Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 8, № 4, 2003

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ*

Пусть трубопровод проложен в сильно вязкой среде и имеет форму слабо изогнутой плоской кривой Г. Он заполняется стационарным потоком жидкости. После этого он начинает двигаться, так как не находится в равновесии. Требуется построить математическую модель, описывающую медленное движение осевой линии Г с учетом конечности перемещения (геометрически нелинейная задача), исследовать кинематику движения трубопровода, а также провести тестовые расчеты.

2. Кинематика движения трубопровода

Введем глобальные декартовы координаты {Охуг} и “начальные” лагранжевы координаты {ОввЯ} (рис. 1) [5]. Пусть известны компоненты вектора перемещения стенки в начальной конфигурации: ш3, Шв, од. Требуется определить по ним новые координаты осевой линии х(в), у (в), г (в).

Определение. Осевая линия — это линия, проходящая через геометрические места центров тяжести сечений трубы:

¿а — элемент площади сечения, 5 — площадь сечения, та — радиус-вектор точек сечения.

*Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 01-01-00375. © О. П. Ткаченко, 2003.

О. П. ТКАЧЕНКО Вычислительный центр ДВО РАН, Россия, Хабаровск e-mail: [email protected]

The kinematics of movement of the curved pipeline is studied and the formula of the connection between displacement of its wall and axis line is obtained. The complete mathematical two-dimensional model of the pipeline motion is constructed by finite wall displacements. The two-dimensional model is converted into the one-dimensional quasilinear model, the restrictions for this conversion are derived. The test calculations are performed.

1. Общая физическая формулировка задачи

(1)

S

Пусть г0 — радиус-вектор в начальном положении оси Г, — вектор перемещения

стенки. Тогда

г = го + w.

В [1] получена формула

г0 = ( хо(в) + Я бід в | і + (уо(в) — Я в ) 3 + Я соэ в к.

(2)

Если считать трубу оболочкой и принять гипотезу прямых нормалей, то компоненты вектора перемещения в координатах (в, в, Я) [1]:

тя

тв

7 4 7 дт

«(1+ к,у) — Адв,

, 7 дт

1,(1 +к2 7) — В эв •

(3)

тд = т.

Здесь и, V, т — компоненты перемещения срединной поверхности стенки в начальных лагранжевых координатах;

7 = Я — Яо,В = Яо,к2 = -1, к

Яо

бід в

ро + Яо бід в ’

А = 1 + коЯо бід в.

После простых расчетов для радиуса-вектора осевой линии получим

2п 2п

хо(в) +---------[ ийв +-[ (V соб в + т бід в) йв

2п йв ] 2п йв ,)

0 0

і + [Уо(в) +

2п 2п

+-----[ ийв — — [ (V соб в + т бід в) йв

2п йв І 2п йв I V ;

2п

3 +--------(т соб в — V бід в) йв ■ к. (4)

2п I

Получили уравнение осевой линии трубопровода в зависимости от перемещения его срединной поверхности, выраженного в “начальной” лагранжевой системе координат.

1

г

С

3. Связь перемещений в начальной и актуальной конфигурациях

Как показано в [2], связь физических компонент вектора перемещения оболочки в начальной и актуальной системах координат выражается формулами

и ( ди Л V ди о к від в

и = То - дв - т 008 в) - То дв - ии—-

о ( 1 дv и\ и (дv Л о V

V = V 1-----^ ТТ7Г - ^------¡Т о-----ик 008 в - и —

V Оо дв Ко/ Ао \дв ) Ко

о и (ди . Л V (ди

и = и -^ -т;----------ик 8ІД в ) - — — - V

Ао\дв ) Ко\ дв

(5)

Из уравнений движения будут найдены (и, У,и), поэтому относительно неизвестных (и, V, и) получаются алгебраические уравнения.

