CC BY
79
СОВРЕМЕННАЯ НАУКА № 3/2016
В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ НА САЙТЕ SOVNAUKA.COM - OPEN ACCESS - 17
Прикладные исследования
УДК 62-5
Научная специальность 05.07.09 — Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЕТОВ КВАДРОКОПТЕРА ВДОЛЬ ТРАЕКТОРИЙ РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНИ ГЛАДКОСТИ
А. А. Кочкаров*, Р. Т. Агишев**
Аннотация. Рассматривается компьютерная модель квадрокоптера. Основной задачей спроектированной модели является выявление достоинств и недостатков движения БПЛА вдоль траекторий различной степени гладкости. Представлены результаты облета вдоль траекторий, рассчитанных заранее (прямой линии и спирали), а также вдоль гладких кривых, задаваемых контрольными точками. Сравнение производилось на основе трех критических характеристик. Учитывались количество успешно пройденных БПЛА контрольных точек, точность следования летательного аппарата желаемой траектории и его затраты энергии на выполнение того или иного маневра.
Ключевые слова: квадрокоптер, траектория, полином, контрольные точки.
COMPARATIVE ANALYSIS OF THE FLIGHTS OF A QUADROTOR ALONG TRAJECTORIES OF VARIOUS DEGREES OF SMOOTHNESS
A.A. Kochkarov*, R. T. Agishev**
Abstract. This article describes the Quadrotor computer model. The main purpose of the designed model is to identify the advantages and disadvantages of the drone movement along trajectories of varying degrees of smoothness. The results of the flights along the paths calculated in advance (straight line and helix) and along the smooth curves of the control points are presented. The comparison was based on three critical characteristics. The number of successive checkpoints, the accuracy of the desired trajectory and the energy costs of the drone maneuver were taken into account.
Keywords: quadrotor, trajectory, polynomial, waypoints.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы все большее применение в различных областях находят беспилотные летательные аппараты [1—5]. В гражданской сфере чаще всего используются квадрокоптеры, т.е. дроны с четырьмя винтами. Легкость, малый размер, маневренность, простота управления — основные достоинства квадрокоптеров, которые позволяют использовать их во многих отраслях.
БПЛА мультироторного типа широко используются в городских условиях с плотной застройкой. Поэтому движение квадрокоптера вдоль желаемой траектории является важным вопросом. Существует множество алгоритмов реализации этой задачи. Результатом данной работы является реализация алгоритма с минимальной ошибкой следования БПЛА вдоль траектории
* Кочкаров Азрет Ахматович,
заместитель директора НТЦ-3 ОАО «РТИ», доцент Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, кандидат физико-математических наук Финансовый университет при Правительстве РФ Контакты: ул. 8 Марта, д. 10, стр. 1, Москва, Россия, 127083 E-mail: [email protected]
** Агишев Руслан Тимурович, студент
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Контакты: Институтский пер., д. 9, Долгопрудный, Московская область, Россия, 141701 E-mail: [email protected]
[9], сравнение ее с кривыми, заданными полиномами меньших степеней.
Набор траекторий позволяет исследовать поведение БПЛА при выполнении различных маневров. Для каждой из них оценены координатные ошибки следования кривой в условиях изменяющейся среды: учтено наличие воздушного сопротивления движению квадрокоптера. Наложены ограничения по времени полета из начальной точки в конечную.
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ БПЛА
В задаче следования БПЛА заданной траектории важно быстрое стремление к нулю ошибки отклонения по координате. Для этой цели необходимо потребовать, чтобы координаты БПЛА удовлетворяли уравнениям:
* Azret A. Kochkarov,
JSC «RTI», vice-chief of R&D center,
Associate Professor of Applied Mathematics Department, PhD Financial University under the Government of the Russian Federation
Contacts: 8 Marta ul., d. 10, str. 1, Moscow, Russia, 127083 E-mail: [email protected] ** Ruslan T. Agishev, Student
Moscow Institute of Physics and Technology
Contacts: Institutskiy per., d. 9, Dolgoprudnyy, Moskovskaya oblast', Russia, 141701 E-mail: [email protected]
(п,т - 'A,des) + K,i(r,j-rl) + kp i(rlT -rt) = 0,i = 1,3.
