CC BY
32
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015 Управление, вычислительная техника и информатика № 4 (33)
УДК 519.21
DOI: 10.17223/19988605/33/2
А.М. Горцев, А. А. Соловьев
СРАВНЕНИЕ МП- И ММ-ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕГОСЯ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ В MAP-ПОТОКЕ СОБЫТИЙ
Изучается MAP-поток событий, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени, когда длительность мертвого времени - неизвестная фиксированная величина. Проводится сравнение качества оценок непродлевающегося мертвого времени, получаемых (по наблюдениям за моментами наступления событий MAP-потока) методом максимального правдоподобия (МП-оценка) и методом моментов (ММ-оценка).
Ключевые слова: MAP-поток; непродлевающееся мертвое время; метод максимального правдоподобия; оценка максимального правдоподобия; метод моментов; оценка метода моментов.
Широко применяемой математической моделью реальных физических процессов являются случайные потоки событий. Изучаемый MAP-поток событий относится к классу дважды стохастических потоков и является одной из адекватных математических моделей потоков элементарных частиц (фотонов, электронов и т.д.), информационных потоков событий, функционирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания, информационно-телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи и т.д. Задачи по оценке состояний и параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счета фотонов, например, при лазерном зондировании высотных слоев атмосферы, в оптических системах обнаружения, распознавания и сопровождения, работающих через атмосферу на предельно большие расстояния, а также в оптических системах загоризонтной связи.
В настоящей работе проводится дальнейшее исследование потоков физических событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени, начатое в работах [1-9].
Параметры потоков событий, функционирующих в реальном времени, неизвестны частично, либо полностью, либо представляют собой функцию времени. В подобных ситуациях наиболее рациональным является применение адаптивных систем, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния потоков событий и изменяют дисциплины обслуживания в соответствии с полученными оценками [10]. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [1114]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [15-24].
Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий (фотонов, электронов и т.д.) выступает мертвое время регистрирующих приборов [25], которое порождается зарегистрированным событием (фотоном, электроном и т.д.). Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). Таким образом, эффект мертвого времени влечет за собой потери событий потока (частично теряется информация о потоке событий), что в итоге отрицательно сказывается на оценивании как состояний, так и параметров потока [2-9]. Для того чтобы оценить потери событий потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить значение его длительности.
При оценке параметров потока событий обычно используется метод моментов [3-8, 16-18, 21-
23], как более простой в аналитическом исполнении реже используется метод максимального правдоподобия [9, 24, 26-28]. Последнее связано с возникающими при использовании этого метода аналитическими трудностями.
В настоящей статье производится численное сравнение оценок значений длительности мертвого времени в MAP-потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценка) и методом моментов (ММ-оценка).
13
1. Математическая модель MAP-потока событий
Рассматривается MAP-поток с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс X(t) c двумя состояниями: X(t) = X1 либо X(t) = X2 (Xi > X2). Длительность пребывания
процесса X(t) в i-м состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения
Fi = 1 - e ^ , i = 1, 2. В момент окончания i-го состояния процесса X(t) возможны следующие ситуации,
каждая из которых протекает мгновенно: 1) процесс X(t) переходит из i-го состояния в i-е и наступает событие потока в i-ом состоянии; совместная вероятность этой ситуации P(X( ^ X(,1) = P1(X( | X(), i = 1, 2; 2) процесс X(t) переходит из i-го состояния в j-е и наступает событие потока; совместная вероятность этой ситуации есть P(Xi ^ X j ,1) = P1(X j | Xi), i, j = 1, 2; i ф j; 3) процесс X(t) переходит из
i-го состояния в j-е, и событие потока не наступает; совместная вероятность этой ситуации есть P(Xi ^ X j,0) = P0(X j 1 X, X i, j = 1,2; i ф j. При этом P1(X, 1 X,) + P1(X} \ X,) + Po(X} \ X,) =1, i, j = 1, 2; i ф j.
Блочная матрица инфинитезимальных характеристик процесса X(t) при этом примет вид
D =
- X1
X 2 P0 (X 1 \ X 2 )
X1 P0 (X 2 \ X1 ) - X2
X1 P1(X 11 X 1) X1 P1(X 2 \ X 1) X 2 P1(X 1\ X 2 ) X 2 P1(X 2 \ X 2 )
||Do\D1
Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предположениях X(t) - скрытый марковский процесс.
Заметим, что в определении MAP-потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса X(t) наступает событие потока при переходе процесса X(t) из i-го состояния в j-е (ij = 1, 2; i ф j). Данное обстоятельство при последующих аналитических выкладках является несущественным, так как наступление события и переход процесса из i-го состояния в j-е (i, j = 1, 2; i ф j) происходят мгновенно.
