РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО МЕТОДА АВТОИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.78.001.5:629.78.05

разработка и исследование полигармонического метода автоинтегрирования для расчета амплитудно-фазовых частотных характеристик динамических объектов и систем управления

© 2014 г. Белоногов О.Б.1, попов д.н.2

1 ОАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва» (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская область, Россия, 141070, e-mail: post@rsce.ru

2 ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) 2-я Бауманская ул., д. 5, г. Москва, Россия, 105005, e-mail: mail@bmstu.ru

В статье содержатся результаты разработки и исследования работоспособности нового полигармонического метода автоинтегрирования для расчета частотных характеристик динамических объектов и систем управления.

Ключевые слова: частотные характеристики, динамические объекты, системы управления.

DEVELOPMENT AND STUDY OF A POLYHARMONIC AUTOINTEGRATION METHOD FOR CALCULATING AMPLITUDE-PHASE-FREQUENCY CHARACTERISTICS OF DYNAMIC OBJECTS AND CONTROL SYSTEMS Belonogov O.B.1, Popov D.N.2

1 S.P. Korolev Rocket and Space Public Сorporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin Street, Korolev, Moscow region, 141070, Russia, e-mail:post@rsce.ru

2 Bauman Moscow State Technical University (Bauman MSTU) 5 2nd Bauman Street, Moscow, 105005, Russia, e-mail: mail@bmstu.ru

The paper discusses the development and study the efficiency of a new polyharmonic autointegration method with full averaging of Fourier coefficient for calculating amplitude-phase-frequency characteristics of non-linear dynamic objects and control systems within a specified computational error and a minimum amount of time. The proposed version of the polyharmonic autointegration method is based on numerical integration of systems of non-linear differential equations of the math models of the objects and control systems with monoharmonic inputs at fixed frequencies and analysis of periodic responses to these inputs using Fourier method. According to the proposed method the process of integrating differential equations of the math model at each of the fixed frequencies continues until the average values of Fourier coefficients of the harmonic under study and the additional harmonics of the output periodic response of a dynamic object or a control system to a monoharmonic input over the elapsed number of periods of the input signal become sufficiently constant.

Key words: frequency response characteristics, dynamic objects, control systems.

БЕЛОНОГОВ О.Б. ПОПОВ Д.Н.

БЕЛОНОГОВ Олег Борисович — ктн, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru BELONOGOV Oleg Borisovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

ПОПОВ Дмитрий Николаевич — дтн, профессор кафедры МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: popov@bsmtu.ru POPOV Dmitry Nikolaevich — Doctor of Science (Engineering), Professor of the Chair at Bauman MSTU, e-mail: popov@bsmtu.ru

Введение

Для проведения идентификации параметров, анализа устойчивости и оптимизации динамических объектов, регуляторов и следящих систем управления требуется определение амплитудно-частотных и фазовых частотных искажений, возникающих при отработке ими входных моногармонических сигналов на заданных частотах. Кроме этого, при проектировании регуляторов и следящих систем управления часто требуется определять полосы их пропускания. С этой целью проводятся расчеты амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ) [1, 2].

В работе [3] авторами установлено, что переходные процессы втягивания в вынужденные колебания при гармонических входных воздействиях даже у некоторых линейных динамических объектов могут длиться достаточно долго, а у такого звена, как консервативное, переходные процессы могут не заканчиваться вообще. Поэтому для нелинейных и некоторых линейных динамических объектов заранее никогда не известно число периодов входного моногармонического сигнала, в течение которого длится переходный процесс втягивания в вынужденные колебания. Игнорирование этой особенности при расчетах частотных характеристик может приводить к существенным ошибкам.

В связи с этим теоретический и практический интерес представляет задача разработки методов и алгоритмов расчета частотных характеристик регуляторов и следящих систем, содержащих существенно-нелинейные элементы и позволяющих получать результаты

вычислений автоматически с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время (так называемых методов автоинтегрирования).