Последние равенства описывают работу ПД-регу-лятора. Решения каждого из трех уравнений экспоненциально стремятся к желаемым значениям п,е
Управляющие движением квадрокоптера величины (силы тяги четырех моторов и создаваемые ими моменты) далее выражаются через переменные, определяющие положение (координаты x,y,z) и ориентацию (углы крена, тангажа и рысканья) БПЛА в пространстве. Получаем полный набор соотношений для задачи следования траектории:
С помощью данной системы уравнений реализована модель движение квадрокоптера по двум заданным траекториям: вдоль прямой линии и спирали (рис. 1, 2).
ТРАЕКТОРИЯ, ЗАДАВАЕМАЯ КОНТРОЛЬНЫМИ ТОЧКАМИ а. Траектория с наименьшей ошибкой отклонения
Более интересной и полезной с практической точки зрения выглядит задача проектирования движения
Рис. 2. Движение квадрокоптера вдоль спирали
БПЛА по траектории, задаваемой лишь контрольными точками. В реальности зачастую приходится иметь дело с препятствиями. Благодаря своей маневренности и способности зависать в воздухе, квадрокоптеры используются в городской плотно застроенной среде. Важным ограничением также является малое отклонение БПЛА от намеченной траектории. Из уравнений движения квадрокоптера можно получить, что управляющие сигналы (силы тяги и создаваемые моменты) зависят от ■ Поэтому для построения гладких кривых, проходящих через заданный набор точек, используется вариационный метод минимизации четвертой производной по времени от координаты. Т.е. для нахождения кривой, соединяющей две соседние контрольные точки траектории, решается математическая задача:
л (0 = argmin I{pwfdt. m о
Здесь р*() — искомая траектория, Т— время, затрачиваемое на ее прохождение до следующей контрольной точки. Решение подобной вариационной задачи эквивалентно решению дифференциального уравнения 8-ого порядка Эйлера-Лагранжа. Поэтому искомую траекторию нужно задать как полином 7-ой степени времени, например:
Pi(t) = ai0+an
t~Sм
V
Рис. 1. Движение квадрокоптера вдоль прямой линии
V ^
I
Здесь введены обозначения: Б0 = = ^ Тк— вре-
к=1
мя достижения ;'-ой контрольной точки при движении из начальной. Все описанные таким образом полиномы р¡, i = 1..п, должны удовлетворять 8п условиям для нахождения всех констант а,, i = 1..п,] = 0..7, а именно:
Iteration: 468, time: 23.40
353252!
N 151 -05-
Рис. 3. Движение вдоль гладкой кривой, заданной контрольными точками:
(0 0 0)®(1 1 1)®(2 0 2)®(3 -1 1)®(4 -2 2)®(5 -1 3)®(6 0 0)
Такая система уравнений относительно неизвестных а далее записывается в матричном виде: Аа = Ь.
Здесь А — матрица, размером 8п*8п, а — столбец искомых коэффициентов, Ь — матрица 8п*3. Решая систему уравнений отдельно для каждого из столбцов матрицы Ь, получаем коэффициенты, задающие траектории х() у() z(t) соответственно. Результаты моделирования движения через шесть контрольных точек приведены на рис. 3.
Далее приведены графики полиномов, полученных в результате решения вариационной задачи (рис. 4).
СРАВНЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ b. Траектории, задаваемые контрольными точками
Сравнительный анализ данных траекторий начнем с рассмотрения такого параметра, как величина ошибки отклонения квадрокоптера от желаемой кривой при движении с постоянной скоростью (<v> = 1м/с). Введем в рассмотрение также траекторию, задаваемую ломаной линией line (рис. 5). В таблице 1 введены обозначения: min snap — траектория с минимальной ошибкой отклонения, рассмотренная в пункте 1, min jerk и min acc задаются полиномами 5ой и 3ей степени соответственно. Измерение ошибки произведено путем вычисления L2-нормы отклонения:
Исходя из данных, представленных в таблице 1, очевидно, что гладкие траектории намного более предпочтительны, нежели ломаная, для задачи следования траектории, задаваемой контрольными точками. Данные в ячейках, выделенные жирным, соответствуют случаю, когда не все контрольные точки были пройдены корректно (число успешно пройденных точек < N). Корректность прохождения точек в данной модели определялась двумя условиями:
• координатной точностью (центра масс БПЛА во время пролета по траектории проходит сферическую окрестность контрольной точки радиуса r = 10 см);
• сохранением скорости движения (во время прохождения сферической окрестности контрольной точки квадрокоптер не теряет в скорости более чем в два раза).