Для текущего положения осевой линии Г из (4) получим

х(в, і) = хо(в) + У(в,і) = Уо(в) +

1

2П

1

2П

г>2п

[ и ¿в + І (V 008 в+ и 8ІД в) ¿в

аз ¿в іо

[ и ав - [ (V 008 в+ и від в) ав

аз Уо аз ]о

(6)

г>2п

г(в,і) = — I (и 008 в- V 8ІД в) ¿в. 2п Л

Текущая кривизна выражается формулой, известной из дифференциальной геометрии:

к(в, і)

¿2у / dх ¿в2 І ¿в

-1

(7)

4. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода

В [2] показано, что физические компоненты тензора напряжений на внутренней и внешней поверхностях трубопровода выражаются соотношениями

РзЯ

Рвя

0,

2^и*1 008 в

Ко (0, 5 - 1д

Т рдги1

4 ц

К

Ряя = -Ре

РзЯ = -Фі^зо), Рвя = 0,

Ряя

Р

н

при К = Ко + 2, при К = Ко--------,

Ре = рдгдНо (1 - К 008 в ) +

2^и2 8ІД в

Ко ( 0, 5 — 1д

Т рдг и2

4 ц

К

(8)

Здесь ¡1 — вязкость среды, pgr — плотность среды, Y — число Маскерони, ho — глубина закладки трубопровода, Ф< — плотность силы трения внутреннего потока о стенку. Формулы (8) дают краевые условия на поверхностях трубопровода, рассматриваемого как трехмерное упругое тело.

Внешнее давление pe найдено из решения задачи обтекания бесконечного цилиндра потоком вязкой жидкости [3]. В [3] и = и\ = и\ — скорость обтекания цилиндра на бесконечности. Поскольку наша постановка задачи отличается, этими результатами надо пользоваться осторожно и смысл и*ъ и2 должен уточняться в соответствии с физическим смыслом задачи.

5. Уравнения движения трубопровода.

Переход к оболочке

Все уравнения движения трубопровода будут записываться в актуальной системе координат. Скорость ее движения мала, и производными по времени от координатных векторов пренебрегаем. Уравнения движения упругого тела в актуальной конфигурации [4]:

р ак = р ^ + V, ры, (9)

обозначения стандартные.

Деформации в оболочке можно считать малыми, если прогиб не превышает толщины стенки к [5]. В данном случае перемещение стенки может быть намного больше Н. Считать деформации малыми нам позволяет то, что картина деформирования трубопровода в рассматриваемом случае подобна изгибанию длинного стержня (рис. 2). При этом радиальный прогиб и0, обозначающий изменение радиуса трубы, мал по сравнению с тощиной стенки. Конечно только смещение сечения трубы как целого, без деформации окружности. При таком перемещении выполнены соотношения

1 диа иъ 1 д!Ля 1Ло , ,

+ -£ = 0'вЖ - І = 0' (10)

Тогда можно показать, что выражения для деформаций стенки совпадают с выражениями для деформации линейной теории. Только в е^ появляется нелинейное слагаемое, пренебрежение которым означает отказ от учета влияния изгиба осевой линии трубопровода на продольное растяжение его стенки вдоль оси (Об) [5]. В нашем случае пренебрегать этим влиянием нельзя. Точные выражения для деформаций имеют вид [4]

е, Vj и' - д*, £ (»к V,wk V, ик П , (11)

t у

- Малое перемещение

^——'

к ж

s ’ \ ►

Конечное перемещение

Рис. 2. Конечные перемещения.

где и>г — контравариантные компоненты вектора перемещения, дгз — компоненты метрического тензора. В (11) нет суммирования по г, ]. Закон Гука имеет вид

ргг = XI + 2р,£гг, I = £ — инвариант е, р^ = 2^£г^, г = ], г,] = в, 9, Я. (12)

Выпишем физические компоненты тензора деформаций, необходимые для расчетов:

1

£лл

\гд11

ди3

дв

+ ив к сов 9 + ип к вт 9 —

1

2л/дп

див

дв

+

ди

п

дв

див , ип дип 1 / 1 див , ди,3 и п

+ 7Г'; £ПП = с П • £8в = ~ -+ ~-------------к сов 9

Яд9 ' Я ’ дЯ’ 2\ v/gTT дв ' Яд9 _^дц ' * (13)

Здесь отброшены квадраты от соотношений (10) и от производных д/дЯ. Линейные части оставлены потому, что малыми деформациями сечения пренебрегать нельзя и вычисления производились до перехода к уравнениям оболочки.

Переход от соотношений (9)—(13) к уравнениям оболочки в общих чертах описан в [1], и подробно изложен в [6].

