [2]. Использование в одной модели переменной типа запаса (труд) и переменной типа потока (инвестиций) требует дальнейшего исследования свойств производственных функций. Кроме того, замена факторов в ПФ порождает новые вычислительные проблемы. Прежде всего, при построении имитационных моделей системной динамики становится невозможным получение замкнутой модели, учитывающей динамику фондов. Помимо этого, при новом наборе факторов в регрессионном уравнении имеет место мультиколлинеарность. Это в свою очередь будет способствовать низкому качеству оценок эластичностей производственной функции.

Перейдем к вопросу постоянства отдачи производства. Как известно, в моделях (1), (2) различают производственную функцию возрастающей (а + / > 1), постоянной (а + / = 1) и убывающей отдачи (а + / < 1). Очевидно, что при эконометрическом моделировании невозможно получить строгое выполнение условия а + 3 = 1. Если же предполагается наличие постоянной отдачи производства, то необходимо оценивать регрессию с ограничениями. Однако, если это предположение неверно, то будут вычислены ошибочные коэффициенты. Поэтому необходимо проводить оценку регрессии с ограничениями только после тестирования гипотезы об отдаче производства (например, на основе теста Вальда). В работе [4] только для 26 регионов из 89 выполнялось ограничение на постоянство отдачи масштаба производства. Авторы [7] же утверждают, что неоклассическая производственная функция несовместима с условиями чистой или монополистической конкуренции. Поэтому предлагают снять все ограничения на коэффициенты производственной функции, а по вычисленным значениям коэффициентов судить о том, какой уровень ресурсоотдачи характерен для данного производственного процесса.

Проблема нестабильности оценок производственных функций для региона связана с тем, что модели строятся на очень коротких временных рядах. Небольшое изменение в исходных данных (добавление в выборку или исключение данных даже за один год) приводит к резкому изменению значений коэффициентов модели. Ввиду того, что оценки эластичностей нестабильны и сильно отличаются в разных моделях, а также на разных временных интервалах, следует очень осторожно интерпретировать полученные результаты. Кроме того, требуется расширение экономико-математического инструментария, в частности оценивание ПФ с переменной эластичностью (см., например, [3]).

Построение производственных функций для Республики Башкортостан

Проанализируем возможность применения производственных функций на примере Республики Башкортостан. За основу анализа были взяты официальные данные [8] об экономическом положении за период 1994-2011 гг. Приведем описание и условные обозначения всех анализируемых переменных: Уг - валовой региональный продукт РБ (млн.

руб.); К1 - стоимость основных производственных фондов (на конец года) (млн. руб.); -

среднегодовая численность занятых в экономике (тыс. чел.); - инвестиции в основной

капитал (млн. руб.); - затраты на оплату труда работников (млн. руб.); 1п4- затраты на

выполнение научных исследований и разработок (млн. руб.). Исходные данные по РБ были

2 Поскольку с 2005 г. публикация итогов по ВРП Башкортостанстатом осуществляется без учета чистых налогов на продукты, то для сопоставимости уровней ряда ВРП за более ранние периоды взяты данные о валовой добавленной стоимости.

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)

приведены к сопоставимым ценам 2000 г., затем получены базисные и цепные индексы.

Моделирование производственных функций для РБ производилось на основе линейных и мультипликативно-степенных функций (Кобба-Дугласа, Тинбергена) как на рядах в сопоставимых ценах, так и на рядах базисных и цепных индексов. Кроме того, использовался и более сложный аппарат производственных функций (ПФ Солоу, Аллена, ПФ с постоянной эластичностью замены факторов). Заметим, что модели для цепных индексов обладали худшими характеристиками по сравнению с аналогичными моделями для базисных индексов и, поэтому, далее приводиться не будут. Для каждой модели фиксировались значения 1-статистики для проверки гипотезы о значимости соответствующих коэффициентов

уравнения, коэффициент детерминации Я , а также значение статистики Дарбина-Уотсона ( В — Ж) для проверки гипотезы о наличии автокорреляции в остатках. Наиболее удачные оцененные производственные функции сведены в таблицу 1.

Эконометрическое оценивание мультипликативно-степенных функций производилось в логарифмах методом наименьших квадратов, сопровождалось изменением интервала моделирования, а также набора факторов, включением параметра нейтрального НТП. Применение теста Вальда для проверки гипотезы а + /5 = 1 при оценивании ПФ для РБ показало, что исходные данные противоречат гипотезе о постоянной отдаче от масштаба производства. Поэтому ограничения на коэффициенты при оценивании регрессионных моделей не накладывались. По аналогии с [9], уровень технического прогресса оценивался не только экспоненциальной, но и логистической функцией (модель № 9). В этом случае использовались итерационные методы оценивания. Построение функций Солоу, Аллена, а также производственных функций с постоянной эластичностью замены факторов не увенчалось успехом.

Таблица

Производственные функций для РБ

№ 3 Модель Я2 В — Ж

в сопоставимых ценах 2000 г.

