CC BY
7УДК 681.782.473:517
Сравнительный анализ погрешности аппроксимации спектров излучения светодиодов различными функциями
В.А. Сергеев1'2, А.В. Ульянов2
1 Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
2Ульяновский государственный технический университет
Comparative Analysis of an Error Approximation of Measurement Spectrums of Radiation of Light-Emitting Diodes by Various Functions
V.A. Sergeev1'2, A.V. Ulyanov2
1 Ulyanovsk Branch of the Kotel 'nikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences, Ulyanovsk 2Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk
Рассмотрены варианты аппроксимации спектров излучения светоизлучаю-щих диодов (СИД) различными математическими функциями. На примере СИД красного свечения показано, что при аппроксимации спектров СИД симметричными функциями - гауссианой и параболой - возникает значительная погрешность смещения центральной длины волны, обусловленная асимметрией реальных спектров СИД. Общая среднеквадратическая погрешность аппроксимации и погрешность определения центральной длины волны и ширины спектра излучения СИД может быть снижена в несколько раз при аппроксимации спектра СИД суммой двух гауссиан.
Ключевые слова: светодиод; спектр излучения; аппроксимирующая функция; гаус-сиана; погрешность.
Some options of approximating the light-emitting diodes (LED) spectrums of radiation by various mathematical functions have been considered. On the example of red luminescence LED it has been shown that at the approximation of the LED spectrums by symmetric functions - the Gaussian function and parabola - there is a considerable error of shift of radiation wave central length, caused by asymmetry of the LED real spectrums. The general mean square error of approximation and the error in determining the radiation wave central length and the width of the LED radiation spectrum can be several times decreased at the approximation of the LED spectrum by the sum of two Gaussian functions.
Keywords: light-emitting diode, spectrums of radiation, approximating function, Gaussian functions, error.
Для синтеза алгоритмов обработки оптических сигналов необходимо их адекватное математическое описание. Спектры излучения светоизлучающих диодов (СИД) чаще всего аппроксимируют гауссианой [1, 2]. Аппроксимация спектров СИД суммой трех и более гауссиан [1] значительно усложняет алгоритмы обработки сигналов, поскольку каждая гауссиана добавляет три параметра, требующих оценки.
При аппроксимации спектров математическими функциями минимизируют обычно относительную среднеквадратическую ошибку (СКО) на всем диапазоне изменения аргумента:
© В.А. Сергеев, А.В. Ульянов, 2015
СКО =
1 * - Т
8 (Хг) - / (Хг) 8 (А,)
(1)
где - экспериментальное значение интенсивности излучения СИД на длине волны - значение аппроксимирующей функции на той же длине волны; N - число отсчетов. Однако для измерения параметров спектра СИД представляет интерес не общая СКО, а погрешности определения по аппроксимирующим функциям основных параметров спектра -длины волны ^тах в максимуме и его ширины А^о,607-
Для анализа погрешностей на монохроматоре МДР-3 с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,1 нм, измерены спектры десяти СИД типа L-52SRCDW красного свечения. У каждого СИД измеряли не менее 40 точек вплоть до уровня 0,1 от максимального значения. Результаты измерений показали, что спектры СИД имеют заметную асимметрию: коротковолновое крыло спектра более вытянуто. Экспериментальные спектры СИД аппроксимировались с минимизацией СКО одной гауссианой
тах
С
■л/2я
параболой
Гг(ъ=^т а
1 (^-тах -^)2
. (А^)2
и суммой двух гауссиан
/з(^) = "
Л,
(^тах1-^)
2с
1л/2%
Л0
(^тах2
+ -
2с
С
С
Параметры измеренных спектров и аппроксимирующих функций приведены в табл.1, где вве-
ю
дены обозначения: 8тах=
Л
__
8 тах1
Л
8
20 __ тах2
Л
. Ширина экспериментальных
сV 2% с 1^2% с 2 -
спектров и аппроксимирующих парабол определялась по уровню 0,607£тах для сравнения с удвоенным стандартным отклонением (2а) аппроксимирующей гауссовой функции. Для аппроксимации спектров параболой с точностью, сравнимой с точностью аппроксимации одной гауссианой, пришлось ограничиться частью спектра выше уровня 0,3 ^тах; учет точек спектров ниже этого уровня резко увеличивает СКО.
По представленным данным рассчитаны средние выборочные значения отклонений параметров экспериментальных спектров и аппроксимирующих функций (табл. 2). Для аппроксимации спектра двумя гауссианами параметры экспериментального спектра СИД сравнивались с параметрами первой гауссианы.
Как следует из результатов расчета, в смысле СКО аппроксимация спектров параболой и суммой двух гауссиан существенно лучше, чем аппроксимация одной гауссианой. Как и ожидалось, при аппроксимации гауссианой и параболой длина волны в максимуме аппроксимирующих функций имеет явное смещение А^ в коротковолновую область, обусловленную асимметрией реального спектра. При аппроксимации спектров суммой двух гауссиан такое смещение практически отсутствует: среднее выборочное смещение составляет всего 0,05 нм. При аппроксимации спектра суммой двух гауссиан смещение в три раза меньше и различие в ширине спектра Аа = А^0>607-2а1.
