Способ расчета показателя преломления анизотропных кристаллов Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Кореневский Н.А., Попечителев Е.П. Биотехнические системы медицинского назначения: учебник. Старый Оскол: ТНТ, 2013. 688 с.

4. Медицинские приборы: разработка и применение. М.: Медицинская книга, 2004. 720 с.

Тархов Николай Сергеевич, канд. техн. наук, доц., t-ni@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Давыдова Елена Алексеевна, студентка, dawilena@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

LASER TWO-WA VE SURGICAL DEVICES N.S. Tarhov, E.A. Davidova

The two-wave version of laser medical device is proposed.

Key words: laser radiation , surgical device, diode lasers , the dissection of tissues , coagulation.

Tarhov Nikolay Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, t-ni@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Davidova Elena Alekseevna, student, dawilena@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.378

СПОСОБ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛОВ

В. А. Смирнов, О.В. Шуваева

Рассмотрен способ расчета показателя преломления для анизотропных кристаллов при произвольной ориентации оптических осей кристалла. Получено аналитическое выражение для инженерного расчета показателя преломления анизотропного кристалла в общем случае двухосного кристалла.

Ключевые слова: анизотропный оптический кристалл, показатель преломления, инженерный расчет.

Электрически активные кристаллы, такие, как KDP, LiNbOз и.т.п., являются перспективным материалом для построения устройств управления оптическим лучом. При приложении к таким кристаллам электрического напряжения они являются оптически двухосными, и расчет прохождения оптического луча через такие кристаллы весьма сложен. В классических учебниках по оптике [1], [2], [3], [6] для расчета преломления луча в анизотропных средах рассматривается графоаналитический метод на осно-

236

ве построения эллипсоида показателя преломления. Данный метод нагляден, но простое построение обеспечивается только для одноосных кристаллов. Кроме того, такой расчет показателя преломления не отличается удобством и точностью. Математическая модель для расчета распространения света в одноосных кристаллах детально рассмотрена в работе [4]. Данная модель хорошо подходит для задач визуализации в компьютерной графике, но в связи со своей сложностью она обладает малой наглядностью и ее сложно применять для инженерных расчетов оптических приборов. В монографии [7] показан общий способ решения задачи о прохождении света через двухосные кристаллы, но конкретных вычислительных формул для определения коэффициентов преломления лучей нет. В работе [8] получены простые формулы для определения коэффициента преломления и угла преломления в одноосных кристаллах, двухосные кристаллы подробно не рассматриваются. В настоящей работе получены простые аналитические формулы для расчета направления преломленного луча при падении на границу с анизотропной средой, пригодные как для одноосных, так и для двухосных кристаллов.

В случае распространения плоской гармонической волны в немагнитном диэлектрическом кристалле уравнения Максвелла можно привести к виду [2]

—» —► —►

- - п - - - V к х Е = -Н , к хН = —В, к ■ В = 0, к ■ И = 0, (1)

с с

где V - круговая частота электромагнитной волны; к - волновой вектор; Е - вектор электрического поля; И - вектор магнитного поля; В - вектор электрической индукции.

Связь с электромагнитными свойствами среды в рассматриваемом случае определяется одним материальным уравнением

В = с Е, (2)

где с - тензор диэлектрической проницаемости среды.

Из уравнений (1) и (2) можно получить уравнение нормалей Френеля [1]

2 т 2 2

тх ту т2

1 1

_х_+_-¿и_+__=о, (3)

/ Л / Л / Л

Л___1_

2 2 V пх п у

11

22 \ПЛ, п V у у

22 V пг п у

где пх, Пу, п2 - показатели преломления вдоль главных оптических осей

кристалла; тх, ту, т2 - проекции единичного вектора т, направленного

вдоль вектора световой волны, на оси системы координат, связанной с главными оптическими осями кристалла.

Уравнение (3) позволяет рассчитать коэффициент преломления п для любого направления т в кристалле.

237

Для решения уравнения (3) введем замену переменных:

1

2

V,

где I = х, у, 2 или отсутствует,

Штт 2

т

+

у

т.

Ух - V Уу - V Уг - V

= 0.

(4)

Решая уравнение (4) относительно переменной V, получим два ре-

шения:

= ^у + Уz )тх2 + ( Vx + Уz )ту2 + V + Vy )т22 ±

2

± 1 2'

[^ + Vz )тх2 + V + Vz )ту2 + V + Vv )т2 2]2

(5)

- 4[^тх2 + VxVzmy 2 + VxVymz 2].

у 2"1х 1 г х 2"1у 1 г ху у 2 Два решения уравнения (5) соответствуют двум линейно поляризованным волнам с взаимно перпендикулярными направлениями вектора В. Вводя обратную замену переменных, найдем

2 1 1,2,1 1 \ 2/1 1 ч 2 I

~2 = (— + — )тх + (— + — )ту2 + (— + — т2 ±

п

п

у

п

2

п

2

х

п

2у

п

2

х

п

2

у

±

1 1ч2/1 1 ч 2 / 1 ^ч 2п2

у + ^)тх + (— + ~2)ту1 + (— + — т 2]2

п

у

- 4[-

п

12

22х

п

п

2

т у 2 +

п

2

п

2

у

1

(6)

Пу П2

22у

пх п2

2 2" пх п у

т2 Ч.

