CC BY
43
УДК 681.5
Кривошеев Владимир Петрович Кан Борис Анатольевич
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Владивосток. Россия
Сравнительная оценка параметрического синтеза аналоговых и цифровых комбинированных систем управления
В основе расчета комбинированных систем автоматического регулирования (АСР) лежит принцип инвариантности, который справедлив и для цифровых систем управления. Однако передаточные функции компенсирующих и развязывающих устройств, полученные из условий инвариантности, зачастую физически нереализуемы.
Ключевые слова и словосочетания: системы управления, развязывающие устройства, компенсаторы, частотный метод, амплитудно-фазовая характеристика.
Комбинированные системы находят широкое применение при управлении объектами в различных отраслях промышленности, например, в нефтепереработке и нефтехимии [1], теплоэнергетике [2] и др. В этих системах реализуются базовые принципы управления - по отклонению и по возмущению. Структурная схема комбинированной системы приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема комбинированной системы управления
Эффективность такой системы достигается за счёт компенсации основных измеряемых возмущающих воздействий. При этом упрощается процесс достижения регулируемой переменной заданного значения регулятором, установленным в цепи обратной связи. Параметрический синтез такой системы включает в себя определение рабочей частоты системы и опти-
мальных настроечных параметров выбранного регулятора, а затем определение типа компенсатора и его настроечных параметров. Известны графоаналитический [3] и аналитический [4, 5, 6] методы параметрического синтеза реальных компенсирующих и развязывающих аналоговых устройств. В качестве таких устройств рассматриваются реальные дифференцирующие, интегро-дифференцирующие и неминимальнофазовые динамические звенья.
Ранее нами предложен частотный метод параметрического синтеза типовых регуляторов в дискретной форме [7, 8] для одноконтурных цифровых систем управления (ЦСУ).
В настоящей статье ставится задача исследования возможности применения алгоритмов параметрического синтеза аналоговых компенсаторов при вычислении параметров дискретных компенсаторов для ЦСУ.
Для каждого вида реального компенсатора рассматриваются возможные случаи наилучшей компенсации возмущающего воздействия, добиваясь выполнения условий:
(1 •0) - Шк (1 •0) = 0 , (1) жк (1 V- жк (1 V=0; (2)
или
wk (j-0) - wp (j- 0) = 0 , (3)
min; а, b
wk (j - wp) - Wjp (j - wp) ® min; (4)
или
Wk (j- 0) - wkp (j- 0) ® min' (5)
i ® min,
а, b
wk(j - wp)-wkp(j-wp) = 0, (6)
где W(jw), Wjp (jw) - амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) соответственно идеального и реального компенсатора или развязывающего устройства;
а, b - векторы параметров выбранного типа реального компенсатора или развязывающего устройства.
Условия (3) и (4), (5) и (6) выражают максимально возможное приближение АФХ идеального и реального компенсатора или развязывающего устройства на частоте ^ = 0 и на рабочей частоте w р ■ При этом компенсация возмущения на нулевой частоте обеспечивает инвариантность системы в установившихся статических режимах.
На рисунках 2-13 в табл. 1 приведены переходные процессы в одноконтурных аналоговых и цифровых системах управления, а на рис. 14-29
55
в табл. 2 приведены переходные процессы в комбинированных аналоговых и цифровых системах управления. Шаг квантования по времени определялся согласно рекомендациям [9]. Расчёт параметров дискретных компенсирующих устройств выполнялся по тем же алгоритмам, что и для аналоговых компенсирующих устройств [4-6]. Переход от передаточных функций типовых аналоговых компенсирующих устройств к дискретным выполнялся по Тастину [9]. При построении АФХ дискретных компенсаторов выполнялся переход от псевдочастоты к круговой частоте.
