CC BY
30
УДК 621.317.333.6 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-2-14-18
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ТОКА АБСОРБЦИИ
COMPARATIVE ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODELS FOR APPROXIMATION OF CURRENT ABSORPTION
© 2015 г. В.И. Лачин, К.Ю. Соломенцев, Нгуен Куок Уи, И.Г. Балабан
Лачин Вячеслав Иванович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия E-mail: lachinv/ @mail. га
Соломенцев Кирилл Юрьевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Нгуен Куок Уи - аспирант, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Балабан Игорь Геннадиевич - студент, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Lachin Viatcheslav Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Automation and Telemechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: lachinv/@mail.ru
Solomencev Kirill Yurievich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Automation and Tele-mechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Nguyen Quoc Uy - post-graduate student, department «Automation and Telemechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Balaban Igor Genadievich - department «Automation and Telemechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: i.balaban@ inbox.ru
Проведен сравнительный анализ математических моделей аппроксимации тока абсорбции различных электроэнергетических объектов (ЭО). Отмечено, что для целого ряда ЭО ток абсорбции имеет значительную величину. Если его не учитывать, то можно получить большую погрешность измерения сопротивления изоляции ЭО. Сравнивались аппроксимации кривой спадания абсорбционного тока в диэлектриках с помощью степенной и экспоненциальных функций. Для обоих случаев проведена проверка адекватности математической модели с помощью статистического аппарата. Был применен критерий Фишера и показано, что с целью повышения быстродействия и уменьшения погрешности измерения аппроксимацию кривой спадания абсорбционного тока лучше проводить степенной функцией.
Ключевые слова: математическая модель; ток абсорбции; сравнительный анализ; аппроксимация; экспоненциальная функция; степенная функция; адекватность; критерий Фишера; точность; погрешность; измерение сопротивления изоляции; электроэнергетический.
The article deals comparative analysis of mathematical models for approximation of current absorption of electric power industry objects (EPIO). It is noted that for a number of various EPIO of absorption current has large value. If it is not taken into account, you can get large inaccuracy in the measurement of insulation resistance EPIO. We compared the approximation of the decrease curve of current absorption in dielectrics using power and exponential functions and verified the adequacy of both mathematical models by statistical methods. We particularly used the Fisher test and showed that the approximation of the decrease curve of current absorption is best done by a power function to increase speed and reduce inaccuracy of resistance insulation measurement.
Keywords: mathematical model; current absorption; comparative analysis; approximation; exponential functions; power functions; adequacy; Fisher test; accuracy; inaccuracy; insulation resistance measurement; electricity.
При эксплуатации электроэнергетических объектов (ЭО) возникает задача контроля их сопротивления изоляции. Существующие ЭО, как правило, имеют большую емкость относительно земли, это может быть распределенная емкость электрических кабелей, емкости помехоподавляющих конденсаторов, которые включают между сетью и землей, емкости обмоток двигателей или трансформаторов относительно корпуса. Как правило, для осуществления измерения сопротивления изоляции ЭО между контролируемым объектом и «землёй» подключают источник постоянного измерительного напряжения Еизм и измеряют ток / в цепи, рис. 1.
Ток, 150 мкА
Рис. 1. Схема измерения
На рис. 1 приведена упрощенная эквивалентная схема обесточенного ЭО [1], где Rотр - токоограничи-вающий резистор; Соб - электрическая емкость ЭО относительно земли; Rиз - сопротивление изоляции ЭО относительно земли; R(t) - изменяющееся во времени сопротивление, обозначающее процесс абсорбции. Как показано в [2, 3], ток I содержит 3 составляющих: ток заряда /з, ток абсорбции /а и ток утечки (ток сквозной проводимости, установившееся значение тока) /уст. Ток утечки /уст зависит от сопротивления изоляции Rиз и от измерительного напряжения Еизм. Ток абсорбции /а зависит от свойств изоляции и степени ее однородности.
Для измерения сопротивления изоляции необходимо при известном значении Еизм измерить установившееся значение тока /усх [4, 5]. Если учитывать ^_
только ток заряда, то для измерения установившегося значения тока /усх следует выждать время, достаточное для заряда емкости ЭО. Но из-за неидеальности диэлектрических материалов, как правило, существует большой ток абсорбции, который действует значительно большее время, начальная величина тока абсорбции, в ряде случаев, соизмерима с установившимся током, и это обстоятельство надо также учитывать. Неучет тока абсорбции приводит к большим погрешностям измерения сопротивления изоляции.
Авторами предложен метод измерения сопротивления изоляции, учитывающий влияние тока абсорбции. Для его реализации необходимо знать, какой функцией можно описать изменение тока абсорбции во времени. Кроме этого, во многих задачах контроля состояния изоляции анализируется форма кривой тока абсорбции, для этого также необходимо знать функциональную зависимость тока абсорбции от времени.
