CC BY
1426
УДК 519.23
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ПАРНЫХ ВЫБОРОК С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРОГРАММ STATA: НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
© 2014 Г. О. А. Харькова, *А. М. Гржибовский
Северный государственный медицинский университет, г. Архангельск *Норвежский институт общественного здравоохранения, г. Осло, Норвегия
В предыдущих выпусках практикума рассматривались параметрические и непараметрические критерии, применяемые для сравнения двух, трех и более несвязанных групп, а именно: непарный критерий Стьюдента, однофакторный дисперсионный анализ для независимых выборок, критерий Манна — Уитни и критерий Крускала — Уоллиса, где общим условием была независимость выборок. В случае исследований типа «до — после», когда измерение признаков у одних и тех же участников исследования производится в разные моменты времени, при изучении близнецов, а также в исследованиях типа «случай — контроль» с использованием метода подобранных пар [3], то есть когда речь идет об отсутствии независимости выборок, необходимо применять критерии для парных выборок. В данной статье мы рассмотрим непараметрические критерии для сравнения двух парных групп — парный критерий Вилкоксона (или одновыборочный критерий Вилкоксона) и критерий знаков.
Парный критерий Вилкоксона (Wilcoxon signed rank test) и критерий знаков (Sign test) предназначены для сравнения парных выборок [9]. Для обоих критериев необходимо соблюдение следующих условий:
• количественный или качественный порядковый признак;
• в случае количественного признака не обязательно нормальное распределение разности между значениями изучаемого признака в группах;
• наличие не более двух зависимых групп.
Для проверки соблюдения условий никаких математических манипуляций не требуется. Учитывая второе условие, мы можем применить парный критерий Вилкоксона или критерий знаков, не обращая внимания на распределение изучаемого признака в группах. Однако надо помнить, что непараметрические критерии являются менее чувствительными, чем параметрические [1], поэтому если данные подчиняются закону нормального распределения, то корректнее использовать парный критерий Стьюдента. Помимо количественных переменных, не подчиняющихся закону нормального распределения, эти критерии можно применять и для порядковых данных. Например, пятибалльная оценка в школе, десятибалльная оценка состояния новорожденного по шкале Апгар и т. д., также могут сравниваться с помощью непараметрических критериев [2].
Парными считаются выборки, когда результаты измерения одного и того же показателя у одной и той же группы людей анализируются разными исследователями, например при определении уровня гемоглобина крови у десяти человек двумя разными лабораториями. Исследование типа «случай — контроль» с использованием метода подобранных пар также является показанием для применения парных методов анализа,
В статье рассматривается применение непараметрических критериев для сравнения данных в двух парных группах. Приводятся примеры расчетов критерия Вилкоксона для непарных выборок и критерия знаков как вручную, так и с помощью пакета статистических программ STATA. Разбираются условия применения непараметрических критериев для парных выборок, примеры представления результатов применения парного критерия Вилкоксона и критерия знаков в публикациях.
Ключевые слова: статистический анализ, непараметрические критерии, парный критерий Вилкоксона, критерий знаков, STATA
так как контроли для каждого случая подбираются исходя из определенных характеристик случаев [3]. В качестве таких характеристик обычно используют пол, возраст, образование, место жительства и др. Сюда же включаются и проспективные исследования, например, изучение признака до и после операции, в начале и в конце учебного года и т. д.
Основное различие между парным критерием Вилкоксона и критерием знаков заключается в том, что в случае последнего в анализе игнорируется значение изменений переменных и учитывается лишь их направление [4]. Поэтому критерий знаков обладает меньшей статистической мощностью по сравнению с парным критерием Вилкоксона [3].
Парный критерий Вилкоксона и критерий знаков основаны на ранжировании абсолютных величин разности без учета знака. Рассмотрим пример (табл. 1). У девочек младшего школьного возраста провели динамометрию (изучение мышечной силы) правой руки в начале учебного года и в конце. Можно ли утверждать, что в конце учебного года мышечная сила у девочек стала больше по сравнению с началом учебного года?