До определенного времени создание и внедрение подобных методов и алгоритмов для расчета АФЧХ следящих систем и других сложных динамических объектов, основанных на численном интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений их математических моделей при моногармонических входных воздействиях, сдерживались низким уровнем быстродействия вычислительной техники.

Стремительное развитие вычислительной техники и совершенствование ее характеристик (в частности, возрастание уровня быстродействия компьютеров в последние годы) позволили практически полностью переориентировать методы расчета частотных характеристик динамических объектов и систем управления с приближенных, получаемых из переходных характеристик, на более точные, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений математических моделей систем при моногармонических входных воздействиях на фиксированных частотах и анализе откликов на эти воздействия методом Фурье.

Согласно этим методам, процесс интегрирования дифференциальных уравнений математической модели динамического объекта на каждой из заданных частот продолжается до тех пор, пока средние значения вычисляемых параметров периодического отклика динамического объекта на моногармоническое воздействие не станут достаточно постоянными.

постановка задачи

Анализ постоянства параметров реакций динамических объектов и систем на моногармонические воздействия можно проводить различными способами, которые, в частности, могут быть основаны на сравнении вычисляемых значений амплитуд и фазовых сдвигов или на сравнении вычисляемых значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник выходных сигналов (откликов).

В работе [4] показано, что наиболее эффективные алгоритмы метода автоинтегрирования должны базироваться на сравнении действительных и мнимых составляющих (коэффициентов Фурье) исследуемой гармоники периодического отклика динамического объекта на входное моногармоническое воздействие. При таком подходе к построению методов и алгоритмов сокращается продолжительность вычислений АФЧХ динамических объектов.

В работе [4] также показано, что наиболее эффективный алгоритм моногармонического метода автоинтегрирования базируется на сравнении средних за (п - к) периодов значений действительных и мнимых составляющих (коэффициентов Фурье) исследуемой гармоники периодического отклика динамического объекта на входное моногармоническое воздействие, получаемых на п-ном периоде входного моногармонического сигнала (здесь k — число неанализируемых периодов), со средними значениями этих же параметров на (п - 1) периоде (вариант моногармонического метода автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье).

Этот метод существенно сокращает продолжительность вычислений и позволяет более точно рассчитывать АФЧХ любых гармоник нелинейных динамических объектов. Однако точность вычисления АФЧХ при таком методе также недостаточна потому, что переходный процесс втягивания динамического объекта в вынужденные периодические колебания заканчивается только тогда, когда средние значения коэффициентов Фурье и соответствующих им амплитуд и фазовых сдвигов всех составляющих гармоник выходного периодического сигнала становятся достаточно постоянными. Но такой подход к построению метода расчета частотных характеристик динамического объекта в принципе невозможен, так как число составляющих гармоник выходного периодического сигнала бесконечно. Тем не менее, точность метода расчета может быть повышена, если при анализе помимо исследуемой гармоники анализировать несколько близких к ней наиболее значимых гармоник.

Такие методы расчета частотных характеристик называются полигармоническими.

В настоящей работе поставлена задача разработки и исследования варианта нового полигармонического метода автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье для расчета АФЧХ четных и нечетных гармоник нелинейных динамических объектов и следящих систем управления.

описание полигармонического метода автоинтегрирования

Алгоритм исследуемого полигармонического метода автоинтегрирования предписывает завершение процесса интегрирования уравнений математической модели динамического объекта, регулятора или следящей системы управления на каждой из фиксированных частот входного моногармонического сигнала после того, как относительные изменения сравниваемых параметров анализируемых гармоник станут по модулю меньше заранее заданного числа, регламентирующего погрешность вычислений.

