CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 3, С. 45-57
УДК 517.11
СРАВНИМЫЕ ПО СТОЛБЦАМ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПО СТОЛБЦАМ МАТРИЦЫ НАД РЕШЕТКАМИ
А. В. Жуклина
В работе изучаются сравнимые по столбцам матрицы над решеткой (Ь, т. е. матрицы, столбцы которых образуют линейно упорядоченное множество относительно частичного порядка, определенного на Ь. Установлены их некоторые свойства и исследованы вопросы разрешимости матричных уравнений, содержащих эти матрицы.
В классе сравнимых по столбцам матриц выделено подмножество пропорциональных по столбцам матриц. Для последних также установлен ряд свойств и рассмотрены вопросы разрешимости матричных уравнений.
Ключевые слова: решеточные матрицы, решетки.
1. Обозначения и терминология
Пусть (X, — частично упорядоченное множество. Будем обозначать через 0 (1) наименьший (наибольший) элемент в (£, (если он существует). Если (£, — решетка, то через V и Л будем обозначать операции объединения и пересечения соответственно.
Пусть (£, — решетка. Решеточными называются матрицы, элементы которых принадлежат множеству Обозначим через Ьтхп множество всех решеточных матриц размера т х п (т, п ^ 1) с элементами из Элементы матриц будем обозначать соответствующими малыми буквами: А = ||а-||тхп, В = ||Ъ-||тхп и т. д. На множестве Ьтхп определим частичный порядок: для любых матриц А, В £ ¿тхп отношение А ^ В равносильно тому, что а— ^ Ъ— для всех г = 1,...,т, З = 1,...,п. Частично упорядоченное множество (¿тхп, является решеткой, в которой
А V В = ||а—' V Ъ—' ||тхп, А Л В = ||а-' Л Ъij ||тхп;
А Л А = || А Л а—' Утхп, А V А = || А V а—' Утхп•
Пусть А £ ¿тхп. Будем обозначать через А« г-ую строку матрицы А (г £ {1,...,т}), через А-) — з-ый столбец матрицы А (з £ {1,...,п}). Если (£, — решетка с 0 и 1, то определена единичная матрица Е = Етхт £ ¿тхт, где
е- = I1' ' = З
^ [0, г = з,
а также определена квадратная {0,1}-матрица Е- с единственным ненулевым элементом 1, расположенным в г-ой строке и З-ом столбце.
© 2012 Жуклина А. В.
Матрица размера ш х п, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается 0 = 0тХп• Матрица размера ш х п, все элементы которой равны 1, называется универсальной и обозначается / = /тХп •
Определим на множестве решеточных матриц операцию умножения: для любых матриц А е ЬтХ/:, В е Ь*Хп положим А ■ В = АВ = СтХп, где для всех г = 1,...,ш, 3 = 1,...,п
Сг^ = (ал Л Ъу) V (а»2 Л ) V ... V Л Ъц).
Пусть (Ь, О - решетка, А, В е ЬтХк, С, .О € ЬкХп Если А О В и С О О, то АС О ВО. В частности, если А О В, то АС О ВС; если С О О, то АС О АО.
Пусть А е ЬтХт. Матрица А называется обратимой слева (или справа) над (Ь, О), если существует матрица В е ЬтХт такая, что ВА = ЕтХт (или АВ = ЕтХт). Матрица А называется обратимой над (Ь, О), если она обратима слева и обратима справа.
Следующая теорема принадлежит Л. А. Скорнякову [1].
Теорема Скорнякова. Пусть (Ь, О) —дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А е ЬтХп. Следующие свойства матрицы А эквивалентны.
1) А обратима справа;
2) А обратима слева;
3) А обратима;
4) А ортогональна.
Если каждый элемент матрицы А е ЬтХп имеет дополнение, то матрица А е ЬтХп, где ац = а^ для всех г = 1,..., т, ] = 1,..., п, называется матрицей дополнений.
Строчечным пространством матрицы А называется линейная оболочка векторов-строк матрицы А. Столбцовым пространством матрицы А называется линейная оболочка векторов-столбцов матрицы А. Строчечные и столбцовые пространства матрицы А обозначаются соответственно Яо"№(А) и Со1итп(А). Обозначим множество столбцовых подпространств через
БраеетХп(Ь) = |Со1итп(^) : 2 е ЬтХп}.
Пусть (Ь, О) — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А е ЬтХп, В е ¿mХí. Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда Со1итп(В) С Со1итп(А) [2].
Пусть (Ь, О) — решетка с нулем, р е Ь (р = 0), А е ЬтХп. Ненулевая матрица А называется р-матрицей, если а^ = 0 или а^- = р для любых г = 1,..., ш, 3 = 1,..., п.
Элемент а решетки (Ь, О) называется V-неприводимым, если для любых ж, у е Ь из равенства а = ж V у следует, что а = ж или а = у. Множество всех V-неприводимых элементов решетки (Ь, О) обозначим через ]от(Ь, О).
Пусть (Ь, О) — решетка, А е ЬтХт. Множество : г,3 = 1,...,ш} конечно и порождает конечную подрешетку (Ь(А), О) решетки (Ь, О) с наименьшим элементом
о = л т =1 Ат=1 и наибольшим элементом 0 = Vт=1 V т=1 .
