Сравнение инвестиционных схем при случайности функции капиталовложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.862.5

СРАВНЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СХЕМ ПРИ СЛУЧАЙНОСТИ ФУНКЦИИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ

© А. М. Ахтямов1'2, А. П. Пономарев2*

1 Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (917) 41724 86.

*Email: AlexPonomarev92@gmail. com

Рассматриваются две математические модели инвестирования: модель акселератора ay'(t)=u(t) и линейная модель ay'(t)+ky(t)=u(t), в которых функция капиталовложения u(t) — есть случайный процесс. Для случая стационарного процесса u(t) при функции математического ожидания mu(t)=c получены три теоремы о значениях математического ожидания величины объема продукции. Для линейной модели данные значения найдены как для малых, так и для достаточно больших t. Для модели акселератора в нестационарном случае получены три теоремы о выборе лучшей из двух схем инвестирования предприятия с одинаковым математическим ожиданием объема инвестирования. Лучшей схемой признается та, у которой математическое ожидание величины объема продукции больше. В первой теореме доказано, что убывающий график функции среднего объема инвестирования лучше возрастающего. Во вто-

T

рой, что средние значения объемов продукции равны при симметричных относительно t = —

2

графиках средних объемов инвестирования и одинаковых горизонтах планирования T. Наконец, в третьей показано, что лучшей схемой признается та, у которой скорость роста меньше.

Ключевые слова: схема инвестирования, продукция предприятия, модель акселератора, случайный процесс, математическое ожидание, стационарный процесс.

1. Введение

На сегодняшний день немало работ посвящено вопросам инвестирования [1—17], не говоря уже о работах, посвященных изучению случайных процессов и теории вероятностей [18—25]. Настоящая работа рассматривает элемент случайности инвестирования и несет в себе, тем самым, задачи из двух вышеупомянутых научных разделов.

Ранее решались задачи выбора лучшей из двух различных схем инвестирования в одно и то же предприятие, имеющих одинаковый объем капиталовложения за время [0.Т] (см. [3—4]). В работах были приведены три теоремы, с помощью которых только по виду графиков сразу можно было бы сказать, по какой из двух схем инвестирования предприятие произведет больший объем продукции. Данная статья опирается на результаты работы [3], а именно на теоремы о правилах монотонности, скорости роста и зеркального инвестирования.

Данная работа является, по большому счету, обобщением работы [3] с дополнениями в виде непосредственного подсчета средних значений объемов продукций предприятий в двух различных моделях в случае стационарности.

Действительно, в реальности объем капиталовложения зависит от многих факторов, в т.ч. от случайных, поэтому нередко функция инвестирования является случайным процессом. Рассмотрим подробно данный случай.

2. Постановка задачи

Рассмотрим следующую математическую модель акселератора:

оу'(0 = и(0; у(0) = у0, и(0 > 0, а >0, (1)

где м(/) — капиталовложения в момент £ У(/) — интенсивность выпуска конечной продукции в стоимостном выражении, а — коэффициент приростной фондоемкости.

Интерес в данной модели представляет функция у() — общая стоимость продукции

предприятия, произведенной в момент времени Т,

т

а, точнее, величина У = |у^, представляющая

0

собой объем продукции в стоимостном выражении за промежуток времени [0.Т].

Итак, пусть инвестирование предприятия производится в течение времени [0.Т] по схеме

м(/) , где м(/) является случайным процессом, а выпуск конечной продукции подчиняется модели акселератора (1). Тогда общая стоимость продукции предприятия у(Г) есть следующий случайный процесс:

1 \

у() = _ )и(? )dt + у0, а 0

а искомое значение У является случайной величиной:

1 т г

У = — |Нz)dzdf + Ту0. а 00

Как и любой случайный процесс, м(/) имеет свои вероятностные характеристики: функцию математического ожидания ти (Т), функцию

дисперсии Би (Т), ковариационную функцию

Ки , ) • Случайная величина Y также имеет свои

вероятностные характеристики, в частности, дисперсию и среднее.

В данной работе найдем функцию среднего ту (/)' математическое ожидание величины М[У],

зная о случайном процессе иф, что он стационарен и его математическое ожидание тиф=с. Также проделаем ту же работу для следующей, более общей, математической модели инвестирования: ау'(г) + ку (?) = и(0;

(2)

у (0) = у0, и (?) > 0, к > 0, а >0.

