CC BY
95
Чипулис В.П.
Владивосток, ИАПУ ДВО РАН
СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ДВУХ МЕТОДОВКОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАЗНОСТИ РАСХОДОВ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ
Введение.Вопросы достоверности результатов измерений при решении задач технологического и коммерческого учета тепла и теплоносителей привлекают все большее внимание с учетом прогрессирующего роста числа устанавливаемых приборов учета на объектах теплоэнергетики. Это вполне объяснимо, поскольку недостоверные результаты являются источником нештатных, а порой и аварийных ситуаций при технологических измерениях, и приводят к существенным перекосам в финансовых отношениях между поставщиком и потребителем энергоресурсов при коммерческих измерениях.
Наиболее проблемными с точки зрения достоверности являются измерения расхода теплоносителя. При этом, по всей видимости, одной из самых обсуждаемых является проблема косвенных измерений разности расходов теплоносителя для нужд горячего водоснабжения в открытых системах теплоснабжения или утечки в закрытых системах [1] . Известно, что метод косвенных измерений разности расходов с использованием двух расходомеров, установленных в подающем и обратном трубопроводах системы (назовем его стандартным методом), зачастую достигает десятков, сотен и более процентов. Особенно неприятны случаи, когда вследствие погрешностей расходомеров измеренная косвенным методом величина разности расходов отрицательна. Поэтому вполне естественно стремление избежать применения косвенных измерений, заменяя их прямыми измерениями [2] . Однако иногда косвенный метод измерения водоразбора является единственно возможным. Например, на тепловых магистралях, отходящих от источника теплоты (и в ряде других случаев), другого способа измерения теплоносителя для нужд горячего водоснабжения просто не существует.
С целью повышения точности косвенных измерений А. Г. Лупеем предложен альтернативный стандарт -ному метод измерения разности расходов, названный автором дифференциальным. Не вдаваясь в детали инженерной реализации метода, отметим, что его суть состоит в поочередном измерении расходов в подающем и обратном трубопроводах системы расходомерами 1 и 2 и расходомерами 2 и 1 соответственно. А.Г. Лупеем приведены примеры, подтверждающие существенное преимущество в точности измерений дифференциального метода над стандартным. Однако естественно, что отдельные примеры не могут свидетельствовать об общности утверждения о преимуществе одного метода над другим.
Целью данной работы является поиск ответов на следующие вопросы. Всегда ли погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом меньше погрешности стандартного метода? И, если ответ на этот вопрос отрицательный, то каковы области предпочтительного применения каждого из методов?
Погрешность измерения разности расходов стандартным методом. Обозначим через к относительную погрешность расходомера, выраженную в долях (k=(M-A)/А,где A - фактическое значение измеренной величины массового расхода M) , а через p - относительную погрешность в процентах (p%=100k) . На
рис.1, а условно отображена открытая система теплоснабжения, в которой измерения выполняются стандартным методом. ЗдесьА и В - фактические значения, а Мпод и Мобр - измеренные значения расходов теплоносителя в подающем и обратном трубопроводах системы соответственно. Для простоты последующих рассуждений положим, что в период измерений расходыА и В, а также погрешности расходомеров
постоянны, и, следовательно, постоянны и измеренные значения расходовМпод и Мобр.
Выразим измеренные значения расходов через фактические с учетом погрешностей расходомеров:
(1) Мпод = (1+ki) А, Мобр = (1+к2) В.
Фактическая (Дф) и измеренная (Дизм) разность расходов равны соответственно:
Дф = А - В, Дизм = Мпод - Мобр.
Выражения для абсолютной (о) и относительной в процентах (5) погрешностей измерения разности расходов стандартным методом с учетом выражения (1) имеют вид:
Ост= Дизм - Дф = (1+kJ А - (1+к2) В- (А-В) = крА - к2 В
(2) 5ст= 100о/ ( А-В) = 100(к1А - к2 В) /(А-В) = (pA - Р2 В) /(А-В)
Несложный умозрительный анализ выражения (2) позволяет сформулировать следующие частные высказывания .
1. Погрешность измерения разности расходов стандартным методом равна нулю, если выполняется условие Р1А=Р2В или, в другом представлении, р1/р2=В/А (погрешности расходомеров обратно пропорциональны расходам в трубопроводах, в которых они установлены).
2. Если погрешности расходомеров равны (р1=р2), то погрешность измерения разности расходов стандартным методом равна погрешности расходомера (ЛсТ=Р1=Р2) .
Рассмотрим следующий пример. ПустьА = 100, В = 90.(Единицы измерений расхода для простоты
опускаются, хотя, естественно, предполагается, что они одинаковы для всех результатов измерений). В этом случае выражение (2) примет вид
(3) 5СТ=10Р1 - 9Р2.
