CC BY
5УДК 681.51+629.78.05
способ повышения производительности полигармонического метода расчёта частотных характеристик нелинейных динамических объектов и систем управления
© Белоногов О.Б., 2023
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070,
e-mail: post@rsce.ru
В статье рассматриваются новые полигармонические методы расчёта амплитудно-фазовых частотных характеристик нелинейных динамических объектов и систем управления с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время. Исследуется работоспособность этих новых полигармонических методов. Показывается, что при использовании комбинированного полигармонического метода, в котором одновременно осуществляется анализ достаточности постоянства средних значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник и анализ достаточности постоянства суммы их средних значений, нормированных номером гармоники, существенно сокращается машинное время вычисления частотных характеристик первой гармоники нелинейных динамических объектов. Разработанный новый комбинированный полигармонический метод может применяться в программах расчётов частотных характеристик нелинейных динамических объектов, регуляторов и следящих систем управления, а также для их спектрального анализа и идентификации их параметров. Метод также может найти применение при создании новых анализаторов частотных характеристик и анализаторов спектра.
Ключевые слова: полигармонические методы, частотные характеристики, нелинейные динамические объекты, системы управления.
EDN: YDCHVW
A METHOD FOR IMpROVING THE EFFICACY
of the polyharmonic technique for computing frequency response
OF NON-LINEAR dynamic OBJECTS
and control systems
Belonogov O.B.
S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin st, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, е-maü: post@rsce.ru
The paper discusses new polyharmonic techniques for computing amplitude-phase -frequency characteristics of non-linear dynamic objects and control systems within a specified computational error and a minimal amount of time.
It examines performance of these new polyharmonic techniques. It demonstrates that the use of a combined polyharmonic technique, which simultaneously analyzes sufficiency of the Fourier coefficients consistency for harmonics under study and sufficiency of consistency of their mean values normalized to harmonic number, significantly reduces computational time needed to calculate the frequency characteristics of the first harmonic of non-linear dynamic objects. The newly developed combined polyharmonic technique can be used in the frequency response analysis code for non-linear dynamic objects, controllers and servo-loop control systems, as well as for their spectral analysis and parameter identification. The technique may also find use in development of new frequency response analyzers and spectrum analyzers.
Key words: polyharmonic techniques, frequency response characteristics, non-linear dynamic objects, control systems.
БЕЛОНОГОВ Олег Борисович — кандидат технических наук, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru
BELONOGOV Oleg Borisovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru
БЕЛОНОГОВ О.Б.
Введение
Важными составляющими системного анализа являются частотный [1] и спектральный [2] анализы.
Отличительным свойством линейных систем являются свойства аддитивности и однородности, благодаря которым при возбуждении таких систем входным моногармоническим сигналом выходной сигнал содержит только одну (первую) гармонику. Эта особенность позволяет получать частотные характеристики (ЧХ) линейных или линеаризованных систем из их переходных характеристик или из реакций систем на дельта-функцию [3], используя принцип взаимно однозначного соответствия между функциями в области действительных переменных и в области комплексных переменных, осуществляемых преобразованиями Фурье и Лапласа [4].
До определённого уровня развития быстродействия вычислительной техники амплитудно-частотные (АЧХ) и фазовые частотные характеристики (ФЧХ)
линейных или линеаризованных математических моделей, а также математических моделей с незначительными нелинейностями динамических объектов, регуляторов и следящих систем управления, получали именно такими методами [4].
При возбуждении нелинейной системы входным моногармоническим сигналом (ВМС) её выходной сигнал (ВС) содержит бесконечное количество гармоник, каждая из которых обладает своими собственными АЧХ и ФЧХ. По этой причине указанные выше методы не пригодны для расчётов ЧХ существенно нелинейных объектов, так как достоверные ЧХ для таких математических моделей могут быть получены только посредством возбуждения их ВМС на различных фиксированных частотах с последующим анализом реакций на эти возбуждения методом Фурье в режиме вынужденных колебаний. Большой вклад в развитие таких методов экспериментального определения ЧХ был сделан отечественными учёными Вавиловым А.А. и Солодовниковым А.И.
