Квазиортогональные по столбцам матрицы над дистрибутивными решетками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64

Квазиортогональные по столбцам матрицы над дистрибутивными решетками

Анна В. Жуклина*

Красноярский государственный аграрный университет, Мира, 90, Красноярск, 660049, Россия

Получена 29.01.2011, окончательный вариант 04.04.2011, принята к печати 04.06.2011 В 'работе рассматриваются квазиортогональные по столбцам матрицы над дистрибутивными решетками. Устанавливаются критерии разрешимости матричных уравнений, содержащих такие матрицы. Доказываются критерии идемпотентности указанных матриц. Рассматриваются факторизационные свойства квазиортогональных по столбцам (0,1 )-матриц.

Ключевые слова: решеточные матрицы, булевы матрицы, элементарные матрицы, идемпотент-ные матрицы.

1. Обозначения и терминология

Пусть (Р, — решетка. Будем обозначать через 0(1) наименьший (наибольший) элемент в (Р, (если он существует); через V и Л будем обозначать операции объединения и пересечения соответственно.

Решеточными называются матрицы, элементы которых принадлежат множеству Р. Обозначим через Ртхп множество всех решеточных матриц размера т х п (т,п ^ 1) с элементами из Р. Элементы матриц будем обозначать соответствующими малыми буквами: А = (о^)тхп, В = (6^)тхп и т.д. Матрица размера т х п, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается 0тхп.

На множестве Ртхп определим частичный порядок: для любых матриц А, В € Ртхп отношение А ^ В равносильно тому, что а^ ^ 6^- для всех г = 1,..., т, ] = 1,..., п.

В решетке с 0 и 1 определены

— единичная (п х п)-матрица Е, на главной диагонали которой расположены 1, а на остальных местах — 0;

— квадратная (0,1)-матрица Е^ с единственным ненулевым элементом 1, расположенным в г-й строке и ^'-м столбце.

Операции сложения и умножения решеточных матриц над решеткой (Р, определяются как обычно: вместо операции сложения используется операция объединения V, а вместо операции умножения — операция пересечения Л.

Пусть (Р, — решетка с 0 и 1, А € Рпхп. Матрица А называется обратимой сле-ва(справа), если существует матрица В € Рпхп, такая что ВА = Е (АВ = Е). Матрица А называется обратимой, если АВ = В А = Е для некоторой матрицы В € Рпхп.

Решетка (Р, называется дистрибутивной, если для любых а, 6, с € Р выполняется равенство: а Л (6 V с) = (а Л 6) V (а Л с).

Если решетка (Р, <) дистрибутивна, то для любых А € Ртхк, В € Ркх1, С € Р1хп А(ВС) = (АВ)С.

Матрицу, полученную из матрицы А транспонированием, будем обозначать через Ат. Если А € Ртхк, В € Ркхп, то (АВ)Т = ВтАт.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Для любой матрицы A £ Pmxn будем обозначать через A(¿) = (ал,..., ain) и (ау,..., amj)T соответственно ее г-ю вектор-строку и j-й вектор-столбец. Объединения элементов этих векторов ац V ... V ain и ау V ... V amj будем называть соответственно г-й строчечной и j-й столбцовой суммами матрицы A.

Пусть (P, — решетка, A £ Pnxn. Множество {ау |г, j = 1,..., n} конечно и порождает

n n n n

конечную подрешетку (P(A), <) решетки (P, <) с 0 = Д Д и 1 = V V ау.

i= 1 j = l i=1 j = l

Элемент а решетки (P, называется V-неприводимым, если для любых ж, y £ P из равенства а = xVy следует, что а = ж или а = y. Множество всех V-неприводимых элементов решетки (P, <) обозначается через join(P, <).

Пусть (P, — дистрибутивная решетка. Матрица A £ Pnxn называется регулярной, если существует матрица B £ Pnxn, такая что ABA = A. Если в этом определении к тому же выполняется равенство BAB = B, то A называется рефлексивно обратимой.

Пусть (P, — дистрибутивная решетка с 1 и 1, A £ Pnxn. Матрица A называется простой над (P, если она не является обратимой и из равенства A = BC, где B, C £ Pnxn, следует, что B или C — обратимая матрица. Необратимая матрица A называется факторизуемой, если A = BC, где матрицы B, C £ Pnxn необратимые. Множество матриц Pnxn разбито на три подмножества: множество обратимых матриц, множество простых матриц, множество факторизуемых матриц.