Таблица 1
Рассматриваемые системы
№
Тип АСР
Показатели качества переходного процесса
2
3
Одноконтурная аналоговая
Ж (л) = ■
оу
30 ■ е
- 0.5 ■ л
10 ■ л 2 + 10 ■ л + 1
ш /л 20■е
Ж ( л) = —-
овчу 2
- л
Я (л) =
л" + 4 ■ л +1 0.237 ■ л + 0.061
Рис. 2. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР I тр=0.733рад/сек.; А1 = 6.7; А3 = 1.2; у = 0.8209; tpег = 30_
Одноконтурная цифровая
Ж (г) = 0.14925 ■ оук '
(г +1)
2
-1
г2 -1.5821 ■ г + 0.60199788 Л
Ж (г) = 0.60606 — ов2
( г + 1У
-1
Я (г) =
г^ - 0.90905 ■ г + 0.03029769 0.2563 ■ г - 0.25638
г -1
1
I
л
О 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 3. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР I а>р=0.7725рад/сек.; А1 = 6.55; А3 = 1.22; у = 0.8137; tpег = 30_
Продолжение табл. 1
2
Одноконтурная аналоговая
Ш (5 ) = -
30 • е
- 0.5•5
100 • 5 2 + 30 • 5 +1
Ш (5) = ову '
20 •е
- 5
2
Я (5 ) =
5~ + 4 • 5 + 1 0.242 -5 + 0.032
5
Рис. 4. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР II а>р=0.24 рад/сек.; А1 =11.3; А3 = 4; у = 0.646; tpег = 80_
Одноконтурная цифровая
Ш (г) = 0.007389 оу
(^ +1)
2
-5
г2 -1.9704 - г + 0.97049804 ч2
Ш (г) = 0.04158 —
ов к ' 2
(г+1)
г
-10
Я ( г ) =
^ -1.6591 г + 0.6674028 0.2432 - г - 0.24
г -1
Рис. 5. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР II а>р=0.24 рад/сек.; А1 =11.28; А3 = 3.9; у = 0.654; tpег = 80_
Одноконтурная аналоговая
- 0.2 • 5
Ш (5) = 2 •
оуу '
Ш (5) = ову '
10000 52 + 570 5 +1
- 2.2 • 5
10^ е"
2
Я (5) =
100 ^ + 25 • 5 +1 45.181 • 5 + 0.655
5
1
3
57
Продолжение табл. 1
Рис. 6. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР III а>р=0.09 рад/сек.; А1 =3.33; А3 = 0.7; у = 0.7898; tpег = 225_
Одноконтурная цифровая
Ж (г)= 0.000048613
Ж (г) = 0.022173 —
ову ' 2
(г+1)
2
г2 - 1.9445 ■ г + 0.94459666 2
(г +1)'
- 2
Я (г) =
г^ - 1.7594 ■ г + 0.7782184 48.82 ■ г - 45.09
г -1
Рис. 7. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР III а>р=0.09рад/сек.; А1 =3.25; А3 = 0.7; у = 0.78461; tpег = 225_
IV
Одноконтурная аналоговая
Ж (л) = 0.849
Ж (л) = 0.172 овк '
(-47.52 ■ л + 1) ■ е
- 0.03 ■ л
4142 ■ л2 + 135 ■ л + 1
(2.32 ■ ^ + 1) ■ е-
2
Я (л ) =
1555 ■ ^ +! 1.473 ■ л + 0.016 л
■ 5 + 1
Рис. 8. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР IV а>р=0.0171 рад/сек.; А1 =0.134; А3 = 0.033; у = 0.7537; tpег = 1050_
1
2
3
Продолжение табл. 1
2
3
Одноконтурная цифровая
Ш (г) = -0.0047414
(г -1.021) • (г +1) (г - 0.9887) •(г - 0.979)
Ш (г) = 0.00015174 „ ов2
г2 + 0.3546 •г-0.6454 -2 --г 2
г2 -1.9456 •г + 0.94622535
Я (г) =
1.495 •г-1.479 г -1
Рис. 9. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР IV а>р=0.0171 рад/сек.; А1 =0.133; А3 = 0.031; у = 0.76691; tpег = 1050
V
Одноконтурная аналоговая
Шоу (5) = 200
Шов (5) = 100
е
10 • 5 +1
50 • 5 2 + 20 • 5 + 1
Я (5) =
0.082 • 5 + 0.067
Рис. 10. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР V а>р=2 рад/сек.; А1 =1.35; А3 = 0.62; у = 0.5407; tpег = 32_
Одноконтурная цифровая
Ш (г) = 4.878---
оУ (г - 0.9512)
-1
Ш (г) = 0.11351 —-ов2
(г+1)
2
- 2
Я (г) =
г2 -1.8138 •г + 0.81834597 0.1129 • г - 0.07301
г -1
1
0.5 • 5
- 5
е
5
59
Окончание табл. 1
111111
.... 1.......:.....................................................................................
