CC BY
9Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/17-59 Ссылка для цитирования этой статьи:
Ткаченко О.П. Сравнение результатов вычислительного эксперимента по двум математическим моделям трубопровода // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №1_
УДК 539.384.6: 519.633
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ДВУМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ
ТРУБОПРОВОДА
Ткаченко О.П.1
вычислительный центр ДВО РАН (ВЦ ДВО РАН), Россия, Хабаровск,
olegt1964@gmail.com
COMPARISON OF THE COMPUTATIONAL EXPERIMENT'S RESULTS ON THE TWO MATHEMATICAL MODELS OF PIPELINE
Tkachenko O.P.1
Computing Center, Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, Russia,
Khabarovsk, olegt1964@gmail.com
Аннотация. Выполнено сравнение результатов численных экспериментов по задаче расчета напряженно-деформированном состоянии трубопровода специального профиля по стержневой и оболочечной математическим моделям. Профиль трубопровода выбран в виде цепной линии, прототипом этой формы стал профиль морского райзера. Рассмотрены две задачи: о динамике трубопровода средней протяженности; о протяженном трубопроводе в сильно вязкой среде. Установлены критерии применимости механических моделей трубы как оболочки и как стержня.
Ключевые слова: изогнутый трубопровод, гидроупругость, сложный изгиб, математическая модель, техническая оболочка
Abstract. The results of numerical experiments on the problem of calculating the stress-strain state of a pipeline of a special profile on rod and shell mathematical models were compared. The pipeline profile was chosen as a chain line, the prototype of this form was the profile of the marine riser. Two problems were considered: about dynamics of pipeline of medium length; about extended pipeline in a highly viscous medium. Criteria of applicability of mechanical models of a pipe as a shell and as a rod were established.
Keywords: bent pipeline, hydroelasticity, complex bending, mathematical model, technical
Введение. Проблема неустойчивости трубопроводов, математически сформулированная в [1], получила развитие в работах как математиков [2], так и механиков [3]. Трубопроводы, помимо неустойчивости, отклоняются от
shell
своего проектного положения в результате влияния других внешних факторов (подвижек грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности [4]). Изучение процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем механики сплошной среды.
Известны два подхода к приближенному математическому описанию напряженно-деформированного состояния и динамики трубопровода: (1) использование модели полого стержня, когда главную роль играют изгибающие моменты [5] или растягивающие силы [6]; (2) моделирование трубы как технической оболочки [7, 8], когда толщина стенки мала по сравнению с радиусом трубы.
Первый подход стал стандартом для расчетов промышленных трубопроводов, при этом ошибки математического моделирования учитываются в коэффициентах запаса прочности и устойчивости [9]. Второй подход необходим при расчете тонкостенных трубопроводов. Его трудность в том, что возникающие уравнения математической модели оболочки сложны и не поддаются исчерпывающему анализу. Сложность, как правило, вызвана малыми слагаемыми, теоретически присутствующими в уравнениях, но не вносящими заметного вклада в решение [10].
Нами разработаны математические модели как в рамках первого подхода
[11], так и второго [12]. Был выполнен асимптотический анализ уравнений динамики оболочки, на основе которого создан алгоритм редукции этих уравнений к одномерным. Тогда вычислительные трудности при нахождении численных решений уравнений оболочечной модели ненамного превышают трудности решения уравнений стержневой модели. Эта модель была численно проанализирована и верифицирована в [13, 14].
Целью данной работы является сравнение результатов численного анализа задачи о движении трубопровода специального профиля по математическим моделям [11, 12]. Профиль трубопровода выбран в виде цепной линии. Прототипом этого профиля стала изогнутая линия морского райзера в ненапряженном состоянии. Рассмотрены две задачи: (1) о динамике трубопровода с геометрическими параметрами морского райзера [6], (2) о динамике протяженного трубопровода в сильно вязкой среде.
1. Геометрия изогнутого трубопровода. Предполагается, что ненагруженный трубопровод имеет форму изогнутого по своей образующей цилиндра с круглым основанием, его осевая линия Г является плоской кривой.
Глобальная неподвижная декартова система отсчета (Оху2) выбрана так, что Г лежит в плоскости (хОу). С трубой связаны естественные криволинейные лагранжевы координаты (ОлвЯ), введенные и изученные в
[12], в которых ^ - длина дуги вдоль Г, (в,Я) - полярные координаты в сечении, соответствующем л . Геометрия системы изображена на рис. 1.
Рис. 1. Геометрия изогнутого в плоскости трубопровода
Ставится задача о вычислении положения осевой линии Г = = {х(б, t), у(б, t)} трубопровода после приложения нагрузок от внутреннего потока жидкости и сопротивления внешней среды.