Изменение тока абсорбции можно описать рядом функций, с различной точностью передающих реальную кривую спадания абсорбционного тока. Чаще всего используют аппроксимацию экспоненциальной функцией [6, 7] и степенной функцией [8, 9]. Несмотря на обилие информации о токах абсорбции в литературе, авторами не обнаружено достаточно четкого экспериментального подтверждения применимости тех или иных функций для аппроксимации токов абсорбции.
Авторами были проведены многочисленные эксперименты с целью определения функциональной зависимости тока абсорбции от времени. В качестве объектов исследования использовались конденсаторы с различным материалом диэлектрика. Эксперименты проводились с конденсаторами различных типов и кабелями.
Рассмотрим результаты экспериментов с конденсаторами типа МБГЧ общей ёмкостью 300 мкФ. Сопротивление Яогр в измерительной установке (рис. 1) было равным 1 кОм, поэтому через 3 с после замыкания ключа SA1 ток заряда /з можно считать равным нулю. С этого момента начиналась регистрация тока i с периодом 20 мс в течение 80 с. Всего получено N = = 4000 точек. Таким образом, на графиках представлена сумма тока абсорбции /а и тока утечки /уст. Для последующей статистической обработки результатов эксперимент повторялся 5 раз, на рис. 2 приведены 5 графиков /ь i2, ..., i5, полученные в результате экспериментов, а также усредненная кривая i. Результаты экспериментов отличаются друг от друга на величину случайной погрешности, поэтому на рисунке графики практически сливаются.
100
50-
0L
20 40 60 Время, с
Рис. 2. Графики суммарных токов абсорбции и утечки
Каждая точка усредненной кривой получена по формуле:
— 1 п .
^и = X ,
П ] =1
где 1и - усредненное значение тока в и-й точке; и -
номер точки, и = 1...Ж, N = 4000; п - количество повторных опытов, п = 5.
В [10] приведена математическая модель тока абсорбции в виде суммы экспонент с разными постоянными времени. Проведем аппроксимацию усредненной кривой i функцией вида:
/(*) = А1е1* + А2е+ В.
Для аппроксимации методом наименьших квадратов используем пакет прикладных программ (ППП) MathCad14. Составляются 4000 уравнений, варьируя значения А1, п1, А2, п2 и В, минимизируется невязка [1]. Для этого используется функция minimize(). После обработки получаем математическую модель с численными значениями (ток выражен в микроамперах, время в секундах):
/(*) = 708,832е_1,028' + 27,847е~0,072 + 29,095 . (1)
В соответствии с терминологией теории планирования эксперимента в данной математической модели один фактор - время *, откликом является значение функции / (*).
На рис. 3 приведены графики усредненной кривой i и аппроксимирующей функции (1).
где ги]- - значения результатов в пяти повторных опытах в и-й точке; iu - среднее значение результатов в и-й точке.
Из совокупности рассчитанных дисперсий функции отклика выбирается минимальное £2тт и максимальное Slmax значения. Так как в обоих случаях имеются п = 5 значений, числа степеней свободы П = k2 = п - 1 = 4.
Вычисляем эмпирическое значение критерия Фишера
F = = 0,6019 = 5 02
S,
0,1198
Сравниваем с критическим значением Fкр = = F(a; П; k2) = F(0,05; 4; 4) = 6,39, где а - уровень значимости, условие F <= Fкр выполняется (5,02 < 6,39), поэтому гипотеза об однородности ряда дисперсии в различных точках принимается.
В соответствии с [11], в основе проверки адекватности математической модели лежит сравнение двух видов рассеивания - рассеивания экспериментальных точек 1и]- относительно построчных средних
значений 1и и рассеивания построчных средних значений 1и относительно предсказанных значений в соответствии с уравнением регрессии поверхности отклика, в нашем случае относительно значений экспоненциальной функции / (*) (1).
Вычисляем оценку дисперсии воспроизводимости по всем точкам:
N п _ 2
ЕЕ (и - 'и)
^ 2 = и =1 ] =1_ ;
вос = N(п -1) ;
20 40 60 Время, с
Рис. 3. Графики усредненной кривой ' и аппроксимирующей функции
Необходимо оценить адекватность полученной модели. В соответствии с [11], для проверки адекватности анализируются дисперсия воспроизводимости и дисперсия адекватности. Перед тем как сравнивать эти дисперсии, необходимо проверить однородность дисперсии воспроизводимости во всех точках в целях исключения грубых промахов. Поэтому обязательным этапом обработки должна быть проверка статистической гипотезы об однородности совокупности дисперсий воспроизводимости. Расчеты будем проводить с учетом того, что в каждой точке производится количество повторных опытов п = 5. Определяем дисперсии воспроизводимости по следующей формуле (аналогично построчной дисперсии функции отклика в теории планирования эксперимента):
Е Е О«, - )
= 0,193 .