тЛ ;
Г * --*—■-.-\-.-I- 1
Рис. 11. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР V щр=2 рад/сек.; А1 =1.146; А3 = 0.51; у = 0.555; tpег = 32_
VI
Одноконтурная аналоговая
- 3 ■ л
Ж (л) = 5 ■
оук у
л 2 + 2 ■ л +1 - 2.5 ■ л
е
Ж (л) = 10--
ов 2 ■ л + 1
ч 0.084 ■ л + 0.041 Я (л) = -
Рис. 12. Переходный процесс аналоговой одноконтурной АСР VI а>р=0.55рад/сек.; А1 =4.1; А3 = 0.93; у = 0.7732; tpег = 37_
Одноконтурная цифровая
Ж (г) = 1.1111-(г+1)--г 5
оУ (г - 0.7778)
Ж (г) = 0.2-
(г +1)2
- 6
Я (г) =
г2 - 1.2 ■ г + 0.36 0.09563 ■ г - 0.97511
г -1
Рис. 13. Переходный процесс цифровой одноконтурной АСР VI а>р=0.55рад/сек.; А1 =4.05; А3 = 0.95; у = 0.765; tpег =37_
1
2
3
4'
Для количественной оценки качества переходного процесса в системах управления определены прямые показатели: т ^ - рабочая частота, А\ -
первая амплитуда, А3 - третья амплитуда, у - степень затухания и ?
время регулирования.
рег Таблица 2
Сравнительная оценка АФХ реальных компенсаторов в аналоговых и цифровых комбинированных АСР
Реальное дифференцирующее звено Ш (5) = Тв
Т + 1
Тип АСР
Условия для расчета реального компенсатора
_1_
Аналоговая комбинированная
3
Ш (0) = Ш , (0); р.кЛ ' и.д.ку "
Ш
к.
(т ) = Ш Л (т ); р.к. р7 и.о.к 4 р7
Т = 16.890; Т = 1.740 в
Рис. 14. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР I с реальным дифференцирующим звеном
Цифровая комбинированная
Шр.к.(0) Ши.д.к(0); Ш
к.
(т ) = Ш л (т ); р.к. ру и.о.ку ру'
Т = 17.156; Т = 1.777
в
Рис. 15. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР I с реальным дифференцирующим звеном
61
Продолжение табл. 2
1
2
3
Аналоговая комбинированная
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
Ж---.(0)=^и.д.к(0);
р.к Ж __ .. (а )
и.д.к ® Ж
, л (а );
р.к.4 р' и.д.к 4 р7
Т = 62.418; Т = 0.062
в
Рис. 16. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР II с реальным дифференцирующим звеном
Цифровая комбинированная
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
Ж (0)=Жи.д.к(0);
р.к
(а )
и.д.к ® Ж
ч-- , ч (а );
р.к. р и.д.к р
Т = 62.216; Т = 0.062 в
Рис. 17. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР II с реальным дифференцирующим звеном
Интегро-дифференцирующее звено
ж (?) = к
+1
Аналоговая комбиниро- Совпадение на нулевой и на рабочей частотах Ж р.к (0) = Жи.д.к(0);
ванная Ж р.к. (ар) = Ж А (а ); и.д.к4 р"
к = 5; Т = в = 62.216; Т = 0.062
Продолжение табл. 2
Рис. 18. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР III с интегро-дифференцирующим звеном
Цифровая комбинированная
Совпадение на нулевой и на рабочей частотах
W (0) = W Л (0); р.к.w и.д.к к '
W (w ) = W , (w ); р.к. ру и.о.ку ру
к = 4.970; Т = 589.925; Т = 8.395 в
Рис. 19. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР III с интегро-дифференцирующим звеном
Аналоговая комбиниро-
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
W (0) = W л (0); " т. w и.д.к к '
->W
р.к.
