CC BY
29
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(25)
УДК 519.21
А.М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская
СРАВНЕНИЕ МП- И ММ-ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ В ОБОБЩЕННОМ АСИНХРОННОМ ПОТОКЕ СОБЫТИЙ1
Изучается обобщенный асинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок в цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО). Поток функционирует в условиях непродлевающегося мертвого времени, когда длительность мертвого времени - неизвестная фиксированная величина. Проводится сравнение качества получаемых (по наблюдениям за моментами наступления событий потока) оценок длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки).
Ключевые слова: обобщенный асинхронный поток событий, непродле-вающееся мертвое время, МП-оценки, ММ- оценки, длительность мертвого времени.
Настоящая статья является продолжением исследований обобщенного асинхронного потока событий (далее - поток), начатых в статьях [1-5]. Изучаемый поток относится к классу дважды стохастических потоков событий, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний, и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков сообщений, функционирующих в ЦСИО [6]. Этот класс потоков принято называть МС - потоками либо МАР - потоками событий. В [7] приведена классификация МС-потоков событий и установлена связь между МС-потоками и МАР-потоками событий. Наиболее полная литература по изучаемым типам МС-потоков приведена в [8].
В реальных ситуациях функционирование систем массового обслуживания, в частности ЦСИО, осложнено тем, что последнее, как правило, происходит в условиях частичной либо полной неопределенности относительно параметров или состояний информационных потоков сообщений. В таких ситуациях наиболее рациональным является применение адаптивных систем массового обслуживания, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния входящих потоков событий и изменяют дисциплины обслуживания в соответствии с полученными оценками [9]. Вследствие этого возникают задачи оценки состояний [10] и оценки параметров [11] по наблюдениям за моментами наступления событий.
Одним из факторов, влияющим на потерю событий, в частности в ЦСИО, является мертвое время регистрирующих приборов [12], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). В качестве примера приведем протокол С8МЛ/СБ - протокол случай-
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012-2014 годы, задание 8.4055.2011.
ного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.
Для того чтобы оценить потери событий потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить его длительность.
В настоящей статье производится сравнение оценок длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки).
1. Постановка задачи
Рассматривается обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс Х(0 с двумя состояниями X и Х2 (^1> Х2). В течение временного интервала, когда Х(0 = X, , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Х, , , = 1, 2. Переход из первого состояния процесса !(/) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса !(/) в ,-м состоянии распределена по экспоненцильному закону с параметром а,- , , = 1, 2. При переходе процесса Х(0 из первого состояния во второе инициируется с вероятностью р (0 < р < 1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наоборот, при переходе процесса !(/) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 < q < 1) дополнительное событие в первом состоянии. При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид
-(Xi +ai) (1 - p)ai Xi pai
(1 - q) a2 —(X 2 + a2) qa2 X 2
Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса 1(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса 1(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предположениях 1(t) - марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени tj события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени T и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса 1(t); дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса 1(t) из состояния в состояние, помечены буквами p либо q; штриховка - периоды мертвого времени длительности T; t1, t2,... -моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.
1 1 1 а1 а2,. ,.а1 а2! ■1а1 а2,. ■а1
' \р ' —6—® 6 Ь Процесс X(г) \д \ ь © ® р г
Обобщенный асинхронный поток
; Т Т Т Т
\ Схема создания непродлевающегося мертвого времени
—6--------------й-------------©-------------------ё---------------------*
г1 г2 г3 ¡4 г
Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий
Процесс Х(г) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий г1, г2,... наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (г0, г), где г0 - начало наблюдений, г - окончание наблюдений, пренебрегаем. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени г) осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценку Т длительности мертвого времени и произвести сравнение получаемых оценок.
2. МП-оценка длительности мертвого времени
Обозначим тк = 4+1 - 4 (к = 1,2,.) - значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности к-го интервала рТ (тк) = рТ (т), т > 0, для любого к (индекс Т подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент ¡к без потери общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Тогда плотность вероятностей примет вид [2]
рТ (т) = 0, 0 < т < Т; рТ (т) = -
1
-/(Т)
- 21 (т-Т ) _
1
-/(Т)
е-^2(т-Т), т> Т,
/(Т) = а + Ху(Т)е-(а +а2)Т, у(Т) = У[^¿2 -(Х1Х2 - рда^2 )(а1+а2)Т],
X = а1а2 (Х1 + ра1 -X2 - да2 )(Х1 + да1 -X2 - ра2), а = Х1а 2 + Х2а1 + (р + д)а1а2,
X, +Х2 +а1 +а2
+ >/ (х1 -X
2 +а1 -а2 )2 + 4а1а2 (1 - р)(\ - д) 0 < 11 < х2.