Элементарная матрица Eln(k, Л) первого типа — это матрица, полученная из единичной матрицы E = Enxn заменой столбца E(k) на столбец Л Л E(k).

Элементарная матрица Eln(k, l, Л) второго типа — это матрица, полученная из единичной матрицы E заменой столбца E(k) на столбец E(k) V (Л Л E(1)), где k = l.

В тех случаях, когда это будет удобно, будем обозначать элементарную матрицу первого типа через El1, элементарную матрицу второго типа — через El11.

Квадратная ((), 1)-матрица называется подстановочной матрицей, если каждый столбец и каждая строка матрицы содержит только одну единицу 1. Подстановочные матрицы будем обозначать M(п), M(а), М(т) и т.д.

Пусть (P, — решетка, P = {0,1}.

В полугруппе Pnxn обратимы только подстановочные матрицы.

Матрицы A, B £ Pnxn называются перестановочно эквивалентными, если матрица B = M(n)AM(а) для некоторых подстановочных матриц M(п) и M(а).

Если матрица A записана в виде произведения A = B1B2 ... B&, состоящего из простых матриц и матриц, перестановочно эквивалентных элементарным матрицам (в произведениях могут отсутствовать как простые матрицы, так и матрицы, перестановочно эквивалентные элементарным матрицам), то это произведение называется стандартной факторизацией матрицы A.

2. Квазиортогональные по столбцам матрицы над дистрибутивными решетками

Пусть (P, — решетка с 0, A £ Pmxn. Матрица A называется квазиортогональной по столбцам (по строкам) над (P, если а^- Л а^- = 0 (а^ Л а^ = 0) для каждого j и для любых г = k.

Матрица A £ Pmxn квазиортогональна по столбцам тогда и только тогда, когда матрица AT квазиортогональна по строкам.

Теорема 1. Пусть (P, — дистрибутивная 'решетка с 0, A £ Pmxn, B £ Pnxs, A, B — квазиортогональные по столбцам матрицы, тогда произведение C = AB является квазиортогональной по столбцам матрицей.

Доказательство. Для всех j и всех i = k имеем: cij A cfcj = \J (air A 6rj ) A \J (afcr A 6rj ) =

V=1 /

n n n

= V (air A A a^r) V ^ ^ (air A 6rj- A A 6sj-) =0 V 0 = 0.

(air A brj A a^r

) V V V (a,

r= 1 r= 1 s=1

s=r

Следствие 1. Пусть (Р, — дистрибутивная 'решетка с 0 и 1, тогда множество всех квазиортогональных по столбцам (п х п) - матриц над решеткой (Р, является полугруппой относительно матричного умножения.

Теорема 2. Пусть (Р, — дистрибутивная решетка с 0, А € Ртхп, В € Ртхя, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Если матричное уравнение АХ = В разрешимо, то матрица Д = АТВ является его решением.

Доказательство. Проведем доказательство теоремы для случая в = 1. Справедливость теоремы в общем случае вытекает из того, что матричное уравнение АХ = В, где А € Ртхп, В € Ртхя, равносильно системе линейных уравнений

п

(а^- Л ) = 6^, г = 1,.. ., т, д = 1,. .., в.

¿=1

Итак, пусть система линейных уравнений АХ = В совместна и Р € Рпх1 — некоторое ее решение.

Так как для всех г = 1,..., т, ] = 1,..., п а^- Л / ^ а^- и а^- Л / ^ 6», то а^- Л / ^ а^- Л 6» для всех г,

пп

Поэтому 64 = \/ (а^- Л /) < \/ (а^- Л 6») < 6», откуда

¿=1 ¿=1

\/(а^ Л 6») = 6» (1)

¿=1

для всех г = 1, . . . , т.

Далее, пусть Д = Ат В, тогда для г = 1 , . . . , т

п п / / т \\п пт

У (а^ Л г,-) = У I а^ Л I У (а^- Л 6кП = \/ (а^ Л 6») V \/ \/ (а^ Л ау Л 6к).