Перейдем к уравнениям движения оболочки, которые записываются относительно компонент вектора перемещения срединной поверхности стенки (3) (но в актуальной системе координат). Переходя к безразмерным переменным £ = в/1, т = шЬ, и' = и/Я0, —' = —/Я0, и1 = и/Я0, получим уравнения движения стенки:

д1' д сЬ'

а(1 — £! ^п 9) — (1 — и ')~з9Т +(1 — и)

£¡1)! вт 9 — а(1 — £/ вт (

ди'

д(

1

Е *Ь *

-X,

д1' д сЬ' ( ди'

— + (1 — V)а(1 — £¡ вт 9)-^т- + (1 — V)£¡ ^ 9 (^' — ~д9

Е *Ь *

-У,

— (1 + £¡ вШ 9) I' + (1 — V)

' ди' д '

2£¡и' вт 9 + а(1 — £¡ вт 9) + £¡'^9 (—' ^п(

Ь *2

— Ь2V2 (и' + V2и'

1

£

Е *Ь * ’

ди' д—/

I' = а(1 — £¡ вт 9) + £¡v' сов 9 + -^0 + (1 + £¡ ^п 9)и'—

— 2(1 — 2£¡ вт 9)а2

ди'

5С

’ д—' \'

+ 1 д()

сЬ '

д—' ди'

а(1 — £¡ вт 9)— £¡4' сов 9 —— д( д9

д2 д2 V2 = а2— + — • Е * V дС° + д92;

Е

1 - V2

1 2 2 д2и' 1

—Х = —р1 Я0Ш — + — Ф^—80),

2и*ф сов 9

Я0[ 0, 5 — 1п

'УРдт и1

4^

Я0

2

2

1

1 д2и' 1 Ь*2 = —рЯ2^2т^т + Ь*(р — Ре).

(14)

Здесь введены обозначения: Ь* = Ь/Я0 ^ 1 — относительная толщина стенки; ¡((,т) =

к(С Т)

------г—т— — относительная кривизна оси; £ = Я0- шах |к0(С)| 1 — малый параметр;

шах |к0(С)| 0<с<^

0<С<£

I — характерный линейный размер по в; ш — характерная частота системы; а = Я0/I — безразмерный коэффициент. Для замыкания этих уравнений определим р, ФД—30), а также поставим краевые условия.

В качестве краевых можно взять условия жесткого закрепления краев оболочки:

и

и

ди'

Ж

0

при ( = 0, С.

(15)

Считая движение квазистационарным при больших временах Ь, воспользуемся формулой распределения давления на стенку из [1]:

Р = Ра + ев—ЦС — () + ^¡Р/ 8111 в.

(16)

где —30 — постоянная продольная скорость жидкости внутри трубопровода; в — коэффициент трения; ра — атмосферное давление.

Выражение для плотности силы Ф*(—30) возьмем из [1]:

а

2.

в0.

(17)

Для определения актуальной кривизны к((,т) надо по значениям (и,—, и) определить

.ООО. . .

(и, V, и) — компоненты вектора перемещения в начальной конфигурации из уравнений (5). Затем из (6) найти текущие координаты кривой Г и вычислить к((,т) по формуле (7).

Таким образом, краевая задача (14), (15), дополненная уравнениями (5)-(7) и формулами (16), (17), представляет собой замкнутую двумерную математическую модель медленного движения длинного трубопровода в среде с вязким трением, учитывающую конечность перемещения стенки.

Подставляя X, У, 2, I', сЬ' в уравнения движения (14) и отбрасывая слагаемые ~ £2, а также члены с производными Д, получим

а

д2и' 1 — V д2и' ргЯ°ш2 д2и' 1 + V д2—

+

2 д92 д2и'

Е дт2

+ +

ди'

2

а

1 - V

и'

2^ и, . ,ди' 1 + V д2—'\ (3 — V д—'

—2а~8С2 + а(1 — У > ~8( —~Т ад0,9) + ^ <о Ч ~ "'Ж+

+1^ ^1 — а3(1 — 3^ в!п,

д9

1 — V 2 д2—' д2—' рЯш2 д2—' 1

а

+

ди' д2и' д—' д2—'

ЖЖ2 + ~8<~д<2 _

2и\^ сов 9

1

■Фг(—80),

д(2 892 Е* дт2 Е*Ь*

дии д 2

+£¡ вт 9 ( V—— V—' — (1 — V)а2

д9

Я0 0, 5 1п

2

'У' рдт и1

Я0

Е Ь

1 + V 82и'

+ —”— а-

+

ди'

