CC BY
170
УДК 629.7.017.2
СПОСОБ ТЕРМИНАЛЬНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ НА УЧАСТКЕ СПУСКА В АТМОСФЕРЕ
Н.Я. ПОЛОВИНЧУК, В.Н. ТАРАН
Предложен способ решения задачи терминального оптимального управления летательным аппаратом на участке спуска в атмосфере в условиях неопределенности его управляющей функции, включающий синтез терминального оптимального управления на основе обобщенной модели движения и коррекцию реального движения летательного аппарата для приближения к модельному оптимальному.
Ключевые слова: летательный аппарат, терминальное оптимальное управление, атмосфера.
Решение задачи терминального оптимального управления маневрирующим в атмосфере летательным аппаратом (ЛА) является наиболее эффективным при реализации принципа текущего итерационного программирования [2], который предполагает формирование в процессе движения ЛА оптимального управления на основе информации о модели объекта, о его текущем состоянии, о заданных терминальных условиях и минимизируемом функционале. Однако такое управляемое движение ЛА характеризуется широкой областью состояний и управлений и модель объекта не может быть сформирована точно. В основном это связано с трудностями формализации влияния управления на его динамику, в условиях изменения аэродинамических характеристик ЛА. В этом случае неадекватность реальному движению принятой для синтеза управления упрощенной модели приводит к движению ЛА по неоптимальной траектории.
В связи с этим представляет интерес разработка способов и алгоритмов терминального управления при решения задачи оптимизации на основе близких к реальному движению ЛА обобщенных моделей.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение аэродинамически управляемого ЛА в атмосфере, описываемое в скоростной системе координат дифференциальными уравнениями [1]
V = -с^т-2(И)зтв,
2т
в = Су (а)С05Гс $т~^---------+
2т
Я + И V ,
соэв, (1)
, ч „ р(И) V V
у = су(а)81пус Ьт—--------------------созвсоэ^ап хь,
у с т 2т соэв Я + И Г Ль
V V ■
Ср =--------соэвсоэу, Хь =--------соэвэ1пу, И = Vэ1пв,
Я0 + И Я0 + И
где V, в, у, Хь, Хр, И - траекторные переменные; $,т - характерная площадь ЛА; р(И) - плотность атмосферы; т - масса ЛА; ^(И)- ускорение силы земного притяжения; Я0 - радиус Земли; с х, с у (а) - аэродинамические коэффициенты; а,ус - угол атаки и угол крена, под которыми понимаются управляющие воздействия (управление).
Заметим, что при значительных углах атаки существенную неопределенность имеет аэродинамический коэффициент Су (а). В связи с этим представим его как неизвестную функцию и
сформируем обобщенное управление (управляющую функцию) в виде
и (а,Ус) = 1 0 и1 (а, у с) и 2 (а,у с) \Т, (2)
где u1 (a,gc ) = cy (a) cos gc ; u2 (a,gc ) = cy (a) sin gc; T - знак транспонирования. Функция сy (a) и угол крена gc определяются зависимостями
cy (a) = sign (u 1 )д/ uj + u2,, gc = arctan —.
uj
Представим систему уравнений (1) в общем виде
X = f (x, t) + j(x, t) u(v), (3)
T
V О y Cb C h - вектор состояния ЛА; u - обобщенное управление;
где х =
V = I а ус\Т - вектор управления; / - известная нелинейная непрерывная, дифференцируемая
' Р
по X векторная функция размером 6; р - известная нелинейная непрерывная, дифференцируемая по X матричная функция размером 6 X 3.
Сформулируем задачу синтеза терминального оптимального управления ЛА (динамическим объектом).
Полагая, что модель движения объекта известна с точностью до управляющей функции, представим ее в виде
хт = Д хт, 0 + Р(хт , 0 ит (t), (4)
где Хт - модельный вектор состояния, а ит (X) - модельное обобщенное управление.
Решаемой задаче соответствуют терминальное условие и минимизируемый функционал соответственно в форме
Я(хт, хк ) = 0, (5)
хк
| Р(хт, ит, Х) &, (6)
х0
где (5) - гиперповерхность в пространстве состояний; Я(хт, Хк )- непрерывная, дифференцируемая по хт векторная функция размером 6; Р(хт, ит, X)- в общем случае нелинейная
дважды дифференцируемая по хт и ит функция; 1о, Хк - моменты времени соответственно
начала и окончания управления.