Алгоритм полигармонического метода автоинтегрирования для расчета АФЧХ первой гармоники динамического объекта, в котором дополнительно анализируются гармоники со второй по десятую, имеет два основных цикла — по частоте и по времени, при этом входной моногармонический сигнал вычисляется по соотношению [4]:

и = А^пЦи^},

где Ui — текущее значение входного моногармонического сигнала; Ay — амплитуда входного моногармонического сигнала; f(nf) — частота входного моногармонического сигнала (здесь п/ — номер частоты); t — текущее время.

В цикле по частоте, который начинается с п/ = 1 и заканчивается п/ = п/т, на каждой из фиксированных частот /(п/) входного моногармонического сигнала выполняется интегрирование дифференциальных уравнений, составляющих математическую модель исследуемого динамического объекта.

В цикле по времени в течение первых k периодов входного моногармонического сигнала (т. е. когда номер периода I < к), где искажения наиболее велики, операции анализа не проводятся. По завершении к-го периода на каждом из следующих периодов последовательно выполняются следующие действия:

1. Вычисляются коэффициенты Фурье с первой по десятую гармоник выходного периодического сигнала по соотношениям:

jm

P(i,m) = 2f(nfj£

j = i

Q(i, m) = 2//

j = i

U0(j) + U0(j - 1) 2

Uo(j) + Uo(j - !) 2

hsin[2nmf(nf)t];

hcos[2nm/(n/)t],

где m — номер гармоники (m = 1, 2, ..., 10); Q(i, m) — действительные составляющие (действительные коэффициенты Фурье) анализируемых гармоник выходного периодического сигнала; P(i, m) — мнимые составляющие (мнимые коэффициенты Фурье) анализируемых гармоник выходного периодического сигнала; U0 — выходной периодический сигнал динамического объекта; j — номер шага интегрирования; jm = T/h — число шагов h, содержащихся в одном периоде T входного моногармонического сигнала.

Чтобы получить результаты вычислений с одинаковой точностью на каждой из фиксированных частот входного моногармонического сигнала, шаг интегрирования h по времени варьируется, и его значение в зависимости от частоты f(nf) вычисляется по выражению [4]:

h = 1/[Kf f(nf)],

где Kf — коэффициент, величина которого определяет максимальное значение шага интегрирования по времени на минимальной частоте входного моногармонического сигнала, обеспечивающего устойчивый процесс интегрирования. Он определяется экспериментально для каждой конкретной математической модели динамического объекта, регулятора или следящей системы управления.

2. Проводится определение средних значений коэффициентов Фурье анализируемых гармоник выходного периодического сигнала за пройденное количество периодов входного моногармонического сигнала

2 P(i, т)

i - к + 1

Рс(п, т) -

Qc(n, m) =

£ Q(i, m)

- k + 1

n - k

где п — значение номера последнего периода входного моногармонического сигнала.

3. Проводится анализ достаточности постоянства средних значений коэффициентов Фурье анализируемых гармоник по выражениям:

P (n, m)-\P (m - 1, m)

\P(n, m)

100 < s;

\Qc(n, m)-\Q(n - 1, m)

\Qc(n, m)

100 < E,

где е — число, определяющее заданную погрешность вычислений (при умножении сравниваемых функционалов на 100, число е определяет погрешность в процентах).

Если все приведенные выше неравенства выполняются, тогда вычисляется относительная амплитуда (коэффициент усиления) исследуемой первой гармоники выходного периодического сигнала как отношение амплитуды первой гармоники выходного периодического сигнала, определяемой по средним значениям коэффициентов Фурье первой гармоники на последнем периоде входного моногармонического сигнала, к амплитуде входного моногармонического сигнала возбуждения:

A(n, l) =

V [Pc(n, l)]2 + Щи, l)]2 A

Для получения логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик (ЛАФЧХ) вместо приведенного соотношения используется выражение:

AL(n, l) = 20 log

^J[Pc(n, l)]2 + [Qc(n, l)]2

A

Фазовый сдвиг исследуемой первой гармоники выходного периодического сигнала к входному моногармоническому сигналу определяется по средним значениям коэффициентов Фурье первой гармоники на последнем периоде входного моногармонического сигнала по соотношению:

Q(n, 1)

ф(п, 1) =

57,3° arctg

Pc(n 1)

при P ((n, 1) > 0 и Qc (n, 1) < 0;

Q (n,1)

-180° + 57,3° arctg —--

P(n, 1)

при P C (n, 1) < 0 и QC (n, 1) < 0;

Q (n,1)

-180° + 57,3° arctg —--

P (n, 1)

при P C (n, 1) < 0 и QC (n, 1) > 0;

Q (n,1)

-360° + 57,3° arctg —C—— PC(n 1)

при PC(n, 1) > 0 и QC(n, 1) > 0; 180° [-1 - 0,5 sign Qc(n, 1)] при P(n, 1) = 0.

n

n

При необходимости, в рамках данного метода, кроме относительной амплитуды и фазового сдвига исследуемой первой гармоники выходного периодического сигнала динамического объекта на каждой частоте /(п/) входного моногармонического сигнала могут быть вычислены относительные амплитуды (коэффициенты усиления) и фазовые сдвиги всех его анализируемых дополнительных гармоник по выражениям:

A(n, m) =

,J[Pc(n, m)]2 + [Qc(n, m)]2

A

A(n, m) = 20 log

д/[Р (n, m)]2 + [Qc(n, m)]2

A

Q(n, m)

57,3° arctg pn m) при P(n, m) > 0 и Qc(n, m) < 0;

Q (n, m)

-180° + 57,3° arctg '

P (n, m)

при Pc(n, m) < 0 и Qc(n, m) < 0;

Q (n, m)

, л -180° + 57,3° arctg ^-(

ф(п, m) = \ Pc(n, m)

при P(n, m) < 0 и Qc(n, m) > 0;

-360° + 57,3° arctg Qc(^ m) Pc(n, m)

при Pc(n, m) > 0 и Qc(n, m) > 0;

180° [- 1 - 0,5 sign Qc(n, m)]

при Pc(n, m) = 0.

математические модели тестовых нелинейных динамических объектов

Поскольку реальные динамические объекты в большинстве своем содержат фильтрующие элементы, представляется целесообразным исследование работоспособности полигармонического метода проводить с помощью математических моделей сугубо нелинейных объектов.

Работоспособность рассматриваемого полигармонического метода автоинтегрирования для расчета ЛАФЧХ нелинейных динамических объектов исследуем на примерах получения ЛАФЧХ первой гармоники нелинейного колебательного элемента с квадратичным вязким трением, а также первой-десятой гармоник существенно нелинейного колебательного элемента с классическим сухим (кулоновым) трением (нелинейность — разрыв первого рода) для трех различных вариаций безразмерных

величин амплитуды входного гармонического воздействия и силы сухого трения.

Математическая модель колебательного элемента с квадратичным вязким трением

описывается дифференциальным уравнением:

d2Y m-+ K

1 к

dt

'dYЛ 2

у dt j

sign

у dt j

+ KY= U,

где т — безразмерная масса; У — безразмерная координата перемещения; Кквт — коэффициент квадратичного вязкого трения; Кп — коэффициент безразмерной позиционной нагрузки.

После приведения к виду Коши это уравнение можно представить как:

йУ

&

¿У

= V;

— = (U . - К y2sign(V) - К Y)m1

dt i квт ° v ' П '

где V — безразмерная скорость.

Математическая модель колебательного элемента с сухим трением представляет собой систему следующих нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих тестовый элемент для условий покоя и движения:

¿1 = у

йг у

¿V „ 1

-= Ь„т 1

йг к

где Рк — безразмерная движущая сила, действующая на выходной орган колебательного элемента, для режимов покоя и движения определяемая как:

FR =

и. - FcTsign(V) - KUYпри V* 0; U. - F sign( U . - KY) - KY

i cT i п п

при V = 0 и

U - KY

> F

0 при V = 0 и Ш. - К УI < Г ,

£ | г п | ст'

здесь Рст — безразмерная сила сухого трения. результаты вычислительных экспериментов

Для проведения вычислительных экспериментов с колебательным элементом с квадратичным вязким трением были приняты следующие значения безразмерных параметров: т = 2,533 10-4; Кквт = 0,001; Кп = 1,0; А. = 0,01.