В данной задаче необходимо учитывать два условия. Первое - условие В.З. Власова [7] о применимости теории полубезмоментных оболочек:
А<о 1 ш1п( Ь Ро)
где И - толщина стенки, Ь - длина трубы, Я - радиус поперечного сечения трубы, р0 - радиус кривизны осевой линии. Вторым условием является малость параметра:
Яо
> 4,
(1)
1 =
Ш1П
Н Ро (б |
<< 1.
(2)
Условие (2) необходимо для применения вышеупомянутого алгоритма редукции задачи динамики оболочки к одномерной постановке.
2. Математические модели динамики трубопровода. Уравнения стержневой модели изогнутого трубопровода имеют вид [11]:
Е/
д4 ж.
д2 ж.
д*4
ь (2Е/< + р^Х* - Т) + (Е/гО + рЛКжи +
дБ
+^oPfSfV^o +
4лци
+-- 0.5 + ln 4ц
грёЛи
= 0; и =
dt '
(3)
T = ESt
2L
J i f ]'A "J
dyo dx
dx
о V ^ / о
Здесь обозначено: (я, ^) - перемещение осевой линии Г вдоль нормали, и* - скорость этого перемещения; к0 (я) - начальная кривизна Г; Т - сила продольного растяжения стержня, вызванная его поперечным перемещением;
- скорость внутреннего потока жидкости. Обозначения прочих величин стандартны и объяснены в [11].
В [12] из трехмерных уравнений движения твердого деформируемого тела выведены уравнения для оболочки, а затем, используя малость параметра (2), в первом приближении по Л получена одномерная система уравнений движения:
а
,2 d2 ui
дС
1 -у 1 + у dVi д W1 -u1--а— + уа-+ f
дС дС
1 -у
и(, - 2а
д 2ип
дС
+ а(1 - у)
дwо
дС
а
д W1 д2 w0 3w0 д2 2
дС дС2 + дС дС2
дС дС
1 -у 2 д V1
1
а
дС
■V1-
2и*ц
E*h* ^ (0.5 - ln Ури
1 Ro l)
E дт1
, 1 + у дм, +--а--+
дС
+W1 + f
3-у диА_ 2^Wo^Wl-PRo® д2v 1 а I а ... 2
Wo-
W1 +
12
а
4 д4 W1 2 д W1
д2
дС
а
дС
+ уа
дС
дщ
дС
V1 + f
дС дС E* дт2 '
2УWo + (1 -у)а^;
дС
а2 W. д W1 , дС дС
а г +—f
2
E *И*
PfVs0f -
2 и*ц
Ro (0.5 - ln Ro l)
pR® д2W1
E * дт2
(4)
Безразмерные перемещения срединной поверхности стенки трубы
'= ^Rq , V = V/r^ , w' = ^^ в координатах С = s/l , т = ® представлены в
и' = и0 + Лщ (С, т) sin в; V = v + ^^^ (С, т) cos в;
и
виде:
w' = w + Л Wj (С, т) sin в; и* = Лм**
2 I дт дт
Решения нулевого приближения щ (£), предполагаются
известными [13].
3. Результаты численного анализа. Уравнения (3), (4) решены численно для двух трубопроводов с профилем в виде цепной линии и следующими параметрами (расчеты проведены до достижения стационарного состояния).
Задача 1. Изгибание трубопровода, геометрические параметры которого соответствуют численным экспериментам [6]. Модельные параметры: скорость внутреннего потока =3.8 м/с, вязкость внешней среды ^ = 1000Пат, толщина стенки И = 0.03 м, радиус трубы ^ =0.13 м, длина трубы Ь = 310 м. Интервал времени 10 часов.
Задача 2. Изгибание протяженного трубопровода, находящегося в сильно вязкой среде, под действием быстрого внутреннего потока. Модельные параметры: скорость внутреннего потока =10 м/с (для модели (4)) и = 1.5 м/с (для модели (3)), вязкость внешней среды ^ = 5000 Пат, толщина стенки И = 0.005 м, радиус трубы ^ = 0.23 м, длина трубы Ь = 3009 м. Интервал
времени двое суток.
Динамика осевой линии показана на рис. 2, 3. На рисунках (а) показаны начальное и конечное положение для стержневой модели (3); на рисунках (б) -для оболочечной модели (4).
200
100
0
10 30 50 70 10 30 50 70
Рис. 2. Перемещение осевой линии. Пунктир - начальное положение, сплошная линия -
конечное.
При поверхностном подходе можно увидеть, что в задаче 1 не выполнено условие (1), и предположить, что поведение трубы должно адекватно описываться стержневой моделью (3). Но с другой стороны, в [15] указано, что теория технических оболочек может применяться до значений
X£ X
при этом, очевидно, допускается ошибка -20%. Эта ошибка приведет к количественному различию на рис. 2 (а, б), а не качественному.