W (w )-р.к.4 ру
к = 0.202; Т = 56.764; Т = 0.056 в
л (W ); и.д.к4 ру
Рис. 20. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР IV с интегро-дифференцирующим звеном
1
2
3
63
Продолжение табл. 2
1
2
Цифровая комбинированная
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
Ж (0) = Ж Л (0); р.к.4 у и.д.к 4 '
Ж (а )-р.к. р
Ж
л (а );
и.д.к р
к = 0.200; Т = 57.246; Т = 0.057 в
Рис. 21. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР IV с интегро-дифференцирующим звеном
Аналоговая комбинированная
Приближение на нулевой и совпадение на рабочей частотах
Ж (0)-р.к.4 у
Ж
и.д.к
(0);
Ж (а ) = Ж , (а ); р.к. ру и.д.кк ру
к = 0.124; Т = 92.749; Т = 0.011
в
Рис. 22. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР IV с интегро-дифференцирующим звеном
Цифровая комбинированная
Совпадение на рабочей и приближение на нулевой частотах
Ж (0)-р.к.
Ж
и.д.к
(0);
Ж (а ) = Ж (а ); р.к. р и.д.к р
к = 0.200;
Т = 95.453;
в
Т = 0.011
Рис. 23. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР IV с интегро-дифференцирующим звеном
3
Продолжение табл. 2
1
2
Неминимальнофазовое инерционное звено Ш (5) = к
1 + Т8
Тип АСР
Условия для расчета реального компенсатора
Аналоговая комбиниро-
Совпадение на нулевой и на рабочей частотах
Ш (0) = Ш Л (0); р.к.4 у и.д.к 4 '
Ш (т ) = Ш л (т ); р.к. р' и.д.к р'
к = 0.500; Т = 0.645; Т = 8.264
в
Рис. 24. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР V с неминимальнофазовым звеном
Цифровая комбинированная
Совпадение на нулевой и на рабочей частотах
Ш (0) = Ш л (0); р.к.4 у и.д.к к '
Ш (т ) = Ш л (т ); р.к. р' и.о.ку р"
к = 0.499; Т =-0.655; Т = 9.099; в
Рис. 25. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР V с неминимальнофазовым звеном
Аналоговая комбиниро-
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
Ш (0) = Ш л (0); " т.4 у и.д.к к '
р.к.
Ш (т )-р.к.4 ру
к = 0.500; Т = 0.898; Т = 0.001
в
л (т ); и.д.к4 ру
3
65
Продолжение табл. 2
Рис. 26. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР VI с неминимальнофазовым звеном
Цифровая комбинированная
Совпадение на нулевой и приближение на рабочей частотах
Ж (0) = Ж л (0); . и.д.к
р.к.
Ж (а )-> Ж
р.кг р'
к = 0.592; Т = 0.991; Т = 0.001
в
\ (а );
и.д.ку р'
Рис. 27. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР VI с неминимальнофазовым звеном
Аналоговая комбинированная
Совпадение на рабочей и приближение на нулевой частотах
Ж (0)-> Ж , (0);
р.к. ' и.д.ку 7
Ж (а ) = Ж , (а ); р.к. р и.д.к р
к = 0.515; Т = 0.873; Т = 8 10в
1
2
3
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 28. Переходный процесс аналоговой комбинированной АСР VI с неминимальнофазовым звеном
Окончание табл. 2
1 2 3
Цифровая комбинированная Совпадение на рабочей и приближение на нулевой частотах Ш (0)-> Ш , (0); р.к.4 у и.д.кк у Ш (т ) = Ш Л (т ); р.к. р7 и.д.к4 р7 к = 0.5925; Т = 1.0527; Т = 1.052 •Ю-4; в
2.5 р 2 -1.5 -1 -■ 0.5 -О -■0.5 -■1 -
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 29. Переходный процесс цифровой комбинированной АСР VI с неминимальнофазовым звеном
Сравнительный анализ переходных процессов в аналоговых и цифровых системах управления подтверждает их идентичность. Также близки переходные процессы в комбинированных аналоговых и цифровых системах управления. Для сравнения результатов промежуточного этапа параметрического синтеза типовых компенсаторов в аналоговом и дискретном вариантах построены АФХ. Графики АФХ, приведенные на рис. 30-41 в табл. 3, также свидетельствуют о близости АФХ для аналоговых и дискретных идеальных компенсаторов.