'2;
В (1) принимается, что XФ 0, 2 - рда1а2) Ф 0. Подчеркнем, что (1) - одно-
мерная плотность вероятностей.
Пусть т1 = 4 - 4, т2 = 4 - 4 , . , тк = 4+1 - 4 - последовательность измеренных (в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0, ¡)) значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины т1 , ... , тк по возрастанию: ттш = т(1) < т(2) < ... < т(к). В силу предпосылок последовательность моментов наступления событий 4, 4,- • •, 4, . образует вложенную цепь Маркова, т.е. наблюдаемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента 4 , к = 1,2,. . Тогда [13] функция правдоподобия, с учетом (1), запишется в виде
т( к)) = 0,
L(X,, а,, p, q,T | т(1), L(X,,ai,p,q,T | т(1),...,'
0 < Tmin < T;
.(k К _
) =П Pt (t( 1)),
j=1
т ■ > T
min _
Так как поставленная задача заключается в построении оценки Т длительности мертвого времени (в предположении, что остальные параметры потока X,, а,, , = 1,2, р, д известны), то, согласно методу максимального правдоподобия, ее реализация есть решение оптимизационной задачи:
к к
L(T | т
(1)
т(k )^ -
) =п Pt (т( 1)) =П
1=1
a1 +а
j=1
-f (T)
2
Z2 Z1
- z2( т( 1) -T )
1
а1 +a
-f (T)
2
- Z1( т( 1) -T )
■ max, 0 < T < тт
(2)
где z1, z2, f (T) определены в (1).
Значение T, при котором (2) достигает своего глобального максимума, есть
Тмп - оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени.
В [5] аналитически строго решена оптимизационная задача (2): при любых значениях параметров потока Х1 > 0, Х2 > 0 (Х1 > Х2), 0 < p < 1, 0 < q < 1, а, > 0,
i =1,2, МП-оценка Т'мп = Tmin . Таким образом, в процессе наблюдения (в течение временного интервала (t, t0)) потока событий вычисляются величины тк , к = 1, n, после чего находится Tmin = min тк (к = 1, n) и полагается Т'мп = Tmin .
3. ММ-оценка длительности мертвого времени
В [2] показано, что обобщенный асинхронный поток событий, функционирующий в условиях мертвого времени, в общем случае является коррелированным потоком. Только в частных случаях [3] поток становится рекуррентным.
Пусть (4 , 4+1), (4+1 , 4+2) - два смежных интервала в наблюдаемом потоке с соответствующими значениями длительностей: тк = 4+1 - 4 , тк+1 = 4+2 - 4+ь их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить к = 1 и рассматривать соседние интервалы (4, 4), (4 , 4) с соответствующими значениями длительностей: т1 = 4 - 4 , т2 = 4 - 4; т1 > 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту 4 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 - моменту ¡2 наступления следующего события наблюдаемого потока.
Соответствующая совместная плостность вероятностей при этом есть pT (ть т2), її > 0, т2 > 0 [2]:
pT (т1, т2) = 0; 0 <т1 < T, 0 <т2 < T, pt (Ті,т2) = pt (Ti)pt (t2) +
+CT [z1e~Z1(X1-T) - z2e-Z2(X1-T)][z1e~zi(т2-t) - z2e~z2(т2-t) _, Ti > T, T2 > T,
C = e-(a +a2)T «1«2(^1^2 - pqaia2 )(^i -X2 + pai - qa2 )(^i -X2 + qai - pa2) x
CT = e 2 X
[(z2 -z1)(a1 +a2)(z1 z2 -(X1X2 -pqa1a2)e~(a1+a2)T)]
x{z1 z2 -[2z1 z2 -(a1 +a2)(z1 + z2)](a1+a2)T + [z2 -(X1 + X2)(a1 +a2)]e~2(a1+a2)r}, (3)
где z1 , z2 , pT(ik) определены в (1) для т = ik, k = 1, 2.