В результате исследования переходных процессов втягивания в вынужденные колебания линейных динамических звеньев при возбуждении их ВМС [5] было установлено, что переходные процессы втягивания у некоторых звеньев могут длиться достаточно долго, а у консервативного звена переходные процессы не заканчиваются вообще. Поэтому для нелинейных и некоторых линейных динамических объектов заранее никогда не известно количество периодов ВМС, в течение которых длится переходный процесс втягивания объекта в вынужденные колебания.
Исследования в этой области фирмы Solartron Electronic Group Limited, разработчика анализаторов частотных характеристик моделей Solartron, показали, что у динамических объектов, содержащих существенные нелинейности, при возбуждении их ВМС часто не бывает установившихся значений ВС, а иногда наблюдается на первый взгляд «непериодический» ВС. Однако при длительном интегрировании выясняется, что ВС обладает так называемой «предельной периодичностью», т. е. определяемые коэффициенты Фурье, а также амплитуды и фазовые сдвиги в процессе следования периодов ВМС на каждой фиксированной частоте от периода к периоду, совершают как бы стохастические колебания вокруг некоторых их усреднённых значений. Поэтому для таких объектов могут существовать только понятия средних значений коэффициентов Фурье, амплитуд и фазовых сдвигов ВС. Для определения частотных характеристик таких объектов фирмой Solartron Electronic Group Limited был разработан так называемый экспериментальный моногармонический метод (МГМ) «автоинтегрирования» [6]. Алгоритм такого МГМ предписывает завершение процесса анализа ВС динамического объекта, регулятора или следящей системы управления на каждой из фиксированных частот ВМС после того, как относительные изменения сравниваемых параметров ВС по модулю станут меньше заранее заданного числа, регламентирующего погрешность вычислений. Однако подробности этого алгоритма фирмой не раскрываются.
Стремительное развитие вычислительной техники и увеличение её быстродействия в последнее время позволили практически полностью переориентировать методы расчёта ЧХ динамических объектов и систем управления с приближенных, получаемых из их переходных или импульсных характеристик, на более точные, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений математических моделей этих объектов при ВМС на фиксированных частотах и анализе откликов на эти воздействия методом Фурье (гармонический анализ). В работах [7-9] были исследованы различные варианты МГМ расчёта частотных характеристик моделей нелинейных динамических объектов и систем управления. Было определено, что наиболее эффективным алгоритмом МГМ является вариант метода с полным осреднением коэффициентов Фурье исследуемой гармоники ВС, который базируется на сравнении средних значений коэффициентов Фурье исследуемой гармоники ВС, вычисляемых на последнем периоде ВМС, со средними значениями этих же коэффициентов Фурье на предпоследнем периоде [8]. Указанный метод существенно сокращает продолжительность вычислений и позволяет более точно рассчитывать ЧХ любых гармоник нелинейных динамических объектов.
Однако точность вычисления ЧХ при таком методе также оказывается недостаточной, потому что переходный процесс втягивания нелинейного динамического объекта в вынужденные колебания заканчивается только тогда, когда средние значения коэффициентов Фурье и соответствующих им амплитуд и фазовых сдвигов всех составляющих гармоник ВС становятся достаточно постоянными. Но такой подход к построению методов расчёта ЧХ динамических объектов в принципе невозможен, так как количество составляющих гармоник ВС бесконечно. В работе [10], посвящённой исследованию нового полигармонического метода (ПГМ) расчёта частотных характеристик [11], было показано, что применение МГМ расчёта по этой причине может приводить к ошибкам. Кроме этого, было установлено, что точность расчёта ЧХ может быть
повышена, если в процессе расчёта, помимо анализа достаточности постоянства параметров исследуемой гармоники выходного сигнала, анализировать достаточность постоянства параметров нескольких близких к ней наиболее значимых гармоник. В настоящее время разработанный ПГМ является наиболее точным и эффективным методом не только частотного, но и спектрального анализа динамических объектов, и применим для расчётов АЧХ и ФЧХ, а также логарифмических модификаций АЧХ (логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик — ЛАФЧХ) нелинейных динамических объектов, регуляторов и систем управления, а также частотной идентификации их параметров.