Матрица ЯРг(А, 0, V) называется г-ой прямоугольной частью матрицы А, содержащей элемент V, если
1) ее элементами являются только 0 и V;
2) число элементов V в г-ой строке матрицы А равно р + 1, число элементов V в г-ом столбце матрицы А равно д + 1, где р, д ^ 1;
3) существуют индексы г1,..., гр, 31,..., 3 е {1,..., ш} такие, что
/ Р 9 \
ИРг(А, 0, V) = V Л ( Д Д (Егг V Е^а V Е1гг V Е1г1 О А.
Г=15=1 '
Если в этом определении p = 0 или q = 0, то RPi(A, 0, v) называется i-ой линейной частью матрицы A, содержащей элемент v, и обозначается через LPi(A, 0, v).
Справедлив следующий структурный критерий идемпотентности матриц над дистрибутивными решетками [3].
Пусть (L, — дистрибутивная решетка, A £ Lmxm. Матрица A идемпотентна тогда и только тогда, когда A2 ^ A и A есть V-объединение прямоугольных и линейных частей, содержащих элементы множества join(L(A),
Пусть (L, — дистрибутивная решетка. Ввиду конечности решетки (L(A), множество степеней {A, A2 ,A3,... } также конечно. Пусть k — наименьшее натуральное число, такое что Ak = Al для некоторого t £ {1,..., k — 1}. Числа t и k — t называются индексом и периодом матрицы A и обозначаются соответственно через index(A) и period(A).
2. Изложение основных результатов
2.1. Сравнимые по столбцам матрицы. Пусть (L, — решетка. Матрица A £ Lmxn называется сравнимой по столбцам, если A^) ^ Aj) или Aj ^ A(i) для любых i, j = 1,..., n.
Установим некоторые свойства сравнимых по столбцам матриц.
1. Если переставить строки или столбцы сравнимой по столбцам матрицы, то снова получим сравнимую по столбцам матрицу.
2. Пусть (L, — решетка, B £ Lmxt, C £ Ltxn, C — сравнимая по столбцам матрица. Тогда матрица A = BC является сравнимой по столбцам.
< Зафиксируем произвольные индексы j, q (j, q £ {1,...,n}), тогда либо Cj ^ Ckq для всех k = 1,..., t, либо Ckq ^ Ckj для всех k. Значит, либо для всех i = 1,..., m
(bil Л Clj ) V (bi2 Л C2j) V ... V (bit Л Ctj ) < (bil Л Clq) V (bi2 Л C2q) V ... V (bit Л Ctq), либо для всех i
(bil Л Clq) V (bi2 Л C2q) V ... V (bit Л Ctq) < (bil Л Clj) V (bi2 Л C2j) V ... V (bit Л Ctj),
т. е. либо aij ^ aiq для любого i = 1,..., m, либо aij ^ aiq для всех i. Таким образом, A — сравнимая по столбцам матрица. >
3. Сравнимая по столбцам матрица необратима над любой решеткой. Сравнимая по столбцам матрица необратима слева над любой решеткой. Сравнимая по столбцам матрица необратима справа над дистрибутивной решеткой.
Справедливость первых двух утверждений вытекает из свойства 2. Последнее утверждение следует из теоремы Скорнякова.
4. Пусть (L, — булева решетка, A £ Lmxn, A — сравнимая по столбцам матрица. Тогда матрица дополнений A также является сравнимой по столбцам.
< Если (L, — булева решетка, a, b G L, а ^ 6, то а Л b = а V b = b, откуда b ^ а. Учитывая это замечание, получаем справедливость нужного утверждения. >
Теорема 1. Пусть (L, —дистрибутивная решетка с нулем и единицей, A £ Lmxn, B £ Lmxt, A — сравнимая по столбцам матрица, F — наибольший столбец матрицы A. Тогда если уравнение AX = B разрешимо, то B(fc) ^ F для любого k = 1,..., t.
< Пусть уравнение АХ = В разрешимо. Тогда Со1итп(В) С Со1итп(А). Значит, С Со1итп(А) для любого к = 1,... , ¿. Но поскольку Е — наибольший столбец матрицы А, то любая линейная комбинация столбцов матрицы А содержится в Е. Поэтому В(к) ^ Е для всех к = 1,..., ¿. >
Теорема 2. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка, А £ Ьтхп. Если А —сравнимая по столбцам матрица, то частично упорядоченное множество (Со1итп(А), является решеткой, в которой
В V С = V а ||тх1, В Л С = Л СгУтх1;
А Л В = ||Л Л ||тх 1, А V В = ||А V ||тх 1,
где В, С £ Со1итп(А), А £ Ь.
< Пусть А £ Ьтхп — сравнимая по столбцам матрица, В, С £ Со1итп(А). Тогда
В V С = ( (А1 Л А(1^ V (Л2 Л А(2)) V ... V (Ап Л А(п)) ) ^ (^1 Л А(1)) V (^2 Л А(2)) V ... V Л А(п)) ) = ( (А1 V Л А(1^ V ( (А2 V Л А(2)) V ... V ( (Ап V ^п) л А(п^ £ Со1итп(А).
