CC BY
38
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ
© А.В. Лановая, В.М. Иванов, В.А. Федоров, Т.Н. Плужникова
Ключевые слова: механизмы разрушения проводников; электромагнитное поле; пондеромоторные силы. Получены результаты по исследованию напряженного состояния в вершине трещины в проводниках с током. Показано, что разрушение проводника достигается при определенных значениях тока и внешнего магнитного поля.
Проводники зачастую не сильно нагружены механическими усилиями, а в некоторых случаях и вовсе разгружены. Однако при всегда присутствующих в них дефектах взаимодействие электрического поля тока и возникающего при этом магнитного поля вокруг них приводит к появлению механической силы, имеющей электромагнитное происхождение. Причем она имеет определенную ориентацию, а при наличии внешнего магнитного поля - и желаемую. Это обстоятельство позволяет получить не похожие друг на друга напряженные состояния в вершине острых надрезов и трещин, приводящие в конечном итоге к разрушению проводника. Приведем математические модели механизмов разрушения проводников под током с имеющейся трещиной во внешнем магнитном поле определенного направления.
Рассмотрим механизм разрушения проводника во внешнем магнитном поле, направленном попутно току. Предлагается математическая модель, задача в которой сводится к нахождению распределения механических напряжений от электродинамических сил поля и решается с помощью бигармонического уравнения линейной теории упругости [1]:
5 4 / „ =или —— + 2
да
д 4 / дх2д12
д4/ п
+—~г = 0,
дх
(1)
Функция Эри принимается в виде полинома, коэффициенты которого должны удовлетворять уравнению (1) и подбираются таким образом, чтобы выполнялось условие (2).
Решив уравнение (1) при вышесказанных начальных и граничных условиях, получим следующие напряжения в полосе:
ст •(1 х) (х3 -31х2 + 312х -13) -
х 121у 1
-2-2—.(1 - х) (0,3к22 - 223);
12/у 1 '
а =-А.. (1 - х) (1,5к2г - 223 - 0,5к3);
х 12/у 1 '
т7Г —• 1(3х2 -61х +12) +
гх 12/у 1
+ 2к.. 1(г4 - 0,3к2г2 + 0,01А4). 12/,, 1
(4)
где /- момент инерции сечения, равный к /12. Напряжения в уравнениях (4) выразятся как:
при х = 0; 2 = 0; а х — 2а х — 2
/т 12/у
-13
/(х) = 1 I 1---I, где 1 - длина трещины, /т - наи-
1
большая электродинамическая сила в ее вершине.
При вынесении граничных условий на поверхности:
при х = 0; 2 = к/2; а — 0,125 1 к ,
2 12/, '
при х = 0; 2 = 0; тх2 = 0,75 т... — 0,75 1 к 21 х2 хг 12/,,
(5)
х = а хт + т хуп
Х2
2 — т ух +а7п,
(2)
где / (х,2) - функция Эри; напряжения записываются следующим образом:
д/. дх 2
д2/ д2/
--------• т —---------------—
2 9 гх
дхд2
(3)
а эквивалентное напряжение:
д/ 416 + 0,513к3 + 0,01кб +1212к4
(6)
При малых 1, сравнимых с толщиной пластины к. (1 ~ к), напряжения от пондемоторных сил составляют 0,25ат, а при 1 > к - 0,5ат.
3
к
х
1889
Энергия, необходимая для разрушения единицы объема металла в электромагнитном поле, равна Ш = = 108 Дж/м3 [2]. Для этого необходимо создать давление на проводник, равное 250 МПа, которое сравнимо с пределом текучести для меди и вдвое превышает этот показатель для алюминия. Вместе с тем скорость разрушения
ди А
---— 0 ; при у = 0 и х = 1, а живое сечение (у > ± —;
ду 2 '
1 < х < Ь) является эквипотенциальной поверхностью. Для постоянного тока в пластине шириной Ь, содержащей краевую трещину длиной 1, потенциал имеет вид
[4]:
V — ст7
3уЕ
(7)
при таких условиях ограничивается минимальной скоростью деформирования за пределом текучести (или наибольшей скоростью в пределах упругих деформаций) [3], где g = 9,8 м/с2, у - плотность металла, Е -модуль Юнга.
Предельная скорость деформирования связана с плотностью потока электромагнитной энергии (Е*Н) и энергией разрушения Ш их балансом:
V =
Е х Н Ж
Напряженность Е — І- І1+, Ц
(8)
поля
электрического где а - радиус при вершине трещины, у - плотность тока в проводнике, А/м2, напряженность внешнего магнитного поля Н. Тогда механические напряжения а/ равны:
Е • Н
V
)
стV
1+
н .
(9)
Анализ формулы (9) относительно напряжений ст, которые зависят от длины трещины 1 и внешнего магнитного поля Н, показал, что пондеромоторные силы не могут создать напряженного состояния в вершине трещины, способного разрушить проводник. Однако экспериментальные исследования показали, что зарождение трещины при заданных параметрах наблюдается.
Рассмотрим математическую модель механизма разрушения проводника с трещиной во внешнем магнитном поле, направленном ортогонально току, т. е. другую модификацию воздействия внешним магнитным полем Н на проводник с током, имеющим зародышевую трещину. Здесь ориентация Н ортогональна направлению тока. Задача сводится к решению уравнения Лапласа, с учетом соответствующих граничных условий:
и (х, у) — 1т\и сое-1
соє(лг /2Ь соє(п1 /2Ь
(11)
где 7 = х + іу - комплексная переменная; и - напряжение, приложенное к берегам трещины, В.