цель исследования
В настоящее время при проектировании большинства регуляторов и систем управления по-прежнему требования выдвигаются только к ЧХ первой гармоники выходного сигнала объекта. Хотя рассмотренный ПГМ [10, 11] показал свою высокую эффективность, при большом количестве исследуемых этим методом гармоник и большом количестве фиксированных частот для расчётов требуются значительные затраты машинного времени. Целью данного исследования является сокращение затрачиваемого машинного времени при проведении расчётов ПГМ методом ЧХ первой гармоники нелинейных динамических объектов с учётом п1 высших гармоник.
Математическая модель тестового динамического объекта
Вычислительные эксперименты проводились с математической моделью звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением. Этот динамический объект был выбран для исследований потому, что содержит существенную нелинейность — так называемый разрыв первого рода, который требует очень больших затрат машинного времени при расчётах ЧХ. Математические модели большинства технических объектов, имеющие в своем составе помимо этого объекта
другие звенья, существенно «сглаживают» эту нелинейность, в результате чего машинное время расчётов ЧХ таких технических объектов многократно сокращается.
Математическая модель звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую тестовый элемент для условий покоя и движения:
¿У
¿V _ Т¥
¿г м'
где Y — безразмерное перемещение; V — безразмерная скорость; M безразмерная масса; 2F — сумма безразмерных сил, действующих на объект, для режимов покоя и движения определяемая следующим образом:
и - ¥ яеп V - К У при ^0;
С.Т О п г 7
Е¥ = <
и - ¥ яеп( и - К У)- К У
С.Т О V П ' п
при V =0и|и - К У\> ¥ ;
1 I П I С.Т
Опри V=0и|U-К У \< ¥ ,
1 С.Т7
здесь U — текущее значение сигнала; Fст — безразмерная сила сухого трения; Kп — безразмерный коэффициент позиционной нагрузки.
исходный алгоритм полигармонического метода
Согласно разработанному алгоритму ПГМ [10, 11], завершение процесса интегрирования дифференциальных
уравнений математической модели нелинейного динамического объекта на каждой из фиксированных частот входного моногармонического сигнала осуществляется после того, как относительные изменения сравниваемых параметров анализируемых гармоник станут по модулю меньше заранее заданного числа, регламентирующего погрешность вычислений.
Алгоритм ПГМ для расчёта ЧХ первой гармоники динамического объекта, в котором дополнительно анализируются гармоники, например со второй по п1-ю, имеет два основных цикла — по частоте и по времени, при этом ВМС вычисляется по следующему соотношению [10]:
U = A sin(2nft),
где A и f — амплитуда и частота сигнала; t — текущее время. На каждой из фиксированных частот f в цикле по частоте из заданного диапазона частот выполняется интегрирование дифференциальных уравнений математической модели исследуемого динамического объекта.
В цикле по времени в течение первых k периодов ВМС, где искажения наиболее велики, а номер периода i < k, операции анализа не проводятся. По завершении k-го периода ВМС на каждом из следующих периодов последовательно выполняются следующие ниже действия [10].
1. Вычисляются коэффициенты Фурье первой гармоники ВС и его дополнительных гармоник — со второй по п1-ю по следующим соотношениям:
P(i, l) - 2fhRm(i, l);
Q(i, l) - 2fhSm(i, l);
l _ 1, 2, 3, ..., П1;
1 ^
l) = T ^ X
2 j 1
x[X(t. ,)sin(2nlft.) + X(thj_)sin(2nlftij ;-1)];
1 m
Sm^ l) = У ^ X
2 j = 1
x[X(t. .)cos(2nlft. j) + X(tij-1)cos(2nlftij-1)],
где P(i, l), Q(i, l) — вычисленные на i-м периоде входного моногармонического сигнала коэффициенты Фурье l-й гармоники выходного сигнала X(t); h — шаг интегрирования; j — номер шага интегрирования; m = T/h — количество шагов h, содержащихся в одном периоде входного моногармонического сигнала T; t, j = iT + jh; j = 0, m
сетка моментов
времени численного интегрирования методом трапеций.
