СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Ф

И

З

И

К

О

-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 51

М.Р. Лазарева

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

В статье рассматриваются методы математического моделирования для прогнозирования объема производства на основе данных прошлых лет и их сравнение. Для решения задач математического программирования разработаны: алгоритм, программа и собраны исходные данные.

Ключевые слова: методы математического моделирования, обратные задачи, численные методы.

Для прогнозирования показателей производства хлопка и шерсти используется математическая модель на основе системы линейных дифференциальных уравнений.

Из открытых источников взята информация об объеме производства шерсти и хлопка во всем мире, начиная с 1900 до 2014 года. Для прогнозирования объема производства поставлена обратная задача решения системы однородных дифференциальных уравнений вида:

где необходимо определить параметры А,В,С,Б. В качестве значений х(1) и у(.1) используются данные объема хлопка и шерсти соответственно. В качестве независимой переменной 1 используется время в годах. 1900 год, используется как начальной точкой отсчета, как 0.

© Лазарева М.Р., 2019.

Научный руководитель: Малашин Алексей Анатольевич - профессор, доктор физико-

математических наук, Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана (филиал в г. Мытищи), Россия

Таблица 1

Исходные данные производств волокон_

Год Хлопок (Тыс. тонн) Шерсть (Тыс. тонн)

1900 3162 730

1910 4200 803

1920 4629 816

1930 5870 1002

1940 6907 1134

1950 6647 1057

1960 10113 1463

1970 11784 1659

1980 13844 1599

1985 17383 1744

1986 15339 1789

1987 17670 1832

1988 18366 1886

1989 17431 1955

1990 18997 1927

1991 20793 1779

1992 17990 1719

1993 16673 1673

1994 18695 1554

1995 19962 1486

1996 18960 1476

1997 19849 1440

1998 18429 1382

1999 19176 1380

2000 18901 1357

2001 21237 1309

2002 19142 1254

2003 20430 1233

2004 26126 1221

2005 24763 1228

2006 26452 1229

2007 26150 1200

2008 23330 1100

2009 22000 1080

2010 24450 1062

2011 26925 1068

2012 26785 1073

2013 25270 1097

2014 25635 1095

Тогда исходные данные имеют вид представленные таблицей 1. [1] Разобьем выборку таким образом, чтобы часть была для расчета искомых параметров, а небольшую часть - для проверки, порядка 5 последних лет.

Для решения задачи используются следующие методы математического моделирования:

1. Методы с использованием алгоритмов машинного обучения

2. Метод наименьших квадратов

3. Метод конечно-разностной аппроксимации

Все методы и вспомогательные функции реализованы на языке программирования Python.

Методы с использованием алгоритмов машинного обучения Исходные данные даны в небольшом объеме: Объемы производства хлопка (Рис. 1); Объемы производства шерсти (Рис.2).

Рис. 1. Исходные данные объема производства хлопка

Рис. 2. Исходные данные объема производства шерсти

Поэтому используем интерполирование теоретических функций x(t) и у^}. По полученным данным построена кривая, удовлетворяющая функциям (Рис.3 и 4):

Рис. 3. Теоретическая кривая Рис. 4. Теоретическая кривая

где были определены параметры: С1= 51610,09, С2 = -49043,18,

С3 = 23767,655, С4 = -23256,86,а = 0,02872875, $ = 0,028955

Определив параметры функций, мы можем определить искомые параметры для:

получаем:

А =

В =

С =

. D =

0. (31946164716467115 0. 01999(344313234097 -0 .0028998571240347985 0.035086861320242996

Численный метод наименьших квадратов Из модели системы дифференциальных уравнений:

Сформируем следующие зависимости:

E(zi+1 - (Xi + h* f(t, x, у)) 2 -> min

ECtt+i - (Yi + h* 3(1, x, У)) 2 -> min

Тогда, подставив (f(t, x, y) = = Ax(t) + By(t)) и

(g(t, x, y) = = Cx(t) + Dy(t)) получим для определения параметров А и B: - (Xi + h* f{t, x, у)) *{- h* Xi ) = 0

