CC BY
190
Математические структуры и моделирование 2015. №1(33). С. 18-32
УДК 512.815.8
спинорная структура и 8Щ3)-СИММЕТРИЯ
В.В. Варламов
д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Сибирский государственный индустриальный университет
Аннотация. Устанавливается соответствие между определением Вигнера элементарной частицы как неприводимого представления группы Пуанкаре и описанием частицы как вектора супермультиплета группы SU(3). Это соответствие реализуется на основе спин-зарядового гильбертова пространства. Изучаются спинорная структура и спектр масс барионного октета SU(3)-теории. Обсуждается физический смысл унитарного поля Румера-Фета.
Ключевые слова: спинорная структура, спектр масс, алгебры Клиффорда, кварки.
1. Введение
Как известно, пространственно-временные симметрии (включая инверсию пространства P, обращение времени T и комбинацию PT) генерируются группой Пуанкаре и интерпретируются как абсолютно точные преобразования пространственно-временного континуума. С другой стороны, внутренние симметрии, следующие из кварковой феноменологии, основанной на SU(N)-теориях, являются приближенными симметриями (за исключением так называемого цвета). Первая кварковая модель, включающая лёгкие u, d и s кварки, строится в рамках SU(3)-теории. Как правило, частицы (qqq-барионы и qq-мезоны), которые объединяются в супермультиплеты группы SU(3), имеют различные массы. По этой причине SU(3)-теория является приближенной симметрией (по так называемому аромату). Добавление тяжёлых c и b кварков приводит к ещё более приближенным SU(4)- и SU(5)-симметриям в сравнении с SU(3)-моделью трёх лёгких кварков. Очевидно, что дальнейшее расширение кварковой феноменологии по аромату, приводящее к SU(6)-симметрии с учётом t-кварка, является бессмысленным, поскольку существование барионов с t-кварком является крайне маловероятным событием в силу очень короткого времени жизни t-кварка.
Тем не менее, в середине шестидесятых годов прошлого столетия появилась идея об объединении точных пространственно-временных симметрий и приближенных внутренних симметрий в рамках единой теоретической схемы. В результате проведённых исследований выяснилось, что такое объединение возможно только в сильно усечённой форме прямого произведения G = P ® S, где G - произвольная группа Ли, P - группа Пуанкаре, S - группа внутренних
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
19
симметрий (см., например, [1,2]), а также прямой суммы алгебр L = P ф S, где L, P и S соответственно алгебры групп G, P и S. Ограничения L = P ф S и G = P 0 S на объединение пространства-времени и внутренних симметрий были сформулированы в виде так называемых no-go теорем (теорем запрета). Одной из наиболее известных no-go теорем является теорема Коулмена-Мандулы [3]. Группа G понимается в [3] как группа симметрии S-матрицы. Теорема Коулмена-Мандулы утверждает, что группа G с необходимостью является локально изоморфной прямому произведению группы внутренних симметрий и группы Пуанкаре, при этом теорема перестаёт быть истинной, если локальный изоморфизм (G — P 0 S) заменить глобальным изоморфизмом. В 1966 г. Пайс [4] писал: «Существуют ли перед теоремами запрета какие-либо альтернативы ситуации: группа внутренних симметрий0группа Пуанкаре?»
Все no-go теоремы предполагают, что пространственно-временной континуум является фундаментальным уровнем реальности. Однако в согласии с твисторной программой Пенроуза [5,6] пространственно-временной континуум является производной конструкцией относительно спинорной структуры. Спинорная структура содержит в себе прообразы всех основных свойств классического пространства-времени, таких как размерность, сигнатура, метрика и многое другое1. Сходной позиции придерживается Ю.С. Владимиров в своей реляционной теории пространства-времени [13], согласно которой пространствовремя является вторичным понятием относительно бинарной структуры. Параллельно с твисторным подходом, теория декогеренции [14] утверждает, что в основании реальности мы имеем нелокальный квантовый субстрат (квантовый домен), а весь видимый мир (классический домен) возникает из квантового домена в результате процесса декогеренции [15,16]. В этом контексте пространство-время должно быть заменено спинорной структурой (с целью избежать ограничения no-go теорем), а вся проблема объединения пространства-времени и внутренних симметрий должна быть переведена на более глубокий уровень квантового домена (спинорной структуры).
