CC BY
7
МЕХАНИКА
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 195-206 Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 195-206 mmi.sgu.ru
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-195-206 EDN: ZXRJRF
Научная статья УДК 539.31
Сравнение аналитического и численного решений задачи о цилиндрической оболочке с круговым отверстием под действием различных нагрузок
С. В. Каштанова10, А. В. Ржонсницкий2
1 Институт проблем машиноведения Российской академии наук, Россия, 199178, г. Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., д. 61 2Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Россия, 190013, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д. 26
Каштанова Станислава Викторовна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, kastasya@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-1090-0320, АиШогГО: 934447 Ржонсницкий Алексей Викторович, старший преподаватель кафедры математики, rzhonsnitskiy@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-5825-5036
Аннотация. Представлены результаты вычислений поля напряжений цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием и находящейся под воздействием различных нагрузок: одноосного растяжения, внутреннего давления и кручения. Шесть упрощенных уравнений теории цилиндрических оболочек с большим показателем изменяемости (совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек) сводятся к уравнению математической физики относительно потенциала напряжений, которое решается методом Фурье. Основным препятствием к получению ответа является необходимость поиска коэффициентов в разложении решения в сумму базисных функций, при которых это решение удовлетворяет граничным условиям. Также это уравнение зависит от параметра (3, ответственного за отношение между геометрическими характеристиками оболочки и отверстия. С механической точки зрения для малых и средних отверстий этот параметр имеет ограничения В < 4, тaк как при больших значениях
Научный отдел
отверстие считается большим, и для описания напряженно-деформированного состояния применяются общие уравнения теории цилиндрических оболочек. При этом детальное изучение классических работ привело к пониманию того, что ни один из до сих пор предложенных методов поиска коэффициентов нельзя считать окончательно удачным, а результаты, полученные этими методами, разнятся. Среди разнообразия работ советских и западных ученых 60-70-х гг. ХХ в. выделяются численные результаты инженера Ван Дайка, которые он получил методом коллокаций. В отличие от своих современников, раскладывающих решение в ряд по малому параметру ß и оттого получающих только результаты, близкие к плоскому случаю, Ван Дайк впервые опубликовал численные результаты для всего рабочего диапазона параметра ß в рамках рассмотрения малых и средних отверстий. В данной статье предложен новый подход, основанный на разложении базисных функций в ряд Фурье. Впервые удалось составить бесконечную систему линейно независимых уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов. Существенно, что предложенный метод, в отличие от известного метода малого параметра, не имеет математических ограничений и может применяться не только для значений параметра ß, близких к нулю, а для любых значений. Ограничения вплоть до ß = 4 наложены механической моделью. Составлены системы для нахождения неизвестных коэффициентов при базисных функциях для трех типов нагрузок, проведено сравнение результатов, полученных авторами, с результатами, полученными численным методом. При этом если в большинстве источников приводятся только результаты вычисления окружных напряжений на границе отверстия, то в предлагаемой работе найдено поле напряжений для всей цилиндрической оболочки, возникающее ввиду наличия отверстия, в зависимости от полярных координат (г, в).
Ключевые слова: цилиндрические оболочки, оболочки с отверстиями, растяжение, внутреннее давление, кручение, поле напряжений, аналитический подход
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 19-3160008).
