CC BY
34
2
МЕХАТРОННЫЕ СИСТЕМЫ
СРАВНЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАНДАРТНЫХ СИГНАЛОВ И ПОЛИНОМОВ УОЛША
С.А. Родинков
Научный руководитель - д.т.н., профессор В.М. Мусалимов
Данная статья содержит сравнение переходных характеристик различных стандартных сигналов. Рассмотрена возможность исследования системы с помощью новых методов на базе полиномов Уолша. Даны основные понятия о полиномах Уолша и выделены характерные по сравнению с синусоидальными волнами особенности.
Введение
Переходные характеристики представляют собой некоторую реакцию исходной системы на стандартный сигнал или воздействие, например, единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, синусоидальный сигнал. В данной статье показано, что такие сигналы, как полиномы Уолша, также можно рассматривать как некоторый инструмент для исследования различных систем.
Переходные характеристики стандартных сигналов
Рассмотрим, какие же реакция возникают на все вышеперечисленные стандартные сигналы. В качестве исходной функции, на которой мы будем изучать воздействие сигналов, выберем следующую:
у = х + 0.75х +100 х.
В приложении Simulink программного пакета Matlab составим блок-схему, как показано на рис. 1.
To Workspace
о-
Clock
To Workspacel
t
Рис. 1. Типовая блок-схема исследования реакции воздействия стандартного сигнала
На рис. 1 показана блок-схема воздействия единичным сигналом. Отклик показан на рис. 2. Другие виды воздействия указаны на рис. 3 и 4.
Также следует отметить, что в новых версиях приложения Simulink программного пакета Matlab появилась возможность работы с полиномами Уолша. На рис. 5 представлен отклик на несколько различных полиномов Уолша.
Time (sec)
Рис. 2. Отклик на единичное воздействие на систему
Impulse Response
Time (sec)
Рис. 3. Отклик на импульсное воздействие
SinWave Response
Рис. 4. Отклик на синусоидальное воздействие
Рис. 5. Отклик на полиномы Уолша с различными коэффициентами
Отличие синусоидальных волн от волн Уолша и от других несинусоидальных
волн
Все различия между волнами Уолша и синусоидальными волнами можно свести к следующим математическим утверждениям.
• Производная или интеграл от синусоидальной функции является той же синусоидальной функцией, которая сдвинута во времени и имеет другую амплитуду. С другой стороны, функции Уолша изменяются, если их продифференцировать или проинтегрировать.
• Сумма синусоидальных функций с одной и той же частотой, но с различными амплитудами и фазами, равна синусоидальной функции с той же частотой. Сложение двух волн происходит иначе.
• Эффект Доплера проявляется двояко. Одиночная волна Уолша дает более сильный эффект Доплера, чем одиночная синусоидальная волна. С другой стороны, эффект Доплера у ортогональной последовательности Уолша слабее, чем у ортогональной последовательности синусоидальных волн. Чтобы преобразовать волну Уолша в другую, необходимо, чтобы относительная скорость удовлетворяла условию | и/c |> 3/5 . Для синусоидальных волн никакой пороговой скорости для такого преобразования не существует.
• Изменение знака синусоидальных функций на обратный эквивалентно сдвигу их во времени. Для волн, которые не обладают симметрией по знаку и не являются полярно-симметричными, такой эквивалентности не существует.
Функции Уолша
В теории синусоидальных функций используются такие обозначения, как sin Qt, cos Qt или exp (iQt) .Экспоненциальные функции более удобны при ведении расчетов, а функции sin и cos подходят лучше для наблюдаемого представления. Подобным образом вводятся функции Уолша cal (i, 9) и sal (i, 9) по аналогии с V2cos(2n/9) и V2sin(2n/9). Число 2/ характеризует число пересечений нуля на полуоткрытом интервале, например, < 9 < Преимущество обозначений такого рода состоит в том, что секвента i может быть легко измерена различного рода счетчиками. (Секвента - половина среднего числа пересечений нуля за единицу времени).
