Сравнение численных методов решения двухмерных дифференциальных уравнений параболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Междисциплинарная автоматизированная система обучения для подготовки химиков-технологов [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://cisserver.muctr.edu.ru/alkmw (дата обращения: 22.04.2012).

3. Автоматизированный лабораторный комплекс [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://cisserver.muctr.ru/alkmoodle (дата обращения: 22.04.2012).

4. Савицкая Т.В. Рекомендации по организации обучения и контроля знаний с использованием учебно-методического комплекса по проблемам химической безопасности / Т. В. Савицкая, А. Ф. Егоров. - М.: РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2011. - 140 с.

5. Программный комплекс по расчету последствий аварий и расчету пожарного риска ТОКСИ+ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://safety.ru/toxi.

6. РД 03-409-01. Методика оценки последствий аварийных взрывов топ-ливно-воздушных смесей // Методики оценки последствий аварий на опасных производственных объектах: сборник документов. Серия 27. Выпуск 2. - М.: ФГУП «НТЦ «Промышленная безопасность», 2005. - С. 81-122.

7. Методика расчёта концентраций в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах предприятий: общесоюзный нормативный документ. - Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - 93 с.

УДК 519.63

А.С. Скичко, М.С. Шишмарёв, Ф.В. Проходский, Л.О. Хорошавин, А.Н. Диев, Э.М. Кольцова

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия

СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДВУХМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

В данной работе были рассмотрены различные численные методы решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Исследовались следующие схемы: схема расщепления, схема предиктор-корректор, схема переменных направлений и схема со стабилизирующей поправкой. В ходе работы были выявлены факторы, влияющие на точность расчётов и выбор оптимального метода численного решения.

This article considers various numerical methods for two-dimensional parabolic differential equations. It considers a splitting difference scheme, a predictor-corrector scheme, an alternating direction scheme as well as a flattening correction scheme. As results of our research factors that correlate with computation accuracy and optimal method chosen were detected.

При моделировании явлений или процессов, как природно-естественного, так и технического характера часто возникает необходимость решения сложных задач математической физики, в частности многомерных дифференциальных уравнений параболического типа, с применением численных методов. В настоящее время известно несколько используемых для этого разностных схем, построение которых осуществляется на основе ме-

тода дробных шагов [1]. Однако существуют только теоретические предпосылки, позволяющие провести оценку точности результатов расчётов и сравнение разностных схем между собой. В литературе, как правило, отсутствуют рекомендации, базирующиеся на накопленном вычислительном материале, которые могли бы послужить основой для выбора той или иной разностной схемы, а также для аппроксимации различных особенностей конкретной дифференциальной задачи. Таким образом, данная область науки представляет собой обширное поле для исследований.

В качестве объекта расчётного эксперимента в данной работе был выбран ряд дифференциальных уравнений, которые могут быть представлены в следующем общем виде:

Здесь и($, х, у) - искомая функция трёх переменных - время, х, у - пространственные координаты); коэффициенты а(х), Ь(у), могут быть функциями переменных х,у, t, соответственно; численные значения коэффициентов а, Ь, d могут быть как положительными, так и отрицательными; е(?) > 0; | ё|< 1 (условие, позволяющее избежать проблем со сходимостью прогонки при аппроксимации свободного члена на неявном шаге).

Отметим, что во всех вариантах в уравнении (1) присутствует только одна производная 2-го порядка (по переменной у). Это означает, что при использовании для численного решения метода дробных шагов, согласно которому аппроксимация двумерного дифференциального уравнения задаётся в виде двух последовательно решаемых подсхем, одна из этих подсхем будет решаться методом прогонки (подсхема с аппроксимацией второй производной по у на неявном шаге), а другая - простым рекуррентным соотношением.

Целями выполняемых численных исследований было выявить влияние на точность расчётов следующих факторов:

1) тип разностной схемы (рассматривались следующие схемы: схема расщепления, схема предиктор-корректор, схема переменных направлений и схема со стабилизирующей поправкой),

2) последовательность аппроксимации пространственных переменных (х, у) в подсхемах, учитывая различие в методах их решения,

3) выбор подсхемы для аппроксимации свободного члена уравнения (1),

4) шаг аппроксимации свободного члена в выбранной подсхеме (явный или неявный),

5) шаг аппроксимации переменной е({) (явный или неявный),

6) знак переменной^ при свободном члене,

7) увеличение точности расчётов различных разностных схем при уменьшении шага по времени на порядок.

Во всех случаях при численном решении использовались граничные условия 1-го рода, имеющие вид:

е(Х) —2 + d(х) • и .