Данная статья представляет один из возможных путей к объединению спинорной структуры и внутренних симметрий. Во-первых, согласно Вигнеру [17] элементарная частица определяется неприводимым унитарным представлением группы Пуанкаре P. С другой стороны, в согласии с 8и(3)-теорией элементарная частица описывается вектором неприводимого представления группы SU(3). Например, в так называемом «восьмеричном пути» Гелл-Манна-Неемана [18] адроны (барионы и мезоны) представлены векторами восьмимерного регулярного представления Sym°1;1) группы SU(3). С целью проложить мост между этими интерпретациями (между представлениями группы P и векторами представлений Sym°1;1), Sym°14), ...) вводится спин-зарядовое гильбертово пространство HS 0 HQ 0 Ите, где каждый вектор этого пространства
Долее того, спинорная структура содержит прообразы всех основных свойств элементарных частиц, таких как спин, масса, заряд (псевдоавтоморфизм A ^ A, [7,8]), инверсия пространства P, обращение времени T и их комбинация PT (фундаментальные автоморфизмы A ^ A*, A ^ A, A ^ A* алгебр Клиффорда [9-12]).
20
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
задаёт неприводимое представление группы SL(2, C)2. При этом зарядовые характеристики частиц описываются псевдоавтоморфизмом спинорной структуры. Действие псевдоавтоморфизма позволяет разделить заряженные и нейтральные частицы внутри зарядовых мультиплетов. С другой стороны, спиновые характеристики частиц следуют из обобщённого понятия спина, базирующегося на спинорной структуре неприводимых представлений группы SL(2, C). Обычное определение спина получается при ограничении группы SL(2, C) на подгруппу SU(2). Данная конструкция позволяет определить действия и представления групп внутренних симметрий (SU(2), SU(3), ...) в пространстве HS ® HQ ® посредством центрального расширения (о технике центральных расширений см. [20, 21]). В данном контексте подробно исследуются спинорная структура, спектр масс и SU(3)/SU(2)-pедyкция барионного октета SU(3)-теopии без использования кварковой схемы. В некотором смысле спинорная структура является более фундаментальной в сравнении с кварковой структурой. Общеизвестно, что кварковая модель не объясняет спектр масс элементарных частиц (это одна из тридцати проблем в перечне Гинзбурга [22]). Массовая формула Гелл-Манна-Окубо объясняет только расщепление масс внутри супермульти-плетов SU(3)-теopии, а именно, гиперзарядовое расщепление масс внутри су-пермультиплетов и зарядовое расщепление внутри изотопических мультиплетов, принадлежащих данному супермультиплету. Аналогичная ситуация имеет место в случае массовой формулы Бега-Синга для гипермультиплетов SU(6)-теории. С другой стороны, в природе наблюдается большое число барионных октетов (см., например, сайт PDG: pdg.lbl.gov), массовые расстояния (полосы) между которыми не имеют удовлетворительного объяснения в рамках кварковой модели. Очевидно, чтобы учесть этот эквидистантный характер спектра масс элементарных частиц, требуется ввести параметр, определяющий зависимость массы от спина. С этой целью показывается, что для частицы спина s = |/ — /|, описываемой представлением (/,/) группы Лоренца SL(2,C), масса пропорциональна (/ + 1/2)(1 + 1/2), а частицы одинакового спина (но различной массы) описываются различными представлениями группы SL(2, C). Введённая массовая формула определяет основные массовые уровни, а детальный спектр масс достигается зарядовым и гиперзарядовым расщеплением масс посредством формулы Гелл-Манна-Окубо (подобно эффекту Зеемана в атомных спектрах). Данная трактовка очень близка к мультииольной теории адронов Румера-Фета [23,24].