После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного MAP-потока недоступны наблюдению. По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где t1, t2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке; 1 и 2 - состояния случайного процесса X(t); штриховкой обозначены длительности мертвого времени; черными кружками обозначены события MAP-потока, недоступные наблюдению.
Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий
14
Процесс X(t) является принципиально ненаблюдаемым (скрытый марковский процесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий t1, t2,. наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценку T значений длительности мертвого времени и произвести сравнение качества полученных оценок.
2. Оценка длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия
Обозначим Tk = tk+1 - tk (k = 1,2,.) значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (xk > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности k-го интервала pT (xk) = pT (т) (т > 0) для любого k (индекс T подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). Здесь и далее ситуация, когда т = 0, означает доопределение изучаемых функций в граничной точке. В силу сказанного момент времени tk без потери общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Тогда [1] плотность вероятности примет вид
Рт (т) = <
0,0 < т < T,
Pi +Р:
■f (T )
о-У X-T )
z -
1 Pi +P:
f (T )
- Z2( X-T )
т > T,
f (T) = X^ A + { [1 - Pq{ IX) ] - ^2 [1 - P (X I ^2)]}^(TPT e(Pl P2)T
F(T) = 1 -P0(X, | X2)P0(X2IX1) -Pe-(P1+P2)T;
P1 = X1 [1 -P(^11 X1)] , P2 =X2[1 -P1(X2|X2)] ;
A = p + P2, P = P(XJX 2) + P1(X11 X1)P0(X1 | X2), P2 = P(X 2IX1) + P(X 2I X 2) P0 (X21 X1),
P (X | X1) p(x 2IX2) - P1(X11X2) p^ix).
p = ■
1 -P0(X1IX2)P)(X21 X1)
1
Z1 2 —
1,2 2 L
X1 + X2 ^/(Xj -X2)2 + 4X1X2P0(X21 X1)P0(X11 X2)
0 < z1 < z2.
(1)
В (1) функция F(T)>0 для любых T (0 < T < т).
Пусть т1 = t2 - t1, т2 = t3 - t2,..., тk = tk+1 - tk - последовательность измеренных (в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0,t)) значений длительности интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины т1 ... ^ по возрастанию: тт1П = т(1) < т(2) < ... < т®. В силу предпосылок наблюдаемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать начиная с момента наступления события (с момента tk, k = 1,2,.). Тогда функция правдоподобия, с учетом (1) [29], запишется в виде
Z(X,,PfXJX,.),P(X,. I X),Pq(Xi. I X),TI
r(1)
T(k)) = Q,Q<Xmm <T;
L(X,,P(X, I X,),P(X, I Xj),Pq(X, I Xj),TI x(1),...,x(k)) = ПPt(x
г (j)
) X . > T
min _ '
j=1
Поскольку поставленная задача заключается в построении оценки T значения длительности мертвого времени (в предположении, что остальные параметры потока X,, P1(X,IX,), P1(X,IX/), PQ(X,IX/), i, j = 1,2, i Ф j, известны), то согласно методу максимального правдоподобия ее реализация есть решение оптимизационной задачи:
15
L(T | x(1),...,x(k}) = ПPt (x(j}) = П{------------L
j =1
j=1 z2 Z'
z2 Z1
1
z -
1 P1+P:
-f (T)
-Z2(X( j) -T )
1
P1 +P:
f(T)
)-z1(x( j) -T )
(2)
} ^ max 0 < T < xmin, xmin > 0,
гдеfT), P1, P2, Z1, Z2 определены в (1).
Значение T, при котором (2) достигает своего глобального максимума, есть ТМП - оценка максимального правдоподобия значения длительности мертвого времени.
Строго аналитическое решение оптимизационной задачи (2) приводит к следующему результату:
при любых значениях параметров MAP-потока событий оценка ТМП = xmin .
3. Оценка длительности мертвого времени методом моментов
В [1] показано, что MAP-поток событий, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени, в общем случае является коррелированным. Только в частных случаях поток становится рекуррентным.