Помимо всего прочего, в нестационарном случае приведем аналоги теорем о правилах монотонности, скорости роста и зеркального инвестирования при случайности функции капиталовложения м(?), вводя ограничения непосредственно на ее функцию математического ожидания процесса ти ^).

3. Случай стационарности. Теорема 1.

Пусть м(?) - стационарный случайный процесс с непрерывной функцией математического ожидания ти (Т) = с, а выпуск конечной продукции

подчиняется модели (1), причем у0 = 0- Тогда математическое ожидание M[Y] случайной сТ 2

величиныУ равно -.

2 а

Доказательство.

Преобразуем случайную величину У :

1 Т( 1 ( т т \

У = — ¡¡и(£)<к<М = — I Т \ы(т)<? - \ш(т)<? I. а 00 а V 0 0 )

Воспользуемся следующими свойствами математического ожидания:

ъ ъ

1) м IX(t)dt = Jm (t)dt,

X

3) тсх (t) = Стх (), где Х(т) — случайный процесс, ф(?) детерминированная функция, зависящая от t, С константа. Тогда:

M [Y ]

1 ( T T

— I TImu (t)dt - \tmu (t)dt a V 0 0

i 2 Л 2 cT2 cT2--

V

2

J

cT 2a

Рассмотрим линейную модель инвестирования (2):

1 ( T T — I TI cdt - Ictdt a V 0 0

математическую

ау\г) + ку(г) = и(г); у(0) = у0, ) > 0, к > 0, а >0. Здесь, так же, как и в модели (1), у() - общая стоимость продукции предприятия, произведенной в момент времени ? и(0 — капиталовложения в момент ? а новая величина к есть постоянный неотрицательный коэффициент выбытия фондов (например, изнашивание оборудования).

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается следующим уравнением (см. [3, с. 86]):

а0У(п) 0) + а1У (п-1) () +... + апУ (/) =

= ¿о х(т) (t)+¿1 х(т-1) ц)+...+ът х (),

где X(?) — входной стационарный случайный процесс, Г(?) — соответствующий ему стационарный процесс на выходе.

Для данной системы верна формула для математических ожиданий, справедливая для достаточно больших ?:

апMY = ЬттХ. (3)

Теорема 2. Для достаточно больших t в модели (2), а=1, при стационарности процесса и(0 и его

функции математического ожидания ти (Т) = с ,

для среднего функции стоимости продукции предприятия у(^ верна следующая формула:

с

ту (?) = -.

К

Доказательство.

Поскольку модель (2) является стационарной линейной динамической системой, подавая на вход в модель стационарный случайный процесс м(?) с

математическим ожиданием ти () = С и

воспользовавшись формулой (3), на входе получим (при а=1) стационарный случайный процесс у() с математическим ожиданием, равным:

2) тфХ (t) = ф(t)mX (t) >

m.

bmmX

c k'

а

а

a

n

Замечание. Отметим, что данная формула справедлива при больших t и на рассматриваемых достаточно коротких отрезках инвестирования она, вообще говоря, не верна.

Решим ту же задачу для небольших Теорема 3.

Пусть и(/) - стационарный случайный процесс с непрерывной функцией математического ожидания ти (Т) = с, а выпуск конечной продукции

подчиняется модели (2), причем Уо =0, а = 1 .

с ^ Тогда ш,,(Л =— (1 - е ).

> (/)

к

Доказательство.

Итак, найдем непостредственный вид у(Г) при решения уравнения (2). Для сокращения записи будем считать а = 1, у0 =0 .

у'(г) = -ку(г) + и(г), у0 = 0.

Для построения решения введем вспомогательную функцию в (?):

в() = ^в, в(0) = 1.

Тогда следующая функция у() является решением исходного дифференциального уравнения:

' -1

У (1 ) = в (1) у0 + в (1)¡в(1 )и (1 )М.

0

в(Т) = е ^ и _у(/) вместе с ту (t) принимают вид:

у(t) = е kt jektu(t)&, 0

т (г) = е\1екЫг = —е~к(еЬ -1) = — (1 - е~Ы)

С. || С С. I С XI 1 X С. I.

к к

Замечание. Отметим, что последнее

выражение действительно стремится к — при

К

Т А да.