2 8(89 89

+

1 + V 82и' \

Л . ' д—' 3 — V ди'',

сов 9(и+ 89 аЖ] —

—

2. .. лч /dw' д2w' dv' д2v' \ 2

—а (1 - 2ef sln Ч+ 8(8(дГв) + “ ef cos в

dw'\ 2 / dv'\2

Ж) + 1 ж)

ptR°u>2 d2w'

h*2 ( 0д2w' д2w'

+ w' +----------I a

E* дт2 + +12 V д(2

дв2

+ a4

, д4 w'

+ 2a2

д 4w'

д 4w

дв4

д(4 д( 2дв2

'\ ди' д^ . . ( ' , . ди' дv' \

"J + + Ж + ef Sin %2vw + (1 - +

a

+evf cos в ■ v' ——(1 — ef sin/

1w'\ 2 Í 1v'\ 2

Ж) + 1Ж)

E h

-(Р — Pe)-

(18)

Дополнив уравнения (18) краевыми условиями (15), формулами (16), (17) и уравнениями

(5)-(7), получим замкнутую математическую модель движения трубопровода. Величины и1, и2 считаем известными функциями решения, которые будут определены позже.

0

1

б. Переход к квазиодномерной математической модели

Если в уравнениях (18) отбросить нелинейные слагаемые в квадратных скобках, то тем самым мы пренебрежем влиянием растяжения трубопровода на его поперечный изгиб. При этом численные результаты будут верны для поперечных перемещений, не превышающих диаметр трубы [7]. Качественные выводы, по-видимому, останутся правильными и для больших перемещений.

В преобразованные вышеуказанным способом уравнения (18) подставим следующие представления для решений по аналогии с [1]:

и! = и0 + и1 sin в + и2 cos в,

v' = v0 + v1 sin в + v2 cos в,

w' = w0 + w1 sin в + w2 cos в. (19)

Эти представления являются отрезками рядов Фурье, величины ui, Vi, wi не зависят от

в. Как указано в [1], и0, v0, w0 имеют смысл соответственно продольного перемещения,

поворота и изменения радиуса сечения трубы как целого, ^(v2 + wi) — поперечного смещения осевой линии в плоскости ее начального изгиба, ^(vi + w2) — смещения оси из этой плоскости. В результате подстановки (19) получим уравнения для коэффициентов Фурье:

2д2ио , д2Uq 1w0 1 — V (3 — v дv2 , 1 — v\ a£Pv2so

, _ — кт _ + ^ ui + K.R^—а-щ- + —ui) + 2E*h*

1 — V 2 д^0 д2vq V 1 / 3 — V ди2

^ — kT——— ■— Krqvi + “ kRq I w2 + vi — ——— a

2 д(2 дт2 2 u 1 1 2 u V 1 2 д(

kTд2рг+w0+^2 (a2iw + a4\ +1^ад^+2kR°v2 = EFh** íPa + iev°o(L — z) — Pgr9hA

2 д 2иг д 2иг 1 — V

О. “7ГТ77- — кт “—“ — ------------------“-----и 1

д(

2

т дт2 2

1 — V 2 д2у2

1 + V дУо д'Шл 1 — V

—-—а^т + ь'а^7~ + кКо—~— ио — 0, 2 д( д( 2

-а

д( 2 2ри

, д2у2 1 + V диг

— кт——~ — Уо + —~— а + 'Ш\ —

дт2

2

дС

Е *Ы *

Ко (0, 5 — 1п

7 Рдти^ О

А~У~ К

п 3 — V дио'

+ кКо \ ио — —“— а ^ и ) — 0,

дС

д 2иг

Ы

* 2

д 4/ш

дт о + и’1 + Т2 Г д( 4

кКоР! у]о —

,д2тг

дщ

Е *Ы *

дС2

2p.nl

д(

Ко 0, 5 — 1п

,д2и

д 2и1

а

— к

д( 2 к дт2

1 — V 2 д2уг ~дё

1 — V 1 + V дуг —ио + — а~^ + »а 9(

1 Рдг ио

4 р дио

Ко

3 — V дУо

+ кКо—~— а^Т 2 д(

-а

— к

д 2ы ' дт2

— Уг —

1 + V ди2

2

-а-

д(

— /ш2 — vкК0y0 — 0,

, д2™2 , , Ы *2 ( 4 д4™2 2д2иЛ , ди2 , , К Рдг9К0 (20)

кт+ 12 ^ — а ~0(^) + + Уг + v оУо — Е*Ы* ' ()

РгКрш2 Е *

Здесь кт

Краевые условия (15) остаются в силе.