Пусть (tk, 4+1), (4+i, tk+2) - два смежных интервала в наблюдаемом потоке с соответствующими значениями длительностей: тк = 4+ - 4, Ч+\ = 4+2 - 4+ь их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить к = 1 и рассмотреть соседние интервалы (4, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей: ii = t2 - 4, т2 = t3 - t2; ii > 0, т2 > 0. При
этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятности при этом есть pT(x1, т2), т1 > 0, т2 > 0 [1]:
Pt(х1,х2) = 0, 0<Xj <T, 0<Xj <T; Pt(xt,Х2) = Pt(^1)Pt(^2) + е-(р1+р2>ТСт x
((z^
xi z,e Zl(X1 T) -z.
e-z2( X1-T))( z1e
zl( X2-T)
- z.
e-z2(X2-T)), X1 > T, x2 > T;
CT =
P
-[1-P„^1 |* 2)P,(^ 2 MM1-ЗД 2 |^1>b^ 2 [1-P)(^1A 2>]}x
[1 z2 )(j^1 + P2 )]
x ft [p(AjX2) + P(Aj^)P0(^|X2)]-P2[P(^|+ P(^|*2)P0(*2|Ai)] {1- A2) ^0(^2! [ P(*J *1) P(A 2| A2) - P(Aj A2) P1(A2| A1) ] (P1 +P2)T f
X{z1 z2 -[ 2z1 z2 -(P1 +P2 )(A1 +A2 )] e-(P1 + P2)T +
+[ z1 z2-(P1 +P2 )(3^1P1(A11A 2) + A 2 P(A 2IA2))] e2(1+P2 )T },
(3)
z1, z2,P1, P2, p, Pt (X1), Pt (x 2) для x = X1 и x = x 2 определены в (1). Теоретическая ковариация значений т1 и т2 запишется в виде
cov(x1,x2) = JJx1x2pT (x1,x2)dx1dx2 -
TT
и2
J xpT (x)dx
(4)
Подставляя (1),(3) в (4), находим явный вид теоретической ковариации:
cov(x1, x2) =
z2 z1 V z1 z2 J
-(P1+P2)TC
T ■>
(5)
z2
2
e
ww
w
T
2
e
где Ст определена в (3).
Пусть за время наблюдения MAP-потока событий в течении временного интервала (t0 ,t) реализовалось n интервалов (tk ,tk+1) длительности тк, к = 1,n . Введем статистику:
16
____ 1 n-1
cov(x1 ,T2) =-------- XXk Xk
' 1 k=1
n - J
-11X
n
(6)
где cov(x1 ,x2) является оценкой теоретической ковариации (5). Тогда согласно методу моментов [29] уравнение моментов, учитывающее коррелированность MAP-потока событий, запишется в виде
V Z1Z2 J
е (Ml)TCT =cov(Xj,x2).
(7)
= eAp1 +P 2)T
и проделывая при
(8)
Подставляя в (7) выражение CT из (3), вводя новую переменную x = e этом необходимые преобразования, находим (7) в виде
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
a = h{z1z2 - (Pi +p2)[A,1P1(A,11 + | X2)]}
b = -{cav(xl,x2)p2 + h[lzlz2-($l +P2)(A,! + X2)]}
C = [ZjZ2A + 2/?COv(x1,X2)] ,d = -COv(X!,X2) , h = p[zx Z2(ft +p2)]-2{p1[i](^1 | X2) + P^ I^) Pq(^1 | X2>] --P2[P(K2 |XJ + P(K2 |X 2)Pq(^2 I A.1)]>X{^1[1 - Pq(X2 |KJ]-X 2 [1 - Pq(X1 IX2)]}.
Решение уравнения (8) определит три корня x. , i = 1, 2, 3, которые, в свою очередь, дают три оценки длительности мертвого времени:
1
T
-L а а
(i)
-ln(x.), i = 1,2,3.
P1 +P2
Алгоритм определения единственной оценки TMM следующий:
1) для определенного набора параметров Хь Х2, P1(Xi| Хг), P1(Xi| Х;), Р0(Хг| ХД i, j = 1, 2; i Ф j, T, n - количество наблюдаемых событий, осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока;
2) результатом работы имитационной модели является оценка теоретической ковариации (6);
3) решается уравнение (8), т.е. находятся корни x1, x2, x3;
4) если все корни комплексные, то TMM = x min;
5.1) если положительный вещественный корень один - x1, тогда:
а) если TMM(1) ^ 0 то TMM =Хmin ; б) если TMM(1)> Q, то: б.1) если TMM ^ ^ Xmin , то TMM = Ti
(1).