Чтобы получить результаты расчётов с одинаковой точностью на каждой из фиксированных частот ВМС, шаг интегрирования по времени к варьируется, и его значение в зависимости от частоты / вычисляется по следующему выражению [10]:
h =
1
Kff
где К/ — коэффициент, величина которого определяет максимальное значение шага интегрирования по времени на минимальной частоте ВМС, обеспечивающего устойчивый процесс интегрирования. Он находится экспериментально для каждой конкретной математической модели динамического объекта.
2. Определяются средние значения коэффициентов Фурье исследуемой и дополнительных гармоник ВС за пройденное количество анализируемых периодов ВМС:
п
Е Р(г, I) Рс(п, I) = *+* •
Qc(n, l) =
n - k
Z Q(i, l)
- k+1_
n - k
(1)
l = 1, 2, 3, ..., n1,
где п — значение номера последнего периода входного моногармонического сигнала.
3. Выполняется анализ достаточности постоянства средних значений коэффициентов Фурье анализируемых гармоник по следующим выражениям:
I Pc(n, l)\ - \Pc( n - 1, l)\
•100 < s;
•100 < s;
(2)
Pc(n, l)
Qc(n, l)\ - I Qc(n - 1, l)\ Qc(n, l)
l = 1, 2, 3, ., n1,
где в — число, регламентирующее заданную погрешность вычислений в процентах.
4. Если все неравенства (2) выполняются, тогда вычисляется относительная амплитуда Bl (коэффициент усиления) 1-й исследуемой гармоники выходного сигнала как отношение её амплитуды, определяемой по средним значениям коэффициентов Фурье на последнем периоде входного моногармонического сигнала, к амплитуде А:
В =
^РЦп, I) + <£(п, I) А
l = 1, 2, 3, ..., п1.
(3)
5. Вычисляется фазовый сдвиг исследуемой гармоники выходного сигнала к входному моногармоническому сигналу по средним значениям коэффициентов Фурье исследуемой гармоники на последнем периоде входного моногармонического сигнала:
у(п, /) при Рс(п, /) > 0 и 0с(п, /) < 0; -п + у(п, /) при Рс(п, /) < 0 и 0с(п, /) < 0; -п+у(п, /) при Рс(п, /) < 0 и 0с(п, /) > 0; (4) -2п+у (п, /) при Рс(п, /) > 0 и 0с(п, /) > 0; п[-1 - 0,5signQc(n, /)] при Рс(п, /) = 0;
ОМ.
ф/
= <
^ /) = ^ рс(п, /)' l =1, 2, 3, ..., пу
С целью построения фазовых частотных характеристик, для получения фазового сдвига в градусах используется следующее выражение:
Ф1 = 57,295Ф1.
(5)
Для получения логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) вместо соотношения (3) используется следующее выражение:
Аи = 20 %
l = 1, 2, 3, ..., п1.
>/[Рс(п, ;)]2 + Шп, I)]2
А
(6)
Для удобства дальнейшего изложения будем называть этот алгоритм первым вариантом ПГМ.
исследованные варианты полигармонического метода
Учесть высшие, по отношению к первой, гармоники ВС при расчётах фазовых и логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик динамического объекта возможно различными способами.
Бо втором варианте ПГМ анализ достаточности постоянства проводился не по средним значениям коэффициентов Фурье, а по суммам этих средних значений:
^ро(п) = !>с(п, ^ + Хйс(п, 0;
I = 1 I = 1
(7)
l = 1, 2, 3, ..., п1.
Для этого варианта анализ достаточности постоянства сумм средних значений коэффициентов Фурье исследуемой гармоники проводился по следующему выражению:
^рй(п) I - |!р0(п - 1) I
£РО(п)
•100 < е1(
(8)
где е.
число, регламентирующее
заданную погрешность вычислений в процентах, которое, как показали вычислительные эксперименты, должно быть по крайней мере на два порядка меньше е.