Условия (5) и (6) более удобно представить в форме обобщенного функционала
хк
^о = б ( хт , Хк ) + | Р(хт , ит , Х) ^, (7)
х0
где б (хт, ) - квадратичная форма невязки по терминальному условию.
Задачу оптимального управления динамическим объектом (3) целесообразно представить как двухэтапную, причем на первом этапе - поиск оптимального обобщенного управления
и°т (X), удовлетворяющего на решениях (4) условию минимума функционала (7), а на втором
этапе - формирование управления V (X) с целью приближения (подстройки) реального про-
цесса (3) к модельному (4).
Задача первого этапа может быть решена одним из известных методов синтеза, например, [2, 3, 4, 5], позволяющим найти оптимальное управление
и°т (Х) : Я ( хт , Хк ) £ЕЯ , ® Іnf, (3), хт (Х0) = хт 0, 1 £ [X0, Хк Ь ит ^,
где Б$ - допустимая погрешность выполнения терминального условия; и - заданная ограниченная область в пространстве управляющей функции.
2. Способ коррекции обобщенного управления. Рассмотрим задачу второго этапа в общей постановке. Предположим, что параметры движения (состояние) динамического объекта (3) точно измеряемы или вычисляемы. Тогда на основании модели (4) может быть вычислено текущее значение обобщенного управления
и (X) = р~! (х, X)[ х(Х) - /( х, X)], (8)
и, соответственно, отклонение от него модельного оптимального, т. е.
Аи(г) = и0т (X) - и(X). (9)
Определим связь между приращениями Аи и А\ с помощью аппроксимирующего оператора uv , т.е. Аи » иv Аv или
А~~ = и-1 Аи, (10)
где АЪ - приближенное значение приращения управления.
В этом случае требуемое приращение управления для начального момента времени ^ определится выражением (10), а сформированное на его основе в процессе движения объекта суммарное (интегральное) управление выражением
~ ]=п -1
) = ЕиV Аи ), (11)
] =0
где j - номер шага решения задачи подстройки управления.
В том случае, когда в момент времени 10 система двигалась с управлением V (/0 ) = Vо, общее управление примет вид
~ j=п -1
~ (Xn ) = v0 + Е и vАu(Xj ). (12)
j=0
Реализация управления (12) приведет к ликвидации рассогласования между модельным оптимальным и измеряемым обобщенными управлениями и, как следствие, к ликвидации рассогласования между процессами (3) и (4), т.е. приведет к движению системы по оптимальной траектории.
3. Методика решения задачи второго этапа управления ЛА. По результатам решения модельной задачи первого этапа находится оптимальное значение угла крена
= аг^ап , (13)
и1т
при реализации которого в процессе движения ЛА обобщенное управление и будет отличаться от оптимального модельного ит0 на величину Аи , определяемую отклонением функции
с у (а) от оптимальной модельной с° , которая, в свою очередь, определена зависимостью
У Ут
с°ут = (и1т )л1 (и1т )2 + (и2т )2 .
Предположим, что функция с у (а) приближенно определена в окрестности малых значе-
ний угла атаки, т.е. сy (a) » c^fa, где c<a - известный коэффициент аэродинамической подъемной силы. Тогда компоненты обобщенного управления (2) могут быть представлены в виде
uj(a,gc)» c<aacos gc, u2(a,gc)»c°aasin gc. (14)
В этом случае связь между приращениями Du1 и Da определится с помощью аппроксимирующего оператора ua = c<a cos gOm, т е. Duj » UaDa или
Da=u-aJAUl, (15)
где Da- приближенное значение приращения угла атаки.
Таким образом, при наличии рассогласования
D u1 (t0 ) = u1m (t0 ) - u1 (t0 ) требуемое приращение управления определится выражением (15), а сформированное на его основе суммарное (интегральное) управление выражением
~ j=n -1
as (tn) = ao + X uv Du(tj), (16)
j=o
где ao = a (to )- начальное управление.
Проведем оценку эффективности предложенного способа управления ЛА в атмосфере на примере.
