Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов Текст научной статьи по специальности «Математика»

№1(21)2011

Г. М. Раимова

Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов

Статья посвящена различным способам понижения дисперсии оценки стоимости погодного опциона на примере модели на основе среднесуточной температуры.

Ключевые слова: погодные опционы, стохастическая модель, оценивание стоимости опционов, метод Монте-Карло, статистическое моделирование, уменьшение дисперсии.

1. Введение

Цены на традиционные базовые активы формируются под воздействием экономических, политических и локальных факторов, в большинстве случаев отражая потребности, ожидания и мнения людей. Однако есть еще один, неподвластный человеческому влиянию, важный фактор — погодные условия. По оценкам специалистов, погода, прямо или косвенно, воздействует на 70% всего мирового бизнеса. Именно стремление человека уменьшить зависимость финансовой сферы от стихии привело к возникновению и развитию погодных финансовых инструментов (см., например, (Бейден, Смирнова, 2006; Михайлова, 2003)), которые естественно называть контрактами на характер изменения погоды или просто погодными контрактами.

Разница между погодными контрактами и страхованием состоит в том, что второе предлагает защиту от редких событий, имеющих большой отрицательный эффект, а первые позволяют хеджировать от непрерывных (и потенциально небольших) изменений риск-факторов.

Изменения погоды влияют на цену некоторых активов не напрямую, а через спрос на этот товар. Сильнее всего этому эффекту подвержен энергетический сектор. Люди начинают обогревать свои дома потому, что становится холодно, а не потому, что электричество дешевое. Это подтверждают и статистические исследования: корреляция между температурой и ценой на товар не очень значительна, но если сопоставить объем продаж (спрос на товар) с температурой, то корреляция становится чувствительной. Погодные контракты чаще являются инструментом для хеджирования рисков объемов, чем ценовых рисков.

Целью настоящей работы является применение различных методов понижения дисперсии оценки стоимости погодного опциона и сравнительный анализ экспериментальных результатов. Работа построена следующим образом.

Во втором разделе приведен краткий анализ производных ценных бумаг на погоду, основная терминология, а также особенности и принципы ценообразования погодных фьючерсов и опционов. В третьем разделе дан краткий обзор существующих методов моделирования изменения температуры и определены этапы построения оценки стоимости погодного опциона. В четвертом разделе приводится базовая модель расчета стоимости погодного опциона, исследованная в статье (А1а1;оп ^ а1., 2002). В данной статье рассматривался подход

№1(21)2011

к ценообразованию на основе модели «возвращения к среднему», который адаптирован к процессу ценообразования на погодные финансовые инструменты. В пятом разделе для базовой модели приводятся основанные на методе Монте-Карло формулы для моделирования траектории процесса изменения среднесуточной температуры и строится соответствующая оценка стоимости погодного контракта. В шестом разделе рассматриваются различные способы понижения дисперсии оценки, такие как: метод выделения главной части, метод симметричных выборок и метод квазислучайных последовательностей.

В седьмом разделе обсуждаются особенности погодного опциона на зимний месяц. Так как в базовой модели рассматриваются изменения температуры в столице Швеции, учитывая климатические особенности Стокгольма в зимние месяцы, формулы для расчета можно упростить и получить приближенную формулу для стоимости опциона. Далее значения, полученные по упрощенным формулам, используются для проведения сравнительного анализа результатов вычислительного эксперимента. В восьмом разделе приведены результаты вычислительного эксперимента. Рассмотрены оценки стоимости опционов, полученные классическим методом Монте-Карло, оценки с использованием методов понижения дисперсии, и значения стоимости погодных опционов, полученные по приближенной формуле. В последнем разделе сделаны выводы по полученным численным результатам.

о

с

\о о

2. Основные погодные финансовые инструменты

■с К настоящему моменту стандартизированы несколько индексов, учитывающих те или

§. иные погодные факторы. Это стандартные температурные «индекс обогрева» HDD (Heat-

ing Degree Days) и «индекс охлаждения» CDD (Cooling Degree Days). Реже используются

1 индексы на другие погодные факторы: количество осадков (rainfall, precipitation), уровень

| осадков и толщина снежного покрова (snowfall, snow depth), относительная влажность (rela-

с tive humidity), скорость ветра и уровень охлаждения ветром (wind speed, wind chill). S

о о

По аналогии с другими финансовыми инструментами, погодные финансовые контракты | могут быть оформлены как опционы или фьючерсы: опционы страхуют от роста или падения температуры (или другого фактора), фьючерсы фиксируют прибыли и расходы сторон.