Таблица 1
Пример расчета парного критерия Вилкоксона и критерия знаков
Номер участника исследования
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
На начало учебного года 12 14 11 14 10 14 7 12 14 13 14
На конец учебного года 11 18 15 12 14 14 11 15 17 18 18
Разность — 1 4 4 -2 4 0 4 3 3 5 4
Без учета знака 1 4 4 2 4 0 4 3 3 5 4
Ранг 1 7 7 2 7 — 7 3,5 3,5 5 7
Т+ — 7 7 — 7 — 7 3,5 3,5 10 7
Т_ 1 — — 2 — — — — — — —
Сумма рангов Т+ = 52 Т— = 3
Алгоритм расчета парного критерия Вилкоксона:
1. Создать новую переменную «разность», каждое из значений которой представляет собой Х — Х , где Х — значение переменной в
конец начало' ^ конец ^
конце учебного года, а Х — значение переменной
начало
в начале учебного года.
2. Записать абсолютные значения разности без учета знака.
3. Присвоить разностям ранги. Напоминаем о том, что переменные с нулевыми изменениями (участник исследования под номером 6 в нашем примере) в анализе не участвуют, поэтому рангов всего не 11, а 10. Если несколько значений равны, то им присваивается ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны (например, в отношении значения «3» - (3 + 4) / 2 = 3,5; «4» - (5 + 6 + 7 + 8 + 9) / 5 = 7).
4. Проставить ранги для положительных разностей (Т+) и отрицательных (Т-).
5. Подсчитать сумму рангов для положительных (ЕТ+) и отрицательных (ЕТ—) разностей.
6. Меньшая из двух сумм рангов (без учета знака) и будет являться эмпирическим значением парного критерия Вилкоксона (Т).
7. Далее рассчитаем 7-значение для парного критерия Вилкоксона и уровень статистической значимости [6]:
Г =
п(п — 1)
5ЕТ =
Г
(п-Ь 1)(2п - 1)
2-1
Т -Т
I =
где Т — значение парного критерия Вилкоксона; Т — среднее значение парного критерия Вилкоксона;
— стандартная ошибка парного критерия Вилкоксона; п — количество наблюдений, не имеющих нулевых изменений.
5ЕТ =
10 * (10 + 1)* (2 * 10 + 1)
24
;
3 - 27,5
г =-= —2,50
9,81
Если полученное 7-значение больше, чем 1,960 (независимо от знака), то р < 0,05, если 7-значение больше, чем 2,576, то р < 0,01 и если 7-значение больше, чем 3,291, то р < 0,001. Согласно нашим данным, есть статистически значимые изменения по динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в конце учебного года по сравнению с началом (0,01 < р < 0,05).
Алгоритм расчета критерия знаков:
1. Создать новую переменную «разность» так же, как для парного критерия Вилкоксона (см. табл. 1). Если для расчета парного критерия Вилкоксона неважно, как осуществляется вычитание «до — после» или «после — до», то для расчета критерия знаков — исключительно «после — до» [4].
2. Подсчитать суммы нулевых, положительных и отрицательных сдвигов в строке «разница»:
Е = 1
нулевых сдвигов
Е = 8
положительных сдвигов
Е = 2
отрицательных сдвигов
Далее в анализ учитываются только суммы положительных и отрицательных сдвигов, а сумма нулевых сдвигов игнорируется [4, 5].
3. Сумма сдвигов, получившаяся наибольшей, называется типичным сдвигом (п), а сумма сдвигов, получившаяся наименьшей, соответственно нетипичным сдвигом ^ ). Согласно нашим данным, п = 8, а G = 2. В случае, когда величины типич-
' эмп ^ '
ного и нетипичного сдвигов оказываются равными (п = Gэмп), критерий знаков неприменим.
4. Оценка статистической значимости различий по критерию знаков производится по соответствующей таблице критических значений (табл. 2) [4]. В столбце, обозначенном п, приведены величины типичных сдвигов, а в столбцах, имеющих обозначения, соотносящиеся с уровнями значимости (0,05 и 0,01), представлены величины нетипичных сдвигов G. Если р < 0,05, то принимается альтернативная гипотеза (свидетельствующая о том, что есть различия) при соответствующем уровне значимости; в данном случае либо при р = 0,05, либо при р = 0,01.