Теоретическая ковариация значений т1 и т2 запишется в виде
2
адад ад ^
cov(x1,т2) = ||т1т2pT (т1,T2)dx1dт2 - |xpT (x)dт T T [т _
Подставляя (1), (3) в (4), находим явный вид теоретической ковариации:
cov(T1, т2 ) = Íz—— 1 CT, (5)
l z1 z2 )
где CT определена в (3).
Пусть за время наблюдения (в течение временного интервала (t0, t)) реализовалось n интервалов (tk, tk+1) длительности Tk, k = 1, n . Введем статистику
1 n-1 í 1 n l2
cov(т1, Т2) = — XTkTk+1 -l - ETk I , (6)
n 1 k=1 V nk=1
(4)
являющуюся оценкой теоретической ковариации (5). Тогда, согласно методу моментов [13], уравнение моментов, учитывающее коррелированность потока событий, запишется в виде
ч 2
^2_________Л
z1 z2
CT = cov(T1, т2). (7)
Подставляя в (7) выражение CT из (3), вводя новую переменную x = є (а1+а2)т и проделывая при этом необходимые преобразования, находим (7) в виде
ах3 + bx2 + ех + d = 0, a = И[г112 -(Х1 + Х2)(а1 +а2)];
Ь = -{и[2[і2 -(а1 + а2)^ +12)] + (Х1Х2 - рда1а2 )2 соу(т1,т2)}; с = г1 г2И + 2(X2 -рца1а2)соу(х1,т2)^; d = -^ г2)2 соу(х1,т2); а1а 2
И =--------1—2----^(Х1Х2 - Р?а1а2)(Х1 -Х2 + ра1 - да2)(Х1 -X2 + да1 - ра2). (8)
[ г2(а1 +а 2)+
Решение уравнения (8) определит три корня х,,, = 1,2,3, которые, в свою очередь, определят три ММ-оценки длительности мертвого времени
Тмм (0 =-----— 1п х,, = 1,2,3.
а1 +а 2
Алгоритм нахождения единственной оценки 7’ММ следующий:
1) для определенного набора параметров X,, а,, , = 1,2, р, д, Т ед. времени, осуществляется в течение Тт ед. времени имитационное моделирование наблюдаемого потока событий;
2) результатом работы имитационной модели является оценка теоретической ковариации (6), где п принимает одно из целых значений (п > 2);
3) решается кубическое уравнение (8), т. е. находятся корни х1, х2, х3;
4) если все корни комплексные, то 7’ММ = ттт;
5) выделяются вещественные корни; здесь возможны три случая:
5.1) вещественный корень один - х1, тогда:
а) если х1 < 0, то ТММ = ттт ;
6) если х1 > 0, то б.1) Тмм = ттт , если ТММ(1) > ттт , б.2) ТММ = ТММ(') , если
0 < ?ММ(1) < ттт , б.3) ТММ = ттт , если ТММ(1) < 0 ;
5.2) вещественных корня два - х1, х2 (х1 < х2), тогда:
а) если х1 < х2 < 0 , то Тмм = ттт ;
б) если х1 < 0 < х2 , то б.1) ТММ = ттт , если ТММ(2) > ттт , б.2) ТММ = ТММ(2) , если 0 < Тмм(2) < ттт , б.3) ТММ = ттт , если ТММ(2) < 0 ;
в) если 0 < х1 < х2 , то в.1) ТММ = ттт , если ттт < ТММ(2) < ТММ0) , в.2) ТММ = TММ(2), если 0 < ?ММ(2) <ттш < TММ(1), в.3) ТММ = ттт , если ТММ() < 0 <ттт < ТММ”, в.4) ТММ = (^ММ^ + ^ММ^ )/2 , если 0 < Тмм() <
< Тмм( ) < ттт , в.5) ТММ = Тмм( ) , если Тмм( ) < 0 < Тмм( ) < ттт , в.6) ТММ = ттт ,
(2) < Т (1
ММ
5.3) вещественных корня три - х^, х2, х3 (х < х2 < х3 ), тогда:
а) если х1 < х2 < х3 < 0, то Тмм = ттт ;
б) если х1 < х2 < 0 < х3 , то б.1) ТММ = ттт , если ТММ(3) > ттт ,
б.2) ТММ = ?Мм( ) , если 0 < ?Мм( ) < ттт , б.3) ТММ = ттт , если Тмм( ) < 0 ;
в) если х1 < 0 < х2 < х3 , то в.1) ТММ = ттт , если ттт < ТММ(3) < ТММ(2) ,
в.2) ТММ = TММ(3), если 0 < ?ММ(3) <ттт < ТММ(2) , в.3) ТММ = ттт , если
