CC BY
24
УДК 539.3:534.1 С. В. Серёгин
ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ И ЖЁСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НА ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Изучается влияние отверстия и присоединённой к круговой цилиндрической оболочке жёсткости, сосредоточенной на малом участке, на собственные динамические характеристики рассматриваемых систем. Представлена методика расчёта оболочек с отверстиями, основанная на уравнениях теории пологих оболочек. Показано, что результаты динамического расчёта оболочек с отверстиями при соответствующем подборе величины присоединённой массы сопоставимы с результатами расчёта оболочек, несущих сосредоточенную массу.
Ключевые слова: оболочка, собственные частоты, колебания. Введение
Высокие требования техники к точности моделируемых процессов и определения напряжённо-деформированного состояния конструкций побуждают исследователей искать новые подходы и методы решения задач, уточнять уже существующие решения [1—3], [21—23]. Актуальной задачей на сегодняшний день является обеспечение динамической прочности кольцевых [4 — 5], [8], [13], [15], [20] и оболочечных [6 — 7], [9 — 10], [12], [14], [16 — 19] конструкций, которые применяются в авиации, навигационных системах и наземной инфраструктуре.
Оболочечные конструкции неизбежно имеют различного рода несовершенства — присоединённые массы, отверстия, которые приводят к специфическим особенностям при изгибных колебаниях оболочек [13 — 14], [20].
Известно, что для выявления специфических особенностей при изгибных колебаниях оболочек, несущих присоединённые массы, нужно при разложении искомых функций в ряды удержать достаточно много членов ряда [16], [18], а для оболочек, ослабленных отверстием, математическая сторона задачи усложняется многократно [11].
Серёгин Сергей Валерьевич — кандидат технических наук, старший научный сотрудник управления научно-исследовательской деятельностью (Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: Seregin-komsHome@yandex.ru.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-31-00045 мол_а).
© Серёгин С. В., 2017
97
В настоящей статье в рамках теории пологих оболочек решается задача о влиянии выреза на собственные частоты и формы колебаний тонкой оболочки. Сделано предположение, что возмущение в напряжённо-деформируемом состоянии, как в случае присоединённой массы, так и при наличии отверстия, одинаково, поэтому при относительно малом вырезе динамические характеристики оболочки с отверстием могут быть найдены при решении известной задачи о колебаниях оболочки, несущей присоединённую массу, при условии, что присоединённая масса равна массе вырезанного элемента [12], [17].
Гипотеза
Сделаем предположение, что динамическое поведение цилиндрической оболочки с отверстием идентично оболочке, несущей присоединённую массу.
Методика решения
Для решения такой задачи будем использовать известные уравнения из теории пологих оболочек [11]:
4 1 д2Ф д2и> Ыс чдV
Т У ™ = ^— Р^2---1Тд(х — х0' У — УоУ
h R dx2 dt2 h u u dt2
1 У4ф = --1 d 2 "
где О = Ек3/[12(1 — ^2)]— цилиндрическая жёсткость, к — толщина обо-
Е Я дх2
лочки, Е — модуль Юнга, л — коэффициент Пуассона; V4 — бигармони-ческий оператор Лапласа; w(х, у, {) — динамический прогиб, положительный при направлении к оси; Я — радиус; Ф — функция напряжений в срединной поверхности; р — массовая плотность; х, у — продольная и
окружная координаты; х0, у0 — координаты размещения центра выреза у оболочки; t — время; Мс — масса вырезанного элемента; 3( х, у) — функция Дирака, Мс — масса вырезанного элемента, Мт — масса идеальной оболочки.
Рассмотрим оболочку со следующими геометрическими и физическими характеристиками:
Я / к = 200 , Ь / Я = 2,5,
где Я = 5 м — радиус оболочки, к — толщина стенки, Ь — длина, Е = 2 х10п Н / м2 — модуль Юнга, р= 7800 кг / м3 — массовая плотность. На торцевых сечениях оболочки реализуются условия свободного опирания.
98
Пусть в центре оболочки имеется отверстие прямоугольной формы.
Площадь вырезанного отверстия составляет 6,16 М . Собственные частоты низших тонов колебаний оболочки следующие: п = 6, щ = 10,03 Гц, щ = 10,69Гц .
Для подтверждения выдвинутой гипотезы решим задачу колебаний оболочки, несущей присоединённую сосредоточенную массу, равную массе вырезанного элемента — Мс = 0,0157Мт. Собственные частоты колебаний равны: п = 6, щ = 10,13Гц, щ = 11,01 Гц.
Сопоставление результатов. Основные выводы
Сопоставление результатов динамического расчёта низшей частоты колебаний оболочки с отверстием и оболочки с присоединённой массой говорит о хорошем согласовании. Выполненный расчёт подтверждает выдвинутую гипотезу.
