CC BY
13
УДК 519.63: 51-74
МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В НАНОКОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ
СИДНЯЕВ НИ., ИЛЬИНА Ю.С., КРЫЛОВ Д.А.
Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана, 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., 5
АННОТАЦИЯ. В статье излагаются метод расчета температурных полей в нанокомпозиционных материалах, под которыми понимаются наносистемы с соответствующей реологической средой. Предлагаются новые математические модели, описывающие реальные физические процессы. Приводятся расчетные формулы для наноматериалов с установленными нанотрубками и соответствующие зависимости по распределению параметров.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нанокомпозит, температурное поле, нанотрубки, управление, математическое моделирование, численные методы.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование свойств вещества, находящегося в наноразмерном состоянии, вызывает повышенный интерес и имеет большое значение как для развития фундаментальной науки, так и для практического применения таких наноматериалов в устройствах нано- и микросистемной техники [1, 3]. Уменьшение характерных размеров частиц до величин, соответствующих значению длины волны де Бройля в твердом теле, приводит к квантованию энергетических уровней и сильному изменению поляризуемости частиц. Происходящее при этом возрастание роли релаксации поверхностных атомов сопровождается изменением электронной структуры точечных дефектов. При уменьшении диаметра частиц отношение площадей их поверхностей к внутреннему объему повышается, растет доля поверхностных атомов. Это приводит к изменению условий фазовых равновесий, уменьшению значений температур плавления, к изменению пределов растворимости, к сдвигу фононного спектра в область коротких длин волн, к изменению каталитических свойств, образованию нанофаз и другим эффектам. Это предопределяет принципиальные возможности создания новых наноматериалов с уникальными физико-химическими свойствами [4]. В последние годы уникальные оптические и магнитные свойства наночастиц на основе редкоземельных элементов сделали их центром исследований и разработок. Особые свойства оксидных соединений редкоземельных элементов, во многом обусловливаются наличием незаполненных электронных оболочек у атома, причем соответствующие им энергетические уровни остаются дискретными и в составе твердого тела.
Благодаря этой особенности наноразмерные устройства на основе легированных редкоземельными металлами стекол получили широкое распространение, особенно в сфере телекоммуникаций в составе усилителей излучения в оптических волокнах. Получение оксидов редкоземельных металлов в кристаллической форме сопряжено с определенными трудностями, обусловленными тугоплавкостью вещества, поэтому получение сложных многокомпонентных систем на их основе из порошков исходных оксидов требует дорогостоящего оборудования, позволяющего достичь высоких температур вплоть до 1500 °С. В наноматериалах с иерархической структурой пор адсорбция происходит одновременно в порах всех типов вплоть до полного заполнения микропор. В микропорах потенциал адсорбции повышен из-за сложения дисперсионных потенциалов близко расположенных стенок пор, что приводит к повышению теплоты адсорбции и заполнению таких пор при малых относительных давлениях. Далее адсорбция продолжается в мезо- и макропорах по механизмам полимолекулярной адсорбции, затем в мезопорах начинается
капиллярная конденсация при продолжающейся полимолекулярной адсорбции в крупных мезо- и макропорах. После предельного заполнения мезопор продолжается лишь полимолекулярная адсорбция на поверхности макропор.
В наноматериалах с иерархической структурой пор фазовое превращение происходит одновременно в порах всех типов вплоть до полного заполнения микропор. В микропорах потенциал адсорбции повышен из-за сложения дисперсионных потенциалов близко расположенных стенок пор, что приводит к повышению температуры и заполнению таких пор с использованием нанотрубок при малых относительных давлениях. Фазовое превращение управляется в мезо- и макропорах по механизмам в форме нанотрубок (рис. 1). После предельного заполнения мезопор может осуществляться управление температурными полями.
Рис. 1. Структура нанотрубки
На рис. 2 представлены исследования нанокомпозитов методом атомно-силовой микроскопии [3].
Так, например, при протекании практически необратимых реакций поликонденсации происходил рост фрактальных агрегатов и уменьшение количества возможных перестановок между частицами при закреплении их на остове фракталов. Это приводит к уменьшению энтропии смешения, что в свою очередь, обуславливает увеличение значения энергии смешения (изменение энергии Гиббса) [5, 6].
о -нтыди. п.пыи /ИЦ-т) Рис. 2. Общий вид фазовых диаграмм для полимерной системы
В настоящее время нанотрубки нашли применение в охлаждающих установках как капиллярные отводы тепла. В частности, исследователи университета Пурду (Purdue University) разработали систему водяного охлаждения горячей электроники, основой которой являются углеродные нанотрубки. Благодаря использованию нанотрубок, представляющих собой микроскопические капилляры, по которым движется вода, новая система охлаждения не нуждается в насосе или помпе, которые заставляют циркулировать воду в традиционных системах водяного охлаждения (рис. 3).
