CC BY
48
fm =
5Iy ОТ
иЦ 0,712 + 1,6h2
Однако числовые оценки процессов разрушения по (15) предложенным механизмам удовлетворительно коррелируют с экспериментальными результатами.
Найдем зависимость пондеромоторной силы /т от напряженности внешнего магнитного поля Н, учитывая при этом уравнение (12):
fm
Un
2Av
• H
(1б)
Приведенные результаты по исследованию напряженного состояния в вершине трещины показывают, что разрушение проводника достигается при различных сочетаниях тока и внешнего поля и представляет собой высоколокализованное энергетическое явление, связанное с изменением величины и направления пон-деромоторной силы в пределах указанных механизмов. Понятно, что рассмотренные механизмы разрушения не могут работать в широком диапазоне электромагнитных полей из-за их ограниченной по критериям электродинамической и тепловой устойчивостей самих проводников и источников внешнего магнитного поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 364 с.
2. Иванов В.М. Управление разрушением плоских проводников электромагнитным полем // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2003. Т. 8. № 4. С. 689-690.
3. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. К.: Наук. думка, 1976. 317 с.
4. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М.: Металлургия, 1978. 256 с. *
Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.
Lanovaya A.V., Ivanov V.M., Feodorov V.A., Pluzhniko-va T.N. MATHEMATICAL MODELS OF ELECTROMAGNETIC DESTRUCTION OF CONDUCTORS
The obtained results on the state of stress at the crack tip shows that the destruction of the conductor is achieved by various combinations of current and the external field.
Key words: structure defects; healing cracks, electromagnetic fields.
УДК 544.344.015.22, 519.622.2
СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО ПОДХОДОВ В ОПИСАНИИ ДИФФУЗИОННОГО РАСПАДА ПЕРЕСЫЩЕННОГО ТВЕРДОГО РАСТВОРА
© О.А. Осмаев, Р.В. Шаповалов, В.В. Слезов
Ключевые слова: диффузионный распад; численное решение.
Рассматривается классическая задача об образовании и росте новой фазы в метастабильном твердом растворе. На примере сплава БеСи 1,34 % проводится сравнение результатов, полученных путем аналитического решения уравнения Фоккера-Планка и данных численного решения системы уравнений Фаркаса-Беккера-Деринга.
Задача об описании фазового перехода первого рода рассматривается в течение приблизительно последних ста лет. Систематический подход к этой проблеме начался, по-видимому, с работы [1], в которой процесс образования и роста кластеров новой фазы был описан при помощи системы дифференциальных уравнений первого порядка. В дальнейшем эта система была исследована в работах [2, 3]. В работах [4, 5] было показана возможность описания процесса зарождения кластеров новой фазы, с помощью дифференциального уравнения параболического типа. Одним из важнейших результатов, полученных аналитически, является описание асимптотического решения, полученное И. Лифшицем и В. Слезовым [6]. В настоящее время это решение получило всеобщее признание и надежные экспериментальные подтверждения. Замечательным свойством данного решения является его асимптотическая автомодельность. В то же время образование и рост кластеров являются процессом, который в деталях существенно зависит от условий протекания процесса.
Аналитическое описание здесь возможно только в некоторых простых случаях.
Практическая необходимость к исследованию сложных систем, которые описываются уравнениями, в общем случае не допускающими аналитического решения, пригодного во всем интервале времени эволюции системы и для всех размеров кластеров новой фазы, стала причиной большого количества работ, в которых эволюция кластеров исследовалось численными методами. К настоящему времени рост вычислительной мощности и развитие численных методов сделали возможным решение большого числа дифференциально-разностных уравнений Фаркаса-Беккера-Деринга (ФБД) без использования каких-либо дополнительных предположений. В тех случаях, когда число уравнений все же требует привлечения неоправданно больших вычислительных средств, существуют надежные разностные схемы сквозного счета, дифференциальноразностные уравнения и уравнения параболического типа в частных производных типа уравнения Фоккера-
1891
Планка (ФП). Несмотря на все успехи вычислительной науки, подлинное понимание физики процессов не может быть достигнуто без использования упрощающих предположений и аналитических расчетов. Поэтому, на наш взгляд, взаимная верификация этих двух подходов является такой же актуальной, как и сравнение их результатов с экспериментальными данными.
В данной работе сравнивается аналитическое описание диффузионного распада твердого раствора как набора приближенных решений уравнения ФП, полученных на основе подхода, разработанного одним из соавторов в цикле работ, выполненных в 1990-х [7], и результаты численного решения уравнений ФБД. Программный код, использованный для расчетов, основан на высокоэффективных алгоритмах численного решения жестких систем дифференциальных уравнений [8] и дополнен оптимизированным алгоритмом решения систем линейных алгебраических уравнений. Диффузионный распад, являющийся весьма важным частным случаем фазового перехода первого рода, проанализирован на примере сплава железа с медью.