Таблица 2
Критические значения критерия знаков () при р = 0,05 и р = 0,01
n р n р n р n р
0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01
5 0 - 27 8 7 49 18 15 92 37 34
6 0 0 28 8 7 50 18 16 94 38 35
7 0 0 29 9 7 52 19 17 96 39 36
8 1 0 30 10 8 54 20 18 98 40 37
9 1 0 31 10 8 56 21 18 100 41 37
10 1 0 32 10 8 58 22 19 110 45 42
11 2 1 33 11 9 60 23 20 120 50 46
12 2 1 34 11 9 62 24 21 130 55 51
13 3 1 35 12 10 64 24 22 140 59 55
14 3 2 36 12 10 66 25 23 150 64 60
15 3 2 37 13 10 68 26 23 160 69 64
16 4 2 38 13 11 70 27 24 170 73 69
17 4 3 39 13 11 72 28 25 180 78 73
18 5 3 40 14 12 74 29 26 190 83 78
19 5 4 41 14 12 76 30 27 200 87 83
20 5 4 42 15 13 78 31 28 220 97 92
21 6 4 43 15 13 80 32 29 240 106 101
22 6 5 44 16 13 82 33 30 260 116 110
23 7 5 45 16 14 84 33 30 280 125 120
24 7 5 46 16 14 86 34 31 300 135 129
25 7 6 47 17 15 88 35 32
26 8 6 48 17 15 90 36 33
При n = 8 GKp = 1 (р = 0,05) или GKp = 0 (р = 0,01). Следовательно, принимается нулевая гипотеза (р > 0,05), так как G < G . Это говорит о том, что нет
' '' кр эмп 1 '
статистически значимых изменений по динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в конце учебного года по сравнению с началом.
Рассмотрим использование парного критерия Вилкоксона и критерия знаков в программе STATA [7, 8]. Возьмем тот же самый пример. У девочек младшего школьного возраста провели динамометрию правой руки в начале учебного года (переменная dyn_1) и в конце (переменная dyn_2). Для того чтобы исключить возможность применения параметрического парного критерия Стьюдента, необходимо проверить
распределение разности между значениями изучаемого признака. С этой целью создается новая переменная difference путем открытия диалогового окна Create new variable через Data — Create or change data (рис. 1).
□ Data Editor (Edit) - [Untitled] File Edit View Data Tools
izgHIRa ^imaiTMff^i,
dyn_l[l] 12
dyn_l dyn_2 difference
i - il -1
2 14 18 4
3 11 15 4
4 14 12 -2
5 10 14 4
8 14 14 О
7 7 11 4
8 12 15 3
9 14 17 3
10 13 18 5
11 14 18 4
Рис. 1. Диалоговое окно для создания новой переменной с помощью математических вычислений (слева) и результат создания новой переменной difference (справа)
Во вкладке Main в окошке Variable name даем название новой переменной difference, в окошке Content of variable ставим « e » в Specify a value or an expression и пишем соответствующее математическое вычисление dyn_2 — dyn_1, затем Ok (см. рис. 1). В результате с нашими переменными dyn_1 и dyn_2 появляется новая переменная difference, каждое из значений которой получилось путем разницы значения динамометрии в конце учебного года и в начале.
Посмотрим распределение новой переменной difference с помощью критерия Shapiro-Wilk, который открывается при помощи меню Statistics — Summaries, tables and tests — Distributional plots and tests — Shapiro-Wilk normality test. В диалоговом окне Shapiro-Wilk normality test (рис. 2) во вкладке Main в окошке Variables выбираем переменную difference и нажимаем Ok. Уровень статистической значимости (Prob > z = 0.00210) свидетельствует о
негауссовом распределении разности между значениями изучаемого признака, то есть новой переменной difference (рис. 3). В связи с этим корректнее применять непараметрические критерии — парный критерий Вилкоксона или критерий знаков.
Рис. 2. Диалоговое окно критерия Shapiro-Wilk
Рис. 3. Результаты проверки распределения переменной difference с помощью критерия Shapiro-Wilk
Для использования парного критерия Вилкоксона в STATA следует зайти в диалоговое окно Wilcoxon matched-pairs signed-rank test, которое открывается при помощи меню Statistics — Summaries, tables, and tests — Nonparametric tests of hypothesis — Wilcoxon matched-pairs signed-rank test (рис. 4).