жидкость
Рис. 3. Движение воды в углеродной нанотрубке, приводящее к отводу тепла с поверхности нагреваемого элемента
В разработанной конструкции охладителя вода играет роль хладагента, подобно фреону в холодильных установках. Из-за малого диаметра капилляров, около 50 нм, в роли которых выступают углеродные нанотрубки, вода, проходящая сквозь них, полностью испаряется, снимая с чипа, таким образом, большее количество тепла (рис. 4). Избыточное давление получившегося пара, который затем конденсируется в холодильнике, и является той движущей силой, которая заставляет циркулировать воду по всей системе охлаждения [14].
Рис. 4. Схема системы охлаждения на основе углеродных нанотрубок
Эта система охлаждения является уже не первой системой, разработанной учеными университета Пурду для охлаждения горячей электроники. Некоторое время назад уже была разработана система воздушного охлаждения, поверхность радиаторов которого представляла собой «лес» из углеродных нанотрубок. Благодаря этому эффективная площадь радиаторов увеличивалась в несколько сотен раз, позволяя системе сбрасывать в воздух большое количество тепла и повышая тем самым ее эффективность.
В настоящей работе в качестве объекта исследования рассматривается двухфазная наноструктурированная среда, температурные поля в которой могут проходить границу фазового перехода. С этими фазовыми переходами связаны выделение и поглощение большого количества тепла, которые существенно влияют на температурное поле рассматриваемой среды и ее динамику.
На границах расчетного объема могут быть заданы различные граничные условия: первого, второго или третьего типов. Кроме этого, будем рассматривать наноматериалы с внедренными в них нанотрубками, которые будут позиционироваться как дополнительные источники (стоки) тепла.
БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Основные уравнения
Базовым уравнением для разработки методов прогноза процессов распределения температурных полей является уравнение баланса тепла в интегральной форме [8]:
•л
- Щ н* = —Ц д • я а* + \\\ (1)
И V Е V
Здесь V - контрольный объем, Е - окружающая его поверхность, I - время, Н = Н(и) -энтальпия (внутренняя энергия) на единицу объема, и - температура, д - вектор потока тепла, Л - коэффициент теплопроводности, я - внешняя нормаль к рассматриваемому объему, F - приток тепла на единицу объема. В грунте поток тепла д определяется по закону Фурье:
д = -Л grad и , (2)
Л - коэффициент теплопроводности. Фазовые переходы и скачки коэффициентов теплопроводности на границах наноматериалов различных типов или элементов строительных конструкций порождают разрывы в решениях. При отсутствии таких разрывов на основе уравнений (1) и (2) выводится уравнение распространения тепла в дифференциальной форме:
д д д д д д д сч— и = — (Л—и) + — (Л— и) + — (Л— и) + F (х, у, г). (3)
Ы дх дх ду ду дг дг
Здесь су = ОН / Ом = р с - объемный коэффициент теплопроводности, с - удельная
теплоемкость, р - плотность, Л - коэффициент теплопроводности, и(х, у, г, ,) - температура среды. Здесь считается, что в случае наличия фазового перехода, где энтальпия терпит скачок, объемный коэффициент теплопроводности имеет вид
С, = Р с + 28(и - и*),
и* - температура фазового перехода, 2 - теплота фазового перехода, 8(и — и ) - дельта-функция.
Энтальпия в общем случае нелинейная, монотонно возрастающая функция от температуры. В простейшем случае можно считать, что
Н = Н0 + с, (и — и *), и > и *,
Н = Н0 + с^(и — и*) — 2, и < и*.
Здесь с, - объемная теплоемкость жидкой фазы, с^ - объемная теплоемкость твердой фазы, Н 0 - константа определения энтальпии. В случае Н 0 = 0 здесь энтальпия равна нулю при и = и *.
В случае, когда коэффициент теплопроводности постоянная величина, из уравнения (3) выводится уравнение теплопроводности:
с„ 5 52 52 52 F(х, у, г)
——и =—-и +—-и +—-и + 4 '. (4)
л ы дх2 ду2 &2 л
В данной модели допускается, что при и < 0 может иметься область, частично содержащая материал в твердой фазе, где процент частиц твердого вещества зависит от температуры, в связи с чем энтальпия при и < 0 - нелинейная функция температуры. Для описания областей с частичным содержанием твердого вещества существуют и более сложные двухфазные модели, где соотношение между жидкой и твердой фазами зависит еще и от времени с начала процесса перехода в твердую фазу. Такие модели требуют расчета
двух уравнений теплообмена. В связи с тем, что здесь предполагаются длительно текущие процессы, эти модели не рассматриваются.