Таблица 3
Значения АФХ рассматриваемых систем на рабочих частотах
№ Тип АСР Значения на контрольных частотах
Значения на т=0 Значения на т=шр
1 2 3 4 5
I Аналоговая Яе(т) -5.685 * 10-14 6.057
!т(т) 6.962 * 10-30 4.715
Ну<]Ш5| □¡адгат
012345678 Рис. 30. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР I
67
Продолжение табл. 3
1 2 3 4 5
Цифровая Re(a>) 0 6.310
1т(т) 0 4.593
Рис. 31. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР I
II
Аналоговая
Re(ю)
1т(ю)
-1.12325 * 10-
1.37556 * 10-:
-2.682
15.300
О 5 10 15 20 25
Рис. 32. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР II
Цифровая Re(m) 0 -2.707
1т(т) 0 15.251
□ 5 10 15 20 25
Рис. 33. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР II
Продолжение табл. 3
1 2 3 4 5
III Аналоговая Re(a>) 4.999 130
Im(rn) 0 165
О 50 100 150 200 250 300
Рис. 34. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР III
Цифровая Re(rn) 4.970 130.070
Im(rn) 0 165.570
Рис. 35. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР III
IV Аналоговая Re(rn) 0.200 0.123
Im(rn) 0 0.194
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Рис. 36. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР IV
Цифровая
Re(rn)
Im(rn)
0.200
0
0.122
0.199
69
Продолжение табл. 3
Рис. 37. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР IV
V Аналоговая Re(m) 0.500 -0.037
1т(т) 0 -0.032
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 38. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР V
Цифровая Re(m) 0.499 -0.034
1т(т) 0 -0.029
Рис. 39. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР V
VI
Аналоговая
Re(m)
1т(т)
0.500
0.514
-0.247
1
2
3
0
Окончание табл. 3
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 40. АФХ идеального компенсатора аналоговой АСР VI
Цифровая Re(ю) 0.499 0.525
!т(т) 0 -0.323
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
1 1 г -Г 1 1 1
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Рис. 41. АФХ идеального компенсатора цифровой АСР VI
1
2
3
При параметрическом синтезе цифровых комбинированных систем управления с типовыми компенсаторами справедливы алгоритмы определения параметров аналоговых компенсаторов.
1. Дудников, Е.Г. Автоматическое управление в химической промышленности / Е.Г. Дудников. - М.: Химия, 1987. - 368 с.
2. Стефани, Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов / Е.П. Стефани. - 2-е изд., перераб. - М.: Энергия, 1972. - 376 с.
3. Ротач, В.Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования / В.Я. Ротач. - М.; Л.: Энергоиздат, 1961. - 344 с.
4. Кривошеев, В.П. Аналитический метод расчета типовых компенсаторов и развязывающих устройств. I / В.П. Кривошеев, М.А. Сачко // Информатика и системы управления. - 2010. - №23. - С. 147-155.
5. Кривошеев, В.П. Аналитический метод расчета типовых компенсаторов и развязывающих устройств. II / В.П. Кривошеев, М.А. Сачко // Информатика и системы управления. - 2010. - №25. - С. 125-136.
71
6. Кривошеев, В.П. Аналитический метод расчета типовых компенсаторов и развязывающих устройств. III / В.П. Кривошеев, М.А. Сачко // Информатика и системы управления. - 2010. - №26. - С. 127-136.
7. Кривошеев, В.П. Метод параметрического синтеза цифровых систем управления на основе расширенных амплитудно-фазовых характеристик / В.П. Кривошеев, А.В. Епифанцев, Б.А. Кан // Информатика и системы управления. - 2012. - № 4. - С. 138-147.
8. Кривошеев, В.П. Параметрический синтез дискретного алгоритма ПИД - регулятора частотным методом / В.П. Кривошеев, Б.А. Кан // Информатика и системы управления. - 2013. - № 3. - С. 143-151.
9. Изерман, Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. - М.: Мир,
1984.