ТММ° < 0 <ттт < ТММ (), в.4) ТММ =(Т]Мм() + Тмм( ) )/2 , если 0 < Тмм( ) <
< Тмм( ) < ттт , в.5) ТММ = Т]мм( ) , если Тмм( ) < 0 < Тмм( ) < ттт ,
в.6) ТММ = ттт , если ?ММ(3) < ТММ(2) < 0 ;
если 7Мм < тмм < 0 ;
г) если 0 < X < x2 < Х3 , ТО Г\1) Тмм = Vm , если Tmin < TMM(3) < ^Ым'2’ < TMM0) ,
г-2) TMM = W ) , если 0 < W ) - Tmin < W ) < W ) , г3) TMM = Tmin , еСЛИ W ) — 0 < Tmin — W ) < W ) , г4) TMM = (TmJ ) + W ) )/2 , еСЛИ
0 < W ) < W ) — Tmin < W ) , г5) TMM = ^^мм' ) , если Тмм( ) — 0 < Тмм( ) —
— т < T (1) г 6) T = т если T (3) < T (2) — 0 < т — T (1)
min ММ ММ min ММ ММ min ММ
г 7) T =(T (1) + T (2) + T (3)) /з если 0 < T (3) < T (2) < T (1) — т
А-7^ММ ^ММ ^ММ ^ММ )IJ> сиш yj^1MM ^ММ ^ММ - Lmm ?
г 8) T = (T (1) + T (2)W? если T (3) — 0 < T (2) < T (1) — т
AÖJ ¿мм-умм ^¿ММ )/*> сиш -*ММ ММ ^-^мм - lmrn ?
г9) TMM = Tмм( ) , если Tмм( ) < TMm( ) — 0 < TMm( ) — Tmin , г10) TMM = Vin , еСЛИ
?«( ) < W ) < TMm( ) — 0 < Vm •
В результате работы алгоритма осуществляется один из описанных вариантов, тем самым определится единственная ММ-оценка 7’мм длительности мертвого времени.
4. Численное сравнение МП- и ММ-оценок
Для получения численных результатов разработан алгоритм вычисления МП-и ММ-оценок. Программа расчета реализована на языке программирования С++ в среде Builder 6. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование (при заданных значениях параметров X,, a,, i = 1,2, p, q, T ед. времени и заданном времени моделирования Tm ед. времени ) наблюдаемого потока событий. Описание алгоритма имитационного моделирования, хотя алгоритм достаточно трудоемок, здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей алгоритм не содержит. Результатом работы имитационной модели является последовательность значений длительностей временных интервалов т1, т2 ,...,тп (n = 2, 3, ...). Второй этап расчета - непосредственное вычисление МП-оценок и ММ-оценок. Коротко опишем второй этап: 1) находится оценка 7’МП = Vin (т^ = min тк, к = 1, n); 2) вычисляется оценка (6); 3) решается уравнение (8); 4) осуществляется алгоритм нахождения единственной оценки 7’мм; 5) вычисляются величины ATmii = - T)2, А'ГММ = (ГГММ - T)2, где T - истинное значение длительности
мертвого времени, заданное на первом этапе расчета при осуществлении имитационного моделирования.
Для сравнения качества МП-оценок и ММ-оценок проведен статистический эксперимент, состоящий из следующих этапов: 1) для заданного набора параметров X,, a,, i = 1,2, p, q, T ед. времени осуществляется моделирование наблюдаемого потока событий для заданного Tm ед. времени (отдельный j-й эксперимент,
j = 1, 2, ...); 2) осуществляется расчет оценок 7"МП(j),7"мм(j) дляj-го эксперимента; 3) вычисляются величины А7"МП( 1), А7"мм( j) для j-го эксперимента; 4) осуществляется повторение N раз (j = 1, N) шагов 1-3.
Результатом выполнения описанного алгоритма являются две выборки
(7мп(1), ?Мп(2), ..., ?Мп(N)), (Tmm(1), T^mm(2),..., Tmm(N)) , на основании которых вы-
числяются выборочные вариации получаемых оценок:
N М г.