В Л С = ( (А1 Л А(1^ V (А2 л А(2^ V ... V (Ап Л А(п)) ) л( (^1 Л А(1)) V (^2 л А(2)) V ... V (^ Л А(п)) )
V \ г \ (1)
= (А1 Л Л А(1^ V (А1 Л л А(1) Л А(2)]
.
V ( (А1 Л ^п) л А(1) Л А(п^ V ... V ( (Ап Л ^п) л А(п^.
Но поскольку для всех г,^ = 1,...,п столбец А^) сравним со столбцом А(^), то А(^) Л А)-) равно А(^) или А^-), а потому (1) можно записать в виде: (п1 Л А(^) V (^2 Л А(2)) V ... V (пп Л А(п)) , где П1,П2,...,Пп £ Ь. Значит, (В Л С) £ Со1итп(А). >
Заметим, что если (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, то решетка (Со1итп(А), обладает нулем и единицей: нулем служит матрица 0тх1, единицей служит матрица Е £ Ьтх1, совпадающая с наибольшим столбцом матрицы А.
Лемма 1. Пусть (Ь, — атомная решетка, А £ Ьтхп. Столбцовое пространство Со1итп(А) матрицы А является атомом частично упорядоченного множества (Браеетхп(Ь), С) тогда и только тогда, когда |Со1итп(А)| = 2.
< Достаточность очевидна. Покажем необходимость. Пусть Со1итп(А) — атом множества (Браеетхп(Ь), С). Предположим, что |Со1итп(А)| > 2. Пусть Е — некоторый ненулевой столбец матрицы А, и / — отличный от нуля элемент столбца Е. Поскольку (Ь, — атомная решетка, то существует атом р £ Ь такой, что р ^ /.
Построим матрицу Р £ Ьтхп, столбцами которой являются векторы рЛЕ. Очевидно, что Со1итп(Р) = {0тх1 ,рЛЕ}. Значит, Со1итп(0тхп) С Со1итп(Р) С Со1итп(А) — получили противоречие с тем, что Со1итп(А) — атом частично упорядоченного множества (Браеетхп(Ь), С). >
В классе сравнимых по столбцам матриц выделим подкласс однородных по столбцам матриц.
Решеточная матрица называется однородной по столбцам, если два произвольных столбца ее либо совпадают, либо различны, но в последнем случае среди них есть нулевой столбец.
Лемма 2. Пусть (Ь, — атомная решетка с единицей, А £ р £ Ь, р —
атом. А является однородной по столбцам р -матрицей тогда и только тогда, когда |Со1итп(А)| = 2.
< Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Если ¥ и О — ненулевые столбцы матрицы А, то, поскольку |Со1итп(А)| =2, ¥ = О, и значит, А — однородная по столбцам матрица. Далее, пусть ¥ — произвольный ненулевой столбец матрицы А, / — ненулевой элемент столбца ¥, и пусть р ^ f, р — атом решетки (Ь, Тогда р Л ¥ = 0тх1, следовательно, р Л ¥ = ¥. Значит, А является р-матрицей. >
Из лемм 1 и 2 следует теорема 3.
Теорема 3. Пусть (Ь, — атомная решетка с единицей, А £ ьтхп. Столбцовое пространство Со1итп(А) матрицы А является атомом частично упорядоченного множества (Брасетхп(Ь), С) тогда и только тогда, когда А — однородная по столбцам р -матрица, где р — атом решетки (Ь,
Пусть (Ь, — решетка, А £ Ьтхп, А — сравнимая по столбцам матрица. Запишем столбцы матрицы А в виде некоторой цепи: А3) ^ А3) ^ ... ^ А^п). Теперь свяжем с матрицей А перестановку индексов столбцов в рассматриваемой цепи — 1,¿2, • • • , ¿п). Обозначим через Ьтх<п ^ ) множество всех сравнимых по столбцам матриц размера т х п, столбцы которых, записанные в том порядке, как это определяет перестановка (?ъ¿2,--.,1?п), образуют цепь; иными словами, если В £ Ь^^" 3 ), то В^ ^ В3) ^
... < В3п). ' "
Теорема 4. Частично упорядоченное множество (Ьтхп 3 ), является подрешет-кой решетки (Ьтхп,
< Пусть А,В £ итх!,..,!,). Тогда А3) < А3к+1) и В3) < В3к+1) для всех к =
1,..., п — 1, а потому
А(3к) V В(3к) < А(3к+1) V В(3к+1),
А(3к) Л В(3к) ^ А(3к+1) Л В(3к+1),
т.е. А V В £ Ьт хп . ), А Л В £ Ьт хп . ). >
(31 ,32, — ,3п )' (31,32,...,3 п)
Заметим, что если решетка (Ь, обладает нулем, то нулем решетки (Ь"^™ 3 ), ^ ) будет являться нулевая матрица 0тхп; если решетка (Ь, обладает единицей, то единицей решетки (Ь7тхп . ), будет являться универсальная матрица Jmхn.
(31,32 п )
Будем обозначать через ¥¿3 {0,1} — матрицу из Ьтхп с единственным ненулевым элементом 1, расположенным в ¿-ой строке и ¿-ом столбце. Очевидно, что всякая ¥¿3-матрица является сравнимой по столбцам матрицей с наибольшим столбцом ¥(3).