^ 2 = и=1 ] =1_
вос = 4000(5 -1)
Для данной величины количество степеней свободы М = N(п -1) = 16000 .
Вычисляем оценку дисперсии адекватности:
N _ 4000 _
п Е ('и - /и )2 5 Е ('и - /и )2
s 2 = и =1_
ад" N - m
4000 - 5
= 5,175.
Для данной величины количество степеней свободы k2 = N - 5 = 3995.
Вычисляем эмпирическое значение критерия Фишера:
F =
5,175
S2 0,193
вос '
= 26,81.
Е (i«, -iи)2
s,2 = j=
(n -1)
Сравниваем с критическим значением Fкр = = F(a; k1; k2) = F(0,05; ®) = 1,03. Так как F> Fкр (26,81 > 1,03), гипотеза об адекватности модели от-
и =1
вергается. Таким образом, математическая модель изменения во времени тока абсорбции в виде суммы двух экспонент (1) не является адекватной в рассмотренном эксперименте.
Рассмотрим аппроксимацию степенной функцией вида [12]:
/ (о = А^ - + в.
Для аппроксимации применяем метод наименьших квадратов с помощью ППП MathCad14, аналогично примененной выше аппроксимации суммой двух экспонент. После обработки получаем функцию с численными значениями (ток выражен в микроамперах, время в секундах):
/(0 = A(t-0)-п + в=56,454(t-2,033)-0,504 + 24,455 . (2)
На рис. 4 приведены графики усредненной кривой i и аппроксимирующей функции (2).
Ток, 150 мкА
100
f (t)=56,454(t - 2,033) + 24,455
ОД
50
I - средние значения эксперимента
воспроизводимости sB0C и адекватности S.^^ по F-
критерию. Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:
F = ^Д
n Z (iu - fu )2
u =1_
N - m
s 2 N n _
^ ZZ (iu, - iu )2
u=1 j=1
20 40 60 Время, с
Рис. 4. Графики усредненной кривой г и аппроксимирующей функции (2)
Оценка дисперсии адекватности при N > т характеризует отклонения между результатами наблюдений и значениями, формируемыми по функции модели:
N (n -1)
F = 0198 = 1,026. 0,193
Сравниваем рассчитанное значение с критическим значением Fкр = F(a; VI; k2). Можно считать И = k2 = да, тогда Fкр = F(0,05; да; да) = 1,03, где а -уровень значимости. Условие F <= Fкр выполняется (1,026 < 1,03), поэтому гипотеза об адекватности модели принимается.
Авторами были проведены аналогичные сравнительные исследования различных электроэнергетических объектов - конденсаторов типа К73 (с полиэти-лентерефтолатной пленкой), импортных конденсаторов типа СВВ21 (с полипропиленовой пленкой), различных электрических кабелей. Во всех случаях математическая модель процесса абсорбции в виде степенной функции оказалась более точной.
Знание функции, по которой изменяется ток абсорбции во времени, позволило создать устройство измерения сопротивления изоляции, имеющее повышенное быстродействие при наличии больших емкостей с большими токами абсорбции. Принцип действия устройства основан на экстраполяции, т. е., не дожидаясь окончания тока абсорбции, вычисляется оценка (прогноз) установившегося значения тока густ, а затем вычисляется сопротивление изоляции. Разработанное устройство имеет время одного цикла измерения 40 с при емкости до 300 мкФ и измеряемом сопротивлении изоляции до 2 МОм.
s 2 =
n Z (iu - fu )2
u =1_
N - m
где т = 4 - количество оцениваемых коэффициентов модели; ги - среднее значение результатов пяти наблюдений в и-й точке; / - значение отклика в этой же точке, предсказанное по модели.
Количество степеней свободы дисперсии адекватности М = N - т = 3096.
ч 2
S 2 =
4000 _
5 Z (iu - fu )2
-= 0,198.
4000 - 4
Статистическая проверка адекватности модели состоит в проверке однородности оценок дисперсий
Литература
1. Лачин В.И, Соломенцев К.Ю. Методы и устройства контроля состояния электроэнергетических объектов с дискретно-распределенными параметрами. монография / Юж.-гос. техн. ун-т (НПИ) Новочеркасск, 2012. 342 с.
2. Меркулов В.И. Основы конденсаторостроения: учеб. пособие. Томск: Изд. ТПУ. 2001. 121 с.
3. Пат. 4 646 248 U.S., МПК G01R 19/00. Insulation analyzer apparatus and method of use / Peter H. Reynolds, Ambler, Pa. Опубл. 24.02.1987.