Нулевая погрешность измерения разности расходов будет при выполнении условия:
(4) 10Р1 = 9Р2
Уравнение (4) имеет бесконечное множество решений. Одним из них является Р1=9, Р2=10. С учетом таких погрешностей расходомеров измеренные значения расходов будут равны Мпод = 109, Мобр = 99. При этом Дизм = Дф и, следовательно, <5сТ=0.
Пусть оба расходомера имеют одинаковую погрешность, например, Р1= Р2 = -10. Тогда Мпод=90, Мобр=81, Дизм=9, Дф=10, ОсТ=Дизм-Дф=-1 и, следовательно, 5сТ=-10%.
Вернемся к рассмотрению выражения (3), отображающего в общем случае зависимость погрешности измерения разности расходов от погрешностей расходомеров для конкретных значений фактических рас-ходовА = 100, В = 90. Уравнение (3) так же, как и (2), имеет бесконечное множество решений.
Для сужения множества решений уравнения (3) с целью перехода к области «рабочих» поступим следующим образом. Примем допущение о том, что относительная погрешность каждого расходомера не может превышать (по модулю) 10%. Практика поверки используемых в узлах учета тепловой энергии измерительных приборов показывает, что данное ограничение вполне реально. Заметим, однако, что уровень 10% может быть изменен в случае необходимости без потери общности излагаемого далее материала .
Исходя из принятого допущения, построим графические зависимости, связывающие значения из области «рабочих» решений уравнения (3) и позволяющие определить значение погрешности измерения разности расходов.Сопоставим оси абсцисс погрешность Р1, оси ординат - <5сТ. На рис.2 приведена
номограмма, отражающая графики прямых, соответствующие уравнению (3) для различных значений Р2 (от -10% до 10%) и вписанные в область рабочих решений. Номограмма позволяет определить значение <5ст для любой пары погрешностей расходомеров Р1и Р2. Пусть, например, Р1= 7, Р2= 5. На рис.2 пока-
зана точка, соответствующая этой паре значений погрешностей расходомеров и соответствующая значению 5сТ = 25, которое можно получить и из уравнения (3) : <5сТ = 10^7 - 9^5=25.
Погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом.На рис.1,б условно отображена схема измерений разности расходов дифференциальным методом. Рассмотрим два соседних по времени периода измерений расхода. В первом из них выполняется измерение расхода в подающем трубопроводе расходомером 1 (Мпод1) , в обратном - расходомером 2 (Мобр2) , во втором периоде - в подающем трубопроводе расходомером 2 (Мпод2) , в обратном - расходомером 1 (Мобр1) . При этом в качестве результата измерений расхода в подающем трубопроводе принимается величина Мпод=0,5(М1под+М2под), а в обратном -Мэбр=0,5(Мг обр+М обр) .
Выразим измеренные значения расходов и разности расходов через фактические расходы с учетом погрешностей расходомеров:
Мпод = 0,5[(1+ki) A +(1 + k2) A)] = A +0,5 A (ki+k2) ,
Мобр = 0,5[(1+k2) В + (1 + ki) В) ] = В +0,5 В (ki+k2)
Дизм = Мпод - Мобр= (A- В) +0,5 (A- В) (ki+k2)
Тогда выражения для абсолютной (Одиф) и относительной в процентах (фциф) погрешностей измерения разности расходов дифференциальным методом примут вид:
Одиф= Дизм - Дф = (A- В) +0,5 (A- В) (ki+k2) - (А-В)= 0,5(A- В) (ki+k^)
Ддиф = 100ОдИф/(А-В) = 0,5 (Р1+Р2)
Анализируя (5), можно придти к следующим выводам.
1. Погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом не зависит (в отличие от стандартного метода) от величины измеряемых расходов.
2. Погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом равна нулю, если Pi=-p2.
3. Если погрешности расходомеров равны (pi=P2), то погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом равна погрешности расходомера и, следовательно, равна погрешности измерения разности расходов стандартным методом (5диф = 5CT=Pi=p2) .
На рис.3 представлена номограмма зависимости погрешности измерений разности расходов дифференциальным методом от погрешностей расходомеров. Визуальное сопоставление номограмм на рис.2 и рис.3 позволяет отметить, что при принятом допущении о том, что погрешности расходомеров не превышают по модулю 10%, погрешность измерения разности расходов стандартным методом находится в пределах от -190% до 190% (для случаяА=100, В=90), а дифференциальным методом (независимо от ве-
личины расходов) в пределах от -10% до 10%.