Для цитирования: Каштанова С. В., Ржонсницкий А. В. Сравнение аналитического и численного решений задачи о цилиндрической оболочке с круговым отверстием под действием различных нагрузок // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 195-206. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-195-206, EDN: ZXRJRF
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
Cylindrical shell with a circular hole under various loads: Comparison of analytical and numerical solutions
S. V. Kashtanova10, A. V. Rzhonsnitskiy2
1 Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences, 61 Bolshoi prospect V.O., St. Petersburg 199178, Russia
2Saint-Petersburg State Institute of Technology, 26 Moskovski Ave., St. Petersburg 190013, Russia
Stanislava V. Kashtanova, kastasya@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-1090-0320, AuthorlD: 934447
Alexey V. Rzhonsnitskiy, rzhonsnitskiy@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0002-5825-5036
Abstract. In this paper, the authors present the results of calculations of the stress field of a cylindrical shell weakened by a circular hole and under the influence of various loads: uniaxial tension, internal pressure and torsion. Six simplified equations of the theory of cylindrical shells with a high variability index (coinciding with the equations of the theory of shallow shells) are reduced to an equation of mathematical physics with respect to the stress potential, which is solved by the Fourier method. The main obstacle to obtaining an answer is the need to search for coefficients in the decomposition of the solution into the sum of the basis functions for which this solution satisfies the boundary conditions. Also, this equation depends on the parameter fi, which is responsible for the relationship between the geometric characteristics of the shell and the hole. From a mechanical point of view, for small and medium holes, this parameter has limitations of fi < 4, because for large values, the hole is considered large, and the general equations of the theory of cylindrical shells are used to describe the stress-strain state. At the same time, a detailed study of classical works has led to the understanding that none of the previously proposed methods for finding coefficients can be considered definitively successful, and the results obtained by these methods vary. Among the variety of works by Soviet and Western scientists of the 1960-70s years of the twentieth century, the numerical results of engineer Van Dyke, which he obtained by collocation, stand out. Unlike his contemporaries, who lay out the solution in a row for a small parameter fi and therefore get results only close to the flat case, Van Dyke first published results for the entire working range of the parameter fi in the framework of considering small and medium holes. The authors proposed a new approach based on the decomposition of basic functions into a Fourier series. For the first time, it was possible to compose an infinite system of linearly independent equations for finding unknown coefficients. It is essential that the proposed method, unlike the well-known small parameter method, has no mathematical limitations and can be used not only for the values of the parameter fi close to zero, but for any values. Restrictions up to fi = 4 are imposed by the mechanical model. In this paper, systems for finding unknown coefficients for basic functions for three types of loads are compiled, and the results obtained by the authors are compared with the results obtained by the numerical method. At the same time, if in most sources only the results of calculating the circumferential stresses at the boundary of the hole are given, in the proposed work the stress field for the entire cylindrical shell is found, arising due to the presence of the hole, depending on the polar coordinates (r,6).
Keywords: cylindrical shells, shell with cutouts, axial tension, inner pressure, torsion, stress field, analytical approach
Acknowledgements: The work was supported by Russian Foundation for Basic Research (project No. 19-31-60008).
For citation: Kashtanova S. V., Rzhonsnitskiy A. V. Cylindrical shell with a circular hole under various loads: Comparison of analytical and numerical solutions. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 195-206 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-195-206, EDN: ZXRJRF
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
В недавних работах авторов статьи [1,2] был пересмотрен классический подход к решению задачи об осевом растяжении цилиндрической оболочки с круглым вырезом. Главным параметром этой задачи является некоторый геометрический параметр р, содержащий соотношение между радиусом отверстия, радиусом цилиндрической оболочки и толщиной оболочки. Если этот параметр равен нулю, то получается плоская
задача (и, в частности, задача Кирша в случае, когда граничным условием является осевое растяжение). Необходимость пересмотреть классический подход возникла по целому ряду причин: малая область применимости решения (близкая к задаче Кирша), отсутствие общей системы для поиска неизвестных базисных коэффициентов решения, отсутствие исследования линейной зависимости некоторых уравнений, связывающих эти коэффициенты, отсутствие явных формул для поля напряжений и возможности проведения аналитического анализа. Классический способ, предложенный в [3], заключался в разложении в степенной ряд решения и коэффициентов по малому параметру р, что сразу накладывало ограничения на область применимости. Активные попытки реализовать эту идею предпринимались в 1960-е гг. ХХ в., что отражено в работах [4-7], однако аналитические формулы для напряжений так и не были получены. Далее к этой задаче подходили только численно, а теперь уже методами конечных элементов [8-14]. Подробная история вопроса и анализ имеющихся подходов изложены в [15].
Авторы настоящей работы предложили разложить базисные функции решения в ряды Фурье и разделить переменные [1]. Это позволило впервые получить бесконечную линейную систему для поиска неизвестных коэффициентов. Затем было предложено найти и исключить линейно зависимое уравнение и после некоторой замены переменных доказать редуцируемость системы [2]. Этот метод позволяет получить результаты для любых механически допустимых р (от 0 до 4). В данной работе эта идея, помимо осевого растяжения, применяется к другим граничным условиям: внутреннему давлению и кручению. Приведено сравнение аналитических результатов авторов и численных результатов, полученных Ван Дайком [16] методом коллокаций.