Следствие:

С лТ -к/ С 1 -кТ

= -/Т (1 -е = -(Г+ -е кТ -1).

4. Выбор лучшей из двух инвестиционных схем.

При доказательстве следующих трех теорем будем ссылаться на работу [3], в которой доказаны идентичные теоремы для неслучайных функций инвестирования.

Итак, пусть инвестирование предприятия в течение времени [0.Т] производится по одной из

двух случайных схем инвестирования ) , где

ти- (Т) — соответствующие функции математического ожидания. Пусть у ) — общая стоимость предприятия, произведенная в момент времени £ по схеме инвестирования (?) . Выпуск продукции подчиняется модели (1). При этом известно, что:

т т

|ти () = I ти () = М. 0 1 0 2

(4)

Требуется оценить между собой значения М[У1 ] и М[7, ].

Теорема 4. Правило монотонности.

Пусть функции математического ожидания

инвестирования ти^ (т) и т(т) из модели (1) являются непрерывными на отрезке [0,Т] и удовлетворяют условию (4). Если функция ти^ (т)

строго убывает, а ти^ (Т) строго возрастает на

отрезке [0,Т], то М[Y1 ]> М[Y2 ].

Доказательство.

Проверим это:

1 Т 1 т

71 - 72 = — ТI (м1 ) - м2 --(м1 ) - м2 (/

а 0 а 0

М7 -72]= МЩ-МР^ 1 Т 1 т

="(т)— К» (т)-ми (0>й

А о 1 2 "" 1 2

а о

Воспользовавшись равенством (4), получим:

1 т

М[7 ] - М[72 ] = — //(ши () - т (1 ))Л.

а 0 1 2

Для того чтобы доказать исходное неравенство, нужно показать, что для непрерывных

функций т^ (Т) и тм^ (Т) верно:

б(Г)= (ти () - тм (?Ы < 0. 0 1 2

Данное утверждение доказано в работе [3]. Фактически, после применения свойств математического ожидания 1)-3), доказательство исходной теоремы свелось к доказательству теоремы о правиле монотонности для (?).

Теорема 5. Правило зеркального инвестирования.

Пусть для двух функций математического

ожидания инвестирования ти^ (т) и ти (Т) из модели (1) выполнено условие (4), а также

выполняется условие ти (Т) - ти (Т - Т), 1 - 1,2 . Тогда М[У1 ] = М[У2 ] Доказательство.

Рассмотрим, как и в прошлой теореме, разность математических ожиданий:

М [71 ] - М [72 ] =

1 Т 1 т

= _ Т1 (ти ^) - V№ ^(тил ^) - ^^ : а 0 1 2 а 0 1 2

1 Т

= — 11(т„ ^) - т„ ^))dt.

а 0 1 2

Для непрерывных функций математических ожиданий, применив свойство ти (Т) - ти (Т - Т), i — 1,2 из

условия, получаем, что:

1 Т

М[71 ] - М[72 ] — 12(тм (/) - т (/))А.

а 0 1 2

И сводим, по сути, доказательство исходной теоремы к теореме о зеркальном инвестировании

для функций (?) .

Теорема 6. Правило скорости роста.

Пусть для двух непрерывных на отрезке [0.Т]

и дифференцируемых на (0.Т) функций математического ожидания инвестирования тщ (Т) и ти^ (Т) из модели (1) выполнено условие

(4), а также для всех t из интервала (0, Т) выполняется условие т^ (t) < т^ (t). Тогда

М [У1 ]> М [У2 ].

Доказательство.

В теореме 4 нами была получена функция Q(T), идентичная той, что используется в доказательстве теоремы о правиле скорости роста для функций (?) в работе [3].

т

2(Т)= (ши () - Ши (I))Л <0. 0 1 2

Таким образом, после применения свойств математического ожидания 1)-3) доказательство исходной теоремы сводится к доказательству правила скорости роста из [3]. 5. Заключение.

