CC BY
1163
УДК 519.23
СРАВНЕНИЕ ДВУХ НЕСВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК С ИСПОЛЬЗОВАНЕМ ПАКЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРОГРАММ БТАТА: НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
© 2014 г. Ю. А. Харькова, 1,2А. М. Гржибовский
Неверный государственный медицинский университет, г. Архангельск 2Норвежский институт общественного здравоохранения, г. Осло, Норвегия
В статье представлены теоретические основы применения статистических критериев для непарных выборок при распределении данных, отличающемся от нормального, и практические рекомендации для применения вышеуказанных критериев с использованием пакета прикладных статистических программ STATA. Приведены практические примеры расчетов с помощью формул, а также алгоритм действий в использовании пакета STATA для применения критериев Манна - Уитни и Вилкоксона для непарных выборок с последующей интерпретацией результатов. Ключевые слова: непараметрические критерии, критерий Манна - Уитни, критерий Вилкоксона для независимых групп
В предыдущем выпуске журнала рассматривалось сравнение одной и двух несвязанных групп с помощью критерия Стьюдента. Этот критерий основан на допущении, что изучаемый признак подчиняется нормальному распределению [1] и сравниваемые совокупности имеют равные дисперсии. Однако эти условия не всегда выполняются: в одних случаях слишком велика разница дисперсий, в других распределение признака отличается от нормального. Кроме того, изучаемая переменная может быть представлена не только количественной шкалой, но и порядковой. В таком случае корректнее применять непараметрические методы анализа данных.
Непараметрические методы — это методы, не требующие какого-либо определенного распределения данных [5]. Здесь не используются параметры генеральной совокупности (например, среднее арифметическое и стандартное отклонение, как для критериев, требующих нормального распределения), а осуществляется ранжирование абсолютных значений, что позволяет нивелировать эффект выскакивающих величин и скошенности распределения [3]. При нормальном распределении генеральной совокупности параметрические методы обладают большей мощностью по сравнению с непараметрическими. Поэтому если сравниваемый количественный признак имеет нормальное распределение, то следует отдавать предпочтение параметрическим критериям. Однако если распределение отличается от нормального, то использование параметрических методов приводит как минимум к сомнительным, а то и ошибочным результатам.
Критерий Манна — Уитни и двухвыборочный критерий Вилкок-сона являются непараметрическими аналогами критерия Стьюдента для несвязанных (непарных) выборок, поэтому условия применения следующие:
• количественный или порядковый признак;
• не требуется проверка на нормальность распределения;
• независимость сравниваемых выборок;
• две группы.
Для проверки соблюдения условий применения непараметрических критериев не требуется никаких математических манипуляций. Независимость двух сравниваемых выборок определяется типом исследования [2] и предполагает наличие двух взаимоисключающих групп, например группы мужчин и группы женщин, группы имеющих и группы не имеющих изучаемого заболевания, и т. п.
В действительности расчеты критериев Манна — Уитни и двухвы-борочного Вилкоксона схожи, поэтому в литературе чаще можно видеть расчет критерия Манна — Уитни, хотя во многих макетах статистических программ эти два критерия представлены раздельно.
Как было сказано ранее, в основе расчета непараметрических критериев лежит ранжирование. Рассмотрим пример. У беременных женщин с отсутствием (1 группа) и наличием (2 группа) изучаемой патологии беременности изучался показатель личностной тревожности по методике Спилбергера — Ханина:
1 группа: 23 31 27 28 27 39 21 40 35
2 группа: 30 49 32 26 52 36 26 50
Если теоретически предположить, что женщины с патологией беременности имеют более высокий показатель личностной тревожности по сравнению с женщинами без патологии течения гестационного периода, то мы будем ожидать, что более высокие ранги будут наблюдаться во второй группе, а более низкие — в первой. Критерий Манна — Уитни и двухвыборочный критерий Вилкоксона работают по такому же принципу [6]. Теперь посмотрим, как это работает на практике. Табл. 1 показывает, как осуществляется ранжирование.
