CC BY
67
СПЛАЙН-ТЕХНОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ, АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ НАЛИЧИИ СЕЗОННОСТИ
© Ильясов Р.Х.1
Чеченский государственный университет, г. Грозный
В статье рассматриваются преимущества сплайн-подхода при исследовании экономических процессов, подверженных сезонности. Большое внимание уделяется отсутствию проявления эффекта Слуц-кого-Юла при сплайн-аппроксимации временных рядов.
Мониторинг, моделирование, анализ, поиск и выделение циклов, визуализация и прогнозирование экономического поведения на стохастическом рынке всегда актуальны. Всё большую роль в экономическом движении начинает играть «тонкий» состав конъюнктуры - цикличность, стохастический остаток, «событийные составляющие». Для целей прогнозирования особое значение имеет исследование цикличности в динамике экономических процессов. Последнее время отмечается обогащением экономической динамики и прогностики новыми подходами, парадигмами, концепциями, моделями и методами. Одновременно наблюдается скептическое отношение многих исследователей к правомерности использования некоторых методов моделирования циклической или сезонной компоненты. Таким образом, становится необходимым совершенствование методов анализа и прогнозирования, с целью их обоснованного применения.
Формальные методы анализа и прогнозирования экономических процессов основываются на исследовании временных рядов (ВР). Структуру экономического сигнала (ВР) можно представить композицией из пяти частей: конъюнктура = тренд & сезонность & циклическая составляющая & остаточный стохастический шум & «событийная составляющая».
Прогнозированию динамики экономического показателя предшествуют моделирование и анализ как исходного ВР, так и его составляющих. При этом различаются как методы декомпозиции исследуемого ряда, так и определения его составляющих. Таким образом, большую практическую важность приобретает и анализ наиболее распространенных формулировок составных частей временного ряда.
Следуя основной идее статистики, при анализе временного ряда, видимую его изменчивость стараются разделить на закономерную и случай-
1 Старший преподаватель кафедры «Математические методы анализа экономики»
ную составляющие. Закономерные изменения членов временного ряда следуют какому-то определенному правилу и поэтому предсказуемы. Случайная составляющая экономической динамики есть не что иное, как часть процесса, которую не смогли (или невозможно) описать с помощью математических средств и методов. Очевидно, что повышение качества анализа и прогнозирования может быть достигнуто путем повышения степени формализации модели объекта исследования. Это может быть достигнуто путем применения математической модели, наилучшим образом (качественно и количественно) описывающей динамику процесса в отчетном периоде.
Приведем наиболее часто встречающиеся в литературе определения составных частей временного ряда.
- Трендом временного ряда называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.
- Сезонная компонента временного ряда описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов.
- Циклическая компонента временного ряда описывает длительные периоды относительного подъема и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.
- Под интервенцией (событийные составляющие, выбросы, аномальные значения) понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.
- Белым шумом называют временной ряд (случайный процесс) с нулевым средним, если составляющие его случайные величины независимы и распределены одинаково.
Обычно для анализа цикличности или сезонности динамики экономического процесса предлагается набор следующих процедур:
1. Приведение исходного ряда к стационарному виду путем оценки и удаления из него тренда;
2. Исследование ряда на наличие в нем периодических колебаний;
3. Сглаживание полученного ряда скользящими средними при наличии в его динамике аномальных значений;
4. Аппроксимация и интерполяция полиномами по методу наименьших квадратов;
5. Исследование интерполяционной кривой на экстремумы;
6. Вычисление амплитуды и периодов сезонных (циклических) эффектов;
7. Экстраполяция тренда;
8. Восстановление прогнозной динамики исследуемого показателя с учетом распределения сезонных (циклических) эффектов относительно тренда.
Данная последовательность процедур выделения и анализа циклических составляющих является довольно громоздкой и неоднозначной. Рассмотрим ее основные этапы, недостаточная обоснованность которых может привести к неадекватным реальному процессу результатам.
Определение тренда не является строго однозначным, так как по одним и тем же исходным данным могут быть получены его различные выражения, зависящие как от метода аппроксимации, так и от выбора его формы. Это может быть полиномиальная, сплайновая аппроксимация, аппроксимация по методу наименьших квадратов, различные способы сглаживания и т.д. Во всех случаях мы получаем различные аналитические выражения, каждое из которых подходит под определение тренда. Выбор формы тренда при отсутствии четких критериев, нередко зависит от субъективного мнения исследователя и часто является произвольным. Самым распространенным является требование минимальности суммы квадратов отклонений теоретических данных от фактических.