Расчеты разрывов
Применяется два разных аналитических подхода и соответственно два разных типа численных методов для решения задач с разрывами. При первом подходе разрывы выделяются, а непрерывные области описываются уравнениями (1) или (2). На разрывах ставятся некоторые граничные условия, выводимые из (1) и (2). Для фазовых переходов граничные условия следующие [8, 13]:
и (Н 2 - НО = и) -¿2 и), и = 0, и 2 = 0. (5)
Здесь и - скорость распространения поверхности разрыва в направлении ее нормали 5 , индексы 1 и 2 обозначают значения соответствующих величин по разные стороны разрыва, нормаль 5 направлена от области 1 к области 2. Предполагается, что на таком разрыве терпит скачок величина энтальпии при и = 0 в связи с наличием теплоты фазового перехода. Учитывается также скачок теплопроводности для твердого и жидкого вещества, но для существования разрыва наличие такого скачка не обязательно.
Для неподвижных разрывов, связанных со скачком коэффициента теплопроводности на границе раздела двух разных сред граничные условия следующие [9, 13]:
Л1 (Аи^ -¿[-Аи^ = 0, и = и2, (6)
В одномерном случае, когда все зависит только от одной координаты х, эти соотношения принимают вид:
' д ) „ ( д
и (Н1 - Н2) = Л1 |^дХи) -Л2 |^дХи) , и1 = ^ и 2 =
¿1 ["дхи ^ ¿2 ^ ^ , и1 = и 2.
Граничные условия на границе расчетного объема и их применение для расчетов сооружений
На границе расчетного объема ставятся три типа граничных условий.
Граничное условие первого типа:
и = Л) (7)
Пример реализации: поверхность с заданной температурой.
Граничное условие второго типа:
д
-Л — и V) (8)
дп
Примеры применения: плоское терморегулирующее устройство, позволяющее регулировать поток тепла с поверхности, при у^) = 0 - теплоизолирующая поверхность, стандартное граничное условие на боковой границе расчетного объема.
Граничное условие третьего типа:
д
Л — и = -а(и - ¡(¿)) (9)
дп
Применяется для описания области контакта с двусторонней теплопроводящей поверхностью, для которой с одной стороны температура совпадает с температурой наноматериала, а с другой - поддерживается заданная температура Л). Данное условие моделирует тонкий слой теплопроводящего наноматериала. Величина а рассчитывается по
формуле: а = Лт / И, Лт - теплопроводность наноматериала, И - его толщина. Примеры применения: наноконструкция, подверженная температурным перепадам с внешней и внутренней стороны.
Общие требования к конечноразностным численным расчетным схемам
После разложения расчетных величин в ячейках неявной разностной сетки в ряд Тейлора относительно некоторого расчетного узла и подстановки их в исходное уравнение должна выполняться аппроксимация этого уравнения [1 - 2]. Порядок остатка от такой подстановки есть порядок аппроксимации схемы. Необходимо отметить, что ошибки расчета не должны нарастать с течением времени, это проверяется с использованием спектрального признака или экспериментально^ - 8]. При измельчении шагов сетки численное решение в пределе, как правило, дает точное решение исходных уравнений. Для линейных уравнений доказано [2, 7], что при выполнении устойчивости и аппроксимации сходимость достигается. В нелинейных задачах, к которым относятся задачи с фазовыми переходами, обычно сходимость проверяется экспериментально путем измельчения сетки и сравнения результатов с известными решениями. При исследовании задач, содержащих разрывы [7, 10] (в данном случае это фронты перехода фаз и скачки коэффициента теплопроводности), необходимо пользоваться консервативными схемами, т.е. при выводе схем рекомендуется использовать интегральные законы сохранения, в данном случае это уравнение (1). При расчетах задач с разрывами и большими градиентами значимо свойство монотонности численной схемы, это свойство означает, что схема не создает максимумов и минимумов, не имеющихся в точном решении. В немонотонной схеме при наличии разрывов и больших градиентов возникает эффект «пилы», образования множества максимумов и минимумов, приводящего к существенному снижению точности расчета или даже к потере устойчивости из-за переполнения. В численной схеме, используемой в программном комплексе, учтены факторы, описанные в данном разделе.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В МАТЕРИАЛЕ С УСТАНОВЛЕННЫМИ НАНОТРУБКАМИ
В современных нанотехнологиях используются многие объекты квантовой физики, такие как доты, квантовые проволоки, сверхрешетки и др. Одним из интересных пространственных структурных элементов являются нанотрубки. Нанотрубки представляют собой протяженные молекулы, состоящие из большого числа атомов, расположенных на цилиндрообразных пространственных поверхностях. В настоящий момент синтезированы различные нанотрубки, в том числе легированные металлом.