В

о

§ На биржах торгуются погодные фьючерсы и опционы call и put. Далее напомним основные | понятия, относящиеся к температурным погодным инструментам.

| Температура в k-ый день Tk определяется как среднее арифметическое между минималь-

о ной и максимальной температурой, зарегистрированной на метеостанции в данный день:

s &

s s

о а

<u

| Индексы HDD и CDD рассчитываются в предположении, что температура 65° по Фа-¡J ренгейту (18° по Цельсию) является границей между необходимостью обогрева или охлаж-| дения. Потребность в энергии на эти цели приблизительно пропорциональна отклонению § температуры от 65°F.

| Индексы HDD и CDD в k-ый день определяются по разнице между зафиксированной

тк = (тктях +ТГ )/2

температурой и 65°F. Если она положительна (отрицательна), то индекс CDD {HDD) в рас-8 сматриваемый день приравнивается к этой разнице (абсолютной величине разности), в про-о тивном случае он равен нулю:

№1(21)2011

CDDk = max(Tk - 65,ü), HDDk = max(б5-Tk,ü) . (1) 8

J

Индексы HDD и CDD за n дней (за период) определяются как сумма каждодневных ве- ^ личин: ^

n n

Cn =^CDDk, Hn =2HDDk ■ (2)

k=l k=l

Если температура измеряется в градусах Цельсия, то в качестве границы обычно принимается 18°С.

Указанные индексы являются основой для инструментов управления погодными рисками. Цены фьючерсного контракта, а также исполнения опциона выражаются в терминах индекса HDD или CDD за указанный период. Для установления расчетной цены по производному погодному инструменту (т. е. фактического значения индекса по истечении срока действия контракта) берутся официальные данные оговоренной в контракте метеорологической станции.

Выплата по фьючерсному контракту определяется, исходя из разницы между ценой, по которой контракт был заключен, и расчетной ценой, которая становится известной по истечении срока действия контракта. Эта разница умножается на оговоренную в контракте фиксированную ставку пересчета (т. е. стоимостную оценку единицы индекса). Таким образом, номинальная стоимость фьючерсного контракта равна его текущей цене, выраженной в единицах индекса HDD или CDD, умноженной на стоимостную оценку единицы индекса.

При заключении опционных контрактов оговариваются страйковая цена K и ставка пересчета р . Например, по опциону call на индекс HDD выплата % в день tn, следующий за днем исполнения, будет равна:

Х = {р- max (Hn - K, ü)}. (3)

Иногда оговаривается и ограничение на максимальную выплату MB , В этом случае выплата по опциону call на индекс HDD рассчитывается по формуле:

X = min {р • max (Hп - K, ü), MB}.

Стоимость же опциона будет равна ожидаемой величине выплаты, дисконтированной к дате расчета по банковской процентной ставке r. Основная математическая задача, возникающая при использовании погодных контрактов, состоит в оценивании справедливой стоимости опциона.

3. Ценообразование на основе моделирования погоды

Для прогнозирования изменения температуры обычно применяются эконометрические модели GARCH, ARFIMA, FBM, ARFIMA-FIGARCH, Bootstrap. Перечисленные модели позволяют отказаться от предположений о независимости волатильности от своих предыдущих значений и учесть их корреляционную зависимость. Существенной характеристикой, например, GARCH моделей является их свойство реагирования на любые наблюдае-

№1(21)2011

мые изменения соответствующего временного ряда и быстрое восстановление после сильных колебаний.

Среди факторов, влияющих на установление цены контракта на погоду, можно выделить прогнозируемый тренд изменений погоды на основе исторических данных о погоде с учетом сезонных колебаний. Кроме того, поскольку рынок погодных инструментов является производным рынком, он испытывает влияние со стороны других рынков. Действующие подходы (методы) ценообразования используют исторические погодные данные, на основе которых делается оценка вероятностей будущих прогнозных значений температуры. Общее описание метода, основанного на математическом моделировании погоды, выглядит так:

• сбор исторических данных о погоде;

• создание статистической модели погоды;

• моделирование возможных сценариев погоды в будущем (метод Монте-Карло);

• определение величины выплаты по опциону для каждого сценария;

• усреднение этих величин;

• дисконтирование к дате расчета.