В ходе исследования ряда на наличие периодических колебаний целесообразно его предварительное представление в виде графика непрерывной гладкой кривой. Форма кривой может дать информацию о наличии или отсутствии в динамике исследуемого процесса закономерных колебаний. Также здесь могут быть использованы методы спектрального анализа, но исключение из анализа некоторых частот не может быть аргументировано заранее. Подобная процедура может привести к потере ценной информации о зарождающихся новых тенденциях.
Метод скользящих средних основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее. При этом выбранный интервал времени скользит вдоль ряда. Чем большим выбирается интервал усреднения, тем более гладкий вид принимает график скользящих средних. Считается, что скользящее среднее, сглаживая исходный ряд, дает представление об общей тенденции поведения ряда - его тренде и циклической компоненте. Но данная процедура является наиболее сомнительной при анализе цикличности по следующим причинам:
- соседние члены ряда скользящих средних сильно коррелированны, так как в их формировании участвуют одни и те же члены исходного ряда. Это может приводить к тому, что ряд скользящих средних может содержать циклические компоненты, отсутствующие в исходном ряде. Это явление известно под названием эффекта Слуцко-го-Юла [1];
- экспоненциальное сглаживание, как и взвешенная регрессия, определены с точностью до параметра, который порождает произвол в
выборе степени сглаживания. Кроме того, экспоненциальное сглаживание сдвигает «переломы» тренда (точки смены знака у производной или первых разностей) вправо, что приводит к запаздыванию при определении момента смены тенденций [2];
- так как скользящая средняя относится к середине интервала, а который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных значений сокращается на (п-1) значение при нечетном периоде скольжения и на п значений - при четном периоде скольжения (где п - период скольжения) [3]. Это становится существенным недостатком, если анализ цикличности проводится с целью дальнейшего прогнозирования исследуемого процесса, так как мы теряем информацию о динамике процесса именно на концах ряда;
- в ходе сглаживания исходного ряда теряются его «аномальные значения», которые на более длинных интервалах времени могут продемонстрировать закономерный характер, - например, быть проявлением длинных циклов Кондратьева.
Когда мы хотим выполнить аппроксимацию и (или) интерполяцию полученного ряда циклических (сезонных) эффектов по методу наименьших квадратов, возникают следующие трудности:
- выбор формы аппроксимирующей (интерполирующей) кривой является субъективным;
- если в качестве критерия выбора аппроксимирующей кривой рассматривать точность аппроксимации, то это приводит к повышению степени полинома, в зависимости от длины исследуемого ряда. При таком подходе наилучшей кривой, аппроксимирующей исходный ряд следует считать ту, степень которого на единицу меньше длины рассматриваемого ряда;
- повышение степени полинома приводит к усложнению расчетов и затрудняет возможности экономической интерпретации полученных результатов;
- при полиномиальной аппроксимации наблюдается появление волн, которых нет в реальной динамике процесса, что также приводит к появлению «ложной цикличности» [4].
Если мы исследуем кривую, полученную полиномиальной аппроксимацией на экстремумы, мы сталкиваемся со следующими трудностями:
- если порядок исследуемого полинома меньше длины исходного ряда более, чем на единицу, то остаются точки, которые не представлены явно в полученной зависимости. Это могут быть именно те точки, в которых наблюдается смена тенденции, характерная сезонным или циклическим проявлениям;
- при повышении степени полинома начинают проявляться их колебательные или осцилляционные свойства, не характерные реальному процессу;
- при полиномиальной аппроксимации экстремумы могут наблюдаться не в самих узловых точках (что было бы естественно), а в промежутках между ними, т.е. опять же мы имеем смещение точек смены тенденции как во времени, так и по их значениям.
В связи с недостатками процедур, рассмотренными выше, результаты вычисления амплитуды и периодов циклов становится довольно сомнительным при данном подходе к исследованию. Тогда встает необходимость поиска и апробации новых методов моделирования, анализа, визуализации и прогнозирования экономических процессов, подверженных влиянию сезонности, цикличности, событийных составляющих и т.д. Эти методы должны быть лишены тех существенных недостатков, которые свойственны рассмотренному выше подходу. В качестве такого метода применим аппроксимацию ряда сезонной (циклической) компоненты кусочно-полиномиальными функциями на базе сплайнов [5, 6, 7].