1. V -83,821 ^ 1,305 т 10,529 Уг=е г 'Ч (0,00) (0,00) (0,00) на интервале 1994-2011 гг. 0,94 1,71

2. ^ —38,031 ^ 1,577 т 3,935 Уг = е ■ К г ' Ч (0,00) (0,00) (0,04) на интервале 2000-2011 гг. 0,95 1,77

3. V -48,295 ^ 0,444 г 6,759 г 0,577 Уг = е ’ -Кг ’ ■ 'Щ (0,00) (0,05) (0,00) (0,00) 0,98 1,204

3 В скобках для каждого коэффициента модели указывается значение р-уровня для 1-статистики. Низкое значение уровня значимости (р<0,05) служит основанием для отклонения нулевой гипотезы о равенстве нулю соответствующего коэффициента.

4 Здесь и далее статистика Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности критерия. Применение теста Бреуша-Г одфри позволило сделать вывод об отсутствии автокорреляции в остатках моделей.

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)

4. чо § о 00 О 3 10 о , о 00 § о" О ^ 00 » о оо" °, ^ В 1 N 0,97 1,16

для базисных индексов сопоставимых данных

5. V -50,063 ^ 1,305 т 10,529 Ч=е Кг 'Ч (0,00) (0,00) (0,00) на интервале 1994-2011 гг. 0,94 1,71

6. ^ -20,850 ^ 1,578 т 3,935 Чг = е ■ К г ' Ч (0,02) (0,00) (0,04) на интервале 2000-2011 гг. 0,94 1,77

7. 7 7) 50 ,0 0, г (0,0 9 5) ,75 ,00) 6 0, ^1- ,0 0, г (0,0 Кг ( 0 6) 2 0) 1, ,0 31 (0, -( е И 0,98 1,20

8. 6 ,01 ,00) 70 8 7) 50 ,0 0, г (0,0 Кг ( 8 ,00 ,0 0,0 0( е 6 5) 1,1 ,00) 3 (0, -( е и 0,98 1,16

9. 0,280-г ^ ^ 0,578 т 7,016 е хг = К г • Ч • 0 280 г (0,00) (0,00) 1 + е > (0.00) - -

10. Г, = 1т, °>697-Ц 0>742- 1п, °>271 (0,00) (0,00) (0,05) 0,98 1,19

11. = Ш,°’957- ц1012 (0,00) (0,00) 0,98 1,20

Следует заметить, что оценки коэффициентов производственных функций чувствительны к незначительным изменениям исходных данных. Так, изменение объема выборки в модели Кобба-Дугласа приводило к существенному изменению эластичностей (модели № 1, № 2 или № 5, № 6) или незначимости инновационного фактора (модели № 3,

№ 7, № 11), а в модели Тинбергена - к незначимости фактора К или члена ег (модели № 4, № 8). В связи с этим, интерпретация коэффициентов ПФ становится весьма проблематичной. Тем не менее, во всех моделях получили, что эластичность валового регионального продукта в РБ по затратам капитала значительно ниже эластичности выпуска по труду. Кроме того, производственные процессы в республике характеризуются возрастающей ресурсоотдачей.

Сравнительный анализ построенных функций на основе статистических критериев, а также точности прогноза (ошибка прогноза менее 5%) позволил сделать следующий вывод. Для адекватного описания производственных процессов в РБ можно использовать следующие мультипликативно-степенные функции: модели № 2, № 3 (для данных в сопоставимых ценах 2000 г.) и модель № 6 (для базисных индексов сопоставимых данных).

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)

ЛИТЕРАТУРА

1. Балацкий Е. Оценка объема потенциального ВВП. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.kapital-rus.ru/articles/article/182982.

2. Бессонов В. А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. М.: Институт экономики переходного периода. 2002.- 89 с.

3. Львов А.Г. Развитие методов построения производственных функций: автореф. ... канд. экон. наук: 08.00.13. - Уфа, 2012. 27 с.

4. Мельничук М.В. Методология формирования стратегии регионального социально-экономического развития (инвестиционный, инновационный, институциональный аспекты): автореф. дис. ... д. экон. наук: 08.00.05. - М., 2011. 54 с.

5. Москальонов С. А., Львов А.Г. Анализ инновационного потенциала Российской экономики: метод производственных функций [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://regconf.hse.ru/uploads/1f6fbb694ee62b0c1f14d4e0452049061d81b7b4.pdf.

6. Нижегородцев Р.М., Петухов Н.А. Прогнозирование объема валового регионального продукта на основе трехфакторной модели в приращениях (на примере Приволжского федерального округа)// Вестник ЮРГТУ (НПИ), 2011. № 3. С. 90-100.

7. Светуньков С.Г., Абдуллаев И.С. Сравнительный анализ производственных функций в моделях экономической динамики // Известия СПбГУЭФ, 2010. № 5. С. 55-66.

8. Статистический ежегодник. Республика Башкортостан: Статистический

сборник. В 2 ч. Ч.1/ Башкортостанстат. - Уфа, 2012. - 192 с.

9. Yamilova L.S., Lackman I. A., Rushmanov A.S. Using the modification of the Tinbergen’s production function in problems of simulation of the regional economy // Proceedings of the Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT’2010), Russia, Moscow -St. Petersburg, September 13-19, 2010. Volume 2. Ufa State Aviation Technical University, 2010. p. 66-68.

Рецензент: Кириллова Светлана Александровна, ученый секретарь ФГБУН «Институт социально-экономических исследований» УНЦ РАН, к.э.н., доцент.