¿=1 ¿ = 1 V \к=1 / / ¿=1 ¿=1 к= 1

к=г

Учитывая, что при г = к а^- Л а у = 0, и используя (1), получаем

п

\/(а^ Л г^-) = 6»

¿=1

для всех г = 1,..., т. □

Теорема 3. Пусть (Р, — дистрибутивная решетка с 0 и 1, А € Ртхп, В € Ртхя, А — квазиортогональная по столбцам матрица, причем объединение всех элементов любого столбца матрицы А равно 1. Если матричное уравнение АХ = В разрешимо, то матрица Д = АТ В является его наибольшим решением.

1

r

n

Доказательство. Если уравнение АХ = В разрешимо, то матрица Д = Ат В является его решением (теорема 2). Покажем, что это решение наибольшее.

Снова пусть в = 1 и ¥ е Рпх1 — некоторое решение системы АХ = В. Для любых г = 1, .. ., т, ] = 1,.. ., п ау Л /3 ^ а^^- и а^^- Л /3 ^ , поэтому а^^- Л /3 ^ а^^- Л для всех г, Следовательно, для всех ] = 1,..., п

т

3 \/ (а;

= 1 ¿=1

\/(а3 Л /) ^ V ^¿3 Л ^

/ Л \/ а^ < \/ (ау- Л М.

>3

¿=1 ¿=1

тт

Поскольку У а¿з = 1 и У ^¿3- Л 6¿) = г3-, то /3 ^ г3- для = 1, ..., п. □

¿=1 ¿=1

Теорема 4. Пусть (Р, — дистрибутивная 'решетка с О, А е Рпхя, В е Ртхя, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Если матричное уравнение ХА = В разрешимо, то матрица Д = ВАТ является его наименьшим решением.

Доказательство. Пусть т = 1 и система линейных уравнений ХА = В совместна. Для всех ] = 1,..., в

Л аз) = 63. (2)

п

'63 Л а,:

¿=1

Пусть ¥ е Р1хп — некоторое решение уравнения ХА = В, тогда для = 1,..., в

V/ Л ) = 63. (3)

¿=1

Из (2) и (3) следует, что для всех ] = 1,..., в

пп

V (63 Л а*) = V(/¿ Л ).

¿=1 ¿=1

Тогда для всех = 1,..., в, к = 1,..., п

(п \ / п \ п

У (63 Л a¿j ) = (63 Л ау) Л У (/ Л a¿j ) = (63 Л а^- Л / Л a¿j) =

¿=1 / N,¿=1 / ¿=1

= (63 Л ау Л /й) VI У (63 Л а^ Л /¿ Л a¿3• ) I = (63 Л а^ Л /) V О = 63 Л а^- Л /.

3

1

Итак, 63 Л а&3 = 63 Л а ¡у Л / для ] = 1,..., в, к = 1,..., п, откуда 63 Л а ¡у ^ / для всех к. Поэтому для к = 1,..., п

в

(6 3 Л ай3 ) ^ Л .

3=1

Таким образом, матрица Д = ВАТ содержится во всяком решении ¥ уравнения ХА = В. Покажем, что вектор Д является решением уравнения ХА = В.

Для всех ^ = 1,..., в

Ьз = Л аИ) О V ( ( V (Ь9 Л а¿9) ) Л О V(Л Л a¿з) = Ьз'

¿=1 ¿=1 V \д=1 / / ¿=1

откуда

УД V (Ь9 Л a¿q^ Л a¿^ = ,

т.е. матрица Д = ВАТ является решением уравнения ХА = В. □

Пусть (Р, О — решетка, А е Ртхп. Введем обозначения: Е;(А) = ААТ, ЕГ(А) = АТА. Если А — квазиортогональная по столбцам матрица и Б = Е;(А), то

п

^ = ^ к=1

V a¿k, если г =

О, если г = ].

Теорема 5. Пусть (Р, О) — дистрибутивная 'решетка с О, А е Ртхп, В е Ртхй, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Если векторы строчечных сумм матриц А, В совпадают, то уравнение АХ = В разрешимо.

Доказательство. Покажем, что матрица АТ В является решением уравнения АХ = В. Пусть С = ААТВ = Ег(А)В, тогда для всех г = 1,..., т, = 1,..., в

^ = a¿fc^ Л b¿j = ^ \\ Л ^^ = .

Следствие 2. Пусть (Р, О) — дистрибутивная решетка с О, А е Рпхп, А — квазиортогональная по столбцам матрица, тогда А рефлексивно обратима.