Список литературы
1. Васильев А. С. Разработка алгоритмов численного моделирования балочных конструкций из композитных материалов для портовых и берегозащитных сооружений / / Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2015. № Ш-1 (23). С. 88 — 93.
2. Ипатов К. И., Земляк В. Л., Козин В. М., Васильев А. С. Исследование напряжённо-деформированного состояния ледяного покрова от воздействия на него движущейся нагрузки / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2017. № 1 (26). С. 103 — 113.
3. Козин В. М., Земляк В. Л. Физические основы разрушения ледяного покрова резонансным методом. Комсомольск-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН, ПГУ им. Шолом-Алейхема, АмГПГУ, 2013. 250 с.
4. Лейзерович Г. С., Приходько Н. Б., Серёгин С. В. О влиянии малой присоединённой массы на колебания разнотолщинного кругового кольца / / Строительство и реконструкция. 2013. № 4 (48). С. 38—42.
5. Лейзерович Г. С., Приходько Н. Б., Серёгин С. В. О влиянии малой присоединённой массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями / / Строительная механика и расчёт сооружений. 2013. № 6 (251). С. 49—51.
6. Лейзерович Г. С., Серёгин С. В. Свободные колебания круговых цилиндрических оболочек с присоединённой малой сосредоточенной массой // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57. № 5. С. 90 — 96. Б01: 10.15372/РМТБ20160510.
7. Серёгин С. В. Влияние асимметричных начальных несовершенств формы на свободные колебания тонких оболочек // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2016. Т. 15. № 3. С. 209—222. Б01: 10.18287/2541-7533-2016-15-3-209-222.
8. Серёгин С. В. Влияние несовершенств формы на колебания кольцевого резонатора волнового твердотельного гироскопа / / Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 3. С. 423—431. БОТ: 10.20537/п(11703009.
99
9. Серёгин С. В. Влияние площади контакта и величины линейно распределённой и сосредоточенной массы с круговой цилиндрической оболочкой на частоты и формы свободных колебаний / / Вестник МГСу. 2014. № 7. С. 64 — 74. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.7.64-74.
10. Серёгин С. В. Влияние присоединённого тела на частоты и формы свободных колебаний цилиндрических оболочек / / Строительная механика и расчёт сооружений. 2014. № 3 (254). С. 35-38.
11. Серёгин С. В. Динамика тонких цилиндрических оболочек с присоединённой массой. Комсомольск-на-Амуре: ФГБОУ ВО «КнАГТУ», 2016. 175 с.
12. Серёгин С. В. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединённой массой / / Вестник МГСу. 2014. № 4. С. 52—58. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.4.52-58.
13. Серёгин С. В. Качественные эффекты при колебаниях кольцевых подкрепляющих элементов с присоединённой массой как частный случай тонкой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки / / Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2017. № 1 (682). С. 31—43. DOI 10.18698/0536-1044-2017-1-31-43.
14. Серёгин С. В. Об эффекте расщепления изгибного частотного спектра тонких круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединённую массу // Строительная механика и расчёт сооружений. 2014. № 6 (257). С. 59 — 61.
15. Серёгин С. В. Особенности расщепления частотного спектра волнового твердотельного гироскопа на примере изолированного несовершенного кольца // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. 2017. Т. 10. № 3. С. 116-122. DOI: 10.18721/JPM.10311.
16. Серёгин С. В. Свободные изгибно-радиальные колебания тонкой круговой цилиндрической оболочки, несущей присоединённую массу / / Вестник МГСу. 2014. № 11. С. 74—81. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.11.74-81.
17. Серёгин С. В. Свободные колебания тонкой круговой цилиндрической оболочки, ослабленной отверстием / / Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2015. № 3. С. 9— 13.
18. Серёгин С. В. Численное и аналитическое исследование свободных колебаний круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединённую массу, линейно распределённую вдоль образующей / / Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7. № 4. С. 378—384. DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.4.36.
19. Серёгин С. В., Лейзерович Г. С. Влияние присоединённой массы на динамические характеристики тонкой оболочки / / Проблемы машиностроения и автоматизации. 2015. № 4. С. 83 — 89.
20. Серёгин С. В., Лейзерович Г. С. Свободные колебания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями и малой присоединённой массой / / Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2014. Т. 1. № 4 (20). С. 36—43.
21. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Алгоритмы и модели при численном проектировании композитных сред на заданные характеристики для морских сооружений // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2015. № 1-1 (21). С. 81—86.
22. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Анализ критериев предельного состояния конструкций из композитных материалов / / Учёные записки Комсомольского-на-Амуре
100
государственного технического университета. 2015. № III-1 (23). С. 81 —87. 23. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Численное исследование предельной несущей способности конструкций из композитных материалов / / Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 2. № 3 (29). C. 27—32.