¿МП =(1^)ХАГмп( 1), ¿Мм = (1/N1 ^ •
1=1 1=1
Путем сравнения значений выборочных вариаций устанавливается, какая из оценок при заданных параметрах лучше, какая хуже: если Р'МП < ¥ММ, то МП-оценка лучше ММ-оценки, если наоборот, то ММ-оценка лучше МП-оценки. Отметим, что по определению МП - оценка при конечных Тт будет всегда смещенная (тт1П > Т); ее несмещенность реализуется только в асимптотическом случае
при Тт ^» •
Результаты статистического эксперимента приведены в табл. 1-8. В первой строке таблиц указана длительность имитационного моделирования Тт (Тт =10, 20, ..., 50 ед. времени в табл. 1-4; Тт = 600, 700, ..., 1000 ед. времени в табл. 5-8). Во второй и третьей строках таблиц для каждой длительности имитационного моделирования Тт приведены численные значения для РГМП и ¥ММ соответственно. В четвертой строке таблиц для каждой длительности имитационного моделирования приведены численные значения разности РГМП - ¥ММ . Численные результаты во всех таблицах получены для N = 100.
Т аблица 1
Результаты статистического эксперимента (>1 = 2,1, >2=0,5, а1=1, а2=0,9, р=0,1, 0=0,1, Г=0,4)
T ± m 10 20 30 40 З0
VMn 0,01732 0,004SS 0,000ЗЗ 0,00047 0,00034
vmm 0,01717 0,00471 0,00030 0,00019 б■10-5
^мп - vmm 0,0001З 0,00017 0,00023 0,0002З 0,0002S
Т аблица 2
Результаты статистического эксперимента (>1 = 1, >-2=0,5, а1=0,1, а2=0,2, р=0,1, 0=0,1, Г=1)
T ± m 10 20 30 40 З0
VMn 0,02ЗЗЗ 0,001S4 0,000S9 0,000S6 0,00046
vmm 0,02ЗЗЗ 0,001S4 0,000S9 0,000S6 0,00046
VMn - VMM 0 0 0 0 0
Т аблица 3
Результаты статистического эксперимента (>1 = 1,9, >2=0,7, а1=2,1, а2=0,15, р=0,4, 0=0,7, Г=0,4)
T ± m 10 20 30 40 З0
VMn 0,00213 0,00141 0,000З7 0,0004S 0,00036
VMM 0,00201 0,0011S 0,00031 0,00021 2,23 ■ 10^
VMn - vmm 0,00012 0,00023 0,00026 0,00027 0,00034
Т аблица 4
Результаты статистического эксперимента (>1 = 2,1, >2=0,3, а1=1,5, а2=0,1, р=0,2, 0=0,9, Г=0,4)
Т ± т 10 20 30 40 50
¿МП 0,00215 0,00101 0,00061 0,00057 0,00048
Vмм 0,00204 0,00089 0,00036 0,00028 0,00016
¿МП - ¿ММ 0,00011 0,00012 0,00025 0,00029 0,00032
Т аблица 5
Результаты статистического эксперимента (>1 = 2,1, >2=0,5, а1=1, а2=0,9, р=0,1, 0=0,1, Г=0,4)
Т ± т 600 700 800 900 1000
¿МП 4,21510-6 2,185-10-6 1,761 ■ 10-6 3,346-10-7 1,065 10-7
¿ММ 5,3910-5 5,15-10-5 3,745-10-5 1,879-10-5 1,155 ■ 10-5
¿МП - ¿ММ -4,968 10-5 —4,931 ■ 10-5 -3,569-10-5 -1,846 10-5 -1,144-10-5
Т аблица 6
Результаты статистического эксперимента (>1 = 1, >2=0,5, а1=0,1, а2=0,2, р=0,1, 0=0,1, Г=1)
Т ± т 600 700 800 900 1000
¿МП 3,462-10-5 3,494-10-6 1,232-10-6 7,782-10-7 9,8810-8
¿ММ 3,462-10-5 3,494-10-6 1,232-10-6 7,782-10-7 9,8810-8
¿МП - ¿ММ 0 0 0 0 0
Т аблица 7
Результаты статистического эксперимента (>1 = 2, >2=1, а1=1, а2=0,5, р=0,8, 0=0,7, Г=1)
Т ± т 600 700 800 900 1000
¿МП 2,8810-4 5,598-10-5 1,71910-5 5,801 ■ 10-6 7,79-10-8
¿ММ 0,09551 0,07468 0,06269 0,05331 0,05206
¿МП - ¿ММ -0,09522 -0,07462 -0,06267 -0,0533 -0,05206
Т аблица 8
Результаты статистического эксперимента (>1 = 1,9, >2=0,7, а1=2,1, а2=0,15, р=0,4, 0=0,7, Г=0,4)
Т ± т 600 700 800 900 1000
¿МП 5,01 ■ 10-6 4,81 -10-6 3,5 ■ 10-7 3,2-10-7 1,310-7
¿ММ 8,999-10-6 8,766-10-6 3,402-10-6 1,817-10-6 1,619-10-6
¿МП - ¿ММ -3,989-10-6 -3,956-10-6 -3,052-10-6 -1,497-10-6 -1,489-10-6
Анализ приведенных численных результатов показывает: 1) при малых временах наблюдения за потоком (при малых Tm =10, 20, ..., 50 ед. времени) ММ-оценки лучше МП-оценок (табл. 1, 3, 4) либо, по крайней мере, не хуже МП-оценок (табл. 2), что является вполне естественным, так как при малых временах наблюдения оценка ТМП может быть достаточно сильно смещенной относительно Т; 2) при больших временах наблюдения за потоком (при больших Tm = 600, 700, ..., 1000 ед. времени) МП-оценки лучше ММ-оценок (табл. 5, 7, 8) либо не хуже ММ-оценок (табл. 6), что также является естественным, так как при больших временах наблюдения смещение оценки ТМП относительно Т уменьшается.