ду

(1)

и ^ = 0, х, у) = £ (х, у); и^, х = 0/1, у) = ф ^, у);

Использование простых граничных условий вызвано необходимостью исключить дополнительную ошибку, которую бы непременно внесла в расчёт аппроксимация более сложных граничных условий 2-го или 3-го рода. Представленная в (2) запись граничного условия по переменной х подчёркивает необходимость для численного решения дифференциального уравнения (1) именно одного граничного условия по данной переменной, не определяя точно, левое оно или правое (этот выбор зависит от знака переменнойа при первой производной по х согласно известному правилу).

Точность полученных численных решений сравнивали с истинными решениями дифференциального уравнения (1), которые во всех случаях были изначально известны. Отметим, что истинные решения уравнения (1) принципиально задавались нелинейными по t (а именно, содержали экспоненциальную зависимость от времени), чтобы исключить вариант расчёта, совсем не содержащий погрешности.

При численном исследовании каждой из рассматриваемых разностных схем были выделены факторы, изменение которых влияет на точность конечного результата. Сравнение полученных расчётов позволило выявить определённые закономерности.

Вначале приведём выводы, полученные при анализе точности расчёта каждой разностной схемы по отдельности при использовании достаточно грубого шага по времени At = 0,1.

Схема расщепления:

1) первую подсхему следует записывать для переменной х, не имеющей второй производной, а вторую подсхему - для переменной^, по которой есть вторая производная;

2) свободный член следует размещать во вторую подсхему, решаемую методом прогонки, и аппроксимировать его на неявном шаге по времени;

3) если коэффициент при второй производной по_у зависит от t, то его следует аппроксимировать на неявном шаге.

Схема переменных направлений:

1) в первой подсхеме следует аппроксимировать на неявном шаге первую производную по переменной х, а во второй подсхеме - производные по переменной^;

2) свободный член следует размещать во вторую подсхему, решаемую методом прогонки, и аппроксимировать его на явном шаге по времени;

3) если коэффициент при второй производной по_у зависит от t, то его следует аппроксимировать на неявном шаге.

Схема со стабилизирующей поправкой:

1) поправку следует учитывать по переменной^, по которой есть вторая производная;

2) свободный член следует размещать в первую подсхему, которая решается рекуррентным соотношением, и аппроксимировать его на неявном шаге;

3) если коэффициент при второй производной по_у зависит от t, то его следует аппроксимировать на неявном шаге.

Схема предиктор-корректор:

1) если в уравнении (1) нет производной 1-го порядка по переменной^ (т.е., b = 0), то вторую производную по y целесообразно аппроксимировать именно во второй подсхеме предиктора;

2) если же присутствуют первые производные по обеим пространственным координатам (т.е., Ьф 0), то порядок записи подсхем предиктора невозможно регламентировать для общего случая.

Общие выводы для всех разностных схем.

Отметим, что последовательность аппроксимации пространственных переменных в подсхемах, предписывающая решение первой подсхемы рекуррентным соотношением, а второй подсхемы - методом прогонки, является общим правилом для различных разностных схем, а также фактором, влияние которого на точность расчётов наиболее существенно. Выбор шага аппроксимации переменной c(t) оказывает наименьшее влияние на точность результатов для всех разностных схем по сравнению с остальными исследовавшимися факторами. Влияние знака переменной^ при свободном члене на точность результатов не выявлено.

Влияние шага по времени на точность расчётов.

Сравнивая точность изученных разностных схем между собой при учёте всех вышеперечисленных рекомендаций, можно заключить, что при использовании в расчётах достаточно грубого шага по времени At = 0,1 наиболее точный расчёт позволяет получить схема со стабилизирующей поправкой (порядок ошибки 10-3). Схема предиктор-корректор значительно уступает в точности остальным разностным схемам при большом шаге At =0,1. При уменьшении на порядок шага по времени (At = 0,01) значительно увеличивается точность схемы предиктор-корректор (порядок ошибки изменяется с 10-2 до 10-4), в то время как точность остальных разностных схем возрастает несущественно, за исключением схемы со стабилизирующей поправкой - она также даёт наименьший порядок ошибки среди остальных разностных схем (10-5). Таким образом, теоретические предпосылки, предсказывающие более высокую точность расчётов при использовании разностных схем со вторым порядком аппроксимации по времени (схема переменных направлений и схема предиктор-корректор) [1], не подтверждаются численным экспериментом для уравнений типа (1).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-08-91159-ГФЕНа).

Библиографические ссылки

1. Кольцова Э. М. Численные методы решения уравнений математической физики и химии: учеб. пособие / Э.М. Кольцова, А.С. Скичко, А.В. Женса. -М.: РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2009. - 224 с.