4. А.с. 1737363 СССР, МКИ G01R 27/18. Способ измерения сопротивления изоляции электрических сетей / В.И. Лачин, Е.А. Иванов, А.К. Малина, В.П. Холодков, К.Ю. Соломенцев и др. Опубл. 1992, Бюл. № 20.
0
5. Пат. 2310873 РФ, МПК G01R 27/18. Способ измерения сопротивления изоляции электрических сетей / В.И. Ла-чин, А.В. Кильдияров, К.Ю. Соломенцев, Е.А. Иванов Опубл. 20.11.07. Бюл. № 32.
6. Серебряков А.С. Способ измерения установившегося значения сопротивления изоляции // Электричество. 1999. №5. С. 40 - 43.
7. Пат. 2490652 РФ МПК G01R 27/02. Устройство для контроля качества электрической изоляции. / А.С. Серебряков, Д.А. Семенов. Опубл. 20.08.2013. Бюл. № 22.
8. Schleif F.R. Corrections for Dielectric Absorption in High Voltage D-C Insulation Tests // AIEE Transactions. Vol. 75, pt. 111, August 1956.
9. Curdts E.B. Insulation Testing by D-C Methods. 1958, reprinted in 1964 in Biddle Technical Publication 22T1.
10. Богородицкий Н.П., Пасынков В.В., Тареев Б.М. Электротехнические материалы: учебник для вузов; 7-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд., 1985. 304 с.
11. Егоров А.Е., Азаров Г.Н., Коваль А.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планирования эксперимента / под ред. В. Г. Воронова. Харьков: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1986. 240 с.
12. Лачин В.И, Соломенцев К.Ю, Нгуен К.У. Влияние тока абсорбции на процесс измерения сопротивления изоляции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. № 6. С. 32 - 35.
References
1. Lachin V.I, Solomencev K.Yu. Metody i ustrojstva kontrolya sostoyaniya 'elektro'energeticheskih ob'ektov s diskretno-raspredelennymi parametrami. Monografiya [Methods and devices of monitoring state of electric power industry objects with discrete distributed parameters]. Novocherkassk, YuRGTU(NPI) Publ., 2012, 342 p.
2. Merkulov V.I. Osnovy kondensatorostroeniya. Ucheb. Posobie [Bases of construction capacitors. Textbook]. Tomsk, Izd. TPU, 2001, 121 p.
3. Peter H. Reynolds, Ambler, Pa. Insulation analyzer apparatus and method of use. Pat., no. 4 646 248 U.S., 1987.
4. Lachin V.I., Ivanov E.A., Malina A.K., Holodkov V.P., Solomencev K.Yu. i dr. Sposob izmereniya soprotivleniya izolyacii 'elektricheskih setej [Method of measuring the insulation resistance of electrical circuits.]. A.s., no. 1737363 SSSR, 1992.
5. Lachin V.I., Kil'diyarov A.V., Solomencev K.Yu., Ivanov E.A. Sposob izmereniya soprotivleniya izolyacii 'elektricheskih setej [Method of measuring the insulation resistance of electrical circuits]. Pat., no. 2310873 RF, 2007.
6. Serebryakov A.S. Sposob izmereniya ustanovivshegosya znacheniya soprotivleniya izolyacii [A method for measuring steady-state value of insulation resistance]. Elektrichestvo, 1999, no.5, pp. 40-43.
7. Serebryakov A.S., Semenov D.A. Ustrojstvo dlya kontrolya kachestva 'elektricheskoj izolyacii [Device for controlling the electrical insulation quality]. Pat., no. 2490652 RF, 2013.
8. Schleif F.R., Corrections for Dielectric Absorption in High Voltage D-C Insulation Tests. AIEE Transactions. vol. 75, pt. 111, August 1956.
9. Curdts E. B., Insulation Testing by D-C Methods. 1958, reprinted in 1964 in Biddle Technical Publication 22T1.
10. Bogorodickij N. P., Pasynkov V. V., Tareev B. M. Elektrotehnicheskie materialy. Uchebnik dlya vuzov. 7-e izd., pererab. i dop. [Electrotechnical materials: Textbook for universities. 7th ed., Rev. and add]. Leningrad, 'Energoatomizdat. Leningr. otd-nie, 1985, 304 p.
11. Egorov A.E., Azarov G.N., Koval' A.V. Issledovanie ustrojstv i sistem avtomatiki metodomplanirovaniya 'eksperimenta [Study of devices and automation systems by of experiment planning]. - Har'kov, Vischa shk. Izd-vo pri Har'k. un-te, 1986, 240 p.
12. Lachin V.I, Solomencev K.Yu, Nguen K.U. Vliyanie toka absorbcii na process izmereniya soprotivleniya izolyacii [The Influence Absorption Current to the Measurement Resistance of Insulation Energy Object]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskij region. Tehnicheskie nauki, 2013, no. 6, pp. 32-35.
Поступила в редакцию 16 февраля 2015 г.