Напряженность электрического поля Е вдоль берегов трещины находится через градиент потенциала
А
и(х,у) при х = 1 и у > ± —:
Е — - gradU (х, у) = и
2
2А
(12)
При определении механических напряжений воспользуемся уравнением (1) и теми же условиями на поверхности (2), решение которого имеет вид:
1 (х) — /тх:
1 1т1т 1 г 2 /т 34 /т к1
—2^т т х — /т12 -—х3) +—х(-----------);
I
2
3"
61
/т И И2 г
СТ —-------------------------х(-----------------------------\---------);
х 21.. 1 12 4 3
1у1 3 20 •
(13)
1 ,т1 2Ч\ И2 , Гт \ г4 А2г2 И
т —------------(-------------х )1-------------г) +-----------------------------1-\-----
21у 2 21 I 4 I 11 12 40 960
Интерес представляет устье трещины, где напряжения выразятся как:
1 2
1) х = 0; г = И/2; ст х —---------/тИ1 (сжатие);
61у
1
2) х = 0; г = -И/2; ст х —-------/тИ1 (растяжение);
6 1у '
3) х = 0; г = ±И/2; стг = 0
1 2
4) х = 0;г = 0; тгх — —— т 1 (сдвж).
16іу
V и = 0; или-
д 2и д 2и
дх 2 ду2
= 0 .
Таким образом, в сечении устья наблюдается плос-(10) кое напряженное состояние, которое по эквивалентным напряжениям сравнивается с пределом текучести:
Граничные условия заключаются в том, что внешние поверхности и трещина являются совершенными
ди л
изоляторами, т. е. ---— 0 ; при х = 0 и х = Ь, Ь - шири-
дх
на пластины.
— — /тИЦ 0,712 + 1,6И2
51
а пондеромоторная сила равна:
и
т
1890
fm —
5Iy °т
hlyl 0,7l2 + 1,6h 2
Однако числовые оценки процессов разрушения по (15) предложенным механизмам удовлетворительно корре-
лируют с экспериментальными результатами.
Найдем зависимость пондеромоторной силы /т от напряженности внешнего магнитного поля Н, учитывая при этом уравнение (12):
/ « н (16)
2Аv
Приведенные результаты по исследованию напряженного состояния в вершине трещины показывают, что разрушение проводника достигается при различных сочетаниях тока и внешнего поля и представляет собой высоколокализованное энергетическое явление, связанное с изменением величины и направления пон-деромоторной силы в пределах указанных механизмов. Понятно, что рассмотренные механизмы разрушения не могут работать в широком диапазоне электромагнитных полей из-за их ограниченной по критериям электродинамической и тепловой устойчивостей самих проводников и источников внешнего магнитного поля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 364 с.
2. Иванов В.М. Управление разрушением плоских проводников электромагнитным полем // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2003. Т. 8. № 4. С. 689-690.
3. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. К.: Наук. думка, 1976. 317 с.
4. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М.: Металлургия, 1978. 256 с. *
Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.
Lanovaya A.V., Ivanov V.M., Feodorov V.A., Pluzhniko-va T.N. MATHEMATICAL MODELS OF ELECTROMAGNETIC DESTRUCTION OF CONDUCTORS
The obtained results on the state of stress at the crack tip shows that the destruction of the conductor is achieved by various combinations of current and the external field.
Key words: structure defects; healing cracks, electromagnetic fields.
УДК 544.344.015.22, 519.622.2
СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО ПОДХОДОВ В ОПИСАНИИ ДИФФУЗИОННОГО РАСПАДА ПЕРЕСЫЩЕННОГО ТВЕРДОГО РАСТВОРА
© О.А. Осмаев, Р.В. Шаповалов, В.В. Слезов
Ключевые слова: диффузионный распад; численное решение.
Рассматривается классическая задача об образовании и росте новой фазы в метастабильном твердом растворе. На примере сплава БеСи 1,34 % проводится сравнение результатов, полученных путем аналитического решения уравнения Фоккера-Планка и данных численного решения системы уравнений Фаркаса-Беккера-Деринга.
Задача об описании фазового перехода первого рода рассматривается в течение приблизительно последних ста лет. Систематический подход к этой проблеме начался, по-видимому, с работы [1], в которой процесс образования и роста кластеров новой фазы был описан при помощи системы дифференциальных уравнений первого порядка. В дальнейшем эта система была исследована в работах [2, 3]. В работах [4, 5] было показана возможность описания процесса зарождения кластеров новой фазы, с помощью дифференциального уравнения параболического типа. Одним из важнейших результатов, полученных аналитически, является описание асимптотического решения, полученное И. Лифшицем и В. Слезовым [6]. В настоящее время это решение получило всеобщее признание и надежные экспериментальные подтверждения. Замечательным свойством данного решения является его асимптотическая автомодельность. В то же время образование и рост кластеров являются процессом, который в деталях существенно зависит от условий протекания процесса.
Аналитическое описание здесь возможно только в некоторых простых случаях.
Практическая необходимость к исследованию сложных систем, которые описываются уравнениями, в общем случае не допускающими аналитического решения, пригодного во всем интервале времени эволюции системы и для всех размеров кластеров новой фазы, стала причиной большого количества работ, в которых эволюция кластеров исследовалось численными методами. К настоящему времени рост вычислительной мощности и развитие численных методов сделали возможным решение большого числа дифференциально-разностных уравнений Фаркаса-Беккера-Деринга (ФБД) без использования каких-либо дополнительных предположений. В тех случаях, когда число уравнений все же требует привлечения неоправданно больших вычислительных средств, существуют надежные разностные схемы сквозного счета, дифференциальноразностные уравнения и уравнения параболического типа в частных производных типа уравнения Фоккера-
1891