При следовании вдоль пространственных кривых, задаваемых полиномами, степени ниже 7ой (min jerk и min acc), ошибки отклонения оказываются ниже, чем для траектории min snap. Однако, траектория, задаваемая полиномом 7ой степени, является более надежной, то есть гарантирует прохождение всех контрольных точек и при более жестких требованиях корректности их прохождения, чем указанные выше.
mew
Рис. 4. Зависимость координат от времени при движении через шесть контрольных точек
Табл. 1. Ошибки отклонения для 4 видов траекторий, проходящих через N контрольных точек
Траект.\ N 4 5 6 7
Min snap 1.7566 м 2.0817 м 2.0525 м 2.1402 м
Min jerk 1.3839 м 1.7039 м 1.7255 м 1.8308 м
Min acc 1.2596 м 1.5160 м 1.5821 м 1.7317 м
Line 7.4793 м 8.9647 м 9.9736 м 10.5891 м
iteration: 215, time: 10.75
Рис. 5. Ломаная траектория, 4 контрольные точки.
Синим цветом обозначена желаемая кривая, красным — реальная
Тем не менее, нередко квадрокоптерам приходится выполнять маневры, плохо описываемые гладкими полиномами. Рассмотрим простой пример: пролет вдоль прямой линии и возвращение в исходную точку. В таком случае ожидается, что БПЛА поменяет направление своего движения на 180 градусов. Однако так происходит не для всех видов траекторий. Определим описанный маневр 4мя контрольными точками и проведем моделирование. Для такого простого случая получаем очень длинную гладкую траекторию, описанную полиномами 7ой степени (рис. 6). Соответственно возрастает и нежелательное потребление энергии.
I I
E = \N(r)dT = \{Fv)dT
Рис. 6. Траектория min snap. Выполнения маневра «угол», заданного контрольными точками: (0,0,2); (0,4,2); (0,0,2); (0,0,1)
(рис. 7, 8) более приближены к желаемому результату, чем, например, на рисунке 6.
Стоит, однако, отметить, что добавление лишь одной промежуточной контрольной точки (0,2,2) снижает потребление энергии для траектории min snap
Траектория min jerk имеет аналогичные недостатки при выполнении подобных маневров, где требуется резкое изменение направления движения. Обратим далее внимание на кривые меньшего порядка гладкости, min acc и line (табл. 2).
Согласно данным таблицы 2, для выполнения резких маневров лучше подходит аппроксимации траектории полиномами низких порядков. Снижается длина траектории и энергетические затраты. Иллюстрации
Рис. 7. Траектория min acc. Выполнения маневра «угол»
Табл. 2 Выполнение маневра «угол» вдоль различных траекторий
Тип траектории Контрольные точки Ошибка отклонения Длина траектории Средняя скорость Потребление энергии
Min snap s 3.892 м 23.908 м 2.224 м/с 48.165 Дж
Min jerk 4/4 1.601 м 14.528 м 1.333 м/с 22.391 Дж
Min acc s 1.086 м 11.841 м 1.072 м/с 12.499 Дж
Line 2/4 12.648 м 11.336 м 1.031 м/с 9.677 Дж
Рис. 8. Траектория line. Выполнения маневра «угол»
практически в два раза. Достоинством же траекторий, определяемых полиномами низких порядков, является их простота. Такие кривые могут быть заданы меньшим количеством контрольных точек.
c. Сравнение рассчитанной траектории с кривой, определенной контрольными точками
В данном пункте, как пример, сопоставим две спиральные траектории. Первая из них рассчитана заранее, а другую зададим, как серию из 25 контрольных точек, соединенных полиномами 7ой степени.
Во втором случае квадрокоптер не справляется с поставленной задачей для скоростей, больших 2 м/с. Далее приведены результаты следования траектории min snap со средней скоростью <v> =1.5 м/с (табл. 3).
Почти все контрольные точки пройдены корректно (20 из 25), что иллюстрировано на рисунке 9.
Синий график показывает ошибку отклонения от желаемой траектории. 25 красных столбиков отмечены в моменты времени прохождения контрольных точек. Уровень их высоты
Рис. 9. Корректность прохождения контрольных точек
равен г = 10 см, т.е. максимально допустимой неточности по координате.
Для спиральной траектории, рассчитанной заранее, имеем данные из таблицы 4.