Теорема 5. Пусть (Ь, — конечная решетка. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Атомами решетки (Ь^" ■ ), являются матрицы вида р Л ¥¿3 п, где I = 1,..., т, р — атом решетки (Ь, Если число атомов решетки (Ь, равно к, то число атомов решетки (Ь^" ■ ), равно кт, при этом объединение всех атомов решетки 3 3 ), равно матрице д Л Н, где д — объединение всех атомов решетки (Ь, а матрица Н £ Ьтхп такова, что Н(3-п) — универсальный столбец, Н3 (¿' = ¿п) — нулевые столбцы.
2. Коатомами решетки ^ у^) являются матрицы вида д V где г =
1,..., т, д — коатом решетки (X, Если число коатомов решетки (X, равно Ь, то число коатомов решетки 3 ), равно Ьт, при этом пересечение всех коатомов
решетки (¿("З 3- ), равно матрице / V Д, где / — пересечение всех коатомов решетки (X, а матрица Д £ £тхга такова, что Д/) — нулевой столбец, Д/ = ^ — универсальные столбцы.
< 1. Пусть А — атом решетки 3 ), . Тогда существуют индексы г £ {1,...,т}, ^ £ {1,...,п} такие, что а/ = 0. Пусть р £ р — атом и р ^ а/. Тогда р ^ , а поскольку р Л £ (Ь^тХ^П3п), , то в решетке (¿т/Х^П,3п)' имеет место цепь: 0тхп < р Л Е/ ^ А. Но так как А — атом, то А = р Л Е/. И всякая матрица р Л Е/, где г = 1,... ,т, р — произвольный атом решетки (Ь, является атомом решетки (¿("З 3 ), .
2. Пусть А — коатом решетки (¿^Х^ 3 ), . Тогда существуют индексы г £ {1,... ,т}, ] £ {1,... ,п} такие, что а/ = 1. Пусть д — такой коатом решетки (£, что а^- ^ д, а значит, ^ д. Поскольку матрица д V £ (Х!17-*™ . тов ре-
шетке 3 )' имеет мест° цепь: А ^ д V Е^ < Хтгхп- Так как А — коатом, то
А = дУ Ё~.
С другой стороны, если д — произвольный коатом решетки (£, то в решетке (^(Зъ У V покРьшает 4хп для всех 1 = 1,...,т. >
Пусть дана решетка (Хт™х™ 3 ), и Етхт £ £тхт- — единичная матрица. Перенумеруем столбцы единичной матрицы следующим образом. В качестве нового номера столбца Е^) (г = 1,... ,т) единичной матрицы Етохто возьмем номер I элемента ^ = г в перестановке (^1, ^,... ). В результате для столбцов
матрицы Етхт получим новую нумерацию. Устроим такую же нумерацию и для строк матрицы Етохто. В следующем определении и теореме будем иметь в виду именно такую нумерацию строк и столбцов матрицы £тхт.
Обозначим через Ет(Ь, к) матрицу, полученную из единичной матрицы Етхт, заменой столбца Е(к) на столбец Е(к) V Е^).
Теорема 6. Пусть — решетка с нулем и единицей. Матрица А принадлежит
множеству (Х^™ . ч, тогда и только тогда, когда решениями уравнения АХ = А
4 (31,32 ,---,3т) ;
являются матрицы вида Ет(Ь, к), где Ь < к.
< Необходимость. Пусть А £ (Х^х,/™ 3 ), . Тогда имеет место цепь:
А(31) < ... < А3 < ... < А3) < ... < А(зт), (2)
где Ь < к.
Перенумеруем строки и столбцы матрицы А таким же образом, как это было сделано для матрицы Етхт,. Тогда для всех г = 1,..., т при Ь < к имеем:
ari Л [e(t, k)]ifcj V ... V Л [e(t, k)]ifcJ V ... V Л [e(t, k)]fefc
( \ (3) V... V [arm Л [e(t, k)]mJ = arf V arfc,
а поскольку на основании (2) Ajt) ^ Ajk) (t < k) для естественной нумерации столбцов матрицы A, то при новой нумерации для всех r = 1,... ,m (при t < k) имеем art ^ ar^, и значит, выражение (3) равно ark. Следовательно, A • Em (t, k) = A, где t < k.
Достаточность. Пусть матрицы вида Em(t, k), где t < k, есть решения уравнения AX = A. Снова будем считать, что строки и столбцы матрицы A перенумерованы так же, как у матрицы Emxm. Тогда для всех r = 1,... ,m (t < k) выражение (3) равно ark, а потому art ^ ark для всех r = 1,... ,m (t < k), и значит, если перейти к естественной нумерации столбцов матрицы A, то верно Ajt) ^ A(jk), t < k. >
Следствие 1. Пусть (L, —решетка с нулем и единицей, A £ Lmxm, A — сравнимая по столбцам матрица. Тогда существует разложение матрицы A в произведение двух необратимых матриц.
2.2. Пропорциональные по столбцам матрицы. Пусть (L, — решетка. Назовем сравнимую по столбцам матрицу A £ Lmxn пропорциональной по столбцам, если для любых ее столбцов A(^, Aj) (A^) ^ Aj)) существует k £ L такое, что A(^ = k Л Aj).