Рис. 4. Алгоритм поиска парного критерия Вилкоксона или критерия знаков в программе STATA
Во вкладке Main в окошке Variable выбирается изучаемая переменная dyn_2; в окошке Expression пишется переменная dyn_1, затем Ok (рис. 5). Результаты сравнения групп в динамике с помощью парного критерия Вилкоксона представлены на рис. 6.
Рис. 5. Диалоговое окно Wilcoxon matched-pairs signed-rank test
Рис. 6. Результат сравнения динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в начале учебного года и в конце (с помощью парного критерия Вилкоксона)
В таблице рис. 6 представлено количество (obs) положительных (positive), отрицательных (negative) и нулевых (zero) изменений, а также сумма рангов для каждого из них (sum ranks). В отличие от ручного способа расчета и расчета с помощью статистической программы SPSS, STATA для вычисления значения парного критерия Вилкоксона учитывает нулевые изменения, отсюда различия между расчетом, приведенным в начале статьи, и результатами применения программы STATA. Под таблицей представлено значение z = 2,473 и уровень статистической значимости (Prob > |z| = 0.0134), который позволяет нам отклонить нулевую гипотезу при критическом уровне значимости 5 %.
Для использования критерия знаков в STATA следует зайти в диалоговое окно Test equality of matched pairs, которое открывается при помощи меню Statistics — Summaries, tables, and tests — Nonparametric tests of hypothesis — Test equality of matched pairs (см. рис. 4). Диалоговое окно у критерия знаков (Sign test of matched pairs) имеет такой же вид и параметры, как и у парного критерия Вилкоксона (Wilcoxon matched-pairs signed-rank test) (рис. 7).
:fl signtest - Sign test of matched pairs
Main ъЩ_
Variable: Expression:
|^yn_2 |T|| = dyn_1 [ Create... ]
О Bll I QK || Cancel | | Submit ]
Рис. 7. Диалоговое окно Sign test of matched pairs
Результат критерия знаков в программе STATA представлен как односторонне направленный статистический критерий (One-sided tests), так и дву-сторонне направленный (Two-sided tests) (рис. 8). В литературе и в статьях чаще можно встретить представление результатов с двусторонне направленным статистическим критерием. Согласно нашим данным, нулевую гипотезу мы отклонить не можем, следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу об отсутствии статистически значимых изменений по динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в конце учебного года по сравнению с началом (р = 0,109).
aigritea t dyn_2 = dyri_l
Sign teat
aign cbaerved expected
positive 8 Б
negative 2 Б
sere 1 1
all 11 11
One-aided teats:
He: median c = dyn_S - dyn_l = 0 va .
Ha: median c = dyn_2 - dyn_l > 0
Ft ■! fcpeaitive >= Ё i =
Bincmial ■! n = 10r jt Sp p = 0.3) = 0.0547
He: median c= dyn_2 - dyn_l = 0 va. Ha: median c= dyn_2 - dyn_l < 0 Ft (negative >= 2) =
Bincmial n = 10r jt 2r p = 0.3) = 0.&ЕЭЗ
Ivc-sided test:
He: median cf dyn_2 - dyn_l = 0 vs. Ha: median cf dyn_2 - dyn_l != 0
Pr( (positive >= S oz (negative >= 3) =
min ■! 1, 2 ^Binomial ■! n = 10, x 1= 8, p = 0.5)) = 0.1054
Рис. 8. Результат сравнения динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в начале учебного года и в конце (с помощью критерия знаков)
При представлении результатов применения парного критерия Вилкоксона рекомендуется указывать медиану, квартили первый и третий, z-значение и абсолютную величину достигнутого уровня значимости
(р); при критерии знаков — все то же самое, кроме z-значения. Пример представления результатов с применением парного критерия Вилкоксона в табл. 3.