Далее, поскольку расчет носит проверочный характер и рассматриваются перемещения, малые по сравнению с минимальным начальным радиусом кривизны оси, при вычислении текущей кривизны оси в формулах (6), (7) разницей между компонентами перемещений в начальной и актуальной системах координат можно пренебречь. В (6) тогда можно непосредственно пользоваться величинами, полученными при расчете шага времени из уравнений (19), (20). Из (6) получим

_ . О дх0 . К дУо / . ч

X — Хо + Ко Щ—-----1- —-—(У2 + и\),

дв 2 дв

дУо К0 дх0 / . ,

у — Уо + КоЩ—------------------------— (У2 + иг).

дв 2 дв

(21)

1

Так как величина ^(уо+иг) имеет физический смысл нормального перемещения осевой

линии в плоскости изгиба, а величины и1, и2 должны иметь смысл скоростей перемещения, полуэмпирически положим

дУо * „ диг

(22)

Уравнения (20), дополненные однородными начальными и краевыми условиями (15) и соотношениями (7), (21), (22), являются упрощенной математической моделью процесса поперечного смещения подземного трубопровода. Модель применима при поперечных перемещениях, не превышаюших диаметра трубы, в то время как исходные двумерные уравнения (18) применимы при произвольных перемещениях, пока выполняется закон Гука (12).

1

к

1

0

7. Результаты тестовых расчетов

Математическая модель (20) была протестирована на примере трубопровода, осевая линия которого в плоскости (хОу) описывается уравнением (рис. 3):

.. - В(х - О)2 . С

у = С А + В1(х - О)2 + С1’

где С1 = 10, А1 = 2000, В1 = 0.2, О = 1500, при этом х менялось от 0 до 3000 м.

Физические и геометрические параметры теста: скорость жидкости уза = 1 м/с, плот-

3 3

ность жидкости р$ = 800 кг/м , плотность грунта рдг = 1700 кг/м , вязкость грунта р = 1000 Па-с-1, плотность материала трубы рí = 7200 кг/м , толщина стенки трубы

Н = 0, 005 м, модуль Юнга материала трубы Е = 2 • 1011 Н/м , радиус трубы Я0 = 0, 3 м,

длина трубы Ь = 3000 м.

Начально-краевая задача (7), (15), (20), (21) решена явным разностным методом, расчет проводился на интервале времени 105 с. График смещения осевой линии wn = —(,ш1 +

2

у2) как функции координаты й и времени £ приведен на рис. 4, 5. Этот результат согласуется с работой [8], в которой исследовано движение подземного трубопровода как длинного изогнутого стержня в вязкой среде.

Рис. 3. Форма осевой линии трубопровода.

Рис. 4. Расчет при скорости потока 0.5 м/с.

8. Основные результаты

Исследована кинематика движения криволинейного трубопровода и дана формула связи перемещения его стенки и осевой линии. Построена замкнутая двумерная математическая модель движения трубопровода при условии конечности перемещения стенки. Полная двумерная модель редуцирована к упрощенной одномерной квазилинейной системе уравнений. Создана программа для ЭВМ поиска численного решения этой системы уравнений. Показана согласованность математической модели с известными результатами механики трубопроводов.

Список литературы

[1] Руклвишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 6. С. 161-169.

[2] Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения подземного трубопровода // Вы-числ. технологии. Т. 7. Вестн. КазНУ им. Аль-Фараби. Сер. Математика, механика и информатика. № 4(32), 2002 (Совместный выпуск, ч. 4). Алматы: Изд-во КазНУ им. Аль-Фараби. 2002. С. 188-195.

[3] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, Т. 2. М.-Л., 1948.

[4] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983.

[5] Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука; Физматлит, 1997. 272 с.

[6] Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М., 1962. С.15-439.

[7] Ландау Л.Д. Теория упругости. М.: Наука. Физматлит, 1987.

[8] Ткаченко О.П. Движение подземного трубопровода с учетом конечности его перемещений // Вычисл. технологии. 2001. Т. 6, ч. 2. Спец. выпуск: Тр. Междунар. конф. ИБАММ-2001. С. 628-631.

Поступила в редакцию 6 марта 2003 г.