4. Модель «возвращения к среднему» (mean reversing)

Существуют разные подходы к ценообразованию на основе моделирования погоды, в частности, модель «возвращения к среднему», используемая для оценки стоимости опционов ■с на ценные бумаги на основе процентных ставок, может быть применена к процессу цено-| образования на погодные финансовые инструменты, поскольку для температурных рядов ° не характерны резкие скачки значений (VanderMarck, 2000). В отличие от модели с процентов ными ставками, параметры задачи ценообразования погодных финансовых инструментов | определяются не по данным о соответствующих ликвидных инструментах (в связи с их от-с сутствием), а по историческим сведениям о погоде.

Далее изложим подход, который применяется в (Alaton et al., 2002) для построения сто-

Й

о

0

1 хастического процесса, описывающего изменение температуры. В этой статье рассматрива-

8 о

лись данные, соответствующие реальным изменениям температуры в столице Швеции. § Пусть Т{ означает среднесуточную температуру, а X — время, измеряемое в днях (X = 1,2,...,365). Хотя температура является непрерывной функцией от времени, при реше-

учитывающая общую тенденцию (линейный тренд) и сезонную характеристику:

Ttm = A + Bt + C sin (cat + (p). (4)

»

га

0

1 нии прикладных задач допускается подобная дискретизация. В качестве детерминирован-

^ ^ ^ ГТШ

о ной модели, описывающей среднюю климатическую температуру Т , используется модель, &

5 $

О

а ф с

0 $

Параметры модели А, Б, С, ю , (р оцениваются на основе многолетних статистических | наблюдений.

§ Пусть Т = х. Стохастическая модель, описывающая изменение среднесуточной темпе-| ратуры, имеет следующий вид:

^ \с1Тт ]

1 = рг+а^Тт ~Т)\л + X > ¿0 ■ (5)

(21)2011

Здесь Щ — стандартный вннеровскнй процесс; о{ — детерминированная ступенчатая функция, характеризующая квадратическую вариацию среднесуточной температуры ( о, | принимает постоянные значения в течение календарных месяцев). Температура не может <2 увеличиваться (или уменьшаться) в течение длительного периода времени. Следовательно, ^ стохастический процесс, описывающий изменение температуры, должен обладать так называемым свойством «возвращения к среднему»: температура имеет тенденцию возвращаться к определенному среднему климатическому уровню Т7- Данное свойство определяется детерминистским компонентом уравнения, величина которого зависит от расстояния между текущей температурой и среднеклиматическим уровнем. Параметр а характеризует скорость возвращения к среднему. Решение стохастического уравнения (5) имеет вид:

г

Т = (х - Т7 )е~а{^) +Т7 + / е~а('-г)от Щ.

На основании 40-летних статистических наблюдений температуры в Стокгольме были оценены параметры предложенной модели и получены следующие результаты. Детерминированная модель среднесуточной температуры:

sini—t - 2.011 ^ 365 )

Tm = 5.97 + 6.57 -10"51 + 10.4sin|— t - 2.011 (6)

и оценки параметров:

a = 0-237, a_ = 3.41, a^ = 2.97, a^ = 2.29, aanp = 1.98, а^ = 2.00, ^= 1-96, a_ = 1.69, a_ = 1.60, aceB = 1.85, aояя = 2.38, авояб = 2.62, adex = 3.30. (7)

Для так называемых безарбитражных рынков проблема их «полноты» допускает вполне исчерпывающее решение в терминах единственности мартингальных мер (Ширяев, 1998). Рынок для погодных контрактов — типичный пример неполного рынка. Сложность ценообразования погодных контрактов заключается в том, что торговля самим базовым активом просто невозможна. Кроме того, рынок погодных инструментов является производным, и он испытывает влияние со стороны других рынков. Для решения проблемы «полноты» рынка в модель, рассматриваемую в (Alaton et al., 2002), вводится дополнительный параметр X :

\dTm ]

dTt = |-d^ + a(Ttm -Tt) -to Ldt + оtdVt. (8)