б.2) если T
MM (1)
MM
> Xmin , то TMM Хmin ;
5.2) если положительных вещественных корня два - x1, x2 (T
MM
(1)
MM
< Tmi(2)), тогда: а) если
TMM(1) < TMM(2) < Q, то TMM =Х min; б) если TMM ^ < 0 < TMM ^ , то: б.1) если T
MM MM MM min MM MM
Tmm = Tmm (2); б.2) если Tmm (2) > Xmin , то TMM =Х min; в) если 0 < T
MM
(2)
< X ■ то
min
(1)
< Tmm(2), то: в.1) если
MM
MM
MM
(1)
Х min < TMM
Т (1) <" т
MM MM
< T
(2)
MM
то TMM = Хmin ; в.2) если T
(1)
MM
< Xmin < TMM
(2)
, то tmm = tmm(1); в.3) если
(2) ^ гГ гр (2)
< Xmin , то Tmm = T]MM ;
5.3) если положительных вещественных корня три - x1, x2 , x3 (Tmm(1) <Tmmw <TM’), тогда: а) если Tmm(1) < Tmm(2) < Tmm (3) < Q, то Tmm = Хmin; б) если Tmm(1) < Tmm(2) < 0 < Tmm(3), то: б.1) если
TmM ' < Xmi„ , то TMM = TmM ' ; б.2) если TMM
(2)
(3) >
1 MM (3)
LMM — “"min 5
LMM -1 MM
MM
(3)
> xmln , то TMM = Х min ; в) если TMM(1) < 0 < TMM^ < TMM^ ■.
в.1) если xmln < TMM(2) < TMM(3), то TMM
rp (2) ^ ГГ '
TMM -TMM (2)
MM <xm (3) ,
MM
то T
t; в.2) если T
MM
MM MM MM
(2) < Х < T (3) то T = T (2) •
то:
< xmln < TMM
то TMM = TMM
; в.3) если
MM = TmM ); г) если 0 < TmM ) < T
MM
(2)
< TMM
(3)
то: г.1) если xmln < TM
(1)
< Тмму4 < TMM(3 ■> то TMM =Х min; г.2) если TMM < хш!п < Ti
MM
(2)
< T
MM
(3)
то TMM = TMM
(1)
; г.3) если
= %
<
17
T (1) < T (2) <t < T (3) TMM -TMM -Tmin- TMM ?
т0 TMM — TMM ; г4) если TMM < TMM < T
LMM <T min , T0
TMM — TMM
(3)
В результате работы алгоритма находится единственная ММ-оценка TMM значения длительности мертвого времени.
4. Численное сравнение МП- и ММ-оценок
Для получения численных результатов разработан алгоритм вычисления МП- и ММ-оценок. Программа расчета реализована на языке программирования Borland C++, Builder 6. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование (при заданных параметрах Хь X2, P1(Xi| X,), P^X^ Xj), Р0(Хг| Xj), i, j = 1, 2; i Ф j, T, n) наблюдаемого потока событий. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей он не содержит. Результатом работы имитационной модели является набор значений длительности временных интервалов т1, т2,..., тп (п = 2,3,...). На втором этапе расчета вычисляются МП- и ММ-оценки: 1) на основе полученной на первом этапе выборки т1, т2,..., тп (п = 2,3,.) находится МП-оценка TMn — minхк(к — 1,п); 2) вычисляется значение оценки теоретической ковариации (6); 3) решается уравнение (8) и находится единственная ММ-оценка TMM ; 4) вычисляются величины ATMM — (TMM - T)2 , ATMn — (TMn - T)2, где T - истинное значение длительности мертвого времени, заданное на первом этапе расчета.
Для сравнения методов по качеству получаемых оценок проведен статистический эксперимент, состоящий из следующих этапов: 1) для заданного набора параметров X1, X2, P1(Xi| Хг), P1(Xi| X,), Po(X,| X,), i, j = 1, 2; i Ф j, T, п осуществляется моделирование наблюдаемого потока (отдельный j-й эксперимент
j = 1,2,...,N); 2) вычисляются значения оценок TMM(, TMn(j) и значения ATMM(j) , ATMn(1);
3) осуществляется повторение N (j — 1,N) раз шагов 1-2.
Результатом работы приведенного выше алгоритма являются две выборки: (ATMM (1),..., ATMM (N))
и (ATMn(1),...,ATMn(N)), на основе которых вычисляются выборочные вариации VMn — — £ATMn^ и
N j—1
/V I IN /V x • x
VMM — N ^ATM^ .
N j—1
Сравнивая значения выборочных вариаций, определяется, какая из полученных оценок лучше: если VMn > VMM , то ММ-оценка лучше, если VMn < VMM, то лучше МП-оценка.
Результаты статистического эксперимента приведены в табл. 1-8. В первой строке указано количество наблюдаемых событий потока п (длительность имитационного моделирования). Во второй и
третьей строках таблиц для каждого п приведены соответствующие численные значения VMn и VMM . В четвертой строке таблиц для каждого п приведены численные значения разности VMM - VMn. Численные результаты для всех таблиц получены для N = 100.