Таблица 1
Ранжирование переменной «Личностная тревожность»
Балл 21 23 26 26 27 27 28 30 31 32 35 36 39 40 49 50 52
Ранг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Истинный ранг 1 2 3,5 3,5 5,5 5,5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Группа 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2
Сумма рангов 1 группа: 68 2 группа: 85
Алгоритм расчета двухвыборочного критерия Вилкоксона:
1. Ранжировать значения переменной в порядке возрастания (или убывания) независимо от принадлежности к группе.
2. Заменить абсолютные значения переменной рангами, как показано в табл. 2. В случае если несколько значений равны (например, по табл. 1 это значения «26» и «27»), то им присваивается ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны (например, в отношении значения «26» — (3 + 4) / 2 = 3,5; «27» - (5 + 6) / 2 = 5,5).
3. Подсчитать сумму рангов отдельно для каждой группы.
4. Наименьшая сумма рангов является абсолютным значением критерия Вилкоксона.
5. Далее рассчитаем z-значение для двухвыбороч-ного критерия Вилкоксона и уровень статистической значимости:
5Е„. =
12 ' "* №...
где Ж, — значение критерия Вилкоксона; Ж, — среднее значение критерия Вилкоксона; —
стандартная ошибка; п — количество наблюдений
в первой группе; п2 — количество наблюдений во второй группе.
I-
9» (9-1- 8+1) ¡9 »8> (9 + 8 + 1)
---- = 81; 5Е„. = -
2 л,'
68-81
И'
= 68; IV
12
: 10,4;
108
- = -1,25
Если полученное z-значение больше, чем 1,960 (независимо от знака), то р < 0,05, если z-значение больше, чем 2,576, то р < 0,01 и если z-значение больше, чем 3,291, то р < 0,001. Это говорит о том, что 95 %, 99 % и 99,9 % z-значений лежат в диапазоне от —1,960 до +1,960; от —2,576 до +2,576 и от —3,291 до +3,291 соответственно. Согласно нашим данным ^ = —1,25), нулевую гипотезу об отсутствии различий между уровнями личностной тревожности у женщин с патологией беременности и без патологии (р > 0,05) отклонить нельзя, значит, мы делаем вывод об отсутствии таковых.
Алгоритм расчета критерия Манна — Уитни:
1. Осуществить ранжирование, как в случае двух-выборочного критерия Вилкоксона.
2. Для того чтобы рассчитать значение критерия Манна — Уитни (и ), нужно знать количество на-
х эмп'' ■J ,
блюдений в каждой группе (п1, п2), большую из двух ранговых сумм (Т) и количество наблюдений в группе, имеющей Тх (п ):
.. ,пх* О* + ^
8 * (8 + 1)
■ — Т
■85 = 23
3. Далее по табл. 2 для п 1 и п2 определить критическое значение и-критерия (и ) [4]. Если и < и , то принимается альтернативная гипотеза
эмп кр' 1 1
(свидетельствующая о том, что есть различия) при соответствующем уровне значимости, в данном случае при р = 0,05.
Таблица 2
Критические значения критерия Манна — Уитни (икр) при р = 0,05
' 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 I 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
4 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13
5 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20
6 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27
7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41
9 12 15 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48
10 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55
11 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62
12 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69
13 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76
14 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83
15 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90
п
Продолжение таблицы 2
И2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
16 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98
17 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105
18 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112
19 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119
20 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127
При nl = 9 и n2 = 8 U = 15. Следовательно, для нашего примера принимается нулевая гипотеза об отсутствии различий, так как U > U .
J 1 ' эмп кр
Рассмотрим пример использования двухвыборочно-го критерия Вилкоксона (и соответственно критерия Манна — Уитни) в программе STATA [7, 8]. Возьмем тот же самый пример. У беременных женщин с отсутствием (значение переменной pregnancy — norm) и наличием изучаемой патологии (значение переменной pregnancy — pathology) беременности (переменная pregnancy) изучался показатель личностной тревожности (переменная anxiety) по методике Спилбергера — Ханина (рис. 1).
Проверим, отличается ли личностная тревожность (переменная anxiety) у женщин с нормальным (значение переменной pregnancy — norm) и патологическим (значение переменной pregnancy — pathology) течением беременности. Для того чтобы исключить возможность применения параметрического критерия Стьюдента для несвязанных выборок, проверим распределение изучаемого признака в обеих группах с помощью критерия Shapiro-Wilk (рис. 2).