Доказательство. Так как уравнение АХ = А разрешимо (теорема 5), то матрица АТА является его решением (теорема 2). Таким образом, матрица А является регулярной:

ААТА = А.

С другой стороны,

АТ ААТ = (ААТ А)Т = АТ.

Следствие 3. Пусть (Р, О) — дистрибутивная решетка с О и 1, А е Рпхп, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Если А необратима, то А — факторизуемая матрица.

Доказательство. Если А необратима, то Е; (А) = Е (если допустить, что Е;(А) = Е, то матрица А обратима справа над (Р, О), а потому А обратима над (Р, О) [1, теорема 1]), тогда Е;(А) необратима.

Таким образом, существует представление матрицы А в виде произведения двух необратимых матриц:

А = Е;(А)А.

п

п

п

п

Теорема 6. Пусть (Р, — дистрибутивная решетка с О, А € Ртхп, В € Ртхя, А, В — квазиортогональные по столбцам матрицы. Следующие утверждения равносильны.

1)Уравнения АХ = В и ВУ = А разрешимы.

2)Векторы строчечных сумм матриц А, В совпадают.

Доказательство. Покажем справедливость импликации 1) ^ 2). Так как уравнения АХ = В и ВУ = А разрешимы, то им удовлетворяют матрицы АтВ и ВтА соответственно (теорема 2), поэтому

В = ААТВ, А = ВВТА.

Тогда

Ег(А) = ААТ = ВВТ ААТ

Ег (В) = ВВТ = В(ААТ В)т = ВВТ ААТ

откуда Е;(А) = Е;(В), поэтому векторы строчечных сумм матриц А, В совпадают.

Справедливость импликации 2) ^ 1) доказана в теореме 5. □

Теорема 7. Пусть (Р, — дистрибутивная 'решетка с О, А € Рпхя, В € Ртхя, А, В — квазиортогональные по столбцам матрицы. Следующие утверждения равносильны.

1)Уравнения ХА = В и У В = А разрешимы.

2)Ег (А) = Ег (В).

Теорема 8. Пусть (Р, — дистрибутивная решетка с О, А € Рпхп, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Матрица А является идемпотентной тогда и только тогда, когда а,ц ^ ау для всех г, 3 = 1,..., п.

Доказательство. Необходимость. Пусть А — идемпотентная матрица, тогда для всех г, 3 = 1, .. ., п

п

\/ (агй Л ) = ау,

Й=1

тогда

//

Л I V (а»й Л ау ) I = ау Л \/ (а^ Л а ¡у ) V (ай Л ау)

\й = 1

й=1 \ \й=г

\/ (ау Л а^ Л а,у ) V (ай Л ау) = О V (ай Л ау) = ай Л ау,

Й = 1 \й=г

откуда следует, что а^ ^ ау для любых г, 3.

Достаточность. Пусть теперь а^ ^ ау для г,з = 1,..., п, тогда

/

ау агг Л ау

й=1 \й=г

\= (ау Л а^ Л а,у) | V (ай Л ау) = ( ( \

= ау Л

\/ (а»й Л а/у ) V (ай Л ау ) = ау Л (а^ Л а ¡у ) ,

Й=1 \й=г

Чй=1

п

п

а

п

откуда

С другой стороны,

\/ (агк Л ау) = (ай Л ац) V

к=1

таким образом,

Из (4) и (5) следует, что

ац < \/ (агк Л акц).

(4)

к=1

\/(а»к Л акц ) < ац V \/(а»к Л акк)

к=1 \к=г

ац V 0 = ац,

к=1 \к=г

V (агк Л акц) < ац.

(5)

к=1

V (агк Л акц) = а»

к=1

где г, = 1,..., п, т.е. А — идемпотентная матрица. □

Следствие 4. Пусть (Р, — решетка, Р = {0,1}, А € Рпхп и пусть каждый столбец матрицы А содержит не более одной единицы 1. Следующие утверждения равносильны. 1 )Матрица А идемпотентна.

2)Для всех г, ] = 1,..., п из 'равенства ац = 1 следует, что агг = 1.

3)Для всех г, = 1,..., п из равенства ац = 1 следует, что А(г) = А(ц).