Сравнение стандартного и дифференциального методов измерения разности расходов. Ответ на первый вопрос (всегда ли погрешность измерения разности расходов дифференциальным методом меньше погрешности стандартного метода?) достаточно прост. Нет, не всегда и приведенный выше пример это подтверждает. Действительно, приА=100, В=90, Pi=9, p2=10 погрешность измерения разности расходов стандартным методом равна нулю, а дифференциальным 9,5%.
Для ответа на второй вопрос (каковы области предпочтительного применения каждого из методов?) сопоставим в общем виде погрешности измерения расходов двух анализируемых методов. Неравенство
| Дст | < | Ддиф |
задает условие, при выполнении которого погрешность измерения стандартным методом меньше погрешности дифференциального метода. Сравнение погрешностей естественно выполнять по их абсолютным значениям, поскольку, например, результат измерения с погрешностью1% следует признать лучшим, чем результат измерения с погрешностью -5% (хотя -5<1) .
Вначале рассмотрим частный случай сопоставления погрешностей двух методов для конкретных значений расходовА = 100, В = 90. Представим (6), выразивши <5диф через р1и P2:
| 10Pi - 9P21 < | 0,5 (P1+P2) |
Для решения неравенства (7) выполним следующие преобразования:
|l0Pi - 9P21 < | 0,5 (P1+P2) |-(10p - 9P2)2-(0,5 (pi+P2))2<0--[(10p - 9P2) -(0,5 (P1+P2)] [(10Pi - 9P2) +(0,5 (Pi + P2 )]< 0--(9,5Pi- 9,5p2)(10,5pi-8,5p2) < 0 Обозначивp=pl/p2, получим:
(9,5p - 9,5)(10,5p-8,5) < 0
(Величина p характеризует степень близости погрешностей pi^ P2 расходомеров. Чем ближе p к ±1, тем менее разнятся погрешности расходомеров. При этом если p< 0, то погрешности расходомеров противоположны по знаку).
Если неравенство (8) задает условие, при выполнении которого погрешность измерения стандартным методом меньше погрешности дифференциального метода, то уравнение (9) (9,5p-9,5)(10,5p-8,5)=0
определяет условие равенства погрешностей этих методов.
Решение неравенства (8), не вдаваясь в очевидные детали его получения, выглядит следующим образом:
| <5ст| < |Пдиф|, если 0,809...<p<1.
При p' = 1 и p''=0,809... (здесь p' и p” - корни уравнения (9), получаемые из условия равенства нулю каждой из скобок этого уравнения) погрешности измерений стандартным и дифференциальным методом равны, то есть выполняется равенство | бсТ| = |5диф| .
Во всех остальных случаях, (p>1 илиp<0,809.) погрешность измерения дифференциальным методом меньше погрешности стандартного метода, то есть |5диф|< | <5сТ| .
Приведенные выше соотношения свидетельствуют о том, что стандартный метод (при конкретном соотношении расходов в подающем и обратном трубопроводах) дает меньшую погрешность вычислений разности расходов по сравнению с дифференциальным методом, если Pi<P2, расходомеры достаточно хорошо согласованы (pi/p2>0,81) и их погрешности имеют один и тот же знак.
Перейдем к общему случаю сравнения погрешностей двух методов. Для этого раскроем неравенство (6) черезА, В, pi, P2:
| (Pi A - P2 В) / (А-В) | <0,5 (P1+P2) |
Далее, используя обозначенияс=В/А, p=Pi/p2 и выполнив преобразования, аналогичные тем, что были применены к выражению (7) (опустив при этом все промежуточные выкладки ввиду их громоздкости и
простоты), получим из (10):
[(p-c) - 0,5(1-c)(1+p)][(p-c) + 0,5(1-c) (1+p)]< 0
Неравенство (11) определяет в общем случае условие, при котором точность измерения стандартного метода выше, чем дифференциального, а уравнение
[(p-c) - 0,5(1-c) (1+p)] [(p-c) + 0,5(1-c) (1+p)] = 0
соответствует случаю равенства погрешностей этих методов.
Решение неравенства (11) на содержательном уровне(аналогично решению рассмотренного ранее частного случая для конкретных значений расходов) можно выразить следующим образом:
|<5С,|< |5диф|, если p"<p<p',
гдер' = 1 и р" = (1,5с-0,5)/(1,5-0,5с) - корни уравнения (12). Прир=р' и р=р"погрешности измерений разности расходов стандартным и дифференциальным методом одинаковы.
Во всех остальных случаях (р>1 илир<р") погрешность дифференциального метода меньше погрешности стандартного метода, то есть |фциф|< | 5СТ | .