Если неравенство (8) выполняется, тогда вычисляются относительная амплитуда Bl (коэффициент усиления) 1-й исследуемой гармоники ВС по выражению (3), фазовый сдвиг исследуемой гармоники ВС к ВМС по выражениям (4), (5) и логарифмическое значение относительной амплитуды по выражению (6).
Как показали вычислительные эксперименты, данный вариант ПГМ, по сравнению с первым вариантом ПГМ, является менее точным как в до-, так и в зарезонансной частотных областях.
Б третьем варианте ПГМ анализ проводился также не по средним значениям коэффициентов Фурье, а по суммам этих средних значений, нормированным номером гармоники (т. е. с введением весовой функции):
«1 «1 ^(п) = Црс(п, I) + !^(п, I);
■ ■ / = 1
/ = 1
I = 1, 2, 3, ..., п1.
(9)
Анализ достаточности постоянства сумм нормированных средних значений коэффициентов Фурье исследуемой гармоники проводился также по выражению (8) с последующим вычислением (в случае выполнения неравенства) относительной амплитуды В{ (коэффициента усиления) 1-й исследуемой гармоники ВС по выражению (3), фазового сдвига исследуемой гармоники ВС к ВМС по выражениям (4), (5) и логарифмического значения относительной амплитуды по выражению (6).
Вычислительные эксперименты, проведённые с третьим вариантом ПГМ, показали хорошее совпадение результатов характеристик с результатами первого варианта ПГМ. При этом в дорезонансной частотной области значительно уменьшается количество периодов ВМС, необходимых для обеспечения заданной погрешности вычислений. Однако в зарезонансной частотной области при третьем варианте ПГМ количество периодов ВМС п, необходимых для обеспечения заданной погрешности вычислений, соизмеримо с первым вариантом ПГМ, причём на одних частотах оно больше, чем для первого варианта ПГМ, а на других — меньше.
Анализ полученных результатов вычислительных экспериментов показал возможность существования комбинированного ПГМ.
Б четвёртом варианте ПГМ (комбинированном) одновременно осуществляется анализ достаточности постоянства по неравенствам (2) средних значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник, вычисляемых по выражениям (1), и анализ достаточности постоянства по неравенству (8) сумм средних значений коэффициентов Фурье, нормированных номером гармоники, вычисляемых по выражению (9).
В случае выполнения одного из неравенств (2) или (8) вычисляются относительная амплитуда В{ (коэффициент усиления) 1-й исследуемой гармоники ВС по выражению (3), фазовый сдвиг исследуемой гармоники ВС к ВМС по выражениям (4), (5) и логарифмическое значение относительной амплитуды по выражению (6).
При таком варианте ПГМ общее количество периодов ВМС, необходимых для обеспечения заданной погрешности вычислений, является оптимальным.
Результаты вычислительных экспериментов
Для проведения вычислительных экспериментов были приняты следующие значения безразмерных параметров, обеспечивающие собственную резонансную частоту звена второго порядка с классическим сухим (куло-новским) трением ~10 Гц, а именно: М = 2,533-Ю-4; F = 0,0005; К = 1,0.
' ' с.т ' ' п '
Дополнительно вычислительные эксперименты были проведены при значениях F = 0,005 и F = 0,009.
с.т ' с.т '
Безразмерная амплитуда ВМС составляла А = 0,01.
ЛАФЧХ звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением рассчитывались для следующего ряда частот / (Гц): 0,1; 0,13; 0,2; 0,23; ... 0,9; 0,93; 1,0; 1,3; 2,0; 2,3; ... 9,0; 9,3; 10; 13; 20; 23; ... 90; 93; 100; 130; 200; 230; ... 900; 930; 1 000.
Расчёты проводились при заданных погрешностях вычислений е = 0,01% и е4 = 0,0001%.
На рис. 1 представлены ЛАЧХ первой гармоники звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением, рассчитанные тремя первыми вариантами ПГМ.
На рис. 2 представлены ФЧХ первой гармоники звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением, рассчитанные тремя первыми вариантами ПГМ.
Наличие сухого (кулоновского) трения в системе управления (СУ) оказывает существенное влияние на её статику и динамику, поэтому в электрогидромеханических СУ оно является тем фактором, который необходимо учитывать в расчётах как статических, так и динамических характеристик.
