Способ построения имитационной математической модели аэродинамических характеристик воздушного винта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXXIX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 8

№ 1 — 2

УДК 629.7.015.3.035.5

СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ИМИТАЦИОННОИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЗДУШНОГО ВИНТА

И. Д. ВЕРШИНИН , Н. А. ЗЛЕНКО, А. Н. КИШАЛОВ

Изложена методика и результаты построения имитационной математической модели аэродинамических характеристик воздушного винта в виде формулы, аппроксимирующей зависимость расчетного КПД одиночного воздушного винта от девяти параметров, включая параметры невозмущенного потока, коэффициент мощности и параметры, описывающие геометрические характеристики лопастей.

Используемые в настоящее время методы оптимального аэродинамического проектирования воздушных винтов [1] позволяют при заданных значениях числа Маха полета М, числа Маха скорости вращения концов лопастей Мк, коэффициента мощности в, числа лопастей к и максимальной относительной ширины лопасти Ьтах = Ьтах/О (О = 2Я — диаметр винта) найти оптимальную крутку и КПД винта п. При этом должны быть также заданы распределения вдоль относительного радиуса г = г/Я, относительной ширины Ь = Ь/Ьтах и относительной максимальной толщины с = с/Ь сечений лопасти.

Одним из направлений повышения эффективности винта является поиск формы лопасти, обеспечивающей получение максимального КПД. Для решения этой задачи необходимо объединить программу аэродинамического проектирования винта и программу, реализующую какой-либо из методов численной оптимизации. Возможность и эффективность такого подхода были продемонстрированы в ряде выполненных ранее работ (например [2, 3]).

Практическая реализация названного подхода сводится к выбору способа параметризации формы лопасти и подходящего метода численной оптимизации. В настоящей работе применяется один из прямых методов поиска экстремума — комплекс-метод Бокса [4]. Прямой метод используется в связи с тем, что он позволяет учитывать произвольные ограничения, например, неравенства, выполнение которых проверяется численным расчетом прочностных или акустических характеристик винта.

В процессе выполнения настоящей работы программа проектирования оптимального винта была использована при проведении расчетов в различных точках четырехмерного пространства переменных М, Мк, в и Ьтах, названных «внешними». Границы области численного эксперимента задавались в виде простых ограничений на диапазон варьирования каждой из внешних переменных. Область поиска экстремума также задавалась в виде простых ограничений на величины варьируемых геометрических параметров лопасти. В результате было установлено, что число параметров, задающих распределения ширины и толщины лопасти по радиусу, можно сократить до пяти, представив эти распределения в следующем виде:

Ь/Ьщ

Ь = 1 при г < г.

Ь =1-

(1 - Ьк)(Г - Г-)2

(1 - ПГ

при Г > Г1 ,

(1)

с =

1 Г1 — +

с

0

V ск

0

1 - г

о У

Ь

о 0.2

Л 0.4

□ 0.6

V 0.8

й 1

J

где го — относительный радиус втулки или кока винта; г — радиус начала сужающейся части лопасти; Со и Ск — относительные толщины сечений лопасти на относительных радиусах го и 1; Ь — параметр, управляющий распределением толщин сечений по радиусу. Перечисленные геометрические параметры варьируются в процессе поиска оптимума. Примеры изменения формы лопасти и распределений толщин приводятся на рис. 1. Выяснилось также, что априорное задание диапазона изменения коэффициента мощности в, приводит к включению в область экспериментирования точек, в которых значение КПД п не может быть вычислено вследствие ограничений, присущих программе аэродинамического расчета винта. Указанные ограничения отражают тот факт, что аэродинамические характеристики профилей, используемые в программе, относятся к ограниченному диапазону углов атаки и коэффициентов подъемной силы Су сечений лопасти. В этих условиях максимальное значение в, для которого может быть проведен аэродинамический расчет, сложным образом зависит от остальных «внешних» переменных и геометрических параметров лопасти. На основании параметрических расчетов [1] в качестве верхней границы величин в, представляющих практический интерес, принята поверхность

Рис. 1

втах Ьп

_М

1м.2

+1

'м2

л

+ 0.04

(2)

С учетом всего изложенного в составленную ранее программу аэродинамического проектирования воздушного винта были внесены изменения, касающиеся параметризации формы лопасти и диапазона возможных значений коэффициента мощности в. Программа может быть использована для поиска формы лопастей, обеспечивающих получение максимального КПД воздушного винта с учетом различных ограничений, в том числе при изменении аппроксимаций (1).