1. Постановка задачи
Рассматривается цилиндрическая оболочка радиуса Я и толщины Н, ослабленная круговым отверстием радиуса г0, под воздействием различных нагрузок. Основным параметром, ответственным за отношение между геометрическими характеристиками оболочки и отверстия, является
У2 _ ЛУ/3(1 - ^) 0 4Rh
ß2 _ r?
где v — коэффициент Пуассона. Заметим, что предельный переход при ß ^ 0 приводит к плоской задаче.
Уравнение, выведенное Лурье [3], для такой оболочки имеет вид
од2 Ф
ДДФ + 8iß2 — _0 (1)
ох2
и содержит функцию Ф _ ^ßxw — iU, зависящую от нормального прогиба w, функции напряжений U и модуля Юнга Е.
Связь функции U с тензором напряжений Т задается соотношением
т \ ( д^и &2и \
+ х +ху\ _ ду2 дудх\ (9)
Т Т _ д2 и д2и , (9)
\1хУ 1У / V дудх дх2 )
где a _ T/h — срединное поверхностное напряжение.
Уравнение (1) рассматривается с тремя типами граничных условий:
I) растяжение на бесконечности вдоль координаты х нагрузкой р:
- на бесконечности Тх = р, Тху = 0, Ту = 0, w = 0;
- на границе отверстия в полярных координатах (г, в) — свободный край
Тгг| =0, Тгв\ =0, Мг\ =0, Qr\ =0; (3)
II Ir=r0 1 I r=ro lr=ro lr=ro
II) равномерное внутреннее давление q0 ( q = q0r0/2):
- на бесконечности Тх = q, Ту = 2q, Тху = 0, или в полярных координатах
2Тг = q(3 - cos 2(9), 2Тгв = q sin 29, 2Тв = q(3 + cos 2(9);
- на границе отверстия в полярных координатах
Тгг| =0, Тго\ =0, Mr| =0, Qr| = - ; (4)
r r \r=ro ' r U\r=ro ' ' \r=ro \r=ro 2
III) кручение:
- на бесконечности Тх = 0, Тху = т, Ту = 0, т = M/2nR2, или в полярных координатах
Тг = т sin 2(9, Тв = -г sin 2(9, Ттв = г cos 2(9;
- на границе отверстия в полярных координатах условия (3).
Решение, предложенное авторами в [1,2] и основанное на разложении базисных функций в ряд Фурье, может быть записано в следующей форме (для случаев I, II и III соответственно):
2 те
ф/ = — ^ + + i bn) in, (5)
n=0
2 О 2 ж
Ф„ = -^ - ^ + £К + гЬп)fn, (6)
п=0
те
Ф/ Ii = -г тху + ^(on + г bn) in. (7)
Л у2 ,2Qx , .
.o
n=0
При этом для I и II типов граничных условий, ввиду симметричности, функция /п(г, в) раскладывается в ряд по косинусам:
(8)
u (т, е) = +Е ^,п, оcos 219, 2 i=i
а для III типа, ввиду антисимметричности, — по синусам:
те
fn(т, 0) = Y, 9(г1) sin 2/9. (9)
i=i
В свою очередь,
(i)
H1 ((1 + i)ß)
д{щ I) = (-1) [f ] + Hn!)((1+t)ß") (Jn+2l ((1 + *)ßr) + Jn-2l ((1 + .)ßr)) ,
п =1,..., го, 1 = 0, 1,..., го, (10)
д(п, г, I) = (-1) [?] ++ ((1 + г)Рт) - ^+21 ((1 + г)Рт)),
п = 1,..., го, 1 = 1,..., го. (11)
Здесь [|] — целая часть числа, Нп1 (•) — фунции Ханкеля I рода, а Jn±2l(•) — функции Бесселя.
При любых константах ап и Ьп функции Ф, определенные равенствами (5)-(7) и (8)—(11), удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям на бесконечности. Для всех трех случаев коэффициенты ап и Ьп могут быть найдены из условия (3) или (4) на границе отверстия. Тем самым функции Ф для всех типов граничных условий будут полностью определены, а с ними из соотношений (2) будут найдены и напряжения цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием под воздействием различных нагрузок.