Таблица 1
Результаты статистического эксперимента (Ij = 1, Х = 0,9, P^XJ Х^ = 0,3, P^Xl ^i) = 0,3, P^Xl Xd = 0,4, P^Xl Х) = 0,4,
Pi(Xj| Хг) = 0,3, P0(Xj| Хг) = 0,3, T = 2,75)
n 10 20 30 40 50
V y МП 0,1517824 0,0326041 0,0075076 0,0018225 0,0002025
V y ММ 0,0349281 0,0056169 0,0011664 0,0010816 0,0001296
V - V yММ vМП -0,1168543 -0,0269872 -0,0063412 -0,0007409 -0,0000729
18
Таблица 2
Результаты статистического эксперимента (I = 5, I = 1, Pi(^i| ^i) = 0,3, Pi^l ^i) = 0,3, Р0(^2| I) = 0,4, P^X.2 ^2) = 0,4,
P1(I1| I2) = 0,3, P0(Ii| I2) = 03, T = 0,4)
n 10 20 30 40 50
V y МП 0,0827554 0,0134249 0,0073008 0,0053361 0,0015154
V y ММ 0,0382048 0,0051302 0,0048444 0,0034151 0,0006989
V - V yММ vМП -0,0445506 -0,0082947 -0,0024564 -0,001921 -0,0008165
Таблица 3
Результаты статистического эксперимента (I1 = 2, I2 = 1,9, P1(I1| I1) = 0,5, P1(I2| I1) = 0,4, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,3,
Pi(Ii| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,4, T = 1)
n 10 20 30 40 50
V МП 0,1444804 0,0172391 0,0044775 0,0038770 0,0030555
V y ММ 0,0335241 0,0128594 0,0041494 0,0019210 0,0016461
V - V yММ vМП -0,1109563 -0,0043797 -0,0003281 -0,0019560 -0,0014094
Таблица 4
Результаты статистического эксперимента (I1 = 0,5, I2 = 0,1, P1(I1| I1) = 0,7, P1(I2| I1) = 0,2, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,6,
P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,1, T = 3)
n 10 20 30 40 50
V y МП 0,9629230 0,5469985 0,2391044 0,1526460 0,0983072
V ММ 0,0915849 0,0651088 0,0299428 0,0154135 0,0028359
V - V ММ МП -0,8713381 -0,4818898 -0,2091616 -0,1372325 -0,0954714
Таблица 5
Результаты статистического эксперимента (I1 = 1, I2 = 0,9, P1(I1| I1) = 0,3, P1(I2| I1) = 0,3, P0(I2| I1) = 0,4, P1(I2| I2) = 0,4,
P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,3, T = 2,75)
n 200 300 600 800 1000
V МП 0,0004096 0,0001347 0,0000441 0,0000074 0,0000003
V ММ 0,0001505 0,0002692 0,0002601 0,0001849 0,0000838
V - V yММ vМП -0,0002591 0,0001345 0,0002160 0,0001775 0,0000835
Таблица 6
Результаты статистического эксперимента (I1 = 5, I2 = 1, P1(I1| I1) = 0,3, P1(I2| I1) = 0,3, P0(I2| I1) = 0,4, P1(I2| I2) = 0,4,
P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,3, T = 0,4)
n 200 400 600 800 1000
V МП 0,0001340 0,0000291 0,0000152 0,0000050 0,0000071
V y ММ 0,0001391 0,0002228 0,0004602 0,0002382 0,0002200
V - V yММ vМП 0,0000051 0,0001937 0,000445 0,0002335 0,0002129
Таблица 7
Результаты статистического эксперимента (I1 = 2, I2 = 1,9, P1(I1| I1) = 0,5, P1(I2| I1) = 0,4, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,3,
P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,4, T = 1)
n 200 400 600 800 1000
V МП 0,0001600 0,0000548 0,0000100 0,0000076 0,0000021
V ММ 0,0010568 0,0006839 0,0000605 0,0000392 0,0000201
V - V yММ vМП 0,0008968 0,0006292 0,0000505 0,0000316 0,0000180
19
Таблица 8
Результаты статистического эксперимента (I = 0,5, I = 0,1, Pi(Ii| I0 = 0,7, P^IJ I0 = 0,2, Р0(^2| I0 = 0,1, P^IJ ^2) = 0,6,
P1(I1| Ij) = 0,3, P0CI1I I2) = 0,1, T = 3)
n 200 400 600 800 1000
V y МП 0,0084623 0,0013386 0,0008519 0,0004733 0,0000847
V y ММ 0,0021580 0,0015700 0,0019321 0,0013225 0,0014161
V - V yММ vМП -0,0063043 0,0002314 0,0010802 0,0008492 0,0013314
Анализ приведенных численных результатов показывает, что при малом времени (п = 10, 20, 30, 40, 50) наблюдения за потоком ММ-оценка лучше МП-оценки (табл. 1-4), что волне объяснимо, так как
при малом времени наблюдения оценка Т^ может быть достаточно сильно смещенной относительно Т. При большом времени наблюдения за потоком МП-оценка лучше ММ-оценки (табл. 4-8), что является естественным, так как при большом времени наблюдения смещение оценки Т^ относительно Т уменьшается.