Возможны ситуации, когда на стадии предварительного проектирования возникает необходимость в быстром определении максимального КПД винта и соответствующих распределений Ь (г), с (г) без учета каких-либо ограничений по прочностным или акустическим характеристикам. Для решения подобных задач целесообразно попытаться построить имитационную математическую модель аэродинамических характеристик воздушного винта, аналогичную эмпирикоматематическим моделям, которые строятся путем аппроксимации результатов испытаний объектов на стендах. В рассматриваемом здесь случае взамен экспериментальных данных, полученных на стенде, используются результаты вычислительного эксперимента.

Первоначально предполагалось строить имитационную модель в виде алгебраических формул, аппроксимирующих зависимости оптимальных значений геометрических параметров лопасти от «внешних» переменных. При таком подходе перед построением модели необходимо задать

в пространстве «внешних» переменных область экспериментирования и наметить план эксперимента. Область экспериментирования задавалась неравенствами:

0.2 < М < 0.6, 0.6 < Ми < 0.8, 0.08<Ьтах < 0.16, 0<р<ртах,

(3)

где втах определялось формулой (2). В качестве первого блока плана эксперимента был выбран полный факторный план 24 [5], предусматривающий проведение численной оптимизации лопасти во всех 16 вершинах параллелепипеда (3). Область поиска оптимума в пространстве варьируемых геометрических параметров задавалась неравенствами

0.2 < г1 < 0.9, 0 < Ьк < 0.99,

0.08 < с0 < 0.25, 0.015 < ск < 0.06, 0.1 < Ь < 1.

(4)

Реализация намеченного плана дала несколько неожиданный результат: во всех случаях оптимальными оказались нижние граничные значения всех параметров кроме ск, оптимальные значения которого соответствовали либо нижней, либо верхней границе заданного диапазона его изменений. В связи с этим пришлось отказаться от намеченного ранее подхода. Было решено попытаться построить имитационную математическую модель воздушного винта в виде формулы, аппроксимирующей зависимость КПД от всех включенных в рассмотрение параметров. В этой постановке область экспериментирования также задавалась в виде параллелепипеда (9-мерного), полученного суперпозицией областей (3) и (4).

С целью установления характера зависимостей КПД от независимых переменных (факторов) была проведена серия из девяти однофакторных экспериментов. В каждом таком эксперименте восемь факторов фиксировались на основных уровнях, т. е. в центрах соответствующих диапазонов изменения, а один фактор варьировался. Полученные таким образом расчетные значения п представлены на рис. 2 — 4, где маркерами отмечены результаты вычислительного эксперимента.

Рис. 2

мощности р. Далее подбирались одномерные формулы, позволяющие аппроксимировать расчетные зависимости КПД от факторов с точностью, достаточной для практических приложений. Выяснилось, что зависимости п от внешних переменных можно аппроксимировать квадратичными параболами, перейдя к новым переменным

0.4

Рис. 4

*1 — >/М,

*3 -3

. Для описания

зависимостей п от геометрических параметров достаточными оказались линейные формулы. Соответствующие аппроксимирующие зависимости, рассчитанные методом наименьших квадратов, показаны на рис. 2 — 4 сплошными линиями.

На основании полученных результатов было решено попытаться представить зависимость П(М, Мм, в, Ьтях, г1, Ьк, с0, ск, Ь) неполным полиномом второй степени

П = О, + £ЧХг + IаХ + I IаЧХгХ! ,

г-1 г-1 і—1 г> ]

(5)

где X 4 = Ьтах, X5 = ^, X6 = Ьк, X7 = с0, X8 = ск, X9 = Ь.