Отметим, что одна из величин, ограничивающих область (назовем ее областью Яст) , в которой стандартный метод более точен, чем дифференциальный, всегда постоянна (р'=1), а другая - р" = (1,5с - 0,5)/(1,5 -0,5с) является функцией от с=В/А, характеризующей степень открытости системы. На рис.4 представлен график зависимости второй границы этой области р" от величины с.Из этого графика видно, что, например, для любой системы со степенью открытости с=0,7 область Яст определяется следующими границами соотношения величин погрешностей расходомеров: 0,478...<р<1. Это означает, что если погрешность второго расходомера превышает по модулю погрешность первого не более, чем в два раза (примерно) и погрешности расходомеров имеют один знак, то стандартный метод даст более точный результат при измерении разности расходов, чем дифференциальный метод. При этом погрешность измерения будет близка к нулю, если р1/р2~0,7.
Замечание. Наряду с введенным выше определением относительной погрешности (погрешность в долях k=(M-A)/А, в процентах р%=100к) используется и другое определение, в котором в качестве базы при делении разности измеренной и фактической величин берется не фактическая, а измеренная величина, то есть k=(M-A)/M.
В этом случае фактическиерасходы в подающем и обратном трубопроводахможно выразить через измеренные следующим образом:
(13) А= (1-к1)МПОд, В = (1-к2)Мобр.
Тогда выражения для абсолютной (стст) и относительной в процентах (5СТ) погрешностей измерения разности расходов стандартным методом с учетом выражения (13) примут вид:
Ост= ЛИЗм-Лф=(-Мпод -Мобр) - [(1- к1) -Мпод - (1-к2)Мобр] = к1_Мпод-к2-Мобр
(14) 5ст=100(к1.Мпод-к2Мобр)/(-Мпод -Мобр) = (рМпод - ррМобр) / (Мпод -Мобр)
Нетрудно убедиться в том (при необходимости выполнив преобразования с учетом (13)), что погрешность измерения дифференциальным методом определяется тем же выражением (5), что было получено для предыдущей трактовки относительной погрешности. Это естественно, поскольку погрешность Здифзависит только от погрешностей расходомеров.
Выводы.Приведенные в работе оценки двух методов измерения разности расходов позволяют выполнить умозрительное аналитическое сопоставление методов. Но при этом следует учесть, что численно определить погрешность конкретных измерений не представляется возможным, поскольку неизвестны погрешности измерительных приборов. Однако эти оценки дают возможность сформулировать практические рекомендации по использованию каждого из методов.
Безусловным преимуществом дифференциального метода является то, что при его использовании погрешность измерения не зависит от величины измеряемого расхода и не может превышать максимальную (по модулю) погрешность расходомеров (поскольку модуль среднего арифметического двух чисел не может превышать модуль большего из них). В то же время погрешность измерения стандартным методом зависит от величины (а точнее соотношения) измеряемых расходов и стремится к бесконечности с уменьшением степени открытости системы. Все это определяет сферу предпочтительного применения дифференциального метода. Если первоочередным требованием пользователя являются измерения разности расходов с погрешностью в пределах погрешностей измеряемых приборов, то следует остановиться на дифференциальном методе.
Однако при выполнении определенных условий стандартный метод может обеспечить лучший, по сравнению с дифференциальным методом, результат. Эти условия сводятся к следующему. Во-первых, необходимо выбирать пары расходомеров с погрешностями одного и того же знака. Во-вторых, в подающий трубопровод следует устанавливать расходомер с меньшей (по модулю) погрешностью, а в обратный - с большей. Если известна (хотя бы приблизительно) степень соткрытости системы, то надо стремиться к тому, чтобы отношение погрешностей выбираемых расходомеров р=р1/р2 было больше величины с, которое определяется из графика рис.4 (оптимальный случай - приближалось к величине с). Представляется,
что выполнение этих условий не является трудноразрешимой задачей. И если эта задача будет решена, то целесообразно использовать малозатратный (по сравнению с дифференциальным) стандартный метод измерения разности расходов теплоносителя.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Г.Лупей //О правилах учета тепловой энергии и измерении разности масс - Труды 22-й научно-практической конференции «Коммерческий учет энергоносителей» - Санкт- Петербург, 22-23ноября 2005. - С.181-190.
2. А.Г.Лупей //Сравнение результатов непосредственных и косвенных измерений количества воды, потребляемой на нужды горячего водоснабжения - Труды 13-й научно-практической конференции «Коммерческий учет энергоносителей» - Санкт- Петербург, 24-26 апреля 2001. - С.153-161.