* * *
Seregin Sergei V.
THE INFLUENCE OF INERTIAL AND STIFFNESS CHARACTERISTICS ON THE DYNAMIC BEHAVIOR OF THIN SHELLS
(Komsomolsk-on-Amur State Technical University, Komsomolsk-on-Amur)
The influence of the hole and the stiffness added to the circular cylindrical shell, focused on a small section, on the intrinsic dynamic characteristics of the systems under consideration is studied. A method is proposed for calculating shells with holes, based on the equations of the theory of shallow shells. It is shown that the results of the dynamic calculation of shells with holes with appropriate selection of the value of the attached mass are comparable with the results of calculations of shells carrying a concentrated mass.
Keywords: shell vibration frequency spectrum, hole, added mass.
References
1. Vasil'ev A. S. Development of algorithms for numerical modeling of beam structures from composite materials for port and bank protection structures [Razrabotka algoritmov chislennogo modelirovanija balochnyh konstrukcij iz kompozitnyh materialov dlja portovyh i beregozashhitnyh sooruzhenij], Uchjonye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosu-darstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2015, vol. 1, no. 3 (23), pp. 88—93.
2. Ipatov K. I., Zemljak V. L., Kozin V. M., Vasil'ev A. S. Investigation of the stressed-but-deformed state of the ice cover from the impact of a moving load on it [Issledovanie naprjazhjon-no-deformirovannogo sostojanija ledjanogo pokrova ot vozdejstvija na nego dvizhushhejsja nagruzki], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo univer-siteta im. Sholom-Alejhema, 2017, no. 1 (26), pp. 103—113.
3. Kozin V. M., Zemljak V. L. Fizicheskie osnovy razrushenija ledjanogo pokrova rezonansnym metodom (Physical basis for the destruction of the ice cover by the resonance method), Komsomolsk-on-Amur,2013. 250 p.
4. Lejzerovich G. S., Prihod'ko N. B., Seregin S. V. On the influence of a small adjoint mass on the oscillations of a differently circular ring [O vlijanii maloj prisoedinjonnoj massy na kolebanija raznotolshhinnogo krugovogo kol'ca], Stroitel'stvo i rekonstrukcija, 2013, no. 4 (48), pp. 38—42.
5. Lejzerovich G. S., Prihod'ko N. B., Seregin S. V. On the effect of a small adjoint mass on the splitting of the frequency spectrum of a circular ring with initial irregularities [O vlijanii maloj prisoedinjonnoj massy na rasshheplenie chastotnogo spektra krugovogo kol'ca s nachal'nymi nepravil'nostjami], Stroitel'naja mehanika i raschjot sooruzhenij, 2013, no. 6 (251), pp. 49—51.
6. Leizerovich G. S., Seregin S. V. Free vibrations of circular cylindrical shells with a small added concentrated mass, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2016, vol. 57, no. 5, pp. 841—846. DOI: 10.15372/PMTF20160510.
7. Seregin S. V. Influence of asymmetric initial imperfections of form on free vibrations of thin shells [Vlijanie asimmetrichnyh nachal'nyh nesovershenstv formy na svobodnye kolebanija tonkih obolochek], Vestnik Samarskogo universiteta.
101
Ajerokosmicheskaja tehnika, tehnologii i mashinostroenie, 2016, vol. 15, no. 3, pp. 209 — 222. DOI: 10.18287/2541-7533-2016-15-3-209-222.
8. Seregin S. V. Influence of shape imperfections on oscillations of the ring resonator of a wave solid-state gyroscope [Vlijanie nesovershenstv formy na kolebanija kol'cevogo rezonatora volnovogo tverdotel'nogo giroskopa], Nelinejnaja dinamika, 2017, vol. 13, no. 3, pp. 423—431. DOI: 10.20537/nd1703009.
9. Seregin S. V. Influence of the contact area and the magnitude of a linearly distributed and concentrated mass with a circular cylindrical shell on the frequencies and forms of free oscillations [Vlijanie ploshhadi kontakta i velichiny linejno raspredeljonnoj i sosredotochennoj massy s krugovoj cilindricheskoj obolochkoj na chastoty i formy svobodnyh kolebanij], Vestnik MGSU, 2014, no. 7, pp. 64 — 74. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.7.64-74.
10. Seregin S. V. Influence of an attached body on the frequencies and shapes of free oscillations of cylindrical shells [Vlijanie prisoedinjonnogo tela na chastoty i formy svobodnyh kolebanij cilindricheskih obolochek], Stroitel'naja mehanika i raschjot sooruzhenij, 2014, no. 3 (254), pp. 35—38.