Рассмотрим систему координат ОгХгУ^г , связанную с плоскостью раздела двух сред. Пусть центр Ог находится в точке падения луча, ось ОгХг направлена по нормали к плоскости раздела сред в глубь анизотропной среды, ось ОгУг образована пересечением плоскости раздела сред с плоскостью падения, ось OrZr дополняет систему координат до правой (рисунок).

Положение оптических осей в выбранной системе координат можно задать матрицей направляющих косинусов:

ап а12 а13

А = а21 а22 а23 . (7)

_а31 а32 а33 _

Отметим, что матрица А характеризует направление шлифовки кристалла.

2

2

Преломление луча в кристалле

В этом случае вектор т, заданный в системе координат, связанной с оптическими осями кристалла, в системе координат ОгХг1г1г примет вид

тг = Ат . (8)

Система координат Ог X г ^г ^ г

выбрана таким образом, что единичный вектор падающего луча можно задать направляющими косинусами:

1гг

mrz = 0.

m°x = cos a, m° = sin a.

(9)

Для каждого из двух полученных в соответствии с (6) коэффициентов преломления справедлив закон преломления

д1па = пт (10)

БШР По

где а - угол падения; Ь - угол преломления; по - показатель преломления первой среды; п(т) - показатель преломления анизотропной среды, зависящий от направления луча по отношению к оптическим осям кристалла.

Из формулы (9) и рисунка можно определить направление распространения преломленного луча в системе координат OrXrYrZr. Направляющие косинусы преломленного луча будут

^^Tyz — 0, mrx

i

i

n0 n(m)

\

2

sin a

m

ry

J

= По

n(m)

sin a.

(ii)

Учитывая (7), (8) и (10), получим уравнение для определения синуса угла преломления m^ = sin b:

2

т

гу

1 1

п

11

, .у = 2 + ^2)(«11д/1 - тгу + «12тгу)2 + (п0в1па) п1

2

у

г

+ (^у + ^у)(«21л/1 - тГу 2 + «22 тГу )2 +

22 Пх Пг

1 1 2 2 + (~"у 2)(аэ^1 - тГу + «32тГу ) ±

22 пх Пу

±

(^у + "^у)(«11^1 - тГу 2 + «12 тГу )

22 Пу ^

+

+ (^у + ~у)(«21 л/1 - тгу2 + «22 тгу )2 +

22 пх ^

+ (^у + "^у)(«3 - тгу 2 + «32тгу )

22 пх Пу

4

1

22 Пу Пг

22 («11 дД - тГу + «12 тГу ) +

1

22 Пх Пг

1

22 («21 - тГу + «22 тГу ) +

22 Пх Пу

22 («31 д/1 - тгу + «32тгу )

(12)

Уравнение (12) позволяет достаточно просто определить направление распространения двух преломленных лучей в анизотропной среде.

Список литературы

1. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика: учебник. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. 656 с.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. 2-е изд. / пер. с англ. М.: Наука, 1973. 720 с.

3. Годжаев Н.М. Оптика: учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

4. Дебелов В.А., Козлов Д.С. Локальная модель взаимодействия света с изотропными и одноосными прозрачными кристаллами // Вестник НГУ. Сер. Информационные технологии. 2012. Т. 10. Вып.1. С. 5 - 22.

240

2

2

2

5. Исследование формы изохром в коноскопических картинах одноосных кристаллов / А.И. Колесников, И. А. Каплунов, И.В. Талызин, Р.М. Гречишкин, С.Е. Ильяшенко // Успехи прикладной физики. 2013. Т. 1. №4. С.410 - 413.

6. Ландсберг Г.С. Оптика: учеб. пособие для вузов. 6-е изд. М.: Физматлит, 2003. 848 с.

7. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. Минск: Изд-во Академии наук БССР, 1958. 380 с.

8. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. М.: Мир, 1976. 261 с.

Смирнов Владимир Александрович, канд. техн. наук, доц., veld071@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Шуваева Ольга Вячеславовна, канд. техн. наук, доц., shuvaeva9@rambler.ru, Россия, Тульский государственный университет

THE METHOD OF CALCULATION OF ANISOTROPIC CRYSTAL REFRACTION INDEX

V.A. Smirnov, O. V. Shuvaeva

A method of calculation of anisotropic crystal refraction index for arbitrary optical axes orientation is proposed. The analytical formula for refraction index engineering calculation for two axes crystal is proposed

Key words: anisotropic optical crystal, refraction index, engineering calculation.

Smirnov Vladimir Alexandrovich, candidate of technical sciences, docent, veld0 71@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Shuvaeva Olga Vyacheslavovna, candidate of technical sciences, docent, shuvae-va9@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University