Итак, в данной работе мы показали, что, зная функции математического ожидания стационарного процесса инвестирования, мы можем найти функцию среднего для стоимости продукции предприятия, а также математическое ожидание случайной величины объема продукции за

промежуток времени [0.Т]. С практической точки зрения это означает, что по вероятностной характеристике функции капиталовложения мы можем спрогнозировать среднее нашего конечного дохода, тем самым оценить дальнейшие перспективы инвестирования. Это бывает полезно, когда у нас есть некоторая история капиталовложения, с помощью которой методом математического моделирования мы можем построить случайный процесс инвестирования и применить к нему полученные результаты. Помимо этого, мы обобщили теоремы из работы [3], положив в них функции м(Т) случайными и получили схожие результаты, которые также могут помочь при анализе случайного инвестирования. Стоит отметить, что полученные результаты применимы не только к стационарным процессам, что значительно расширяет диапазон их применения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов А. А. Финансово-бюджетные потоки, оценка и повышение результативности бюджетного контроля // Экономика и управление. 2011. №»7. С. 117-120.

2. Астахов А. С. О преодолении разрыва между теорией и практикой моделирования инвестиционных решений // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41. №3. С. 122-127.

3. Ахтямов А. М., Гизатуллин Х. Н., Камалов Д. А. Правила выбора лучшей из двух инвестиционных схем // Журнал экономической теории. 2014. №»3. С. 158-163.

4. Ахтямов А. М. О выборе наилучшего графика из двух схем инвестирования предприятия // Экономика и математические методы. 2013. Т. 49, №2. С. 97-105.

5. Ахтямов А. М. Математические модели экономических процессов. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 140 с.

6. Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов. М.: Физматлит, 2004. 464 с.

7. Бронштейн Е. М., Черняк Д. А. Сравнительный анализ показателей эффективности инвестиционных проектов // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41. №2. С. 21-28.

8. Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: теория и практика. М.: Дело, 2001. 888 с.

9. Горелик А. А., Горелов М. А., Кононенко А. Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь, 1991. 288 с.

10. Дыхта В. А. Динамические системы в экономике. Введение и анализ одномерных моделей. Иркутск: БГУЭиП, 2003. 178 с.

11. Кушаев Р. М. Управление инвестициями предприятия // Экономика и экологический менеджмент. 2012. №1. С. 221-228.

12. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. 5-е изд. М.: Дело, 2003. 520 с.

13. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. М.: Экономика, 2000.

14. Овчинникова Т. И., Ворохобин Д. А. Динамика и факторы развития региона // Современная экономика: проблемы и решения. 2010. Т. 11. №11. С. 35-41.

15. Преображенская Н. В., Семенова А. А. Оценка экономической эффективности инновационно-инвестиционных проектов // Микроэкономика. 2011. №3. С. 56-60.

16. Протопопова А. А. Особенности инвестиционных вложений в информационно-техническую инфраструктуру с точки зрения проектного анализа // Микроэкономика. 2011. №3. С. 61-63.

17. Социально-экономическое прогнозирование развития территориальных систем. Екатеринбург: Уро РАН, 2001. 228 с.

18. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1996. 400 с.

19. Климов Г. П., Кузьмин А. Д. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. М.: МГУ, 1985. 232 с.

20. Королюк В. С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.

21. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969. 398 с.

22. Миллер Б. М., Панков А. Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: Физматлит, 2002. 320 с.

23. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 632 с.

24. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 581 с.

25. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998. 544 с.

Поступила в редакцию 26.12.2014 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK BamKHpcKoro yHHBepcureTa. 2015. T. 20. №1

159

COMPARISON OF INVESTMENT SCHEMES IN CASE OF A RANDOM FUNCTION OF INVESTMENT

© A. M. Akhtyamov1'2, A. P. Ponomarev2*

1R.R.Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Scientific Center, Russian Academy of Sciences 71 Oktyabrya Ave., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (917) 41724 86.

*Email: alexponomarev92@gmail. com

We consider two mathematical models of investment: accelerator and linear models, where function of investment is a random process. Three theorems about the expected value of the volume of production are obtained for two models in the case of stationary process u(t). In addition, in case of a random function of investment, three theorems about choosing better of two investment schemes with the same planning time-frame and the volume of investment are obtained for accelerator model. The theorems help to choose an investment scheme with the highest average volume of production. In the first theorem, it is shown that decreasing investment schedule is better than growing. In the second theorem, it is proved that all investment schemes that have the same volume of investment and planning horizon mu(t) and symmetric with respect to a straight line t=T/2 give the same amount of products released for the time period [0, T]. And in the third theorem, it is shown that from two schemes of investment increase, the better scheme is the one, which have lower derivative.