В средние века сплайнами называли тонкие металлические или деревянные рейки, положенные на опоры и нагруженные в отдельных точках свинцовыми грузилами до совпадения прогиба рейки с заданной узловой точкой на чертеже. Чаще всего это были чертежи корпусов парусных судов. Наглядно сплайн-функцию можно представить как положение линейки, закреплённой свободно, с защемлением и т.д. в крайних узловых точках и плавно изгибающейся. Это - «механический» сплайн.
Математические сплайны - это «куски» степенных полиномов, представляющие процесс в промежутках между узловыми точками. Отличительная особенность сплайнов - они состоят из отрезков полинома малого порядка, которые сходятся в заданных узлах процесса (узлах его «решётчатой» функции).
Для апробации предложенного метода рассмотрим временной ряд динамики добычи природного газа, который демонстрирует явно выраженное наличие сезонных эффектов [8].
Первым шагом предлагается приведение ряда к стационарному виду путем выделения из него тренда. Какие требования должны быть существенными для определения вида и формы тренда? Согласно определению тренда, это должна быть плавно изменяющаяся, без циклических (волновых) колебаний линия, являющаяся проявлением центральной тенденции процесса. Следует также учитывать, что тренд должен подвергнуться дальнейшей экстраполяции, т.е. необходимо учитывать поведение модели тренда в перспективе. Таким образом, становятся очевидными следующие требования к модели тренда:
- невысокая степень кривой;
- равномерная скорость роста;
- сохранение темпов роста динамики при экстраполяции.
Наиболее удовлетворяющими данным требованиям являются экспоненциальный (также его модификации) и линейный тренды. Данные о исследуемой динамике свидетельствуют о том, что это может быть линейный тренд - у = 0.006х + 54.027. Ряд, полученный после удаления линейного тренда, как и исходный, демонстрирует явное наличие сезонных эффектов.
Рис. 1. Графики кубического сплайна ряда остатков и ее первой производной, полученные после удаления линейного тренда из ряда месячной динамики добычи природного газа. Точка 0 - январь 2005 г.
Далее необходимо выполнить следующие процедуры:
- исследование ряда на наличие в нем периодических колебаний;
- сглаживание полученного ряда скользящими средними;
- аппроксимация и интерполяция полиномами по методу наименьших квадратов.
Прохождение этих трех этапов гарантирует аппроксимация полученного ряда остатков кубическими сплайнами. Кубические сплайны обладают замечательным оптимизационным свойством, которое называется «внутренней оптимальностью». У кубических сплайн-функций (у’х)
оно выражается теоремой Холлидея, в которой показано, что сплайн-
ь 2
построение минимизирует интеграл: | |£"(хх)| dx ^ тт . Это свойство
а
кубического сплайна называется свойством минимальной кривизны или минимальной нормы. Так как сплайны являются отрезками полиномов,
которые со своими производными сходятся в узловых точках, а также благодаря своей плавности и гибкости, то они наилучшим образом представляют динамику экономического процесса. Они хорошо интерполируют (в отчётном периоде) и экстраполируют (в перспективном) все классы типичных экономических процессов, автоматически и гибко «приспосабливаясь» своими составляющими («кусками», фрагментами) к их сезонности или цикличности. Таким образом отпадает необходимость в сглаживании исследуемого ряда.
На рис. 1 мы видим результаты аппроксимации ряда остатков кубическим сплайном и ее первую производную, после удаления из исходного ряда линейного тренда. Несмотря (благодаря) на пропуск процедуры предварительного сглаживания и большое число узловых точек, сплайн-аппроксимация четко выявила сезонность в исследуемой динамике. При этом нигде не проявляется так называемая «ложная цикличность».
Следующей процедурой является исследование полученной кривой на экстремумы. Из математического анализа известно, что если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет знак, то эта точка является точкой экстремума. Математический сплайн q-го порядка непрерывен и имеет ^ - 1) непрерывную производную, q-я производная может претерпевать в точках соединения (узлах сетки) разрыв с конечным скачком. Куски сплайна «сшиваются» в узловых точках оптимальным образом, значения функции и всех её производных совпадают слева и справа от каждого узла, т.е. ? (х+0) = + +++ +0)+ + 0■1■2...q■ I = 1, п. Тогда ?(х)^/(х)^? (х)^ .. становятся непрерывными функциями во всём интервале [хь х„]. На рис. 1 мы также видим график первой
производной кубического сплайна. Производная показывает соответствие точек смены своего знака с точками экстремума кубического сплайна во всех случаях, т.е. мы не наблюдаем какое либо смещение точек смены знака производной относительно экстремальных точек сплайна.