Таблица 3
Динамические особенности динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в разные периоды наблюдения, Ме (Q1; Q3)
Период наблюдения
Признак Начало учебного года Конец учебного года z р
Динамометрия правой руки 13 (11; 14) 15 (12; 18) 2,473 0,013
Следует отметить, что при применении парного критерия Вилкоксона отклоняется нулевая гипотеза об отсутствии различий, а при применении критерия знаков — принимается, то есть в первом случае делается вывод о наличии различий между мышечной силой в начале и в конце учебного года, а во втором — об отсутствии его. Это свидетельствует о том, что критерий знаков обладает меньшей статистической мощностью по сравнению с парным критерием Вилкоксона, поэтому даже при анализе одних и тех же данных можно получить различные результаты и сделать разные выводы, что лишний раз подтверждает необходимость выбора статистического критерия для анализа данных еще на этапе планирования исследования.
Список литературы
1. Гланц С. Медико-биологическая статистика / пер. с англ. М. : Практика, 1998. 459 с.
2. Гржибовский А. М. Выбор статистического критерия для проверки гипотез // Экология человека. 2008. № 11. С. 48-57.
3. Гржибовский А. М. Одномерный анализ повторных измерений // Экология человека. 2008. № 4. С. 51-60.
4. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов. 2-е изд. испр. М. : Московский психолого-социальный институт Флинта, 2003. 336 с.
5. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. СПб. : ООО «Речь», 2004. 350 с.
6. Field A. Discovering statistics using SPSS. 2-nd edition. SAGE Publication, London, 2005. 781 p.
7. Hamilton L. C. Statistics with STATA: Updated for Version 10. USA, 2009. 400 p.
8. Stata: Release 12. Statistical Software. College Station, TX: StataCorp LP, 2011.
9. Wilcoxon F. Individual comparisons by ranking methods // Biometrics Bulletin. 1945. Vol. 1, N 6. P. 80-83.
References
1. Glantz S. Primer of biostatistics [Translated into Russian]. Moscow, Praktika Publ., 1998, 459 p.
2. Grjibovski A. M. Choosing a statistical test for hypothesis testing. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 1 1, pp. 48-57. [in Russian]
3. Grjibovski A. M. Univariate analysis of repeated measurements. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 4, pp. 51-60. [in Russian]
4. Ermolaev O. Yu. Matematicheskaya statistika dlya psikhologov [Mathematical statistics for psychologists]. Moscow, Flints psychological and sociological institute, 2003, 336 p.
5. Sidorenko E. V. Metody matematicheskoi obrabotki v psikhologii [Methods of mathematical data processing in psychology]. Saint Petersburg, Rech Publ., 2004, 350 p.
6. Field A. Discovering statistics using SPSS. 2nd edition. SAGE Publication, London, 2005, 781 p.
7. Hamilton L. C. Statistics with STATA: Updated for Version 10. USA, 2009, 400 p.
8. Stata: Release 12. Statistical Software. College Station, TX, StataCorp LP, 2011.
9. Wilcoxon F. Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin. 1945, 1 (6), pp. 80-83.
NON-PARAMETRIC TESTS FOR TWO PAIRED SAMPLES USING STATA
O. A. Kharkova, *A. M. Grjibovski
International School of Public Health, Northern State Medical University, Arkhangelsk, Russia *Department of International Public Health, Norwegian Institute of Public Health, Oslo, Norway
In this paper we describe the use of non—parametric tests
for comparisons of two paired samples. The authors present examples of manual calculation of Wilcoxon's signed rank test and sign test as well as the use of STATA for calculation of the abovementioned statistical tests. We present assumptions for use of non-parametric tests for paired samples and recommendations on how to present the results in scientific publications.
Keywords: statistical analysis, non-parametric tests, Wilcoxon signed rank test, sign test, STATA
Контактная информация:
Гржибовский Андрей Мечиславович - доктор медицины, профессор, старший советник Норвежского института общественного здравоохранения, г. Осло, Норвегия; директор Архангельской международной школы общественного здоровья ГБУО ВПО «Северный государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской Федерации, г. Архангельск
Адрес: Nasjonalt folkehelseinstitutt, Pb 4404 Nydalen, 0403 Oslo, Norway
Тел.: +47 22048319, +47 45268913 Е-mail: [email protected]