Keywords: investment schemes, accelerator, linear model, random process, expected value.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Abrosimov A. A. Ekonomika i upravlenie. 2011. No. 7. Pp. 117-120.

2. Astakhov A. S. Ekonomika i matematicheskie metody. 2005. Vol. 41. No. 3. Pp. 122-127.

3. Akhtyamov A. M., Gizatullin Kh. N., Kamalov D. A. Zhurnal ekonomicheskoi teorii. 2014. No. 3. Pp. 158-163.

4. Akhtyamov A. M. Ekonomika i matematicheskie metody. 2013. Vol. 49, No. 2. Pp. 97-105.

5. Akhtyamov A. M. Matematicheskie modeli ekonomicheskikh protsessov [Mathematical models of economic processes]. Ufa: RITs BashGU, 2009. 140 c.

6. Akhtyamov A. M. Matematika dlya sotsiologov i ekonomistov [Mathematics for sociologists and economists]. Moscow: Fizmatlit, 2004.

7. Bronshtein E. M., Chernyak D. A. Ekonomika i matematicheskie metody. 2005. Vol. 41. No. 2. Pp. 21-28.

8. Vilenskii P. L., Livshits V. N., Smolyak S. A. Otsenka effektivnosti investitsionnykh proektov: teoriya i praktika [Evaluating the effectiveness of investment projects: theory and practice]. Moscow: Delo, 2001.

9. Gorelik A. A., Gorelov M. A., Kononenko A. F. Analiz konfliktnykh situatsii v sistemakh upravleniya [Analysis of conflicts in management systems]. Moscow: Radio i svyaz', 1991.

10. Dykhta V A. Dinamicheskie sistemy v ekonomike. Vvedenie i analiz odnomernykh modelei [Dynamical systems in the economy. Introduction and analysis of one-dimensional models]. Irkut-sk: BGUEiPp. 2003.

11. Kushaev R. M. Ekonomika i ekologicheskii menedzhment. 2012. No. 1. Pp. 221-228.

12. Lopatnikov L. I. Ekonomiko-matematicheskii slovar': Slovar' sovremennoi ekonomicheskoi nauki [Economics and mathematics Dictionary: Dictionary of modern economics]. 5-e izd. Moscow: Delo, 2003.

13. Metodicheskie rekomendatsii po otsenke effektivnosti investitsionnykh proektov [Guidelines for evaluation of effectiveness of investment projects]. Moscow: Ekonomika, 2000.

14. Ovchinnikova T. I., Vorokhobin D. A. Sovremennaya ekonomika: problemy i resheniya. 2010. Vol. 11. No. 11. Pp. 35-41.

15. Preobrazhenskaya N. V., Semenova A. A. Mikroekonomika. 2011. No. 3. Pp. 56-60.

16. Protopopova A. A. Mikroekonomika. 2011. No. 3. Pp. 61-63.

17. Sotsial'no-ekonomicheskoe prognozirovanie razvitiya territorial'nykh system [Socio-economic prediction of development of territorial systems]. Ekaterinburg: Uro RAN, 2001.

18. Venttsel' A. D. Kurs teorii sluchainykh protsessov [Course of the theory of stochastic processes]. Moscow: Nauka, 1996.

19. Klimov G. P., Kuz'min A. D. Veroyatnost', protsessy, statistika. Zadachi s resheniyami [Probability, processes, statistics. Tasks and solutions]. Moscow: MGU, 1985.

20. Korolyuk V S. Spravochnik po teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistike [Handbook of probability theory and mathematical statistics]. Moscow: Nauka, 1985.

21. Kramer G., Lidbetter M. Statsionarnye sluchainye protsessy [Stationary stochastic processes]. Moscow: Mir, 1969.

22. Miller B. M., Pankov A. R. Teoriya sluchainykh protsessov v primerakh i zadachakh [The theory of stochastic processes in examples and tasks]. Moscow: Fizmatlit, 2002.

23. Pugachev V. S., Sinitsyn I. N. Stokhasticheskie differentsial'nye sistemy [Stochastic differential systems]. Moscow: Nauka, 1990.

24. Shiryaev A. N. Veroyatnost' [Probability]. Moscow: Nauka, 1989.

25. Shiryaev A. N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki [Basics of stochastic financial mathematics]. Moscow: Fazis, 1998.

Received 26.12.2014.