Теорема 7. Пусть (L, — решетка, A £ Lmxn. Для того чтобы матрица A была пропорциональной по столбцам, необходимо и достаточно, чтобы существовали ki, k2,..., kra_i £ L такие, что для некоторой перестановки номеров (j,j2,..., ) столбцов матрицы A имели место равенства:
A(jn-1) = k1 Л A(jn), A(jn-2) = k1 Л k2 Л
A(j2) = ki Л k2 Л ... Л k„_2 Л A(jn), Aj) = ki Л k2 Л ... Л k„_2 Л kn_i Л Ajn).
< Необходимость. Пусть A — пропорциональная по столбцам матрица, и пусть A(j1) ^ A(j2) ^ ... ^ A(jn) — цепь ее столбцов. Тогда
A(jn-1) = ki Л A(jn),
A(jn-2) = k2 Л A(jn-1) = k2 Л (ki Л A(j„)) ,
A(j2) = k„_2 Л A(j3) = k„_2 Л (k„_3 Л ... Л ki Л Ajn)) ,
A(j4) = k„_i Л A(j2) = k„_i Л (k„_2 Л ... Л ki Л Ajn)) .
Достаточность. Пусть r < t (r £ {1,..., n — 2}, t £ {2,..., n — 1}). Тогда A(jr) = ki Л k2 Л ... Л k„_t Л k„_i+i Л ... Л k„_r Л Ajn), A(jt) = ki Л k2 Л ... Л k„_t Л A(jn),
поэтому
A(jr) = (ki Л k2 Л ... Л k„_t Л A(jn)) Л k„_i+i Л ... Л k„_r = k„_i+i Л ... Л k„_r Л Aj.
Таким образом, A — пропорциональная по столбцам матрица. >
Данная теорема дает алгоритм для построения пропорциональных по столбцам матриц размера m х n по заданному столбцу F £ Lmxi и набору элементов ki,k2,...,kn_i £ L. В качестве столбцов таких матриц берутся векторы F, ki Л F, ki Л k2 Л F, ..., ki Л k2 Л ... Л kn_i Л F.
Пусть (Ь, — решетка. Обозначим через Ьтхп ■ \П 1 \ множество всех пропорциональных по столбцам матриц А € Ьтхп таких, что столбцы любой такой матрицы образуют цепь: А^) ^ А^2} ^ ... ^ А^), причем А^) = ¿1 Л А^2), А^) = ¿2 Л А(^3),..., А(^п-1) = ¿п-1 л А^п), где ¿1, ¿2,..., ¿п-1 € Ь.
Теорема 8. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка, В € Ьтхг, С € Ьгхп, С — пропорциональная по столбцам матрица. Тогда ВС также является пропорциональной
по столбцам матрщей причем если С € Ь(Х™...^^>...>гп_1), то ВС € ьтХп,Ш1 ,..,1п-1).
< Пусть А = ВС. Тогда для всех I = 1,...,т, д = 1,..., п — 1 имеем
= (5*1 Л С1^ ) V (Ьг2 Л С2^ ) V ... V Л С^ ) = (5г1 Л Л С1д-,+1 ) V (5*2 Л Л Сад,+1 ) V ... V (5Й Л 1д Л С*^ )
= Л ((5г1 Л С1^+1 ) V (5*2 Л С2^+1 ) V ... V (5Й Л cíjq+l ^ = Л 0^+1,
откУДа слеДУет, что ^) = 1д Л А(^-9+1) и А € ¿т^М,..,1п-1). >
Следствие 2. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка, В, С € Ьтхт, С — пропорциональная по столбцам матрица. ВС = С тогда и только тогда, когда наибольшие столбцы матриц С и ВС совпадают.
Теорема 9. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем, А € Ьтхп, А — пропорциональная по столбцам матрица, ^ — ее наибольший столбец. Тогда Column(A) = Column(F).
< Выпишем некоторую цепь столбцов матрицы А:
А(л) < А02) < ... < А0п) = ^
Любой элемент 2 из Column(A) можно представить в виде
Я = (¿1 Л А(л)) V (¿2 Л А(^2)) V ... V ^п Л А0„)) ,
где ¿1, ¿2,..., ¿п € Ь. Согласно теореме 7
2 = (¿1 Л [&1 Л к2 Л ... Л кп-1 Л А0п)] ) V (¿2 Л [к1 л к2 Л ... л кп-2 Л А0-п)]) V ... V (¿п л Аы) = Л к1 Л к2 Л ... Л кп-1) V (¿2 Л к1 Л к2 Л ... Л кп-2) V ... V Л А^п) € Ш^п^).
Пусть теперь У € Column(F). Тогда У = в Л ^, где в € Ь. У = в Л А0„) = (0 Л А(^-1)) V (0 Л А(^2)) V ... V (0 Л А(^„_1)) V (в Л А0„)) € Column(A). >
В качестве следствий доказанной теоремы сформулируем несколько признаков разрешимости матричных уравнений, в которых матрица-сомножитель или матрица-произведение являются пропорциональными по столбцам матрицами.
Теорема 10. Пусть (Ь, —дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А € Ьтхп, В € Ьтхг, А — пропорциональная по столбцам матрица, ^ — ее наибольший столбец. Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда для каждого столбца В (к) (к = 1,..., ¿) матрицы В существует € Ь такое, что В(к) = Л ^.
< Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда Со1итп(В) С Со1итп(А), или на основании теоремы 9 Со1итп(В) С Со1итп(Е). Последнее же соотношение равносильно тому, что В(^) = Л Е для любого к = 1,..., ¿, где £ Ь. >
Теорема 11. Пусть (Ь, —дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А £ Ьтхп, В £ Ьтхг, В — пропорциональная по столбцам матрица, О — ее наибольший столбец. Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда О £ Со1итп(А).
< Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда Со1итп(В) С Со1итп(А), или в связи с теоремой 9 Со1итп(О) С Со1итп(А), последнее же соотношение равносильно тому, что О £ Со1итп(А). >
Теорема 12. Пусть (Ь, —дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А £ Ьтхп, В £ Ьтх, А, В —пропорциональные по столбцам матрицы, Е, О —наибольшие столбцы матриц А, В соответственно. Уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда О = 5 Л Е, где в £ Ь.
< По теореме 11 уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда О £ Со1итп(А), но Со1итп(А) = Со1итп(Е). Следовательно, О = в Л Е, где в £ Ь. >
Из доказанных теорем вытекает ряд следствий.
Следствие 3. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, В £ Ьтх. Если В — пропорциональная по столбцам матрица, содержащая универсальный столбец, то В делится слева на всякую матрицу А £ Ьтхп, содержащую универсальный столбец (в частности, указанная матрица В делится слева на универсальную матрицу /тхп).
< Так как наибольший столбец О матрицы В равен /тх1, то О £ Со1итп(А), и тогда на основании теоремы 11 уравнение АХ = В разрешимо. >
Следствие 4. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, В £ Ьтх, В — пропорциональная по столбцам матрица, О — ее наибольший столбец. Матрица В делится слева на универсальную матрицу / = /тхп тогда и только тогда, когда существует к £ Ь такое, что О = к Л /тх 1.
< Уравнение /Х = В разрешимо тогда и только тогда, когда О £ Со1итп(/ (на основании теоремы 11), а последнее соотношение равносильно тому, что О = к Л /тх1 для некоторого к £ Ь. >
Следствие 5. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, В £ Ьтх т. Если В — пропорциональная по столбцам матрица, содержащая универсальный столбец, то В делится слева на любую обратимую матрицу А £ Ьтхт.
< Согласно теореме Скорнякова [1] матрица обратима над дистрибутивной решеткой тогда и только тогда, когда она ортогональна, поэтому объединение всех столбцов матрицы А есть столбец /тх1, откуда /тх1 £ Со1итп(А).
В то же время /тх1 является наибольшим столбцом матрицы В, поэтому на основании теоремы 11 уравнение АХ = В разрешимо.
Легко при этом заметить (используя ортогональность матрицы А и следствие 2), что матрица В является решением уравнения АХ = В, т. е. произведение произвольной обратимой матрицы А и пропорциональной по столбцам матрицы В, содержащей универсальный столбец, снова есть матрица В. >
Из теоремы 11 вытекает также
Следствие 6. Пусть (Ь, — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А £ Ьтхп, в £ Ьтх, В — пропорциональная по столбцам матрица, О — ее наибольший
столбец. Если существует к е Ь такое, что О = к Л Адля некоторого 3 е {1,..., п}, то матрица В делится слева на матрицу А (в частности, если в матрице А в качестве столбца содержится наибольший столбец матрицы В, то В делится слева на А).
Из теоремы 10 вытекает следующее утверждение.
Следствие 7. Пусть (Ь, О) — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А е ЬтХп, в е ЬтХ 1, А — пропорциональная по столбцам матрица, А(9) — наибольший столбец матрицы А (д е {1,..., п}). Система линейных уравнений АХ = В совместна тогда и только тогда, когда В = з Л А(9), где з е Ь.
Из данного утверждения непосредственно вытекает следствие 8.
Следствие 8. Пусть (Ь, О) — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А е ЬтХп, в е ЬтХ 1, А — пропорциональная по столбцам матрица, А(9) — наибольший столбец матрицы А (д е {1,..., п}). Если система линейных уравнений АХ = В совместна, то вектор К = ||гг||пХ 1 (такой, что гг = 0 для всех г = д и г9 = з, где з — элемент решетки (Ь, О), подчиняющийся условию з Л А(9) = В) является решением данной системы.
Следствие 9. Пусть (Ь, О) — дистрибутивная решетка с нулем и единицей, А е ЬтХп, в е ЬтХ, А — пропорциональная по столбцам матрица, А(9) — наибольший столбец матрицы А (д е {1,... ,п}). Если уравнение АХ = В разрешимо, то матрица К = ||ггк||пХ такая, что при всех к = 1,..., 4 имеем ггк = 0 для всех г = д и г9к = зк, где зк — элемент решетки (Ь, О), подчиняющийся условию зк Л А(9) = В(к), является решением данного уравнения.