4. Пример. Моделировалось управляемое продольное движение спускаемого крылатого ЛА с высоким аэродинамическим качеством при начальных условиях
V(t0) = 3200 м / c; h (t0) = 28000м; 0(t0) = 0,45 рад; %р (t0) = 0.
Реальная управляющая функция определяется зависимостью
cy (a) = c0a + c1 sign (a) a ,
а значение аппроксимирующего оператора ua выбрано равным c0 .
Для оценки эффективности способа процедура синтеза оптимального обобщенного управления существенного интереса не представляла, поэтому оно выбрано в виде
о /+\__г] с - 0,02 X
ит V ) = 0,5^ .
Решение задачи управления ЛА с шагом интегрирования 0,05с проведено для различных интервалов А Xp пересчета программы управления с регистрацией рассогласований между опти-
мальным модельным и корректируемым движениями ЛА по сферической дальности А1 и высоте полетаАк на конец интервала пересчета. На первом интервале пересчета (а0 = 0) при значениях АXp = 1с и АXр = 5с получены следующие рассогласования дальности и высоты полета АI = 3,42 м, А к = 2,48 м; АI = 9,29 м, А к = 6,62 м.
На втором интервале пересчета начальное управление а0 отличалось от полученного на
первом интервале на величину 0.1. Это соответствует предельно возможной ошибке коррекции движения ЛА на первом интервале, обусловленной переходным процессом. На втором интервале пересчета для значения А1 р = 1с и А Xр = 5 с получены следующие рассогласования
АI =1,29 м, А к = 0,57 м; АI =1,71 м, А к = 0,96 м.
Переходные процессы в ходе коррекции движения ЛА имеют апериодический характер и их длительности не превышают значения 0,2 с. Динамика снятия невязок по высоте А к и дальности АI, вызванных отклонением начальных условий до момента начала управления, показана на рис. 1.
АЬ, Д1
Рис. 1. Процесс снятия невязок по дальности и высоте для А Xp = 5 с
Полученные результаты показывают, что использование предложенного способа в рамках принципа текущего итерационного программирования (терминального управления) [2] позволяет эффективно решать задачу оптимального управления ЛА в условиях существенной неопределенности его управляющей функции. При этом реализация способа подстройки обобщенного управления в виде бортового алгоритма позволяет увеличивать интервалы пересчета программы управления без существенного ухудшения точности решения задачи управления ЛА, что в свою очередь снижает требования к вычислительным характеристикам бортовых ЭВМ при разработке терминальных систем управления ЛА.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреевский В. В. Динамика спуска космических аппаратов на Землю. - М., 1970.
2. Бородовский В.Н., Лавров В.Н. Терминальное управление на атмосферном участке выведения // Сб. РК-техника, 1973. - Сер. 5. - Вып. 7(9).
3. Таран В. Н. Максимально правдоподобная оценка состояния оптимально управляемой системы // Автоматика и телемеханика. - 1991. - № 8.
4. Таран В.Н., Трофименко В.Н. Синтез оптимального алгоритма угловой стабилизации методом прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 5.
5. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982.
METHOD OF TERMINAL OPTIMAL STEERING OF A FLYING VEHICLE ON AN ATMOSPHERIC DESCENDING SECTION
Polovinchuk N.Y., Taran V.N.
A method of terminal optimal steering of a flying vehicle on descending section in atmosphere within its main function uncertainty, including terminal optimal steering synthesis based on a generalized model of movement and real movement correction of a flying vehicle for approximation to a model optimal, is developed in this paper.
Key words: aircraft, terminal optimal control, atmosphere.
Сведения об авторах
Половинчук Николай Яковлевич, 1949 г.р., окончил РВИ РВ (1975), кандидат технических наук, профессор, доцент кафедры АЭРПО Ростовского филиала МГТУ ГА, автор 84 научных работ, область научных интересов - динамика полета и управление движением летательных аппаратов.
Таран Владимир Николаевич, 1951 г.р., окончил РВИ РВ (1975), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой АЭС и ПНК Ростовского филиала МГТУ ГА, автор 200 научных работ, область научных интересов - управление движением летательных аппаратов, обработка информации, математическое моделирование явлений и процессов.