Параметр X называется рыночной ценой риска. Здесь (Vt, t > 0) — Q-винеровский процесс, Q — мартингальная мера, характеризуемая рыночной ценой риска X . Пусть Ft — ст-алгебра, описывающая предысторию процесса, определяемого уравнением (8), до момента t включительно (события из Ft интерпретируются как «информация», доступная наблюдению до момента t включительно). Тогда на момент времени t стоимости опционов call ж put на индекс HDD будут равны соответственно (tn — последний день контракта)

c(t) = e~"(~f>Eq [max {Hn - K, 0}| Ft ] и p(t) = e"r>EQ [max {K - Hn, 0}| Ft ],

№1(21)2011

где для подсчета Нп по формулам (1) и (2) в качестве Тк берутся значения, полученные из решения уравнения (8). Здесь и далее для простоты считаем, что ставка пересчета р = 1.

5. Моделирование возможных сценариев погоды по методу Монте-Карло

В численных приложениях финансовой математики, в частности, при вычислении стоимости опционов, метод Монте-Карло является одним из основных (Boyle et al., 1997; Glasser-man, 2003; Niederreiter, 1992; Richard et al., 2004). Моделирование температуры методом Монте-Карло основано на дискретизации уравнения (8):

T = Tm _ j + aj + (1 _ a )T - ^ ; + a j j,

(9)

где } — последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Далее в расчетах для моделирования стандартного нормального распределения используется следующий способ (Ермаков, Михайлов, 1982). Пусть а1, а2 — две независимые реализации случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; 1). Тогда две независимые реализации стандартно нормально распределенной случайной величины можно представить в следующем виде:

о о t о s ас о X

s ?

о IS

Й

о

о §

s

в

о s s t

w

Щ

s t

Ф

ао s

s s о a ф ts

0 s

4 «

!

1 t О IS

\o о о о

IS

о

= ^-2 In a1 sin (2ла2 ), |2 = y]—2 In a1 cos (2ла2 ).

(10)

По формуле (9) моделируются N независимых траекторий возможных сценариев изменения температуры. На рисунке 1 приведены графики среднесуточной температуры, определенной по формуле (6), и одной траектории возможной среднесуточной температуры, смоделированной по формуле (9).

30

25

20

о 15

10

ей 5

&

Ю С 0

s

ю н -5

-10

-15

-20

у

TfcM

50 100 150 200 250 300 350

время (в днях)

400

- среднесуточная температура - моделируемая траектория

Рис. 1. Графики среднесуточной температуры

0

№1(21)2011

Далее определяются величины выплат по опциону для каждого сценария. Например, выплата по опциону call на индекс HDD определяется как |

n S

X=max{Hn-K,0}, где Hn = Jmax{18-T,0} . (11) J

i=1

Выплаты усредняются и дисконтируются к дате расчета:

-r (t„ -t) N

т = Чг 2 хi • (12)

i=1

Естественно, что является несмещенной оценкой для стоимости рассматриваемого опциона.

6. Способы понижения дисперсии оценки

Уменьшение дисперсии оценок, полученных по методу Монте-Карло, является важной задачей, т. к. это позволяет повысить эффективность вычислений. Общая теория снижения дисперсии в методе Монте-Карло приведена в монографии (Ермаков, Михайлов, 1982). В работах (Acworth et al., 1997; Boyle et al., 1997; Joy et al., 1996) различные методы понижения дисперсии использованы при оценивании стоимости производных ценных бумаг. В данном разделе предпринята попытка применения подобных методов к погодным производным инструментам. Далее рассмотрим некоторые возможные способы уменьшения дисперсии.

6.1. Метод выделения главной части (control variâtes)

С учетом формул (8) и (9) можно взять в качестве базовой величины стоимость опциона, определенную по средней температуре Tm . Выделим главную часть на основании средней температуры по региону T™■ Ежедневную среднесуточную температуру представим как сумму T = Tm + Ati. Значение Hn, вычисленное на основании средней температуры T™, обозна-

n

чим через H "m = ^ max { 18 — T,m, С)}, а выплату по опциону как %m =max { H "m — K, С)}. По-

i=i

скольку имеет место равенство

n n n

Hn =2 max {18-T,, 0} max {l8-Tm, 0} + AHn = ^ , bHn ,

i=1 i=1 i=1

-At,, если 18 > Tm и At, <18 -Tm ;

-(18-Tm), если 18 >Tm и Ati >18-Tm;

0, если 18 < Tm и Ati >18-Tm;

18-T, если 18 <Tm и At <18-T"

где а,. =

i

то далее достаточно исследовать величину AHn.