11. Seregin S. V. Dinamika tonkih cilindricheskih obolochek s prisoedinjonnoj massoj (Dynamics of thin cylindrical shells with an attached mass), Komsomolsk-on-Amur, 2016. 175 p.
12. Seregin S. V. Investigation of the dynamic characteristics of shells with holes and attached mass [Issledovanie dinamicheskih harakteristik obolochek s otverstijami i prisoedinjonnoj massoj], Vestnik MGSU, 2014, no. 4, pp. 52 — 58. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.4.52-58.
13. Seregin S. V. Qualitative effects in the vibrations of annular reinforcing elements with an attached mass as a special case of a thin infinitely long circular cylindrical shell [Kachestvennye jeffekty pri kolebanijah kol'cevyh podkrepljajushhih jelementov s prisoedinjonnoj massoj kak chastnyj sluchaj tonkoj beskonechno dlinnoj krugovoj cilindricheskoj obolochki], Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie, 2017, no. 1 (682), pp. 31—43. DOI 10.18698/0536-1044-2017-1-31-43.
14. Seregin S. V. On the effect of splitting the flexural frequency spectrum of thin circular cylindrical shells carrying an attached mass [Ob jeffekte rasshheplenija izgibnogo chastotnogo spektra tonkih krugovyh cilindricheskih obolochek, nesushhih prisoedinjonnuju massu], Stroitel'naja mehanika i raschjot sooruzhenij, 2014, no. 6 (257), pp. 59—61.
15. Seregin S. V. Features of the splitting of the frequency spectrum of a wave solidstate gyroscope by the example of an isolated imperfect ring [Osobennosti rasshheplenija chastotnogo spektra volnovogo tverdotel'nogo giroskopa na primere izolirovannogo nesovershennogo kol'ca], Nauchno-tehnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politehnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki, 2017, vol. 10, no. 3, pp. 116—122. DOI: 10.18721/JPM.10311.
16. Seregin S. V. Free flexural-radial oscillations of a thin circular cylindrical shell carrying an attached mass [Svobodnye izgibno-radial'nye kolebanija tonkoj krugovoj cilindricheskoj obolochki, nesushhej prisoedinjonnuju massu], Vestnik MGSU, 2014, no. 11, pp. 74 — 81. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.11.74-81.
17. Seregin S. V. Free vibrations of a thin circular cylindrical shell weakened by a hole, Russian aeronautics, 2015, vol. 58, no. 3, pp. 258 — 262.
18. Seregin S. V. Numerical and analytical study of free oscillations of circular cylindrical shells carrying an adjoining mass linearly distributed along the generator
102
[Chislennoe i analiticheskoe issledovanie svobodnyh kolebanij krugovyh cilindricheskih obolochek, nesushhih prisoedinjonnuju massu, linejno raspredeljonnuju vdol' obrazujushhej], Vychislitel'naja mehanika sploshnyh sred, 2014, vol. 7, no. 4, pp. 378 - 384. DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.4.36.
19. Seregin S. V., Lejzerovich G. S. Influence of the attached mass on the dynamic characteristics of a thin shell [Vlijanie prisoedinjonnoj massy na dinamicheskie harakteristiki tonkoj obolochki], Problemy mashinostroenija i avtomatizacii, 2015, no. 4, pp. 83-89.
20. Seregin S. V., Lejzerovich G. S. Free oscillations of an infinitely long circular cylindrical shell with initial irregularities and a small attached mass [Svobodnye kolebanija beskonechno dlinnoj krugovoj cilindricheskoj obolochki s nachal'nymi nepravil'nostjami i maloj prisoedinjonnoj massoj], Uchjonye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2014, vol. 1, no. 4 (20), pp. 36—43.
21. Taranuha N. A., Vasil'ev A. S. Algorithms and models for numerical design of composite media for specified characteristics for offshore structures [Algoritmy i modeli pri chislennom proektirovanii kompozitnyh sred na zadannye harakteristiki dlja morskih sooruzhenij], Uchjonye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2015, vol. 1, no. 1 (21), pp. 81—86.
22. Taranuha N. A., Vasil'ev A. S. Analysis of Criteria for the Limit State of Structures from Composite Materials [Analiz kriteriev predel'nogo sostojanija konstrukcij iz kompozitnyh materialov], Uchjonye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2015, vol. 1, no. 3 (23), pp. 81—87.
23. Taranuha N. A., Vasil'ev A. S. Numerical investigation of the ultimate load-bearing capacity of structures made of composite materials [Chislennoe issledovanie predel'noj nesushhej sposobnosti konstrukcij iz kompozitnyh materialov], Morskie
intellektual'nye tehnologii, 2015, vol. 2, no. 3 (29), pp. 27—32.
* * *
103