2. Системы
Удачное представление (5)—(7) решения уравнения (1) позволило впервые получить в явном виде бесконечную систему линейных уравнений для поиска коэффициентов ап и Ьп. В работе [1] такая система была получена для граничных условий I типа. При этом авторами было доказано, что одно из уравнений является линейной комбинацией четырех других, а потому его следовало исключить из дальнейшего решения. Из настоящей работы видно, что задача с граничными условиями II типа сохраняет почти все свойства системы с I типом граничных условий, в то время как для случая кручения система значительно меняется ввиду антисимметрии. В работе [2] доказана редуцируемость всех полученных бесконечных систем. Для всех типов граничных условий получены матричные формы систем при помощи подстановки решения (5) в (3) для I типа, (6) в (4) для II и (7) в (3) для III типа. Как видно ниже, подходящая замена и(п, I) на и(п, I) и д(п, I) на д(п, I) в третьем случае позволяет сохранить одинаковую структуру матриц всех систем (табл. 1, 2):
¿3(п, I) = г(-4121Уд(п, I) + ид'(п, I) + д"(п, I)), и(п, I) = г(1212д(п, I) - (1 + ту + 4 12(2 - ту))д'(п, I) + дм(п, I)), 7з(п, I) = г(-4121Уд(п, I) + (п, I) + р"(п, I)), (п, I) = 1(1212д(п, I) - (1 + ы + 412(2 - и))д'(п, I) + д'"(п, I)).
3. Результаты вычислений
На рис. 1 представлены графики напряжений аее/р для I, II и III типов граничных условий, полученные аналитическим методом, рассмотренным в данной работе (рис. 1, а, в, д соответственно), и полученные Ван Дайком в 1965 г. методом коллокаций [16] (рис. 1, б, г, е соответственно).
На рис. 2, а, б, в представлены поля напряжений авв/р соответственно для I, II, III типов граничных условий при р = 0.1,1,4.
Таблица 1 / Table 1
^стема для I и II типов граничных условий (ГУ) System for the I and II types of boundary conditions
\ n j 0 1 2 3 Неизв.коэфф Св. столбец I тип ГУ Св. столбец II тип ГУ
111 Im 1 Re 1 Im Re | Im 1 Re | Im Re i
1 °l ¿3(0,0) 1 t3(0,0) i t3(i,o) ! t3(i,o) ! t3(2,0) j t3(2,0) ! ¿3( 3,0) a0 0 0
1 0| ¿4(0,0) I t4(0,0) I t4(l,0) I t4(i,o) | t4(2,0) I t4(2,0) j t4(3,0) t4(3,0) | 1 b0 0 16 P2q
1 1 1 5(0Д) I 5(0,1) | 5(1,1) 1 5(1Д) ; 5(2,1) j 5(2,1) j 5(3,1) 5(3,1) | O-l P 4 4
| if 7(0.1) f?(o,i)f ?(U) 1 Г?(1Д)1 542,1)1 Г7(2Д) I |.......?(ЗД)....... 7Щ b, .............P....... 2 ........я.......... 2
1 1 1 i............ ¿3(o,i) I t3(0,l) I t3(l,l) | ...........................i t3(i,i) | .............................ï t3(2,l) ! t3(2,l) j I t3(3,l) i i t3(3,l) I \ a2 j 0 0
1 1 1 t4(0,l) ............................ I t4(0Л) I ¿4(1,1) 1 t4(i,i) | t4(2,l) j t4(2,l) | t4(3,i) ! i t4(3,l) I 1 b2 0 0
I 2 j 5(02) j.....9(0,2) f 5(1,2)] j.....5(1,2)] ......5(2,2) | | 5(2,2)"] ..........5(3,2)........ 5(3,2) ] «3 0 0
1 2 | «'(0,2) 1 g\0,2) | 5 (1,2) | 5'(1,2) I 5 (2,2) | 5'(2,2) | 5'(3,2) | I 5 (3,2) | ! \ 0 0
...