2
Таблица 1
Значения параметров спектра СИД и аппроксимирующих функций
Параметры спектра СИД и аппроксимирующих функций Номер исследуемого образца СИ Д
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Эксперимент
Smax, отн. ед. 0,93 0,99 0,92 0,86 0,87 0,90 1,00 0,92 0,85 0,68
^ж, нм 631,5 631,8 632,2 633,0 631,1 645,4 632,9 631,8 632,8 632,2
Д^0,607, нм 17,8 19,4 18,8 14,8 18,0 19,0 20,6 16,4 18,6 17,0
Одна гауссиана
^ах, 0тн. еД. 0,91 0,98 0,89 0,78 0,85 0,87 0,99 0,89 0,81 0,65
Х тах, нм 630,3 630,5 631,0 632,3 630,6 643,6 632,5 630,5 631,3 630,7
^ах, нм — 1,2 — 1,3 — 1,2 — 0,7 — 0,5 — 1,8 — 0,5 — 1,3 — 1,5 — 1,5
2о, нм 19,8 21,2 21,2 20,0 20,8 22 22,2 20,6 21,4 20,2
Л 1G До , нм +2,0 1,8 2,4 5,2 2,8 3,0 1,6 4,2 2,8 3,2
СКОш 0,465 0,411 0,418 0,487 0,438 0,595 0,424 0,452 0,426 0,459
Парабола
^т ах, отн. ед. 0,93 0,99 0,92 0,86 0,89 0,90 1,00 0,92 0,85 0,68
X тах, нм 630,3 630,5 631,1 632,5 630,7 643,6 632,6 630,5 631,8 630,9
АХтах, нм — 1,2 — 1,3 — 1,1 — 0,5 — 0,4 — 1,8 — 0,3 — 1,3 — 1,0 — 1,3
Д^0,607, нм 20,3 22 21,6 19,5 20,9 22,2 23,0 20,6 21,6 18,5
Доп, нм 2,5 2,6 2,8 4,7 2,9 3,2 2,4 4,2 3,0 1,5
СКОп 0,105 0,094 0,083 0,105 0,091 0,108 0,1 0,102 0,078 0,054
Сумма двух гауссиан
^ отн. еД. 0,66 0,78 0,70 0,52 0,63 0,77 0,82 0,66 0,62 0,46
Х тах1, нм 631,8 631,5 631,9 632,7 631,7 645,1 633,7 631,8 632,6 631,7
дх тах, нм +0,3 — 0,3 — 0,3 — 0,3 +0,4 — 0,4 +0,8 0 — 0,2 — 0,5
2стх, нм 15 17,6 17,4 15,6 16 18,8 18,8 15,6 17,2 15,0
Л 2G До , нм —2,8 —1,8 —1,4 +0,8 +2,0 —0,2 —1,8 —0,8 —1,4 —2,0
^ т^ отн. ед. 0,31 0,24 0,24 0,31 0,27 0,19 0,22 0,29 0,22 0,22
Х тах2 , нм 625,5 625,2 626,7 631,1 626,6 632,2 625,0 625,7 627,5 627,5
2ст2, нм 28,8 32,4 33,2 31,2 32 32,8 34,2 31,4 34 31
X , — X -,, нм тах1 тах2' 6,3 6,3 5,2 1,6 5,1 12,9 8,7 6,1 5,1 5,2
СКО2G 0,126 0,064 0,049 0,212 0,092 0,204 0,07 0,106 0,068 0,109
Таблица 2
Значения отклонений параметров экспериментальных спектров и аппроксимирующих функций
Параметр, характеризующий Одна гауссиана Парабола Сумма
точность аппроксимации двух гауссиан
СКО 0,458 0,092 0,110
А^, нм -1,2 -1,0 -0,05
Аа, нм 2,9 3,0 0,94
(Аа/А^,б07)-100% 16 16,5 5,2
Более точное описание спектра СИД двумя гауссианами можно интерпретировать наличием двух мод излучения, первая из которых (основная) соответствует межзонным переходам с шириной запрещенной зоны Eg~2,0 эВ, а вторая — переходам между уровнями максимальной заселенности состояний в зоне проводимости и валентной зоне, разность энергий между которыми в собственном полупроводнике больше Eg на величину кТ [3], где к -постоянная Больц-мана, Т - абсолютная температура. Разность длин волн мод излучения в этой модели при комнатной температуре равна А^12 = ^¡„(кТ/Е^йБД нм. Средняя выборочная разность А^12 длин волн излучения в максимуме первой и второй гауссиан составила 6,7 нм, что довольно близко к полученной оценке.
Таким образом, аппроксимация спектра СИД суммой двух гауссиан позволяет примерно в 4 раза уменьшить общую ошибку аппроксимации и ошибку определения параметров спектра СИД по сравнению с аппроксимацией одной гауссианой. Аппроксимация параболой дает хорошее приближение к реальным характеристикам только при условии, что края спектра ниже уровня 0,3 отбрасываются.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (задание №2014/232).
Литература
1. Матюнин С.А., Леонович Г. И. Использование функций Гаусса для аппроксимации передаточных функций многокомпонентных оптронных структур // Нано- и микросистемная техника. - 2001. - №9. - С. 7-11.
2. Сергеев В. А., Рогов В. Н., Ульянов А Н. Методические погрешности определения параметров спектра све-тодиодов двумя фотоприемниками // Измерительная техника. - 2013. - №4. - С.42-44.
3. Епифанов Г. И., Мома Ю. А Твердотельная электроника : учебник для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 1986. - 304 с.
Поступило 10 ноября 2014 г.
Сергеев Вячеслав Андреевич - доктор технических наук, доцент, директор УФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, заведующий базовой кафедрой радиотехники, опто- и нано-электроники УлГТУ в УФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. Область научных интересов: то-кораспределение и теплофизические процессы в твердотельных структурах, полупроводниковых приборах и интегральных микросхемах, методы и средства измерения теплофизических параметров изделий электронной техники. Е-шаП: sva@ulstu.ru
Ульянов Александр Владимирович - аспирант кафедры радиотехники УлГТУ Область научных интересов: методы и средства измерения параметров элементов и приборов микро- и оптоэлектроники, автоматизация процессов измерения.