В качестве расчетного объема в данной работе рассматривается двухфазный наноматериал. Характерные размеры и температура изначально обезразмериваются, что позволяет привести задачу к универсальному виду. Обезразмеривание проводится таким образом, что критической температурой (температурой фазового перехода) является 0.
Первый этап расчетов - наблюдение за тем, как изменяется распределение температурных полей в наноматериале при наличии внешнего поверхностного источника тепла. Пространственные шаги расчета одинаковы по всем осям. Считается, что в пределах этой области на верхней границе расчетного объема будет иметь место первое граничное условие: постоянно заданная температура. На рис. 5 и 6 представлены графики изменения температуры в структуре наноматериала в точках наблюдения с течением времени. Первая, вторая и третья точки располагаются на оси симметрии расчетного объема, на углу области, подвергающейся воздействию поверхностной температуры, и в области без влияния внешнего тепла, соответственно. Точки 4, 5 и 6 выбраны в тех же областях, но в отличие от точек 1, 2 и 3, они располагаются глубже относительно поверхности наноструктуры.
Рис. 5. Изменение температуры в 1, 2, 3 точках наблюдения за определенный интервал времени
--V. /5 .....
4 ^ у/;' X / / /
> / / г * у \ \ \ \ ;
/ 6"-' \ V...........
\ \
1 ' / - / /
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1
Рис. 6. Изменение температуры в 4, 5, 6 точках наблюдения в течение определенного отрезка времени
На рис. 7 отражена цикличность изменения температурного распределения в структуре наноматериала в случае, если поверхностная температура меняется во времени.
Следующий этап заключается в том, что в наноструктуру внедряются углеродные нанотрубки с сердечником из рабочего хладагента, позиционирующиеся как стоки тепла. В расчете рассматривались четыре нанотрубки, встроенные в материал на углах области, подверженной внешнему нагреву. В программной реализации нанотрубка представляет собой бесконечно тонкий источник (сток) тепла с постоянной мощностью. Рассмотрим температурные профили в точках наблюдения. Точки наблюдения взяты аналогично первому этапу исследования. На рис. 8 представлены результаты численного моделирования для температурного распределения в точках 1, 2 и 3 - это точки вблизи поверхности, пространственное распределение которых было указано ранее. Влияние стоков тепла на температуру наноструктуры под областью с постоянным подогревом ярко выражено: если раньше объем прогревался до температуры, подразумевающей фазовый переход, то теперь на оси симметрии температура не превышает критического значения.
Рис. 7. Цикличность изменения температуры в точках наблюдения 1, 2, 3 с течением времени
Рис. 8. Изменение температуры в точках наблюдения 1, 2, 3 в течение времени
Наконец, сравним показатели температуры в расчетном объеме без применения и с применением нанотрубок. На рис. 9 приведены температурные профили точек, располагающихся на оси симметрии (точка 1) и на углу расчетного объема (точка 2). Графики 1 и 2 отражают профили температур в том случае, когда нанотрубки не применяются. Графики 1 и 2 представляют температурные профили точек наноструктуры с внедренными стоками тепла - нанотрубками. Здесь температуры имеют синусоидальный характер с максимумом в районе критической температуры. Только для точки на углу расчетного объема виден небольшой всплеск температуры после периода внешнего нагрева, чего можно избежать, применяя большее количество стоков тепла или иную их геометрическую суперпозицию.
Также было проведено исследование влияния горизонтального внедрения нанотрубок на температурное поле наноструктуры. В ходе расчетов учитывалась возможность периодического функционирования нанотрубок (период работы - когда хладагент движется по сердечнику нанотрубки, оказывая термостабилизационное влияние на распределение тепла в наноструктуре). На рис. 10 представлено сравнение динамики температур в точках наблюдения 1 и 2 при периодическом цикле работы нанотрубок.