Пусть (Р, — дистрибутивная решетка, А € Рпхп, 1 и 0 — наибольший и наименьший элементы решетки (Р(А), Матрица А идемпотентна в (Рпхп, тогда и только тогда, когда она идемпотентна в (Р(А)пхп,

Для любого элемента V € рш(Р(А), определена матрица АН , такая что

[V I 1, если ац ^ V, ц 10 в противном случае.

Эта матрица называется составляющей матрицы А.

Любая матрица А € Рпхп единственным образом может быть представлена в виде линейной комбинации своих составляющих с элементами из множества рш(Р(А), [2]:

А = \/ [V

-ие.)от(Р (А),О

Л А^

причем имеет место равенство

Ак

V (V Л (АН

г1Ё,|от(.Р (А),О)

Отсюда следует, что матрица А идемпотентна тогда и только тогда, когда идемпотентна каждая из (0,1)-матриц А[щ].

Матрица ИРг(А, 0, V) называется г-й прямоугольной частью матрицы А, содержащей элемент V, если

1) ее элементами являются только 0 и V;

п

к

2) число элементов V в г-й строке матрицы А равно ц +1, число элементов V в г-м столбце матрицы А равно р +1, где р, ц ^ 1;

3) существуют индексы ¿1,..., гр, ^1,..., € {1,..., п}, такие что

(Р 9

V \/ (Егг V Ец V Еггг V Е1тц )

Г=1 8 = 1

Если в этом определении р = 0 или ц = 0, то ИРг(А, 0, V) называется г-й линейной частью матрицы А, содержащей элемент V, и обозначается через ЬРг(А, 0, V). Из последнего следствия с очевидностью вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть (Р, — решетка, Р = {0,1}, А € Рпхп и пусть каждый столбец матрицы А содержит не более одной единицы 1. Матрица А идемпотентна тогда и только тогда, когда А есть V-объединение линейных частей, содержащих 1.

Заметим, что структурный критерий идемпотентности произвольных (0,1)-матриц приведен в [3].

Теорема 9. Пусть (Р, — дистрибутивная решетка с 0, А € Рпхп, А — квазиортогональная по столбцам матрица. Матрица А идемпотентна тогда и только тогда, когда А есть V-объединение линейных частей, содержащих элементы множества ,]от(Р(А),

Доказательство. Необходимость. Если матрица А идемпотентна, то, как было замечено выше, идемпотентна каждая из (0,1)-матриц А[-и], составляющих А. Легко при этом заметить, что каждый столбец матрицы АН содержит не более одной единицы 1. Теперь, используя последнюю лемму, получаем справедливость нужного утверждения.

Достаточность. Пусть А = \/ ЬРк(А,0^к), где К — некоторое индексное множество,

кек

тогда для произвольных г,] € {1,... ,п} агц = \/ Vk, где К' С К, т.е. элемент, стоящий

кек'

на (г, ^')-м месте каждой к-й линейной части матрицы А, где к € К', равен 1, а потому,

следуя определению линейной части, равен 1 и элемент, стоящий на (г, г)-м месте каждой

к-й линейной части матрицы А, где к € К'. Следовательно, агг ^ V Vk. Итак, агг ^ ац

кек'

для всех г, ] € {1,..., п}, поэтому матрица А идемпотентна (теорема 8). □

3. Факторизация квазиортогональных по столбцам (0,1)-матриц

Пусть (Р, — решетка, Р = {0,1}, А € Рпхп, А — квазиортогональная по столбцам матрица и пусть объединение всех элементов любого столбца матрицы А равно 1. Таким образом, матрицу А можно определить как матрицу, у которой каждый столбец содержит ровно одну единицу 1 .

В дальнейшем будут рассматриваться факторизационные свойства таких матриц. Заметим, что подобная проблема для (0,1)-матриц размера п х п, п ^ 3, имеющих мультипликативный ранг п, исследовалась в [4]. В частности, было доказано, что каждая такая матрица представима в виде произведения простых матриц и матриц, перестановочно эквивалентных элементарным матрицам второго типа.

Теорема 10. Пусть (Р, — решетка, Р = {0,1}, А € Рпхп, п ^ 2, и пусть каждый столбец матрицы А содержит ровно одну единицу 1. Если матрица А необратима, то

ее можно факторизовать следующим образом:

/ к

А = Щ М(*<) ЕЦ Е1? М(а),

=1

где М(а), М(п^) (г = 1,..., к) — подстановочные матрицы, к £ {1,..., п — 1}.

Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по п. Пусть п = 2. Справедливы равенства:

0 0 11

0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

М(п)Е12(2, 0) Е12(2,1,1),

11 00

10 00

11 01

Е12(2,0)Е12(2,1,1),

где М(п) — подстановочная матрица.

Пусть теперь утверждение теоремы справедливо для всех £ < п. Если А £ Рпхп — необратимая матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, то А имеет нулевую строку. Переставим строки матрицы А так, чтобы нулевая строка оказалась последней; получим матрицу В, А = М(п) В, где М(п) — некоторая подстановочная матрица, В(п) = 01ХП. Но В = Е1п(п, 0) С, где матрица С в блочном виде:

С =

С11

01х(п-1) Е

С12 1х1

причем С11 — матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1.

Так как сгп = 1 для некоторого г £ {1,..., п — 1}, то С = Е1„(п, г, 1) Б, где Б в блочном виде:

Б =

С1

0

0

1х(п-1)

(п-1)х1

Е

1х1

Таким образом, А = М(п) Е1„(п, 0) Е1п(п, г, 1) Б. Теперь, если подматрица Сц матрицы Б обратима, то матрица Б обратима и теорема доказана. Если матрица С11 необратима, то по индуктивному предположению ее можно факторизовать в произведение ((п —1) х (п— 1))-

матриц:

С11 = П М(п<) Е1* Е11/ М(а),

где к £ {1,..., п — 2}; поэтому матрицу А можно факторизовать требуемым способом. □ Заметим, что в факторизации необратимой матрицы А £ рпхп, п ^ 3, каждый столбец

которой содержит ровно одну единицу 1, могут присутствовать простые матрицы. Напри-( 1 1 1

мер, матрица 0 0 0 разлагается в произведение трех элементарных матриц и одной 000 простой матрицы:

Е13(2,0)Е13(3,0)Е13(2,1,1)

Лемма 2. Пусть (Р, <) — решетка, Р = {0,1}, А, В € Рпхп, п > 3, А, В — необратимые матрицы, каждый столбец которых содержит ровно одну единицу 1, причем матрица А имеет только одну нулевую строку. Тогда справедливы утверждения.

1) Если матрица В имеет ровно одну нулевую строку, то В перестановочно эквивалентна матрице А.

2) Если В имеет по крайней мере две нулевые строки, то В можно представить в виде произведения следующих матриц: элементарных матриц первого и второго типа, матрицы А, подстановочных матриц.

Доказательство. Докажем второе утверждение.

Пусть п = 3. М1 — множество необратимых (3 х 3)-матриц, каждый столбец которых содержит ровно одну единицу 1, и имеющих более одной нулевой строки.

М1 =

000

Если В € М1, то В = М(п) | 1 1 1 | для подходящей подстановочной матрицы

000

М(п).

М2 — множество необратимых (3 х 3)-матриц, каждый столбец которых содержит ровно одну единицу 1, и имеющих только одну нулевую строку. Если А € М2, то А = М(а) Ьзхз М(т), где

000 Ьзхз =110 \ 0 0 1

М(а), М(т) — некоторые подстановочные матрицы.

Тогда В = М(п)Е13(3,0)Е13(3, 2,1) [М(а)]-1 А [М(т)]-1.

Пусть теперь утверждение леммы справедливо для всех чисел, меньших числа п, где п ^ 4. Докажем лемму для числа п.

Если А € Рпхп — необратимая матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, и имеющая только одну нулевую строку, то

А = М(п)( пЬзх3 0зх(п-3) ^ М(а),

\ 0(п-3)х3 Е(п-3)х(п-3) /

где М(п), М(а) — некоторые подстановочные (п х п)-матрицы. Матрицу А можно записать в виде:

А = М(п)(0 А11 0(™-1)х1) М(а),

V 01х(п-1) Е1х1 )

01х(п-1) Е1х1

где Ац — необратимая ((п — 1) х (п — 1))-матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, и имеющая только одну нулевую строку.