В работе [9] приводятся данные о том, что в сплаве ГеСи134 % при температуре 500-800 К выпадает новая фаза, состоящая из практически чистой меди. Экспериментальные данные свидетельствуют, что образование и рост медных частиц идет по механизму гомогенной нуклеации. Материальные параметры, определяющие характер протекания процесса известны с достаточной степенью точности [9], поэтому железномедный сплав представляется весьма удобным объектом исследования.
Центральной величиной теоретических представлений о фазовом переходе первого рода является критический размер кластера новой фазы псг, зависящий от степени метастабильности (пересыщенности) исходной фазы и поверхностной энергии выпадающих зародышей новой фазы. Его физический смысл весьма прост. Для т. н. докритических зародышей с размером п < псг более вероятным является процесс растворения, а для закритических - роста. В теоретическом описании гомогенной нуклеации принято выделять три стадии [7]. На первой стадии происходит образование докритиче-ских зародышей новой фазы. Вследствие очень сильной зависимости скорости зародышеобразования от пересыщенности исходной фазы, появление новых зародышей заканчивается за интервал времени, т. н. время задержки в течение которого эта величина меняется незначительно. Для оценки этой величины существуют разные формулы. В настоящей работе мы, естественно, рассматривали подход, развитый в [7]. Вторая стадия распада характеризуется ростом частиц новой фазы при практически неизменном их числе. Переход от первой стадии ко второй может, в зависимости от параметров системы, происходить достаточно долгое время. В этом случае система находится в со-
стоянии, которое может быть достаточно хорошо описано путем решения стационарного уравнения Фоккера-Планка. При этом можно получить аналитическое выражение для экспериментально наблюдаемой характеристики процесса - потока частиц новой фазы в пространстве. Переход от стадии роста частиц новой фазы к асимптотической стадии сопровождается перестройкой функциональных зависимостей пересыщенности, числа частиц новой фазы и их среднего размера как функций времени к хорошо известным формам [б, 7].
В данном исследовании полностью рассчитан диффузионный распад сплава FeCu1,34 % при разных температурах процесса. Проанализированы особенности смены стадий процесса и порядок приближения моментов функции распределения частиц новой фазы по размерам к асимптотической форме временной зависимости. Показано, что описание этого процесса как смены последовательных стадий, допускающих приближенные аналитические решения, хорошо согласуется с данными численных расчетов в достаточно широком диапазоне температур.
ЛИТЕРАТУРА
1. Farkas L. Keimbildungsgeschwindigkeit inubersattigten Damp fen (Velocity of nucleation in supersaturated vapors) // Z. Physik. Chem. 1927. V. 125. P. 23б-242.
2. Becker R., Doring W. Kinetische Behandlung der Keimbildung in ubersattigten Gebilden (Kinetic theory for nucleation of supersaturated structures) // Ann. Phys. 1935. V. 24. P. 719-752.
3. Frenkel J.A. General Theory of Heterophase Fluctuations and Pretransition Phenomena // J. Chem. Phys. 1939. V. 7. P. 538-547.
4. Туницкий Н. Н. О конденсации пересыщенных наров // Журнал физической химии. 1941. Т. 15. № 10. С. 10-б1.
5. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы. Кавитация // ЖЭТФ. 1942. Т. 12. С. 525-538.
6. Лифшиц ИМ., Слезов В.В. О кинетике диффузионного раснада пересыщенных твердых растворов // ЖЭТФ. 1958. Т. 2. № 8. С. 479-492.
7. Slezov V.V. // Kinetics of First- order Phase Transitions. Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2009. doi: 10.1002/9783527б277б9.^7.
8. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / нер. с англ. М.: Мир, 1999. б85 с.
9. Mathon M.H. et. al. Experimental study and modelling of copper precipitation under electron irradiation in dilute FeCu binary alloys // Journal of Nuclear Materials. 1997. V. 245. P. 224-237.
Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.
Osmayev O.A., Shapovalov R.V., Slyozov V.V. COMPARISON OF ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS IN DESCRIPTION OF SUPERSATURATED SOLID SOLUTION DIFFUSION DECAY
The classical problem of the new phase formation and growth in the meta-stable solid solution is studied. The results of the Fokker-Plank equation analytical solution are compared with the numerical solution of the set of Farkas-Becker-Doring equations by the example of FeCu134 <% alloy.
Key words: diffusion decay; numerical solution.
1892