X(xi+i - (Xi + h* f{t,x,y)) *{- h*yi ) = 0 , и аналогично для С и D:

(yi+1 - (У1 + h* fit, х,у)) *(- h*Xi ) = 0

JLbi+i - + h* fit, x, y)) *i- h*yi ) = 0 , Тогда определенные коэффициенты системы:

calculate А = 0.0026387426748423087

calculate В = О.003844257212624L11

calculate С = -0.0010199685567326507

calculate D = 0.009772061818801834

Метод конечно-разностной аппроксимации В системе дифференциальных уравнений:

заменяем производные в левых частях уравнений конечно-разностной формулой:

Выражая параметры А,Б,С,Б, получили формулы для каждых трех точек из данных, так как для каждого уравнения имеется по две неизвестных. В отдельности для А, В из первого уравнения и для С,Б - из второго:

Тогда определим искомые параметры системы:

calculate А =

calculate В =

calculate С =

calculate D =

0.0355233Q884217279 0.5043613886525944 -0.002275551040787504 0.009702495249191407

Анализ результатов работы программы и выводы

По определенным параметрам определим теоретический объем производства для оставшейся части выборки, и сравним с исходными данными. Необходимо решить систему ОДУ, чтобы получить теоретические объемы производств. Система ОДУ решается численно методом Рунге-Кутта 4-ого порядка. Тогда, определим теоретические значения объема производства для хлопка (табл. 2) и шерсти (табл. 3):

Таблица 2

Объемы производства хлопка (в тыс.тонн)

x(t)

Год Исходные данные Метод 1 Метод 2 Метод 3

2010 24450 24444,48 24449,35 24451,40

2011 26925 24500,57 24433,96 24270,40

2012 26785 24551,264 24417,85 24092,86

2013 25270 24602,087 24401,66 23917,30

2014 129065 25635 24653,038 24385,405 23743,71

Накапливаемая ошибка 6313,561 6976,775 8589,33

Средняя ошибка 1262,7122 1395,355 1717,866

Средняя ошибка в процентном соотношении 5,954 6,60 8,16

Таблица 3

Объемы производства шерсти (в тыс.тонн)_

y(t)

Год Исходные данные Метод 1 Метод 2 Метод 3

2010 1062 1093,67 1093,48 1093,95

2011 1068 1076,79 1055,55 1024,76

2012 1073 1091,65 1049,08 988,23

2013 1097 1106,57 1042,59 952,40

2014 1095 1121,57 1036,06 917,25

Накапливаемая ошибка 95,25 181,2 482,31

Средняя ошибка 15,8957 37,4268 112,6

Средняя ошибка в процентном соотношении 1,465 3,434 10,34

где «метод 1» - это методы с использованием алгоритмов машинного обучения, «метод 2» -численный метод наименьших квадратов, «метод 3» - метод конечно-разностной аппроксимации.

Из таблиц видно, что наименьшее отклонение полученных значений от исходных данных дает метод с использованием алгоритмов машинного обучения (метод 1). Однако, эти методы всегда требуют больше вычислительной мощности и времени выполнения работы, чем численные методы МНЦ или конечно-разностной аппроксимации (методы 2 и 3). Хуже всего точность у метода конечно -разностной аппроксимации. При использовании оптимальных значений кривых х(Г) и у(Г), полученных из 1 метода, можно увеличить точность методов МНК и конечно-разностной аппроксимации. Однако это также потребует большей вычислительной мощности и временных затрат.

Библиографический список

1.http://total-rating.ru/strany-mira/opisanie-stran/selskoe-hozyaystvo/

2.Мышенков В.И., Мышенков Е.В., Численные методы: Учебное пособие. - Часть 2. - М.: МГУЛ, 2005., №1,2,3,7

ЛАЗАРЕВА МАРИНА РОМАНОВНА - магистрант, Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана (филиал в г. Мытищи), Россия.