№1(21)2011

Выплату по опциону можно представить в виде суммы выплат по средней температуре и АХ : х = Хт + &Х =тах { Щ - К, 0} + Лх , где

ЬНп, 0,

нт+ ДН„ - K,

если Щ > K; если Нт < K и если Нт < K и

нт + АНп < K ; нт + АН,, > K.

Далее Ах оценивается по методу Монте-Карло. При этом заметим, что, в отличие от оценки (12), методом Монте-Карло оцениваются приращения Ах, которые имеют малые (относительно х) значения. Стоимость опциона будет равна усредненному значению выплат, дисконтированному к моменту оценивания. Поэтому можно ожидать снижения дисперсии оценки.

о

6.2. Метод симметричных выборок (antithetic variâtes)

Метод симметричных выборок является одним из самых простых и наиболее популярных методов понижения дисперсии. Идея метода основана на следующем очевидном факте: если случайная величина е имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина —£ также будет стандартно нормальна. Пусть выплата % по опциону call на индекс HDD определяется по формуле (11), а среднесуточная температура моделируется по форму-re ле (9). В выражении (9) заменим Ej на и получим новую траекторию, выплаты по кото-§. рой обозначим через %. Величины % имеют одинаковое распределение и являются He's смещенными оценками выплаты по опциону. Данный метод позволяет без дополнительных £ вычислительных затрат удвоить объем моделируемых данных, поэтому при его применении | можно ожидать снижения дисперсии за счет увеличения количества усредняемых величин, с В качестве несмещенной оценки стоимости опциона возьмем усредненное значение, т. е. £ среднее арифметическое значений выплат % и %, дисконтированное к моменту оценива-

1 «Г-*> Л Xt +х,

€ X ' X

ния. В этом случае формула (12) имеет вид с({) =-У—■-'- . При помощи неслож-

^ /=1 2

ных рассуждений можно убедиться, что имеет место неравенство:

Var

'%,+ X х

<

Var(х,)-

S.

в

о , х -х , V , ^ V , N

| 1=1

t

W Щ

s

t

ф

ао

5

6 v - / S

S о а ф

§ 6.3. Квазислучайные последовательности

ч «

| Техника использования в методах Монте-Карло детерминированных последовательно-

§ стей вместо случайных приводит к квази Монте-Карло методам. Эти детерминированные

| последовательности (квазислучайные последовательности) более равномерно рассеяны

3 в рассматриваемых областях, чем случайные последовательности. Использование таких по-

§ следовательностей позволяет улучшить скорость сходимости оценок. Количественной ме-

о рой качества квазислучайных последовательностей служит так называемое отклонение (dis-

10J

№1(21)2011

crepancy) последовательности (см., например, (Соболь, 1973; Кейперс, Нидеррейтер, 1985)). | Примером последовательностей с «хорошим» равномерным распределением (low-discrepan- | су sequences) могут служить последовательности Холтона, Соболя, Нидеррейтера, Коробо- fi ва (Niederreiter, 1992). В настоящей работе в качестве квазислучайной последовательности ^ использована последовательность Коробова (см., например, (L'Ecuyer, Lemieux, 2000)). Для получения последовательности (длины т) равномерно распределенных по Коробову точек пространства размерности d используется следующая формула:

Pm ={m(1,a,a2,...,ad~l )mod 1, i = 0,1,...,m-1J .

Здесь a — целое число, взаимно простое с т .

Так как для моделирования одной возможной траектории по формуле (9) требуется n независимых реализаций величины, имеющей стандартное нормальное распределение, то, согласно формулам (10), необходимо n независимых реализаций случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; 1). Поэтому для моделирования одной траектории среднесуточной температуры необходима случайная точка единичного куба пространства размерности n (d = n), а для усреднения выплат по N траекториям необходима квазислу-чайнаяпоследовательностьдлины N (т = N).

Далее был произведен вычислительный эксперимент, построена оценка по методу Монте-Карло и применены три метода понижения дисперсии. В разделе 8 для сравнительного анализа приведены численные значения стоимости опциона на зимний месяц по модели «возвращения к среднему». Эти значения получены с учетом климатических особенностей по формулам, приведенным в разделе 7.