Наиболее распространённым элементом такого рода в СУ является звено второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением. Оно входит в математические модели таких объектов, как электромеханические преобразователи гидравлических и газовых приводов, а также инерционные объекты управления типа силовых гидроцилиндров, камер сгорания ракетных двигателей и т. д.
а)
б)
Рис. 1. Зависимости логарифмической амплитуды от частоты / звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением: а — для первой декады (дорезо-нансная область) частотного диапазона; б — для четвёртой декады (зарезонансная область) частотного диапазона; ▼ ▼ ▼ — первый вариант полигармонического метода (ПГМ); ◦ ◦ ◦ — второй вариант ПГМ; * * * — третий вариант ПГМ (рисунок создан автором)
Рассмотрение графиков, представленных на рис. 1 и 2, показывает, что неточность второго варианта ПГМ проявляется в основном при расчётах ФЧХ.
При расчетах АЧХ и ЛАЧХ неточность оказывается соизмеримой с другими вариантами ПГМ.
На рис. 3 представлены графики зависимости от частоты / требуемого количества периодов интегрирования ВМС п, необходимых для достижения
а)
б)
Рис. 2. Зависимости фазового сдвига ф от частоты / звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением: а — для первой декады частотного диапазона (дорезонансная область); б — для четвёртой декады частотного диапазона (зарезонансная область); ▼ ▼ ▼ — первый вариант полигармонического метода (ПГМ); ◦ ◦ ◦ — второй вариант ПГМ; * * * — третий вариант ПГМ (рисунок создан автором)
заданной погрешности вычислений ЛАЧХ и ФЧХ звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением.
Общее количество периодов интегрирования ВМС п, необходимых для достижения заданной погрешности вычислений, составило:
для первого варианта ПГМ — 4 223 995; для второго варианта ПГМ — 419 318; для третьего варианта ПГМ — 49 118 117; для четвёртого варианта ПГМ — 966 624.
а)
107 10й 10" 104 103 ш2
10'
-
г
; \
:
/
чГЖ ид/ I
! '
ю-
10°
10!
10^
101
/. Гц
б)
Рис. 3. Зависимости требуемого количества периодов интегрирования ВМС п, необходимых для достижения заданной погрешности вычислений, от частоты /:
а — для первых трёх полигармонических методов (ПГМ); б — для четвёртого ПГМ; — первый вариант ПГМ;
— второй вариант ПГМ; — третий вариант
ПГМ (рисунок создан автором)
Как видно из рассмотрения графиков, представленных на рис. 3, и общего количества периодов ВМС п, необходимых для достижения заданной погрешности вычислений, при применении четвёртого (комбинированного) ПГМ это количество значительно уменьшается,
а следовательно, значительно уменьшается и машинное время расчётов.
Анализ полученных результатов вычислительных экспериментов показал, что четвёртый (комбинированный) вариант ПГМ является наиболее эффективным.
ЛАЧХ и ФЧХ первой гармоники звена второго порядка с классическим сухим (кулоновским) трением, рассчитанные четвёртым (комбинированным) вариантом ПГМ для трёх значений F , представлены на рис. 4.
Рис. 4. Зависимости логарифмической амплитуды Л1 и фазового сдвига ф от частоты / первой гармоники звена второго порядка с классическим сухим (куло-новским) трением: — при безразмерной силе сухого
трения = 0,0005; — = 0,005; — = 0,009
(рисунок создан автором)
Дальнейшие вычислительные эксперименты показали возможность расчётов ЛАЧХ и ФЧХ с помощью предложенного комбинированного ПГМ любых гармоник звена второго порядка с классическим сухим (кулоновс-ким) трением при различных значениях безразмерной силы сухого трения, а также ЛАЧХ и ФЧХ других нелинейных динамических объектов, в т. ч. регуляторов и следящих систем управления.