< Из разрешимости уравнения АХ = В следует совместность системы линейных уравнений АХ(к) = В(к) для любого к е {1,...,4}. Согласно же следствию 8, из разрешимости системы АХ(к) = В(к) вытекает, что последнему уравнению удовлетворяет вектор К(к) = ||ггк||пХ1, причем г9к = зк, где зк — элемент решетки (Ь, О), подчиняющийся условию зк Л А(9) = В(к), и ггк =0 для всех г = д. >
Понятно, что в следствии 8 (следствии 9) в качестве Гг ) при г = д можно взять любой элемент, содержащийся в з (в соответствующем зк).
Теорема 13. Пусть (Ь, О) — дистрибутивная решетка с нулем, А е ЬтХп. Если А — пропорциональная по столбцам матрица, то решетка (Ь, О) гомоморфно отображается на решетку (Со1итп(А), О).
< Пусть А — пропорциональная по столбцам матрица и ^ — ее наибольший столбец. Тогда на основании теоремы 9 Со1итп(А) = Со1итп(^). Пусть ^: з ^ з Л где з е Ь есть отображение решетки (Ь, О) на решетку (Со1итп(А), О).
При этом для любых а, Ъ е Ь:
^(а) Л <^(Ъ) = (а Л ^) Л (Ъ Л ^) = (а Л Ъ) Л ^ = ^(а Л Ъ), ^(а) V <^(Ъ) = (а Л ^) V (Ъ Л ^) = (а V Ъ) Л ^ = ^(а V Ъ). >
Теорема 14. Пусть (Ь, О) — решетка, А е ЬтХт. Если А — пропорциональная по столбцам матрица, то А2 О А.
< Пусть А2 = Т и пусть имеет место цепь А(^1) О А^2) О ... О А^т). Тогда для произвольного фиксированного д е {1,...,ш — 1} при всех г = 1,...,ш аг^ = к1 Л к2 Л ... Л кт-9 Л аг^т, где к1, к2,..., кт-9 е Ь. Далее, для произвольных г е {1,... , ш},
д £ {1,..., ш — 1} имеем:
43 т Л )
V
— (а31 Л ) V (а»32 Л а323'д ) V . . . V (а»3т " "3т39
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л аг^т) Л (к: Л к2 Л ... Л Л ал3т) (&1 Л к2 Л ... Л кт-2 Л аг^т) Л (к: Л к2 Л ... Л Л а^т)
...
•П3т
Л (к1 Л к2 Л ... Л Л а,тЗт)
А поскольку каждое выражение, заключенное в квадратные скобки, содержится в &1 Л к2 Л ... Л Л а^, то и 3 ^ А^ Л к2 Л ... Л Л а^ — а^. В то же время, для всех г — 1,..., ш
3 — (агл Л а313т) V (а»32 Л а323т) V ... V (а3т Л а3'т3'т )
V
(&1 Л к2 Л ... Л кт-2 л аг3т) Л а
323т
— (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а^т) Л а^т
V ... V [а«3т Л а3т3т ] < 3 .
Откуда и следует, что Т ^ А. >
Теперь, используя структурный критерий идемпотентности матриц над дистрибутивными решетками [3] и теорему 14, получаем справедливость следующего утверждения.
Теорема 15. Пусть (£, — дистрибутивная решетка, А £ !гахт. Пропорциональная по столбцам матрица А идемпотентна тогда и только тогда, когда А есть V-объединение прямоугольных и линейных частей, содержащих элементы множества ]от(ДА), <).
Теорема 16. Пусть (£, — дистрибутивная решетка, А £ ¿тхт. Если А — пропорциональная по столбцам матрица, то А2 — идемпотентная матрица.
< Пусть столбцы матрицы А образуют цепь А(31) ^ А(32) ^ ... ^ А(3т). Обозначим А2 — Т, А4 — й. Для произвольных г £ {1,..., ш}, д £ {1,... , ш — 1} имеем:
— (а31 Л а313д ) V (а32 Л а323д ) V ... V (а3т Л а3т3д )
— ((Ач Л к2 Л ... Л кт-1 Л аг3т) Л (к1 Л к2 Л ... Л Л ал^)) ^(&1 Л к2 Л ... Л кт-2 л (Щт) Л (к1 Л к2 Л ... Л Л а^т))
V ... V (ацт Л (к1 Л к2 Л ... Л Л а3т3т))
— (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а^т Л а^т) V (&1 Л к2 Л ... Л кт-2 Л Л о^ту
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л Л аг3т Л а^т).
И при всех г — 1,..., ш
¿¿3т — (а»31 Л а313т) V (а»32 Л а323т) V ... V (а
)
»3 т Л а3т3т )
— (&1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л аг3т Л а^т) V (&1 Л к2 Л ... Л кт-2 Л а»^ Л а^т)
V ... V (а»3т Л а3т3т ).
Теперь, для произвольных г £ {1,..., ш}, д £ {1,..., ш — 1}
— (3 Л ¿313д ) V (3 Л ¿323д ) V ... V (^3т Л ¿3т3'д
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а»3т Л а^т) V (&1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а»^ Л а323т) V ... V (&1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а»3т Л а,т]т)
)
Л
V
л
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а..) V (к1 Л Л ... Л кт-2 Л кт-9 Л а.. Л а.¿т) V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-9 Л О. т Л )] )
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а.т Л а..) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 Л а
Л а
.2
)
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 л а^т Л а^зт) (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а^т Л а..) V (к1 Л к2 Л ... Л к т—2 Л кт-д Л аз2 jm )
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-9 Л 032 Зт Л ОтЗт) )
...