7. Стоимость погодного опциона на зимний месяц

Так как в базовой модели рассматриваются изменения температуры в столице Швеции, учитывая климатические особенности Стокгольма в зимние месяцы, формулы для расчета можно упростить и получить приближенную формулу для стоимости опциона. Можно предположить, что в зимние месяцы в Стокгольме температура не выше 18°С, т. е. вероятность события max {18 — Tt, 0} = 0 ничтожно мала. Следовательно

n n

Hn = 2 HDD =18n-2T.

k=1 i=1

Пусть [t1; tn ] —месяц, на который определен опцион, где t1 и tn —первый и последний дни месяца, t — время заключения контракта и, следовательно, момент оценивания стоимости опциона, t < t1. Значение квадратической вариации, соответствующее месяцу оценивания, обозначим через ор значение в контрактный месяц обозначим через ог При вышеуказанном предположении можно показать (Alaton et al., 2002), что Hn имеет нормальное распределение N (jun; дп):

n

Vn = EQ[ Hn\Ft ] = 18n-2 EQ

i=1

T \F

K\ t '

№1(21)2011

Ee\T\Ft! = (Tt-Tm)e~a{s"') +Tm — — (о, -a,> e~a{s^ l j v / ay 3 ' a a

T \F

t t

+ 2^Cov

i<i

Var

¿2 =Var[ Hn\Ft y^Var

1=1

Cov[Ts, Tu\Ft ] = e-a{u-sVar\T\Ft ], IT \F 1 = — (a2 - a2 )е"2^ > - ^ e~2a{s^

L ^ О 2^ 1 J' 2a

T T

t, '-11,

F

, 0 < t < s < и,

2a 2a

при этом Tm берется из формулы (6), а значения параметров — из формулы (7).

Стоимость опциона call на индекс HDD можно определить по следующей формуле:

/ 2 ^ c(t ) = e"' ( ^} EQ[ max {Нп - К, 0}\Ft ] = e"' - К )ф(-«я ) + -j2=

(13)

где an =(К — ¡лп )/ô„ и Ф означает функцию распределения стандартного нормального

Щ

о t о s ас о х

S ?

о IS

Й

о

о §

s

в

о s s t

w

Щ

s t

Ф

a-о s

s s

о a ф ts о s

4 «

!

!

t О IS

\o о о о IS

о

закона.

8. Результаты вычислительного эксперимента

На основе модели (8) с помощью метода Монте-Карло строится оценка стоимости погодного опциона call на индекс HDD. Для этого моделируются возможные сценарии погоды для контрактного месяца по формуле (9) и затем определяются выплаты по формуле (11). Далее выплаты усредняются и дисконтируются к дате расчета по формуле (12). Количество моделируемых траекторий N = 5000, дисконтирование производится по ставке r = 0.03. При этом рыночная цена риска X считается равной 0.08.

Рассмотрим опционы со следующими характеристиками, приведенными в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики опционов

Параметры Опцион I Опцион II Опцион III

Метеостанция Аэропорт Аэропорт Аэропорт

Индекс HDD HDD HDD

Тип call call call

Период Февраль 2009 Февраль 2009 Февраль 2009

Страйковая цена 525 510 520

Макс, выплаты 200 200 200

n

2

№1(21)2011

В таблице 2 приведены основные результаты эксперимента. Таблица 2. Результаты расчетов

Опцион I Опцион II Опцион III

Стоимость опциона по формуле (13),/ 19.3943 22.2987 20.3657

Метод Монте-Карло

Оценка опциона, зх sig3 Ошибка] / — зх| 19.5282 0.4145 0.1339 21.4622 0.4115 0.8365 20.0572 0.4133 0.3085

Метод выделения главной части

Оценка опциона, зх sig3 Ошибка / - ях\ 19.7696 0.3753 0.4621 21.9814 0.4677 0.3173 20.4068 0.4633 0.0412

Метод симметричных выборок

Оценка опциона, зх sig3 Ошибка] / — зх| 19.3937 0.0255 0.0006 21.6804 0.0543 0.6183 20.1767 0.0349 0.1890

Метод квази Монте-Карло

Оценка опциона, зх sig3 Ошибка] / — зх| 19.5501 0.3267 0.1558 21.9387 0.3261 0.3600 20.3491 0.3268 0.0166

Примечание, sig3 = 3>/Бях / N (Бях— выборочная дисперсия оценки), т. е. |с(Г) — < sig3 —доверительный интервал для оценки («правило трех сигм»).