Вычислительные эксперименты с колебательным элементом с сухим трением были проведены при следующих значениях безразмерной силы сухого трения Р : 0,001; 0,008;

У

0,0095. Значения его остальных безразмерных параметров: т = 2,533 10-2; Кп = 1,0; Ау = 0,01.

ЛАФЧХ колебательного элемента с квадратичным вязким трением рассчитывались для ряда фиксированных частот /(п/) (Гц): 0,10 0,13; 0,20; 0,23; 0,30; 0,33; 0,40; 0,43; 0,50; 0,53; 0,60 0,63; 0,70; 0,73; 0,80; 0,83; 0,90; 0,93; 1,0; 1,3; 2,0 2,3; 3,0; 3,3; 4,0; 4,3; 5,0; 5,3; 6,0; 6,3; 7,0; 7,3; 8,0 8,3; 9,0; 9,3; 10,0; 13,0; 20,0; 23,0; 30,0; 33,0; 40,0 43,0; 50,0; 53,0; 60,0; 63,0; 70,0; 73,0; 80,0; 83,0; 90,0 93,0; 100; 130; 200; 230; 300; 330, 400; 430; 500 530; 600; 630; 700; 730; 800; 830; 900; 930; 1 000.

ЛАФЧХ колебательного элемента с сухим трением рассчитывались для ряда фиксированных частот 0,10...10,0 из приведенного выше списка.

На рис. 1 представлены ЛАФЧХ первой гармоники колебательного элемента с квадратичным вязким трением, рассчитанные традиционным моногармоническим методом автоинтегрирования [4] и предлагаемым новым полигармоническим методом автоинтегрирования при заданной погрешности вычислений е = 0,1%.

Рис. 1. Логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики первой гармоники колебательного элемента с квадратичным вязким трением: 1 — рассчитанные традиционным моногармоническим методом автоинтегрирования; 2 — рассчитанные новым полигармоническим методом автоинтегрирования

Как видно из сопоставления графиков, представленных на рис. 1, частотные характеристики, рассчитанные с помощью предлагаемого полигармонического метода, имеют гладкий монотонный характер, в то время как частотные характеристики, рассчитанные с помощью традиционного метода автоинтегрирования, имеют выбросы в области высоких частот.

Таким образом, вследствие того, что анализ завершенности переходного процесса втягивания нелинейного динамического объекта в вынужденные периодические колебания проводится не только по исследуемой гармонике, но и по нескольким дополнительным гармоникам, повышается точность вычисления его АФЧХ.

На рис. 2 представлены результаты вычислительных экспериментов по определению ЛАФЧХ первой, второй, третьей и десятой гармоник выходного периодического отклика колебательного

элемента с сухим трением при моногармоническом входном воздействии с погрешностью вычислений е = 0,01%^цля значений безразмерной силы сухого трения ^ст = Рст/Ар = 0,1; 0,8; 0,95.

50

0

-50

ч

-100

5= -150

-200

-250

-300

ю

С^Г

с

ч

со е

ЛАЧХ

^ ■------

1

—- ФЧХ

,----------

10"

10° а)

/Гц

10° б)

/,Гц

-30 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240

■—^^ч

ЛАЧХ

У ФЧХ

—"" 4-

ю-

10° в)

/,Гц

г)

Рис. 2. Логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики гармоник колебательного элемента с сухим трением: а — первой; б — второй; в — третьей;

г — десятой; —--^ = 0,1; — ^ = 0,8; ■--F = 0,95

ст ст ст

На рис. 3 представлены зависимости потребного числа п периодов входного моногармонического сигнала, необходимых для достижения заданной

погрешности вычислений ЛАФЧХ исследуемых гармоник периодического отклика колебательного элемента с сухим трением на моногармоническое входное воздействие, от частоты входного моногармонического сигнала /(п/) для указанных выше значений безразмерной силы сухого трения.