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а. Л aj1jm) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 Л а
.т
а
323т V
V ... V (а#т Л адтдт) Л (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а
"ЗтЗт Л ajljm
V(kl Л к2 Л ... Л кт-2 л кт-9 Л ajmjm Л aj2jm) V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-9 Л ajmjm) )
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а.т Л а^т) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а. Л а
j1jm
а
323т V
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л 0313т Л ajmjm
V(k1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л 0323т Л а313т) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л 0323т Л а313т)
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л 0323т Л 0313т Л ОтЗт
.
V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а.т Л а
1jmjm Л а313т )
V(k1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л ajmjm Л а313т Л 0323т }
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л . Л 03тЗт Л Зт
V
(к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а. Л о.. Л а..) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л а
а
31.
а
32.
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л аг.т Л 031 Зт Л а323т Л а3т3т) V (к1 Л к2
Л ... Л кт-1 л а.т Л а.23т Л аз.) V (к1 Л к2 Л ... Л к т-2 Л кт-д Л азт Л а323т ) V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 л кт-9 Л а.т Л а.. Л а^зт)
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 Л аг.т Л а313т Л а323т Л а3т3т) V (к1 Л к2
Л ... Л кт-2 Л кт-5 Л . Л а323т Л а3тЗт )
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 л кт-9 Л а.т Л а.. Л а^т^
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а»3т Л а.. Л а^зт) V (к1 Л к2
Л ... Л кт-1 Л а Л ... Л кт-1 Л а
Л ... Л кт-2 л кт-9 Л а.
)
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а.т Л а.1 .т Л а.тЗт) V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 л кт-9 Л а^.т Л а.. Л а Зт .т.) V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-9 Л а
= (к1 Л к2 Л ... Л кт-1 л а.т Л а..) V (к1 Л к2 Л ... Л к т-2 Л кт-д Л азт Л аз'2з'т )
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-5 Л а3т Л а3т3т) = ¿гз',.
Так же проверяется, что г.т = ¿г3т для всех г = 1,..., т. >
43т Л а313т Л а323т Л а3т3т ) ПЗт Л а313т Л а323т Л ОтЗт) V (к1 Л к2 х«3т Л а323т Л а3тЗт )
V ... V (к1 Л к2 Л ... Л кт-2 л кт-9 Л аг.т Л а.2.т Л а^т.
3т3т
3
гп
)
)
)
)
)
3
гп
)
Следствие 10. Пусть (L, —дистрибутивная решетка, A G Lmxm, A — пропорциональная по столбцам матрица. Тогда либо index(A) = 2, либо index(A) = 3.
< Из теоремы 14 следует, что имеет место цепь:
A ^ A2 ^ A3 ^ A4. (4)
Согласно теореме 16 A4 = A2, и значит, на основании (4) A3 = A2. Таким образом, для любой пропорциональной по столбцам матрицы A G Lmxm- имеет место соотношение:
A ^ A2 = A3 = A4 = ...,
откуда либо index(A) = 2 (и period(A) = 1), если A — идемпотентная матрица; либо index(A) =3 (и period(A) = 1), если матрица A не является идемпотентной. > Пусть (L, — решетка, A G Lmxn. Определим для матрицы A множество
C(A) = jColumn(A(i)) : i = 1,... ,nj,
т. е. C (A) — множество линейных оболочек столбцов матрицы A.
Теорема 17. Пусть (L, — решетка с единицей, A G Lmxn. A является пропорциональной по столбцам матрицей тогда и только тогда, когда частично упорядоченное множество (C(A), Ç) является цепью.
< Соотношение A^) = k Л Aj) (k G L) равносильно тому, что Column(A(¿) ) Ç Column(Aj)). >
Литература
1. Скорняков Л. А. Обратимые матрицы над дистрибутивными структурами // Сиб. мат. журн.— 1986.—Т. 27, № 2.—С. 182-185.
2. Маренич В. Е. Простые матрицы над дистрибутивными решетками // Фундамент. прикл. мат.— 2008.—Т. 14, вып. 7.—С. 157-173.
3. Кумаров В. Г. Решетка идемпотентных матриц над дистрибутивными решетками // Фундамент. прикл. мат.—2007.—Т. 13, вып. 4.—С. 121-144.
Статья поступила 26 апреля 2010 г. ЖуклинА Анна Владимировна
ФГОУ ВПО Красноярский государственный педагогический университет, ассистент кафедры алгебры и методики преподавания математики РОССИЯ, 660049, г. Красноярск, ул. Перенсона, 7 E-mail: [email protected]
MATRICES COMPARABLE BY COLUMNS AND PROPORTIONAL BY COLUMNS OVER LATTICES
Zhuklina A. V.
Matrices over a lattice (L, comparable by columns are studied. (A matrix is comparable by columns iff its columns form a linearly ordered set with the partial order induced from L.) Some properties of the matrices are obtained. Solvability of matrix equations in this class of matrices is studied. The set of matrices proportional by columns is the subset of the set of matrices comparable by columns. Some properties as well as solvability of matrix equations are also studied for suth matrices.
Key words: matrices over lattices, lattices.