Однако в некоторых случаях намного удобнее использование другого представления функций, а именно, одной системы функций wal (j, 9). Аналогично данное обозна-
чение более удобно для расчетов, а не для измерений. Здесь параметр у дает число пересечений нуля на открытом интервале, например < в < Данное представление лучше всего позволяет увидеть самые важные свойства функций Уолша. Также существуют и другие представления функций Уолша (рис. 6).
а__б
wal(0j>.--Wal(0,j^J-1-1-L
wal (1, ^ I I Wal (1, - - I I
wal(2, - I __Wal(2, ^ | I I
wal (3, - I I __Wal(3,-^J__|_
wal(0, __Wal(0, - - -
wal(1, 1 I - Wal(1, ^—i i -
wal(2, - I __Wal(2, ^ - -
wal(3, l^ l - I I __Wal(3, II
|_p m4lr*——
wal(5, j>-\ - - I I I Wal(5, ^ - -
wal(6, -—--1 I—[_ Wal(6, iL^---
wal (7, - - [~~| [~~| Wal(7,-^\ - - - 1,1,
Рис. 6. Функции Уолша в двух представлениях: а) функции Уолша, всюду непрерывные и дифференцируемые, б) дискретные функции Уолша, представленные в виде отсчетных функций
На рис. 6, а, слева функции Уолша показаны в виде функций, однозначно определенных для всех вещественных значений 9, кроме точек, где функции имеют скачок. Это непрерывные функции Уолша с конечным числом разрывов. На рис. 6, б, справа показаны те же функции в виде отсчетов. С математической точки зрения это наилучшая форма представления функций Уолша. Отсчетные функции Уолша определены только там, где показаны значения +1 и -1. Для технических целей иногда полезно определять эти функции так, чтобы они были равны нулю в промежутке между отсчетами. Функции wal (j, 9) и Wal (j, 9) имеют одинаковое число пересечений нуля.
Функции wal (j, 9), представленные в левой части рис. 6, а, являются взаимно ортогональными, но ортогональность в общем случае теряется, если эти функции сдвинуть по времени друг относительно друга. Замечательным свойством синусоидальных функций является то, что ортогональность любых периодических функций sin или cos с различными частотами не нарушается при временном сдвиге. Рассмотрим теперь отсчетные функции Wal (j, 9) в правой части рис. 6, б, которые тоже являются ортогональными; но их ортогональность не нарушается при временном сдвиге. Ортогональность может быть нарушена, если сдвиги целочисленно кратны расстоянию между отсчетами. Однако вероятность того, что это возникнет случайно, равна нулю, так как отсчеты являются бесконечно короткими, а расстояние между отсчетами конечно. Неинвариантность ортогональности к сдвигу не является уникальным свойством функций Уолша Wal (j, 9) . Этим свойством обладают любые отсчетные функции. Непрерывную функцию можно рассматривать как отсчетную функцию, имеющую несчетное множество отсчетов. Однако в экспериментальных исследованиях может быть получено, на-
коплено или обработано только конечное число отсчетов. Поэтому математические положения, которые верны для несчетного или счетного множества отсчетов, но неверны для конечного числа отсчетов, не могут быть использованы при анализе данных экспериментов. Примером такого достаточно абстрактного положения является уникальное свойство синусоидальных функций сохранять ортогональность при сдвиге.
Заключение
На основании вышеизложенного можно говорить об универсальности использования функций Уолша и возможности использования их для обработки разного рода сигналов, в частности, акустических сигналов. В дальнейшем, возможно, на кафедре мехатроники будет предпринята попытка использования функций Уолша для конструирования приемо-передающего акустического устройства.
Литература
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - СПб: Профессия, 2004. - 752 с.
2. Бишоп Р.Х., Дорф Р.К. Современные системы управления: Пер. с англ. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2004 - 832 с.
3. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления: Пер. с англ. - М.: Бином, 2004. - 911 с.
4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: СОЛОН-Пресс, 2004. - 400 с.
5. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа. Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 576 с.