1
I / 2 1 /
; : г
« —.-- 2*
# 1 1
Рис. 9. Показатели температур в точках наблюдения: 1, 2 - точки на оси симметрии и на углу расчетного объема (без учета стоков тепла); 1*, 2* -с учетом стоков тепла
Рис. 10. Расчет с горизонтальной нанотрубкой со сдвигом цикла функционирования: 1, 2 - температура в первой и второй точке наблюдения без применения нанотрубки, 3, 4 - температура в первой точке и второй точке при применении нанотрубки
ВЫВОДЫ
На основе теории численных методов и математического моделирования решена задача расчета и прогноза распределения температурного поля в двухфазной нанокомпозиционной среде. Сформулирована математическая постановка задачи в виде интегрального уравнения теплового баланса с учетом теплового потока, изменяющегося по закону Фурье, учтены скачки энтальпии и коэффициента теплопроводности. Изучены численные схемы и методы. С помощью программного комплекса произведен расчет динамики температурного поля в наноструктуре.
Приведены результаты расчетов и прогноза распределения температурных полей для наноструктуры с вариацией параметров внедрения нанотрубок, рассматриваемых в качестве стоков тепла. Показано их положительное влияние на температурное поле наноматериала и возможность управлять динамикой тепла с целью недопущения достижения температурой критического значения, предполагающего фазовый переход.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белов В.В, Доброхотов С.Ю., Тудоровский Т.Я. Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках. I. Редукция к пространственно-одномерным уравнениям // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 141, № 2. С. 267-303.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М. : Наука, 1978. 512 с.
3. Климов Д.М., Васильев А.А., Лучинин В.В., Мальцев П.П. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке // Нано- и микросистемная техника. 1999. № 1. С. 3-6.
4. Кособудский И.Д., Ушаков Н.М., Юрков Г.Ю. Введение в химию и физику наноразмерных объектов. Саратов : Изд-во СГТУ, 2007. 182 с.
5. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М. : Наука, 1994. 384 с.
6. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М. : Наука, 1981. 296 с.
7. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / пер. с англ. М. : Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М. : Эдиториал УРСС, 2009. 784 с.
9. Сидняев Н.И., Мельникова Ю.С., Храпов П.В., Гласко А.В. Влияние температурного режима вечномерзлых грунтов на надежность оснований // Материалы междунар. научно-практ. конф. по инженерному мерзлотоведению, посвящ. ХХ-летию создания ООО НПО «Фундаментстройаркос». Тюмень : Изд-во «Сити-пресс», 2011. С. 247-256.
10. Сидняев Н.И., Храпов П.В., Мельникова Ю.С. Основы математического моделирования распределения температурных полей в многофазных средах // Сборник докладов IV Всерос. молодеж. научно-инновационной школы «Математика и математическое моделирование». Саров : Изд-во СарФТИ НИЯУ МИФИ, 2010. С. 85-93.
11. Сидняев Н.И., Федотов А.А., Крылов Д.А. Интегральный метод в задачах математического моделирования распределения температурных полей // Сборник докладов IV Всерос. молодеж. научно-инновационной школы «Математика и математическое моделирование». Саров : Изд-во СарФТИ НИЯУ МИФИ, 2010. С. 72-76.
12. Сидняев Н.И. Федотов А.А., Мельникова Ю.С. Управление распределением температурных полей в криолитозоне // Academia. Архитектура и строительство. М. : НИИСФ РААСН, №3, 2010. -С.372-374.
13. Сидняев Н.И. Теория фазовых переходов и статистические явления механики наноструктурированных веществ // Вестник МГТУ. Спец. выпуск «Наноинжененрия». Приборостроение. 2010. С. 9-22.
14. Dexter J. Carbon Nanotubes Enable Pumpless Liquid Cooling System for Computers // IEEE Spectrum's nanotechnology blog. URL : http://spectrum.ieee.org/nanoclast/semiconductors/nanotechnology/carbon-nanotubes-enable-pumpless-liquid-cooling-system-for-computers (дата обращения 25.03.2013).
A METHOD FOR PREDICTION OF THE TEMPERATURE FIELD IN THE NANOCOMPOSITE MATERIALS
Sidnyaev N.I., Ilina Y.S., Krylov D.A.
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
SUMMARY. The article presents a method of calculation of the temperature fields in the nanocomposite materials, which are defined as nanosystems with the appropriate rheological environment. Offers new mathematical models describing the real physical processes. Presents formulae for nanomaterials with specified nanotubes and the corresponding dependences of the distribution parameters.
KEYWORDS: nanocomposite, temperature field, nanotubes, control, numerical methods, mathematical simulaton.
Сидняев Николай Иванович, доктор технических наук, профессор МГТУ, e-mail: Sidnyaev@bmstu.ru Ильина Юлия Сергеевна, аспирантка МГТУ, e-mail: Jm.bmstu@yandex.ru, Крылов Дмитрий Алексеевич, аспирант МГТУ, e-mail: dmitrykrylov@rambler.ru