Если хотя бы в одной из изучаемых групп распределение признака ненормальное, целесообразнее применять непараметрические критерии. Ввиду отклонения распределения переменной anxiety (личностная тревожность) в группе женщин с патологическим течением беременности (pregnancy = pathology) от нормального (р = 0,026) для сравнения групп лучше использовать двухвыборочный критерий Вилкоксона или критерий Манна — Уитни.
Для применения непараметрического критерия для
□ Data Editor (Edit) - [Untitled]
File Edit View Data Tools
\з a I ^ ^ j jiTifä;
pregnancy[l]
pregnancy anxi ety
ся Ш г : 1 norm 23
2 norm 31
о 3 norm 27
- 4 norm 28
5 norm 27
6 norm 39
7 norm 21
8 norm 40
Э norm 35
10 pathology 30
и pathoiogy 49
12 pathology 32
13 pathology 26
14 pathology 52
15 pathology 36
16 pathology 26
17 pathology 50
Рис. 1. Окно STATA Data Editor для примера использования двухвыборочного критерия Вилкоксона/критерия Манна — Уитни
двух несвязанных выборок в STATA следует зайти в диалоговое окно Wilcoxon rank-sum test (что означает двухвыборочный критерий Вилкоксона), которое открывается при помощи меню Statistics — Summaries, tables, and tests — Nonparametric tests of hypothesis — Wilcoxon rank-sum test (рис. 3). В статистической программе STATA представлен только двухвыбороч-ный критерий Вилкоксона, так как и он, и критерий Манна — Уитни дают идентичные результаты.
Во вкладке Main в окошке Variable выбирается изучаемая переменная anxiety (личностная тревожность); в окошке Grouping variable — группирующая переменная pregnancy (беременность) и Ok (рис. 4). Результаты сравнения групп с помощью критерия Вилкоксона представлены на рис. 5.
В таблице рис. 5 представлено количество наблюдений в каждой группе (obs), сумма рангов (rank
-> pregnancy norm
Shapiro- -Wilk И test for normal data
Variable Ob 3 И V z Prob>z
anxiety 9 О 94185 0.854 -0 257 О.60150
—> pregnancy pathology
Shapiro- -Wilk W test for normal data
Variable ОЬз И V z РгоЬэ-z
anxiety 8 О 79627 2.838 1 941 0.02611
Рис. 2. Результаты проверки распределения переменной anxiety (личностная тревожность) в группах женщин с нормальным (pregnancy = norm) и патологическим (pregnancy = pathology) течением беременности с помощью критерия Shapiro-Wilk
n
L Summaries, tables, and tests ► Summary and descriptive statistics ► Tables ► Classical tests of hypotheses ►
Linear models and related ► Binary outcomes ►
One-sample Kolmogorov-Smirnovtest Two-sample Kolmogorov-Smirnovtest Kruskal-Wallis rank test Nonparametric tests of hypotheses ►
Distributional plots and tests ► Multivariate test of means, covariances, and normality
Wilcoxon matched-pairs signed-ranktest Test equality of matched pairs | Wilcoxon rank-sum test J
K-sample equality-of-medians test Test for random order Trend test across ordered groups
Spearman's rank correlation Kendall's rank correlation
Рис. 3. Алгоритм поиска двухвыборочного критерия Вилкоксона в программе STATA
Рис. 4. Диалоговое окно Wilcoxon rank-sum test
sum), ожидаемая сумма рангов (expected), чуть ниже — z-значение и уровень статистической значимости (Prob > |z|), который свидетельствует об отсутствии различий между изучаемыми группами, так как достигнутый уровень значимости (р = 0,2104) больше критического (р = 0,050).
Представляя результаты применения двухвыборочного критерия Вилкоксона, рекомендуется указывать z-значение и абсолютную величину достигнутого уровня значимости (р). Пример такого представления в табл. 3.