Заключение
Результаты проведенного исследования оценок длительности мертвого времени Т, полученных методом моментов и методом максимального правдоподобия, указывают на то, что при малом времени наблюдения лучшую оценку дает метод моментов, при достаточно большом времени наблюдения лучшую оценку дает метод максимального правдоподобия. Границу применения той или иной оценки при заданных параметрах можно определить только путем имитационного моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gortsev A.M. and Solov’ev A.A. Joint Probability Density of Interarrival Interval of a Flow of Physical Events with Unextendable
Dead Time Period // Russian Physics Journal. 2014. V. 57, No. 7. P. 973-983.
2. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A., Soloviev A.A. Optimal State Estimation in MAP Event Flows with Unextendable Dead Time //
Automation and Remote Control. 2012. V. 73, No. 8. P. 1316-1326.
3. Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров асинхронного альтернирующего
потока событий с инициированием лишнего события // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 137-145.
4. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead time period and intensities of the synchronous double stochastic event flow //
Radiotekhnika. 2004. No. 10. P. 8-16.
5. Vasil'eva L.A., Gortsev A.M. Estimation of the dead time of an asynchronous double stochastic flow of events under incomplete ob-
servability // Automation and Remote Control. 2003. V. 64, No. 12. P. 1890-1898.
6. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream
of events // Measurement Techniques. 2003. V. 46, No. 6. P. 536-545.
7. Gortsev A.M., Parshina M.E. Estimation of parameters of an alternate stream of events in "dead" time conditions // Russian Physics
Journal. 1999. V. 42, No. 4. P. 373-378.
8. Gortsev A.M., Klimov I.S. Estimation of the non-observability period and intensity of Poisson event flow // Radiotekhnika. 1996.
No. 2. P. 8-11.
9. Gortsev A.M., Klimov I.S. An estimate for intensity of Poisson flow of events under the condition of its partial missing // Radio-
tekhnika. 1991. No. 12. P. 3-7.
10. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1978. 208 с.
11. Bushlanov I. V., Gortsev A. V. Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events // Automation and Remote Control. 2004. V. 65, No. 9. P. 1389-1399.
12. Bushlanov I.V., Gortsev A.V. Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events // Avtomatika i Telemekhanika. 2004. No. 9. P. 40-51.
13. Gortsev A.M., Shmyrin I.S. Optimal estimation of states of a double stochastic flow of events in the presence of measurement errors of time instants // Automation and Remote Control. 1999. V. 60, Part 1. P. 41-51.
14. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A., Shevchenko T.I. Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of measurement errors // Russian Physics Journal. 1993. V. 36, No. 12. P. 1153-1167.
15. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21, No. 3. 2011. P. 283-290.
20
16. Bushlanov I. V., Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events // Automation and Remote Control. 2008. V. 69, No. 9. P. 1517-1533.
17. Vasil'eva L.A., Gortsev A.M. Dead-time interval estimation of incompletely observable asynchronous bistochastic flow of events // Avtomatika i Telemekhanika. 2003. No. 12. P. 69-79.
18. Vasil'eva L.A., Gortsev A.M. Parameter estimation of a doubly stochastic flow of events under incomplete observability // Avtomatika i Telemekhanika. 2002. No. 3. P. 179-184.
19. Vasil'eva L.A., Gortsev A.M. Estimation of parameters of a double-stochastic flow of events under conditions of its incomplete observability // Automation and Remote Control. 2002. V. 63, No. 3. P. 511-515.
20. Gortsev A.M., Shmyrin I.S. Optimal estimate of the parameters of a twice stochastic poisson stream of events with errors in measuring times the events occur // Russian Physics Journal. 1999. V. 42, No. 4. P. 385-393.
21. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimate of parameters of synchronously alternating Poisson stream of events by the moment method // Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Elektrosvyaz and Radiotekhnika). 1996. V. 50, No. 1. P. 56-63.
22. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the parameters of a synchro-alternating Poisson event flow by the method of moments // Radiotekhnika. 1995. V. 40, No. 7-8. P. 6-10.
23. Gortsev A.M., Klimov I.S. Estimation of the parameters of an alternating Poisson stream of events // Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Elektrosvyaz and Radiotekhnika). 1993. V. 48, No. 10. P. 40-45.