Рис. 3. Количество периодов, необходимых для достижения заданной точности вычислений логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик колебательного элемента с сухим трением:

--Р = 0,1; — Р = 0,8;--Р = 0,95

Г Т 7 7 Г Т 7 7 Г"Г 7

заключение

В итоге проведенных в работе исследований получены следующие основные результаты:

• разработан и исследован новый полигармонический метод автоинтегрирования для расчета амплитудно-фазовых частотных характеристик динамических объектов, регуляторов и систем управления, в котором процесс интегрирования на каждой из фиксированных частот продолжается до тех пор, пока сравниваемые параметры исследуемой и дополнительных гармоник периодического отклика динамического объекта на входное моногармоническое воздействие не станут достаточно постоянными;

• показано, что в качестве критерия достаточности постоянства коэффициентов Фурье в методе автоинтегрирования может быть использовано сравнение средних значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник выходного периодического сигнала динамического объекта или следящей системы, получаемых на последнем периоде входного моногармонического сигнала, со средними значениями этих же коэффициентов Фурье на предпоследнем периоде;

• показано, что предложенный новый полигармонический метод автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье для расчета АФЧХ нелинейных динамических объектов повышает точность результатов расчетов по сравнению с традиционным моногармоническим методом автоинтегрирования при одинаковых заданных параметрах погрешностей вычислений, что позволяет более точно идентифицировать параметры нелинейных динамических объектов.

• впервые получены семейства ЛАФЧХ первых десяти гармоник колебательного элемента

с сухим трением для вариаций значений безразмерной силы сухого трения, позволяющие более точно идентифицировать такие объекты, входящие в состав электрогидравлических и электропневматических приводов ракетных блоков.

Выводы по результатам проведенных в работе исследований:

• предложенный вариант полигармонического метода автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье применим для расчета амплитудно-фазовых частотных характеристик динамических систем, содержащих существенно нелинейные объекты типа колебательного элемента с сухим трением, например, узла управления рулевой машины системы управления вектором тяги ракетного двигателя;

• с помощью предложенного варианта метода автоинтегрирования можно рассчитывать амплитудно-фазовые частотные характеристики как четных, так и нечетных гармоник динамических объектов и следящих систем, содержащих существенно нелинейные звенья типа колебательного элемента с сухим трением, с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время.

Представленный полигармонический метод автоинтегрирования для расчета амплитудно-фазовых частотных характеристик динамических объектов и систем управления может найти широкое применение для расчетов, идентификации параметров, оптимизации и анализа устойчивости систем управления вектором тяги ракетных двигателей, систем автоматики двигателей ракетных блоков и других следящих устройств.

Список литературы

1. Вавилов А.А., Солодовников А.И. Экспериментальное определение частотных характеристик автоматических систем. М.-Л.: Госэнерго-издат, 1963. 252 с.

2. Вавилов А.А. Частотные методы расчета нелинейных систем. Л.: Энергия, 1970. 324 с.

3. Белоногов О.Б., Белицкий Д.С., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Шутенко В.И. Исследование переходных процессов втягивания типовых динамических звеньев в вынужденные гармонические колебания // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королев: РКК «Энергия», 1998. Вып. 3-4. С. 245-258.

4. Белоногов О.Б., Белицкий Д.С., Жарков М.Н., Зорин Ю.А., Кудрявцев В.В., Шутенко В.И. Методы расчета частотных характеристик систем управления вектором тяги ракетных двигателей // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королев: РКК «Энергия», 1998.Вып. 3-4. С. 259-284.

Статья поступила в редакцию 15.01.2014 г.