Таблица 3
Динамические особенности динамометрии правой руки у девочек младшего школьного возраста в разные периоды наблюдения, Ме Q3)
Женщины
Признак с нормальным течением беременности с патологическим течением беременности z р
Личностная тревожность, балл 28,0 (27,0; 35,0) 34,0 (28,0; 49,5) -1,252 0,210
В целях экономии места в диссертации или журнальной статье информацию табл. 3 можно представить в тексте.
В следующем выпуске Практикума будут рассмотрены параметрические методы анализа данных при наличии трех и более независимых групп.
Список литературы
1. Гланц С. Медико-биологическая статистика / пер. с англ. М., Практика, 1998. 459 с.
2. Гржибовский А. М. Анализ количественных данных для двух независимых групп // Экология человека. 2008. № 2. С. 54-61.
3. Гржибовский А. М. Одномерный анализ повторных измерений // Экология человека. 2008. № 4. С. 51-60.
4. Статистический анализ эмпирических исследования [Электронный ресурс]. URL: http://statexpert.org (дата обращения 26.07.2013).
5. Титкова Л. С. Математические методы в психологии. Владивосток : Изд-во Дальневосточного университета, 2002. 85 с.
ranfcaum anxiety, by (pregnancy)
Two—sample Wilcoxon rank-sum (Mann-Whitney) test
pregnancy oba rank sum expected
norm 9 68 81
pathol egy 8 85 72
combined 17 153 153
unadjusted variance adjustment for ties
adjusted variance
108.00 -0.26
107.74
He: anxiety (pregna~y=ncrin) = anxiety (pregna~y=pathülogy) a = -1.2S2
Prob > IzI =
0.2104
Рис. 5. Результаты сравнения личностной тревожности в группах женщин с нормальным и патологическим течением беременности (с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона)
6. Field A. Discovering statistics using SPSS. 2nd ed. London : SAGE Publication, 2005. 781 p.
7. Hamilton L. C. Statistics with STATA: Updated for Version 10. USA, 2009. 400 p.
8. Stata: Release 12. Statistical Software. College Station, TX : StataCorp LP, 2011.
References:
1. Glantz S. Basic biostatistics (translatedfrom English into Russian). Moscow, Praktika Publ., 1998, 459 p.
2. Grjibovski A. M. Analysis of quantitative data for two independent groups. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 2, pp. 54-61. [in Russian]
3. Grjibovski A. M. Univariate analysis of repeated measurements. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 4, pp. 51-60. [in Russian]
4. Statisticheskii analiz empiricheskikh issledovaniya [Statistical analysis of empirical research]. Available at: http:// statexpert.org (Accessed 26.07.2013).
5. Titkova L. S. Matematicheskie metody v psikhologii [Mathematical methods in psychology]. Vladivostok, Far East University Publ., 2002, 85 p.
6. Field A. Discovering statistics using SPSS. 2nd ed. SAGE Publication, London, 2005. 781 p.
7. Hamilton L. C. Statistics with STATA: Updated for Version 10. USA, 2009, 400 p.
8. Stata: Release 12. Statistical Software. College Station, TX, StataCorp LP, 2011.
ANALYSIS OF TWO INDEPENDENT SAMPLES USING STATA SOFTWARE: NON-PARAMETRIC CRITERIA
'O. A. Kharkova, ,2A. M. Grjibovski
'International School of Public Health, Northern State Medical University, Arkhangelsk, Russia 2Department of International Public Health, Norwegian Institute of Public Health, Oslo, Norway
In this paper we present theoretical principles of the use of non-parametric criteria for comparing two independent groups. Practical examples are presented with detailed explanations of the use of formulas as well as step-by-step algorithm on how to use STATA software for Mann-Whitney and two-sample Wilcoxon tests with subsequent interpretation of the outputs.
Key words: non-parametric criteria, Mann-Whitney test, two-sample Wilcoxon test
Контактная информация:
Гржибовский Андрей Мечиславович - профессор, доктор медицины, старший советник Норвежского института общественного здоровья, г. Осло, Норвегия; директор Архангельской международной школы общественного здоровья ГБОУ ВПО «Северный государственный медицинский университет», г. Архангельск
Адрес: Nasjonalt folkehelseinstitutt, Pb 4404 Nydalen, 0403 Oslo, Norway
Тел.: +47 22048319, е-mail: angr@fhi.no