Следующей процедурой в нашем исследовании является вычисление амплитуды и периодов циклов. Использование сплайн-функций при анализе экономических показателей, делает возможным получение эконометрических законов и прогнозов из фазовых портретов и параметрических картин. Фазовые портреты позволяют исследовать наличие цикличности, дают возможность вычисления периодов циклов и их диаметров (радиусов), облегчают понимание, практическое использование и прогнозирование динамики экономических процессов.
Фазовым портретом называется построенная на плоскости кривая, представляющая собой зависимость первой производной х () от самой переменной Хф, время t играет роль параметра. Известно, например, что замкнутая кривая фазового портрета указывает на периодические колебания переменной Х(.1), расширяющаяся спираль свидетельствует о росте
амплитуды колебаний со временем, «сворачивающаяся» спираль соответствует затуханию колебаний и т.д. [9].
а)
б)
Рис. 2. Фазовые портреты динамики месячных объемов добычи газа (млрд.м3) с января 2005 по декабрь 2007 г.: а) ряд остатков после удаления линейного тренда; б) сглаженный 3-х членной скользящей средней ряд
остатков
Фазовый портрет кубического сплайна динамики объемов добычи газа, полученный из исходного ряда после удаления линейного тренда демонстрирует явное наличие сезонности. Амплитуда сезонных колебаний, а также форма их цикличности почти одинаковы в течении трех рассматриваемых лет. На рис. 2 (а) мы видим, что сезонные эффекты имеют сложную структуру. Так, на фоне общего падения наблюдаются периоды небольшого по объему роста добычи газа. Эти проявления наблюдаются в течение всех трех лет, представленных на графике. На рис. 2 (б) представлен фазовый портрет кубического сплайна, полученный на основе сглаженного 3-х членной скользящей средней ряда остатков после удаления из исходного ряда линейного тренда. Сравнение этих двух фазовых портретов показывает, что сглаживание привело к ухудшению информативности графика. Так, на рис. 2 (б) уже не просматриваются те периоды кратковременного роста объемов добычи, которые есть на фазовом портрете (а), а также имеют место в динамике исходного временного ряда. Но необходимо отметить, что аппроксимация сглаженного ряда кубическим сплайном и представление его в виде фазового портрета не привело к появлению «ложной цикличности». Еще одним существенным недостатком сглаженного ряда можно считать то, что эта процедура привела к сокращению длины ряда на два интервала, причем крайних интервалов. В результате мы получаем смещение значений внутри ряда во времени, и как
следствие - необъективность в определении границы отчетного и прогнозного периодов при экстраполяции.
Рис. 3. Фазовый портрет динамики объемов добычи газа (млрд.м3)
На рис. 3 представлен фазовый портрет динамики объемов добычи газа с января 2006 по январь 2008 г. При аппроксимации кубическим сплайном были использованы значения исходного временного ряда. Данный рисунок показывает, что представление динамики экономического процесса в виде фазового портрета позволяет выявить наличие сезонных (циклических) эффектов еще на первых этапах анализа. Фазовые портреты, полученные аппроксимацией кубическими сплайнами ряда остатков и исходного ряда совершенно идентичны друг другу. Во втором случае сезонность может быть оценена даже лучше, чем при анализе ряда остатков, так как мы сохраняем при этом информацию о динамике процесса в реальных масштабах (единицах). Анализ графика показывает, что во всех январях исследуемого ряда начинается падение объемов добычи газа. В феврале темпы падения добычи замедляются, а в марте начинается небольшой рост, который в апреле снова переходит в падение объемов добычи. Затем в августе снова начинается замедление темпов падения добычи газа, а с сентября динамика добычи показывает стабильные темпы роста до конца года. Представление временного ряда экономического показателя в виде фазового портрета позволяет судить о скорости его изменения во времени. Также мы можем по данному графику оценивать и амплитуду сезонных (или циклических) колебаний. Так, амплитуда колебаний добычи газа в 2007 г. заметно выше амплитуды соответствующего показателя в 2006 г. Дополнительным преимуществом становится возможность сохранения при данном подходе временного параметра, что позволяет судить о длине периодов сезонных колебаний.
Рис. 4. Прогноз динамики добычи газа в 2008 г.
Оценивание сезонных эффектов с помощью аппроксимации соответствующего ряда сплайн-функциями позволяет сохранить в реальном объеме характерные колебания процесса и в перспективе (рис. 4). Восстановление прогнозной динамики процесса путем учета распределения сезонных эффектов вокруг тренда дает результаты более высокого уровня точности, чем при обычном подходе с полиномиальной аппроксимацией и сглаживанием. Данный график демонстрирует явные преимущества сплайн-подхода к моделированию, визуализации, анализу и прогнозированию экономических процессов с сезонными эффектами по сравнению с традиционным подходом, рассмотренным в начале данного исследования.