Таблица 2 / Table 2
^стема для III типа граничных условий (ГУ) System for the III type of boundary conditions
n 1 2 3 4 r..........................j Неизв.коэфф Св. столбец ! Ill тип ГУ
11 Im 1 Rc ! Im i Re j Im ! Re Im ; ! Re ;
1 1 t3(i,i) I ¿3(1,1) i I t3(2,l) i i ¿3(2,1) i I ¿з(ЗД) 1 I ¿з(ЗД) i 1 ¿з(4Д) 1 1 ¿з(4Д) 1 i % I 0
.....1 .....Ш)" urn] .....£4(2 Д) !.....£4(2 Д) .....ШГ1 .....ШГ] ........£4(4,1).......I "Х(4Д)' .........b'i : 0
I.....г .....I(ï,ï) ш..... .....1(2,1)..... .....1(2,1) .....1(3,1)..... 1(3,1)..... 5(4,1) | 5(4,1) | «2 т ~2 |
i............ i 1 F(ï,i) Î Faï) ; Fai) F(2,Ï) FSÏ) ! .......P(4,ï)......I ?(4Д) b2 —т
12 ! ! ¿3 (1,2) 1 ¿3(1,2) i ! ¿3(2,2) i ! ¿3 (2,2) j j ¿3(3,2) ! ! ¿3(3,2) i ........^3(4,2).......I ' ï3(4,2) I a3 i 0
1 2 ! ; t4(i,2) 1 t4(l,2) i ; t4(2,2) i I t4(2,2) i .....?4(3,2) : .....Î4(3,2) ........?4(4,2).......I W] b3 0
1 2 i 5(1,2) 1 5(1,2) ; j 5(2,2) j 1 5(2,2) j ] 5(3^2) ]Ж ВД..... Ш.2).......; Ж2)' a4 0
1 2 ! I 5'(1,2) 1 5'(1,2) 1 j 5'(2,2) j 1 5'(2,2) j i 5'(3,2) ! 1 543,2) j 5'(4,2) ! j 5^(4,2) j b4 0
j............i
••
Одноосное растяжение
CURVATURE PARAMETER /3
•нутреннее давление
параметр кривизны
CURVATURE PARAMETER £
9 Membrane stress at the hole under pressure loading.
в I с г / d
Рис. 1. Сравнение напряжений а$$/р для I (а, б) и II (в, г) типов условий, полученных аналитическим методом, представленным в данной работе, и методом коллокаций из работы Ван Дайка [16]
Fig. 1. Comparison of gqq/p for the type I (a, b), and II (c, d) boundary conditions, obtained by the analytical method in this paper and by the collocation method in Van Dyke's paper [16]
70° 60=
в=Ог 90=
параметр кривизны /?
32 — i 1 1 70*// ' 7/ecr -
28
24 - -
20 -
— -
à — -
-
Сn W) -
LU or 8 »— trt
LlJ I "
Ш _ ^ 9 «0,90^7
UJ _ s о -4 —o^
-
-e 30° _
I 1 I
CURVATURE PARAMETER $
д / е е / f
Окончание рис. 1. Сравнение напряжений а$$/р для III (д, е) типа условий, полученных аналитическим методом, представленным в данной работе, и методом коллокаций из работы Ван Дайка [16]
Continuation of Fig. 1. Comparison of ctqq/p for the type III (e, /) boundary conditions, obtained by the analytical method in this paper and by the collocation method in Van Dyke's paper [16]
„ ■
■ oi
\ \ /
\\ / / A jJÈ^HM / /
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
a / a
Рис. 2. Поле напряжений cfqq/p при /3 = 0.1,1,4 для разных типов граничных условий:
а — тип I (растяжение) (цвет онлайн)
Fig. 2. Stress field aee/p at /3 = 0.1,1,4 for different types of boundary conditions: a — type I
(axial tension) (color online)
в / с
Окончание рис. 2. Поле напряжений аоо/р при ß = 0.1,1,4 для разных типов граничных условий: б — тип II (внутреннее давление); в — тип III (кручение) (цвет онлайн)
Continuation of Fig. 2. Stress field ctqq/p at ß = 0.1,1,4 for different types of boundary conditions: b — type II (internal pressure); с — type III (torsion) (color online)
Выводы
Результаты, полученные авторами статьи аналитическим путем, абсолютно совпадают с численными результатами из работы [16], которые были полученны методом коллокаций для всех трех типов граничных условий в 1965 г. (см. рис. 1). На тот момент Ван Дайк единственный получил результаты до ß = 4, так как другие ученые использовали разложение по малому параметру, не позволяющее работать в таком диапазоне. Более того, результаты, полученные ранее в работах других авторов, разнились, а в некоторых решениях были допущены ошибки. Представленная в данной работе модель не имеет математических ограничений. При этом, в отличие от большинства известных работ, где приводятся только результаты вычисления окружных напряжений на границе отверстия, в предлагаемой работе найдено поле напряжений для всей цилиндрической оболочки, возникающее в силу наличия отверстия, в зависимости от полярных координат (г, в) (см. рис. 2).