Как и стояло ожидать, движение вдоль заранее рассчитанной траектории осуществимо для больших скоростей с небольшой ошибкой отклонения. Однако, такие траектории не находят большого практического применения (рис. 10).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
К результатам работы хотелось бы добавить, что основным достоинством траекторий высокого по-
Рис. 10. Сравнение двух спиральных траекторий Табл. 3 Данные облета спирали, заданной контрольными точками
Тип траектории Контрольные точки Средняя скор. Ошибка отклонения Время полета
Min snap 20/25 1.5 м/с 6.9485 м 26 с
Табл. 4
Тип траектории Средняя скорость Ошибка отклонения Время полета
Helix 2.71 м/с 1.5406 м 11.6 c
рядка гладкости является точность прохождения контрольных точек и желаемой кривой. С другой стороны траектории низкого порядка гладкости лучше проявляют себя при выполнении маневров, включающих
резкое изменение направления движения. Описание таких маневров кривыми низкой степени гладкости не приводит к нежелательному увеличению длины траектории и потреблению излишней энергии.
Литература/References
1. МалинецкийГ.Г., Кочкаров А. А. Будущее российского оружия и междисциплинарные подходы // Интеллект и технологии. 2014. № 1(7). С. 48-51. [Malinetskiy GG, Kochkarov AA. The future of russian arms and interdisciplinary approaches. Intellekt i tekhnologii. 2014;1(7):48-51. Russian].
2. Кочкаров А.А., Яцкин Д.В., Рахманов О.А. Особенности решения задачи геометрического мониторинга // Известия ЮФУ. Технические науки. 2016. № 2(175). С. 158-168. [Kochkarov AA., Yatskin DV, Rakh-manov OA. The monitoring problem and its connection with the problem of covering connected spaces Izvestiya YuFU Tekhnicheskie nauki. 2016;2(175):158-68. Russian].
3. Кочкаров А.А., Калинов И.А. Создание программно-аппаратного комплекса пространственной навигации и мониторинга мультироторного БПЛА на основе модифицированного алгоритма визуальной одомет-рии // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 09. С. 74-91. [Kochkarov AA, Kalinov IA. Developing a multi-rotor UAV-based hardware-software system for spatial navigation and monitoring using a modified algorithm of visual odometry. Nauka i Obrazovanie MGTU im N E Baumana Elektron zhurn. 2016(9):74-91. Russian. doi: 10.7463/0916.0844955].
4. Кочкаров А.А., Яцкин Д.В., Калинов И.А. Новый подход в применении малых БПЛА для мониторинга сложных пространств // Интеллект и технологии. 2016. № 2(14). С. 68-71. [Kochkarov AA, Yatskin DV, Kalinov IA. A new approach in the application of small UAVs for monitoring complex spaces. Intellekt i tekhnologii. 2016;2(14):68-71. Russian].
5. Кочкаров А.А. Некоторые особенности применения малых и сверхмалых беспилотных летательных аппаратов // Труды Второй Всероссийской научно-технической конференции молодых конструкторов и инженеров «Минцевские чтения», посвященной 120-летию со дня рождения академика А.Л. Минца и 60-летию аспирантуры Радиотехнического института. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. С. 301-304. [Kochkarov AA. Some features of the small and micro UAVs application. In: Second All-Russian scientific and technical conference of young designers and engineers is dedicated to the 120th anniversary of the birth of Academician A.L. Mints and the 60th anniversary of the post-graduate program of the Radio Engineering Institute; 2015 30-31 jan. 2015; Moscow. Bau-man Moscow State Technical University; 2015. p. 301-4. Russian].
6. Mellinger D, Shomin M, Kumar V. Control of Quadrotors for Robust Perching and Landing. In: International Powered Lift Conference; 2010 Oct. 5-7, 2010; GRASP Lab, University of Pennsylvania; 2010. Available from: https://pdfs.semanticscholar.org/1830/4141761ab46f1c0f2f52d915a64abd52b953.pdf.
7. Вадутов О.С. Настройка типовых регуляторов по методу Циглера-Никольса // Издательство Томского политехнического университета, 2014. [Vadutov, OS. Adjustment of typical regulators by the Ziegler-Nichols method Izdatel'stvo Tomskogo politekhnicheskogo universiteta; 2014. Russian].
8. Control of Quadrotors for Robust Perching and Landing Daniel Mellinger, Michael Shomin, and Vijay Kumar GRASP Lab, University of Pennsylvania. Available from: https://pdfs.semanticscholar.org/1830/4141761ab46f1-c0f2f52d915a64abd52b953.pdf.
9. Trouwborst C. Control of Quadcopters for Collaborative Interaction. University of Twente Student Theses; 2014. 36 p. Available from: http://purl.utwente.nl/essays/66109.
®
© Кочкаров А.А., Агишев Р.Т./Kochkarov A.A., Agishev R.T., 2016. Это произведение распространяется по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная. [This work is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License].