Заключение
В итоге проведённых в работе исследований получены следующие основные результаты:
• исследована работоспособность и точность новых вариантов алгоритмов ПГМ расчёта ЧХ с различными
способами анализа достаточности постоянства сравниваемых параметров исследуемых гармоник;
• разработан способ повышения производительности ПГМ расчёта ЧХ нелинейных динамических объектов;
• показано, что наиболее эффективным по критерию затрат машинного времени является комбинированный ПГМ, в котором одновременно осуществляется анализ достаточности постоянства средних значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник и анализ достаточности постоянства суммы их средних значений, нормированных номером гармоники;
• разработанный новый комбинированный ПГМ позволяет рассчитывать АЧХ (ЛАЧХ) и ФЧХ существенно нелинейных динамических объектов, регуляторов и следящих систем управления с заданной погрешностью вычислений и за минимальное количество периодов интегрирования ВМС, а значит за минимальное время;
• разработанный новый комбинированный ПГМ может применяться для спектрального анализа и идентификации параметров нелинейных динамических объектов, а также может быть использован при создании новых анализаторов частотных характеристик.
Список литературы
1. Шевгунов Т.Я. Частотный анализ электрических цепей. Метод комплексных амплитуд. М.: URSS, 2017. 312 с.
2. Кренёв А.Н., Артёмова Т.К. Цифровой спектральный анализ: Учебное пособие. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 2002. 114 с.
3. Бендат Дж, Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1971. 540 с.
4. Новиков А.А., Амелина М.А. Конспект лекций по курсу «Математическое моделирование в электронике». Части 1, 2, 3. Смоленск: МЭИ(ТУ), 2006. 74 с.
5. Белоногов О.Б., Белицкий Д. С., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Шутен-ко В.И. Исследование переходных процессов втягивания типовых динамических звеньев в вынужденные гармонические колебания // Ракетно-космическая техника: труды РКК «Энергия». Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1998. Вып. 3-4. С. 245-258.
6. Wellstead P.E., Cogger N.D., Webb R.V. Frequency Response Analysis, Solartron Analytical, Technical Report 10, 1997. 19 p.
7. Белоногов О.Б. Моногармонический метод автоинтегрирования с локальным осреднением коэффициентов Фурье для расчёта частотных характеристик динамических объектов и систем управления // Вестник ФГУП НПО им. С.А. Лавочкина. 2013. № 4(20). С. 53-56. EDN: RDWWHX
8. Белоногов О.Б. Моногармонический метод автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье для расчёта частотных характеристик динамических объектов и систем управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2013. № 4. С. 3-13. EDN: RQDMYR
9. Белоногов О.Б. Двухканальный моногармонический метод автоинтегрирования для расчёта частотных характеристик систем // Труды ФГУП «НПЦАП».
2014. № 1. С. 60-72.
10. Белоногов О.Б. Исследование полигармонического метода расчёта частотных характеристик нелинейных динамических объектов // Известия РАН. Теория и системы управления.
2015. № 1. С. 79-87.
11. Патент RU 2499268 C1. G01R 23/16. Способ определения амплитудно-фазовой частотной характеристики динамического объекта / О.Б. Белоногов; заявитель и патентообладатель — ПАО «РКК «Энергия». Заявка № 2012115931/28 от 19.04.2012; опубл. 20.11.2013. Бюл. №32.
Статья поступила в редакцию 27.10.2021 г. Окончательный вариант — 15.08.2022 г.
References
1. Shevgunov TYa. Chastotnyi analiz elektricheskikh tsepei. Metod kompleksnykh amplitud [Frequency analysis of electrical circuits. Complex amplitude method]. Moscow: URSS; 2017 (in Russian).
2. Krenev AN, Artemova TK. Tsifrovoi spektral'nyi analiz [Digital spectral analysis]: textbook. Yaroslavl: Yaroslavl State University; 2002 (in Russian).
метод моделирования операций внекорабельной деятельности
3. Bendat G, Pirsol A. [Measurement and analysis of random processes]. Moscow: Mir Publishers; 1971 (in Russian).
4. Novikov AA, Amelina MA. Konspekt lektsii po kursu "Matematicheskoe modelirovanie v elektronike" [Lecture notes on the course Math Simulations in Electronics]. Parts 1, 2, 3. Smolensk: MEI (TU); 2006 (in Russian).