Перечислим основные преимущества сплайн-подхода при анализе и прогнозировании рядов экономической динамики с сезонными (циклическими) эффектами:
1. При сплайн-аппроксимации длина ряда динамики может быть как угодно большой, так как степень сплайна от этого не зависит;
2. Выбор степени аппроксимирующего сплайна является однозначным в силу хорошо известных и доказанных свойств кубического сплайна, например свойства минимальной кривизны;
3. Невысокие степени сплайна позволяют качественно интерпретировать результаты анализа;
4. Непрерывность сплайн-функций позволяет представить процесс в виде гладкой дифференцируемой кривой;
5. Представление сплайном процесса отдельно между каждой парой значений - в виде отдельного уравнения, дает возможность моделирования и анализа процессов с «аномальными значениями»;
6. Анализ наличия сезонных (циклических) эффектов в динамике исследуемого процесса с помощью фазовых портретов может быть проведен на первом этапе, еще до приведения исходного ряда к стационарному виду путем выделения тренда;
7. Гибкость и плавность сплайн-кривых позволяет не проводить сглаживание ряда, что сохраняет истинную информацию о динамике процесса, а также предотвращает появление «ложной цикличности»;
8. Возможность дифференцирования сплайн-функций позволяет качественно исследовать процесс на наличие экстремумов;
9. Так как куски сплайна «сшиваются» в узловых точках оптимальным образом, а значения функции и всех её производных совпадают слева и справа от каждого узла, то при данном подходе не наблюдаются смещения экстремальных значений процесса, т.е не сдвигаются «переломы» тренда (точки смены знака у производной или первых разностей);
10. Представление сплайн-образа динамики исследуемого процесса в виде фазового портрета исключает возможность проявления эффекта Слуцкого-Юла, так как нет необходимости в сглаживании исходного ряда;
11. Фазовые портреты на базе сплайн-функций позволяют более точно оценивать амплитуду и длину периодов циклов;
12. Фазовые портреты позволяют судить о скорости и направлении динамики исследуемого процесса;
13. Сплайн-функции позволяют наилучшим образом восстановить прогнозную динамику процесса с учетом распределения сезонных (циклических) колебаний относительно тренда.
Система сплайн-функций является конструктивной, позволяя эффективно получать решение, лучшее остальных. Существует много работ, авторы которых (например, [10]), широко используя в экономике сплайны, говорят о десятках их преимуществ.
Предлагаемый метод сплайн-анализа дает исследователю возможность более глубокого анализа динамики и закономерностей экономических процессов. Он позволяет эффективно получать решение без дополнительных представлений, преобразований и допущений. Простота получения сплайнов любых степеней, надежность работы сплайн-аппроксимации, сплайн-экстраполяции и возможности их визуализации являются незаменимым инструментом в руках исследователя для моделирования, анализа и прогнозирования. Сплайн-функции хорошо исследованы и широко применены математиками, что гарантирует правильность и надежность результатов анализа и прогнозирования экономических процессов. Надежность результатов сплайн-анализа обеспечивается также использованием систем компьютерной математики, например MAPLE 9.5 [11].
Список литературы:
1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2003. -544 с.
2. Губанов В.А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей. Научные труды: Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН / Гл. ред. А.Г. Коровкин. - М.: МАКС Пресс, 2005.
- 520 с.
3. Статистика. Учебник / Под ред. проф. И.И. Елисеевой. - М.: ООО «ВИТРЭМ», 2002. - 448 с.
4. Ильясов Р.Х. Сравнение полиномиальной и сплайновой аппроксимации при анализе «событийных составляющих» динамики экспортных цен на природный газ.// Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы IV международной научно-практической конференции. -Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2008. - Ч. 2. - С. 202-211.
5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. - М.: Мир, 1972. - 318 с.
6. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
7. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984.
- 352 с.
8. Краткосрочные экономические показатели РФ (http://www.gks.ru).
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука. 1973.
10. Винтизенко И.Г., Редькина Н.В. Сплайн-технологии моделирования, анализа, визуализации и прогнозирования в экономике.// Материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2004. - Ч. 1. - С. 2631.
11. Дъяконов В.П. Мар1е 9.5/10 в математике, физике и образовании. -М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.