Список литературы
1. Каштанова С. В., Ржонсницкий А. В. Аналитический подход к выводу поля напряжений цилиндрической оболочки с круговым отверстием при растяжении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2021. № 2. С. 64-75. https://doi.Org/10.15593/perm.mech/2021.2.07
2. Kashtanova S. V., Rzhonsriitskiy А. V. Investigation of systems of the stress field problem
of a cylindrical shell with a circular cutout under various boundary conditions // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2022. Vol. 44. Art. 259. https://doi.org/10.1007/s40430-022-03534-7
3. Лурье А. И. Концентрации напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра // Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10. С. 397-406.
4. Гузь А. Н. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями. Киев : Наукова думка, 1974. 271 с.
5. Lekkerkerker J. G. On the Stress Distribution in Cylindrical Shells Weakened by a Circular Hole. Delft : UitgeverijWaltman, 1965. 99 p.
6. Naghdi A. K., Eringen A. C. Stress distribution in a circular cylindrical shell with a circular cutout // Archive of Applied Mechanics. 1965. Vol. 34, iss. 3. P. 161-172. https://doi.org/10.1007/BF00532170
7. Eringen A. C., Naghdi A. K., Thiel C. C. State of Stress in a Circular Cylindrical Shell With a Circular Hole. Welding Research Council, 1965. 21 p. (Welding Research Council Bulletin, vol. 102).
8. Foo S. S. B. On the limit analysis of cylindrical shells with a single cutout // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 1992. Vol. 49, iss. 1. P. 1-16. https://doi.org/10. 1016/0308-0161(92)90069- R
9. Кабанов В. В., Железное Л. П. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность круговых цилиндрических оболочек с вырезами // Ученые записки ЦАГИ. 1985. Т. 16, № 3. С. 92-99. EDN: MWFNGB
10. Shariati M., Akbarpour A. Ultimate strength analysis of combined loaded stainless steel circular tubes with hole // Journal of Basic and Applied Scientific Research. 2012. iss. 2 (8). P. 8457-8465.
11. Lee S. E., Sahin S., Rigo P. Ultimate strength of cylindrical shells with cutouts // Ships and Offshore Structures. 2017. Vol. 12, iss. S1. P. 151-173. https://doi.org/10.1080/ 17445302.2016.1271592
12. Kolodiazhnyi A., Mednikova M. The Influence of the deformation nonlinearity on stress concentration in cylindrical shells with holes under torsion // Materials Science Forum. 2019. Vol. 968. P. 548-559. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/MSF.968.548
13. Chawla K., Ray-Chaudhuri S. Stress and strain concentration factors in orthotropic composites with hole under uniaxial tension // Curved and Layered Structures. 2018. Vol. 5, iss. 1. P. 213-231. https://doi.org/10.1515/cls-2018-0016
14. Silpa V. J. K., Raghu Vamsi B. V. S., Gowtham Kumar K. Structural analysis of thin isotropic and orthotropic plates using finite element analysis // Indian Journal of Medical Ethics. 2017. Vol. 4, iss. 6. P. 17-27. https://doi.org/10.14445/23488360/IJME-V4I6P104
15. Kashtanova S. V., Rzhonsnitskiy A. V., Gruzdkov A. A. On the issue of analytical derivation of stress state in a cylindrical shell with a circular hole under axial tension // Materials Physics and Mechanics. 2021. Vol. 47. P. 186-195. https://doi.org/10.18149/ MPM.4722021_3
16. Van Dyke P. Stresses about a circular hole in a cylindrical shell // AIAA Journal. 1965. Vol. 3, iss. 9. P. 1733-1742. https://doi.org/10.2514/3.3234
References
1. Kashtanova S. V., Rzhonsnitskiy A. V. An analytical approach to obtaining the stress field of a cylindrical shell with a circular hole under tension. PNRPU Mechanics Bulletin, 2021, iss. 2, pp. 64-75 (in Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/202L2.07
2. Kashtanova S. V., Rzhonsnitskiy A. V. Investigation of systems of the stress field problem of a cylindrical shell with a circular cutout under various boundary conditions. Journal of
the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2022, vol. 44, Art. 259. https://doi.org/10.1007/s40430-022-03534-7
3. Lurie A. I. Concentration of stresses in the vicinity of an aperture in the surface of a circular cylinder. Prikladnaya Matematica i Mekhanica, 1946, vol. 10, pp. 397-406 [English transl. by N. Brunswick, New York University, Inst. of Math. Sci., 1960].