5. Belonogov OB, Belitsky DS, Zharkov MN, Kudryavstev VV, Shutenko VI. Issledovanie perekhodnykh protsessov vtyagivaniya tipovykh dinamicheskikh zven'ev v vynuzhdennye garmonicheskie kolebaniya [A study of transients pulling typical dynamic links in forced harmonic oscillations]. In: Raketno-kosmicheskaya tekhnika: trudy RKK "Energiya" [Rocket and space technology: proceedings of RSCEnergia]. Ser. XII. 1998. Issues. 3-4. P. 245-258 (in Russian).
6. Wellstead PE, Cogger ND, Webb RV. Frequency Response Analysis, Solartron Analytical, Technical Report 10, 1997.
7. Belonogov O.B. Monogarmonicheskii metod avtointegrirovaniya s lokal'nym osredneniem koeffitsientov Fur'e dlya rascheta chastotnykh kharakteristik dinamicheskikh ob"ektov i sistem upravleniya raket [Monoharmonical autointegrating method with local Fourier coefficients smoothing for computing frequency response characteristics of dynamic objects and rocket control systems]. Vestnik NPO im. S.A. Lavochkina. 2013; 4: 53-56. Available from: https://www.elibrary.ru/rdwwhx (accessed 14.08.2022) (in Russian).
8. Belonogov OB. Monogarmonicheskii metod avtointegrirovaniya s polnym osredneniem koeffitsientov Fur'e dlya rascheta chastotnykh kharakteristik dinamicheskikh ob"ektov i sistem upravleniya [Monoharmonic method of autointegration with full averaging of Fourier coefficients for calculation of frequency response of dynamic objects and control systems]. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering 2013; 4: 3-13. Available from: https://www.elibrary.ru/ rqdmyr (accessed 14.08.2022) (in Russian).
9. Belonogov OB Dvukhkanal'nyi monogarmonicheskii metod avtointegrirovaniya dlya rascheta chastotnykh kharakteristik sistem [Two-channel monoharmonic autointegration method for calculating frequency characteristics of systems]. In: Trudy FGUP "NPTsAP". [Proceedings of FGUP NPTsAP]. 2014; 1: 60-72 (in Russian).
10. Belonogov OB. Investigation of the polyharmonic method for calculating frequency responses of nonlinear dynamic plants. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2015; 54(1): 77-85. Available from: https://www.elibrary.ru/sedqtb (accessed 14.08.2022).
11. Belonogov OB, inventor. RSC Energia. Sposob opredeleniya amplitudno-fazovoi chastotnoi kharakteristiki dinamicheskogo ob»ekta [Method of determining amplitude-phase-frequency characteristic of a dynamic object. Patent RU 2499268 С1. G01R23/16. Application No. 2012115931/28 dated 19.04.2012; published 20.11.2013. Bulletin No.32 (in Russian).
Издатель
Четырежды ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции ПАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королёва»
Научный редактор
Синявский В.В.
Редакторская группа
Черных О.А. Валякина О.А.
Дизайн и верстка
Кузнецова Т.В.
Разработка макета и дизайн обложки
Милёхин Ю.Н. Паук Е.В.
Фотограф
Григоренко Н.А.
Перевод
Сектор переводов контрактной документации РКК «Энергия»
Адрес редакции
ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская область, Российская Федерация, 141070 Тел. 8(495)513-87-46 E-mail: ktt@rsce.ru http://www.energia.ru/ktt/index.html
Подписной индекс 40528 («Урал Пресс», «Пресса России»)
Дата выхода в свет 30 III, VI, IX, XII мес.
Подписано в печать 30.05.2023 г. Формат 60x84/8. Бумага мелованная. Цифровая печать. Объём 17,5 печ. л. Тираж 200 экз. Оригинал-макет подготовлен редакцией журнала «Космическая техника и технологии» Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «АНТЭЙ» 119334, г. Москва, 5-й Донской пр-д, д. 15, стр. 2, этаж 3, пом. V, комн. 38