На рис. 2б отражено явление «обратного хода трубопровода», которое описано в [6], и наблюдается при определенном соотношении между параметрами задачи. Определяющей величиной является параметр Ирвина [16]:
Е^ = Р -, (5)
На
где Р - распределенная вдоль трубы растягивающая сила, N - сила натяжения, на которую выполняется нормировка. Единственной растягивающей силой является сила взаимодействия стенки и внутреннего потока жидкости:
Р = -Ф, (О, Ба =2я(Я - И /2)Ь, где ^ь - площадь внутренней поверхности, ф = Я/2 - плотность сил трения потока о стенку [12]. Поэтому здесь положено:
На = Р. Отсюда и из (5) следует
Тир
(6)
2ИЕ
Я - И2) ьу2»
Е..„ =
При параметрах задачи (1) имеем:
Егу - 774,
что сразу проясняет вопрос о применимости стержневой модели. Как показано в [6], при значении Е1гу > 286 изгибающий момент становится преобладающим силовым фактором, и отсюда следует, что необходимо применять теорию стержней.
Иначе складывается ситуация в задаче 2, результаты расчета которой изображены на рис. 3.
В задаче 2 становится существенным влияние растяжимости трубопровода и выполнено условие (1), что позволяет пользоваться оболочечной моделью (4). В результате численного анализа (рис. 3б) найдено, что (4) описывает явление обратного хода трубы, изучавшееся в [6]. Стержневая модель (3) позволяет лишь частично описать поведение трубопровода при скорости потока у0 < 1.7 м/с. В численных экспериментах найдено, что при больших скоростях решение задачи о динамике стержня теряет устойчивость, аналогично [1].
1000 2000 3000
Рис. 3. Перемещение осевой линии протяженного трубопровода. Пунктир - начальное
положение, сплошная линия - конечное.
Вычисляя параметр Ирвина (6), найдем:
Е * 43,
1ГУ '
что на самом деле далеко от значения Е.^ * 1.812, указанного в [6] как предельное для учета изгибающих моментов, и, если оно меньше, то учет изгибающих моментов может привести к существенной ошибке.
Однако, постановка задач 1, 2 отличается от формулировок [6], и буквальное следование первоисточнику может привести к недоразумению. Поэтому можно сделать вывод о качественном соответствии рассмотренных примеров результатам, встречающимся в литературе.
Заключение.
Сравнивая условия применимости математических моделей (3), (4) и результаты расчета по ним, можно сделать вывод о взаимной дополняемости этих моделей. Применимость (4) определяется условиями (1), (2). Если выполнены условия к / Я >0.1, (2), то необходимо пользоваться моделью (3). Если же не выполнено условие (2), то все рассмотренные математические модели теряют силу, и необходимо искать более точные уравнения.
Дополнительно желательно вычислить параметр Ирвина (5), правильно определив величину силовой нормировки . Эта нормировка должна иметь смысл растягивающей силы, однозначно определяемой из исходных данных. Параметр Ирвина позволит дополнительно оценить целесообразность математического описания трубы как стержня или как оболочки.
Литература
1. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инженерный сборник. 1951. Т. 10. С.169-170.
2. Пивоварчик В.Н. Необходимые условия гироскопической стабилизации в одной задаче механики // Математические заметки. 1993. Т. 53. Вып. 6. С.89-96.
3. Paidoussis M.P. Fluid-structure interactions. Slender structures and axial flow. Vol. 1. San Diego: Academic Press, 1998. 574 p.
4. Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. 684 p.
5. Svetlitsky V.A. Dynamics of Rods // Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 448 p.
6. Athisakul Ch., Monprapussorn T., Pulngern T., Chucheepsakul S. The Effect of Axial Extensibility on Three-Dimensional Behavior of Tensioned Pipes/Risers Transporting Fluid // Proceedings of the Eighth (2008) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium. Bangkok, Thailand: The International Society of Offshore and Polar Engineers, 2008. P. 97-104.
7. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. / Власов В.З. Избранные труды. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1962. С. 15-439.
8. Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. М.: Стройиздат, 1969. 240 с.
9. СП 36.13330.2012 «Магистральные трубопроводы», актуализированная редакция СНиП 2.05.06-85. Утвержден Приказом Федерального агентства по строительству и жилищно-коммунальному хозяйству (Госстрой) от 25.12.2012 № 108/ГС.
10. Gol'Denveizer, A. L., Von Karman Th. and Dryden, H. L. Theory of Elastic Thin Shells: Solid and Structural Mechanics. New York: Elsevier, 2014. 680 p. https://books.google.pt/books?id=CIqjBQAAQBAJ (доступ 10.04.2018)
11. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 4. С. 144-150.
12. Ткаченко О.П. Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 4. С. 97-107.
13. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13. № 4 (44). С. 97-108.
14. Ткаченко О.П., Рябоконь А.С. Численные оценки адекватности математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Вычислительная механика сплошной среды. 2017. Т. 10. № 1. С. 90-102. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.1.8
15. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с.
16. Hover F.S., Triantafyllou M.S. Linear dynamics of curved tensioned elastic beams // Journal of Sound and Vibration. 1999. Vol. 228 (4). P. 923-930.