24. Gortsev A.M., Klimov I.S. Estimation of intensity of Poisson stream of events for conditions under which it is partially unobservable // Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Elektrosvyaz and Radiotekhnika). 1992. V. 47, No. 1. P. 33-38.
25. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск : Университетское, 1988. 254 с.
26. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени в обобщённом полусинхронном потоке // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 1 (30). С. 27-37.
27. Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Сравнение МП- и ММ-оценок длительности мёртвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 4 (25). С. 32-42.
28. Леонова М.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 54-63.
29. Шуленин В.П. Математическая статистика. Томск: Изд-во НТЛ, 2012. Ч. 1. 540 с.
Соловьев Александр Александрович E-mail:[email protected]
Горцев Александр Михайлович, д-р техн. наук, профессор. E-mail:[email protected]
Томский государственный университет
Поступила в редакцию 12 августа 2015 г.
Gortzev AlexandrM., Solovev Alexandr A. (Tomsk State University, Russian Federation).
Comparison ML- and MM- estimates fixed duration of the dead time MAP-flow of events
Keywords: MAP-flow fixed dead time; the method of maximum likelihood; maximum likelihood estimation; method of moments; the evaluation method of moments.
DOI: 10.17223/19988605/33/2
The Markovian arrival process (MAP-flow) with the intensity representing a piecewise-constant random process X(t) with two states is considered: X(t) = ^ or X(t) = X2 (^ > X2). The dwell time of the process X(t) in the i-th state is random variable with exponential distribution function Fi = 1 - eKit, i = 1, 2. At the moment of termination of the i-th state of the process X(t) the following situations are possible, each of which proceeds instantly: 1) process X(t) transits from the i-th state to the i-th state, and an event of flow in the i-th state occurs; the joint probability of this situation is P(Xi ^ Xi ,1) = Pi(Xi | Xi) i = 1, 2; 2) process X(t) transits from the i-th state
to the j-th state, and an event of the flow occurs; the joint probability of the situation is P(Xi ^ X j ,1) = P^X j | Xt), i, j = 1, 2; i Ф j;
3) process X(t) transits from the i-th state to the j-th state, and no event of the flow occurs; the joint probability of the situation is
P(Xi ^ Xj,0) = P0(Xj 1 Xi X j j = 1,2 i +j. P1(Xi 1 Xi) + P1(Xj 1 Xi) + P0(Xj 1 Xi) = 1 X j = 1 2; i +j
D =
- X!
X 2 P0 (X1 1 X 2 )
X1 P0 (X 2 1 X1)
- X2
X1 P1 (X1 | X1 ) X1 P1 (X2 | X1 ) X 2 P1 (X1 1 X 2 ) X 2 P1 (X 2 1 X 2 )
||D0 I Dj
The elements of the matrix D1 are intensities of transitions from state with occurrence of an event. Non-diagonal elements of the matrix D0 are the intensities of transitions from state to state, but no event occurs. Diagonal elements of the matrix D0 are the intensities of the exit of the process X(t) from the states taken with the opposite sign. Under these assumptions, X(t) is the hidden Markov process.
A comparison of the estimates of fixed dead time obtained (observations obtained as a result of a simulation model of the flow of events MAP) by the method of maximum likelihood and the method of moments.
21
REFERENCES
1. Gortsev, A.M. & Solov’ev, A.A. (2014) Joint Probability Density of Interarrival Interval of a Flow of Physical Events with Unex-
tendable Dead Time Period. Russian Physics Journal. 57(7). pp. 973-983. DOI: 10.1007/s11182-014-0333-4
2. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. & Soloviev, A.A. (2012) Optimal State Estimation in MAP Event Flows with Unextendable Dead
Time. Automation and Remote Control. 73(8). pp. 1316-1326. DOI: 10.1134/S000511791208005X
3. Gortsev, A.M. & Nissenbaum, O.V. (2005) Estimation of the dead time period and parameters of an asynchronous alternative flow of
events with unextendable dead time period. Russian Physics Journal. 48(10). pp. 1039-1054. DOI: 10.1007/s11182-006-0023-y
4. Gortsev, A.M. & Nezhel'skaya, L.A. (2004) Estimation of the dead time period and intensities of the synchronous double stochastic
event flow. Radiotekhnika. 10. pp. 8-16.
5. Vasil'eva, L.A. & Gortsev, A.M. (2003) Estimation of the dead time of an asynchronous double stochastic flow of events under in-
complete observability. Automation and Remote Control. 64(12). pp. 1890-1898. DOI: 10.1023/B:AURC.0000008427.99676.df
6. Gortsev, A.M. & Nezhel'skaya, L.A. (2003) Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-
stochastic stream of events. Measurement Techniques. 46(6). pp. 536-545. DOI: 10.1023/A:1025499509015
7. Gortsev, A.M. & Parshina, M.E. (1999) Estimation of parameters of an alternate stream of events in “dead” time conditions. Russian
Physics Journal. 42(4). pp. 373-378.
8. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S. (1996) Estimation of the non-observability period and intensity of Poisson event flow. Radiotekhnika.
2. pp. 8-11.
9. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S. (1991) An estimate for intensity of Poisson flow of events under the condition of its partial missing.
Radiotekhnika. 12. pp. 3-7.
10. Gortsev, A.M., Nazarov, A.A. & Terpugov, A.F. (1978) Upravlenie i adaptatsiya v sistemakh massovogo obsluzhivaniya [Control and adaptation in queueing systems]. Tomsk: Tomsk State University.
11. Bushlanov, I.V. & Gortsev, A.V. (2004) Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events. Automation and Remote Control. 65(9). pp. 1389-1399. DOI: 10.1023/B:AURC.0000041418.09187.63
12. Bushlanov, I.V. & Gortsev, A.V. (2004) Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events. Avtomatika i Telemekhanika. 9. pp. 40-51. DOI: 10.1023/B:AURC.0000041418.09187.63
13. Gortsev, A.M. & Shmyrin, I.S. (1999) Optimal estimation of states of a double stochastic flow of events in the presence of measurement errors of time instants. Automation and Remote Control. 60( 1). pp. 41-51.
14. Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A. & Shevchenko, T.I. (1993) Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of measurement errors. Russian Physics Journal. 36(12). pp. 1153-1167.
15. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2011) An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events. Discrete Mathematics and Applications. 21(3). pp. 283-290. DOI: 10.4213/dm1141
16. Bushlanov, I.V., Gortsev, A.M. & Nezhel'skaya, L.A. (2008) Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events. Automation and Remote Control. 69 (9). pp. 1517-1533. DOI: 10.1134/S0005117908090075
17. Vasil'eva, L.A. & Gortsev, A.M. (2003) Dead-time interval estimation of incompletely observable asynchronous bistochastic flow of events. Avtomatika i Telemekhanika. 12. pp. 69-79.
18. Vasil'eva, L.A. & Gortsev, A.M. (2002) Parameter estimation of a doubly stochastic flow of events under incomplete observability. Avtomatika i Telemekhanika. 3. pp. 179-184.
19. Vasil'eva, L.A. & Gortsev, A.M. (2002) Estimation of parameters of a double-stochastic flow of events under conditions of its incomplete observability. Automation and Remote Control. 63(3). pp. 511-515.
20. Gortsev, A.M. & Shmyrin, I.S. (1999) Optimal estimate of the parameters of a twice stochastic poisson stream of events with errors in measuring times the events occur. Russian Physics Journal. 42(4). pp. 385-393. DOI: 10.1007/BF02509674
21. Gortsev, A.M. & Nezhel'skaya, L.A. (1996) Estimate of parameters of synchronously alternating Poisson stream of events by the moment method. Telecommunications and Radio Engineering. 50(1). pp. 56-63.
22. Gortsev, A.M. & Nezhel'skaya, L.A. (1995) Estimation of the parameters of a synchro-alternating Poisson event flow by the method of moments. Radiotekhnika. 40(7-8). pp. 6-10.
23. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S. (1993) Estimation of the parameters of an alternating Poisson stream of events. Telecommunications and Radio Engineering. 48(10). pp. 40-45.
24. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S.(1992) Estimation of intensity of Poisson stream of events for conditions under which it is partially unobservable. Telecommunications and Radio Engineering. 47(10). pp. 33-38.
25. Apanasovich, V.V., Kolyada, A.A. & Chernyavsky, A.F. (1988) Statisticheskiy analiz sluchaynykh potokov v fizicheskom eksperi-mente [Statistical analysis of stochastic flows in physical experiment]. Minsk: Universitetskoe.
26. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2015) Maximum likelihood estimation of dead time at a generalized semysyn-chronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(14). pp. 13-21. (In Russian).
27. Gortsev, A.M., Leonova, M.A., Nezhelskaya, L.A. (2013) The comparison of maximum likelihood estimation and method of moments estimation of dead time value in a generalized asynchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universi-teta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(25). pp. 32-42. (In Russian).
28. Leonova, M.A., Nezhelskaya, L.A. (2013) Maximum likelihood estimation of dead time value at a generalized asynchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(23). pp. 54-63. (In Russian).
29. Shulenin, V.P. (2012) Matematicheskaya statistika [Mathematical Statistics]. Part 1. Tomsk: NTL.
22