Заключение
Результаты проведенного исследования МП-оценок и ММ-оценок длительности мертвого времени Т показывают общую тенденцию, что при малых временах наблюдения за потоком предпочтительнее применять оценку Т"ММ, при больших временах наблюдения - оценку 7’МП . Границу применимости той или иной оценки (при заданных значениях параметров X,, a,, i = 1,2, p, q) можно определить только численно путем имитационного моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21. Issue 3 (Jul). P. 283-290.
2. Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлеваю-щемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 4(21). С. 14-25.
3. Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Условия рекуррентности обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Queues: Flows, Systems, Networks: Proc. of the Int. Conf. «Modern Probabilistic Methods for Analysis, Design and Optimization of Information and Telecommunication Networks». Minsk: BSU, 2013. P. 32-38.
4. Леонова М.А., Нежельская Л.А.Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 54-63.
5. Леонова М.А., Нежельская Л.А.Оценка длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Изв. вузов. Физика. 2013. Т. 56. № 9/2. С. 220-222.
6. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 175 с.
7. Горцев А.М., Нежельская Л.А. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1(14). С. 13-21.
8. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66-81.
9. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1978. 208 с.
10. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A., Soloviev A.A. Optimal state estimation in MAP event flows with unextendable dead time // Automation and Remote Control. 2012. V. 73. No. 8. P. 1316-1326.
11. Бушманов И.В., Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий // Автоматика и телемеханика. 2008. № 9. С. 76-93.
12. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Изд-во «Университетское», 1988. 254 с.
13. Шуленин В.П. Математическая статистика. Часть 1. Томск: Изд-во НТЛ, 2012. 540 с.
Горцев Александр Михайлович Леонова Мария Алексеевна Нежельская Людмила Алексеевна Томский государственный университет E-mail: gam@mail.fpmk.tsu.ru;
mleonova86@mail.ru; ludne@mail.ru Поступила в редакцию 5 апреля 2013 г.
Gortsev Alexander M., Leonova Maria A., Nezhelskaya Lyudmila A. (Tomsk State University). The comparison of maximum likelihood estimation and method of moments estimation of dead time value in a generalized asynchronous flow of events.
Keywords: generalized asynchronous flow of events, unprolonging dead time, maximum likelihood estimation, method of moments estimation, dead time value.
Generalized asynchronous flow of events which intensity is piecewise constant stochastic process X(t) with two states ^ and X2 (^ > X2) and unprolonging dead time is considered. During the time interval when X(t) = X, , Poisson flow of events takes place with the intensity X, , i = 1,2. Transition from the first state of process X(t) into the second one (from the second state into the first one) is carried out at any moment of time. The sojourn time in the i-th state is exponentially distributed with parameter ai, i = 1,2. The process of transition X(t) from the first state into the second one initiates with probability p (0 < p < 1) extra event in the second state. Also the process of transition X(t) from the second state into the first one initiates with probability вероятностью q (0 < q < 1) extra event in the second state.
The flow is functioning in conditions of unprolonging dead time (the value of dead time is fixed). We solve the problem of estimation of dead time by using the likelihood function and the method of moments. The comparison of the quality of estimation of dead time value shows which estimator is better.