4. Guz A. N. Tsilindricheskie obolochki, oslablennye otverstiyami [Cylindrical Shells with Cutouts]. Kiev, Naukova dumka, 1974. 271 p. (in Russian).
5. Lekkerkerker J. G. On the Stress Distribution in Cylindrical Shells Weakened by a Circular Hole. Delft, Uitgeverij Waltman, 1965. 99 p.
6. Naghdi A. K., Eringen A. C. Stress distribution in a circular cylindrical shell with a circular cutout. Archive of Applied Mechanics, 1965, vol. 34, iss. 3, pp. 161-172. https://doi.org/10.1007/BF00532170
7. Eringen A. C., Naghdi A. K., Thiel C. C. State of Stress in a Circular Cylindrical Shell With a Circular Hole. Welding Research Council Bulletin, vol. 102. Welding Research Council, 1965. 21 p.
8. Foo S. S. B. On the limit analysis of cylindrical shells with a single cutout. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1992, vol. 49, iss. 1, pp. 1-16. https://doi.org/10. 1016/0308-0161(92)90069-R
9. Kabanov V. V., Zheleznov L. P. Application of the Finite-Elements method to the strength analysis of circular cylindrical shells with cutouts. TsAGI Notes, 1985, vol. 16, iss. 3, pp. 92-99 (in Russian). EDN: MWFNGB
10. Shariati M., Akbarpour A. Ultimate strength analysis of combined loaded stainless steel circular tubes with hole. Journal of Basic and Applied Scientific Research, 2012, iss. 2 (8), pp. 8457-8465.
11. Lee S. E., Sahin S., Rigo P. Ultimate strength of cylindrical shells with cutouts. Ships and Offshore Structures, 2017, vol. 12, iss. S1, pp. 151-173. https://doi.org/10.1080/17445302. 2016.1271592
12. Kolodiazhnyi A., Mednikova M. The Influence of the deformation nonlinearity on stress concentration in cylindrical shells with holes under torsion. Materials Science Forum, 2019, vol. 968, pp. 548-559. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/MSF.968.548
13. Chawla K., Ray-Chaudhuri S. Stress and strain concentration factors in orthotropic composites with hole under uniaxial tension. Curved and Layered Structures, 2018, vol. 5, iss. 1, pp. 213-231. https://doi.org/10.1515/cls-2018-0016
14. Silpa V. J. K., Raghu Vamsi B. V. S., Gowtham Kumar K. Structural analysis of thin isotropic and orthotropic plates using finite element analysis. Indian Journal of Medical Ethics, 2017, vol. 4, iss. 6, pp. 17-27. https://doi.org/10.14445/23488360/IJME-V4I6P104
15. Kashtanova S. V., Rzhonsnitskiy A. V., Gruzdkov A. A. On the issue of analytical derivation of stress state in a cylindrical shell with a circular hole under axial tension. Materials Physics and Mechanics, 2021, vol. 47, pp. 186-195. https://doi.org/10.18149/MPM. 4722021_3
16. Van Dyke P. Stresses about a circular hole in a cylindrical shell. AIAA Journal, 1965, vol. 3, iss. 9, pp. 1733-1742. https://doi.org/10.2514/3.3234
Поступила в редакцию / Received 21.03.2022 Принята к публикации / Accepted 01.11.2022 Опубликована / Published 31.05.2023