Пусть В — необратимая (п х п)-матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, и имеющая по крайней мере две нулевые строки, тогда

В = М(т)Е1п(п, 0)Е1п(п,г, 1) ( 0 В11 0(»-1)х1 )

V 01х(п-1) Е1х1 )

для некоторой подстановочной (п х п)-матрицы М(т) и некоторой элементарной матрицы второго типа Е1п(п, г, 1), г € {1,..., п — 1}, причем Вц — необратимая ((п — 1) х (п — 1))-матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1.

Тогда если матрица В11 имеет ровно одну нулевую строку, то она перестановочно эквивалентна матрице Ац, поэтому матрица

перестановочно эквивалентна матрице А и лемма доказана; если матрица В11 имеет более одной нулевой строки, то по индуктивному предположению В11 можно представить в виде произведения элементарных ((п — 1) х (п — 1))-матриц первого и второго типа, матрицы Ац, подстановочных ((п — 1) х (п — 1))-матриц, поэтому матрицу В можно записать как произведение элементарных (п х п)-матриц первого и второго типа, матрицы А и подстановочных (п х п)-матриц. □

Теорема 11. Пусть (Р, — решетка, Р = {0,1}, А £ рпхп, п ^ 3, А — необратимая матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, тогда существует стандартная факторизация матрицы А, содержащая ровно одну простую матрицу.

Доказательство. Пусть п = 3, А £ р3х3 — необратимая матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1. Тогда матрица А имеет либо одну нулевую строку, либо две нулевых строки. Рассмотрим оба случая.

Случай первый. Поскольку любые две необратимые (3 х 3)-матрицы, каждый столбец которых содержит ровно одну единицу 1, и имеющие только одну нулевую строку, перестановочно эквивалентны, то

т.е. матрица А имеет стандартную факторизацию, содержащую ровно одну простую матрицу.

Случай второй. Имеем:

матрица А имеет стандартную факторизацию, содержащую ровно одну простую матрицу. Пусть теперь п ^ 4. Поскольку матрица

для некоторых подстановочных (3 х 3)-матриц М(п), М(а), тогда

где М(т) — некоторая подстановочная (3 х 3)-матрица, тогда

простая, то (п х п)-матрица

является простой [5, теорема 5]. Поменяем местами в матрице Д первую и вторую строки, третий и четвертый столбцы, третью и четвертую строки; в результате получим матрицу Т, Т = М (п) ДМ (а) для подходящих подстановочных (п х п)-матриц М (п), М(а). Обнулим четвертую строку и четвертый столбец матрицы Т, получим матрицу Б, Б = Е1п (4, 0) Т Е1п(4,0). В матрице Б заменим четвертый столбец на первый столбец, получим матрицу К, К = БЕ1п(4,1,1). Полученная матрица К является необратимой (п х п)-матрицей, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, и имеющей только одну нулевую строку. Тогда если А — необратимая (п х п)-матрица, каждый столбец которой содержит ровно одну единицу 1, то по лемме 2 либо матрица А перестановочно эквивалентна матрице К, либо матрицу А можно представить в виде произведения элементарных матриц первого и второго типа, матрицы К, подстановочных матриц. □

Список литературы

[1] Л.А.Скорняков, Обратимые матрицы над дистрибутивными структурами, Сиб. мат. журн, 27(19860, №2, 182-185.

[2] Y.-J.Tan, On the powers of matrices over a distributive lattice, Linear Algebra Appl., 336(2001), 1-14.

[3] Л.-Б.Бисли, А.Э.Гутерман, К.Т.Канг, С.З.Сонг, Идемпотентные матрицы и мажорирование, Фундамент. и прикл. мат., 13(2007), №1, 11-29.

[4] H.H.Cho, Prime Boolean matrices and factorizations, Linear Algebra Appl., 190(1993), 8798.

[5] В.Е.Маренич, Простые матрицы над дистрибутивными решетками, Фундамент. и прикл. мат., 14(2008), №7, 157-173.

Quasiortogonal by Columns Matrices over Distributive Lattices

Anna V. Zhuklina

In this paper, quasiortogonal by columns matrices over distributive lattices are studied. We obtain criteria

of solvability of matrix equations in case the equations include such matrices. Criteria of such idempotent

matrices are proved. Factorization properties of quasiortogonal by columns (0,1)- matrices are studied.

Keywords: matrices over lattices, boolean matrices, elementary matrices, idempotent matrices.