С целью получения исходных данных для определения коэффициентов полинома (5) был реализован план Бокса В9 с центральной точкой [4]. В качестве ядра плана использована полу-реплика 29"1. Этот план содержит 257 точек, т. е. задает 257 комбинаций факторов, при которых должны быть определены значения п по программе аэродинамического расчета.

Следует отметить, что без использования методов математического планирования эксперимента [4] объем исходных данных, необходимых для построения имитационной модели (5), был бы значительно выше. Так например, при использовании наиболее распространенного перебора на сетке с равномерным шагом минимальное количество точек равняется 39 = 19 683, что обуславливает на этапе определения коэффициентов полинома (5) практически непреодолимые вычислительные трудности.

После реализации плана искомые коэффициенты были найдены методом наименьших квадратов. Однако проверка адекватности полученной формулы показала, что часто используемое представление многомерной зависимости в виде полинома второй степени в данном случае оказалось непригодным, поскольку не обеспечивает приемлемой точности аппроксимации. Из сопоставлений значений КПД, полученных в упоминавшихся выше однофакторных вычислительных экспериментах, и значений, найденных по формуле (5), следовало, что хуже всего описывается формулой (5) зависимость КПД от коэффициента мощности. Зависимость п (в) вместе с расчетными значениями показана на рис. 5.

п

и

В условиях отсутствия надежных сведений о виде многомерной аппроксимационной формулы одним из способов повышения точности аппроксимации является увеличение числа членов формулы и применение различных процедур шаговой регрессии. Здесь в качестве новой исходной формулы был выбран неполный полином третьей степени, содержащий 167 членов. План вычислительного эксперимента был расширен путем добавления к каждой строке ядра еще двух строк, отличающихся от строки исходного плана значениями в. В одной дополнительной строке это значение составляло (в нормализованном представлении) -0.5, а в другой +0.5. Таким образом, новый план содержал 531 точку. После реализации этого плана была использована процедура шаговой регрессии с последовательным включением наиболее существенных членов исходной формулы. После выполнения очередного шага процедуры определялись среднеквадратичная ошибка аппроксимации 88, коэффициент множественной корреляции Я и

Б-отношение [5]. Зависимости названных величин от числа шагов К, т. е. от числа включенных в формулу членов, приведены на рис. 6. Видно, что заметное улучшение качества

Рис. 6

.- аппроксимация .- расчет г,/Я - аппроксимация _ 0 г,/Я - расчет

0' 1/0’ к к

0.12

Рис. 7

0.10 0.15

Рис. 8

Ь

0

0.05

0.20

0.25

аппроксимации прекращается после включения в формулу 60 — 70 членов. Было решено остановиться на аппроксимационной формуле, содержащей 66 членов. При этом среднеквадратичная ошибка аппроксимации составляла 0.04, коэффициент множественной корреляции — 0.995. Графики, иллюстрирующие качество аппроксимации на основе полученной многомерной формулы результатов однофакторных вычислительных экспериментов, о которых речь шла выше, приведены на рис. 7 и 8.

Таким образом, получена формула, позволяющая быстро оценивать величину КПД воздушного винта при заданных значениях девяти переменных. Эта же формула может быть использована при определении оптимальной формы лопасти для заданного набора внешних переменных. Если область поиска оптимальных геометрических параметров задана пятимерным параллелепипедом, то поиск экстремума сводится к вычислению КПД в 32 вершинах этого параллелепипеда.

В заключение следует подчеркнуть, что формула справедлива лишь в области, заданной неравенствами (3) и (4). Экстраполяция за пределы этой области недопустима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кишалов А. Н. Расчетное исследование аэродинамических характеристик оптимальных одиночных винтов. Доклад на совещании Советско-французской подгруппы по аэродинамике, авиационной акустике и прочности, 1985 г.

2. Bernstein S. Feasibility study of propeller design for general aviation by numerical optimization // SAE Report 760478. 1976.

3. Mendosa J. P. Propeller design by numerical optimization // SAE Report 770451.

1977.

4. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. — М.: Финансы и статистика, 1981.

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика,

1973.

Рукопись поступила 4/VII2006 г.