На рисунке 2 приведена динамика построенных для опциона I оценок при изменении количества моделируемых траекторий N.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

оценка по формуле (13) —°— оценка метода Монте-Карло

—Д— применение метода выделения главной части —•— применение метода квази Монте-Карло

—°— применение метода симметричных выборок

Рис. 2. Динамика оценок стоимости опциона по N

№1(21)2011

На следующем рисунке приведена динамика значений sig3 для опциона I при изменении количества моделируемых траекторий.

N

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

метод Монте-Карло метод квази Монте-Карло

метод выделения главной части метод симметричных выборок

о о t о S

ас

о £

! о 15

Й

о

о §

S

в

0 S S

1

<0 Щ

S

I

ф

а о

5

6

5 S о а ф с

0 S

4

«

5

1

t О С

\о о о о с о

Рис. 3. Динамика по N значений sig3

9. Заключение

В настоящей работе предпринята попытка применения различных методов понижения дисперсии при оценивании стоимости погодных опционов на примере опциона call на индекс HDD.

При этом в качестве базовой использовалась модель на основе моделирования среднесуточной температуры из работы (Alaton et al., 2002). Результаты вычислительного эксперимента показали, что среди трех рассмотренных способов понижения дисперсии наилучшим оказался метод симметричных выборок. Недостаточная эффективность метода квазислучайных последовательностей объясняется большим значением конструктивной размерности алгоритма, т. е. чем больше величина размерности, тем хуже «качество» квазислучайных последовательностей. Наихудшим из рассмотренных методов оказался метод выделения главной части. Как видно из табл. 2 и рис. 3, результаты вычислений здесь хуже, чем результаты применения метода Монте-Карло (без понижения дисперсии). Это объясняется большим разбросом значений AHn.

Автор выражает глубокую благодарность проф. Э. Л. Пресману за замечания и советы, способствовавшиеулучшениюработы.

Список литературы

Бейден С., Смирнова Н. (2006). Погодные деривативы в электроэнергетике. ЭнергоРынок, 3. Ермаков С. М., Михайлов А. Г. (1982). Статистическоемоделирование. М.: Наука.

№1(21)2011

Кейперс Л., Нидеррейтер Г. (1985). Равномерноераспределение последовательностей. М.: Наука.

Михайлова П. А. (2003). Сколько стоит вчерашний снег: Экзотические фьючерсы — настоящее и будущее. Банковское обозрение, июль.

Ширяев А. Н. (1998). Основы стохастической финансовойматематики. Т. 2. М.: ФАЗИС.

Acworth P., Broadie M., Glasserman P. (1997). A comparison of some Monte Carlo and quasi Monte Carlo methods for option pricing. In: Monte Carlo and quasi-Monte Carlo method for scientific computing. N. Y. : Springer-Verlag.

Alaton P., Djehiche В., Stillberger D. (2002). On modeling and pricing weather derivatives. Applied MathematicalFinance, 9 (1), 1-20.

Boyle P., Broadie M., Glasserman P. (1997). Monte Carlo methods for security pricing. Journal ofEco-nomicDynamics and Control, 21 (8-9), 1267-1321.

Glasserman P. (2003). Monte Carlo methods infinancial engineering. Series: Stochastic Modelling and AppliedProbability, 53. Springer.

Joy C., Boyle P. P., Tan K. S. (1996). Quasi-Monte Carlo methods in numerical finance. Management Science, 42, 926-938.

L'Ecuyer P, Lemieux C. (2000). Variance reduction via lattice rules. Management Science, 46,

Niederreiter H. (1992). Random numbergeneration and quasi-Monte Carlo methods. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 63. Philadelphia, SIAM.

Richard T. J., Manfredo M. R., Sanders D. R. (2004). Pricing weather derivatives. American Journal of AgriculturalEconomics, 86 (4), 1005-1017.

VanderMarck P. (2000). Dealing with data. Weather Risk. Special Risk Professional Supplement. Risk Professional, 2/9 November.

QQ

Соболь И. M. (1973). Численныеметоды Монте-Карло. M.: Наука.

О. !§ С

1214-1235.