2. Спинорная структура и группа Spin+(1,3)
Любое неприводимое конечномерное представление тн- группы SL(2, C) ~ ~ Spin+(1,3) соответствует частице спина s, где s = |/ — 1 | (см. также [12]). 2
2Согласно фон Нейману [19], «природа» векторов абстрактного гильбертова пространства несущественна, существенно лишь выполнение аксиом сходимости, сепарабельности, сложения, умножения и скалярного (внутреннего) произведения.
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
21
Спин s принимает значения
— s, —s + 1, —s + 2, ..., s
или
— |l — l|, — |l — 1| + 1, — |l — 1| + 2,
Числа l и l определяются выражениями
k
2
r 2,
|l—l |.
*
где k и r - числа сомножителей C2 и C2 в тензорном произведении
C2 0 C2 0 ■ ■ ■ 0 C2 бО C2 0 C2 0 ■ ■ ■ 0 C2,
k times
r times
(1)
(2)
ассоциированным с представлением тk/2,r/2 of SL(2,C), здесь C2 и C2 - алгебры
*
бикватернионов, коэффициенты алгебры C2 комплексно-сопряжены относительно C2. В свою очередь, спинпространство §2k+r, ассоциированное с тензорным произведением (2), задаётся следующим выражением:
§2 0 §2 0 ■ ■ ■ 0 §260 §2 0 §2 0 ■ ■ ■ 0 §2 . (3)
k times r times
Обычное определение спина следует при ограничении тн- ^ тг,0 (или т ii ^ т 0 1), т.е. при ограничении группы SL(2, C) на её подгруппу SU(2). В этом случае последовательность значений (1) редуцируется к —I, —l + 1, —l + 2, ..., l (или —l , —l + 1, —l + 2, ..., l).
Пусть
S ^а1а2...акaia2...ar
V sai 0 s“2 0 ■ ■ ■ 0 sak 0 s&1 0 s“2
0 ■ ■ ■ 0 s&r
- спинтензорный полином, тогда любая пара перестановок
а
1 2 .. k ) , в _ ( 1 2 .. Г )
\а а 2 ... а kj \ оц о;2 ... сцу
определяет преобразование (а, в), отображающее S в следующий полином:
р pS _ s«(«l)«(«2)...a(ak)e(ai)e(a2)...e(ar)
Спинтензор S называется симметрическим спинтензором, если для любых а, в выполняется равенство
Рав S _ S.
Пространство Sym(kr) симметрических спинтензоров имеет размерность
dimSym(k,r) _ (k + 1)(r + 1). (4)
22
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
Размерность пространства Sym(k,r) называется степенью представления тн-группы SL(2, C). Легко видеть, что SL(2, C) имеет представления любой степени (в противоположность SU(3), SU(6) и другим группам внутренних симметрий).
Для каждого A е SL(2, C) определим линейное преобразование спинтензора s посредством формулы
_aia2...afc<a ia 2...а r
s
А«1в1 А“2 в2 . . . Aak вк Аа 1/31 Аа 2/?2 ■ ■ ■ Ar вг s^ie2...ekei в2...вг
(в) (в)
где символы (в) и означают въ в2, ..., вк и въ в2, ..., вг. Это представ-
ление группы SL(2, C) обозначим тk r = тн-. Каждое неприводимое конечномерное представление группы SL(2, C) эквивалентно одному из представлений
т k/2,r/2.
Все представления тн- могут быть сгруппированы в спиновые мультипле-ты в гильбертовом пространстве Н^+1 ® Нте (см. Рис. 1). Н^+1 ® Нте является подпространством более общего спин-зарядового гильбертова пространства HS 0 HQ 0Нте. Вертикальные линии (спиновые линии) соответствуют частицам одинакового спина, но различной массы. Горизонтальные линии (спиновые цепочки или спиновые мультиплеты) соответствуют частицам одинаковой массы, но различного спина. Вдоль каждой спиновой цепочки числа l и l изменяются следующим образом:
, , 1 , , , 3 ;
l, 1 + 2, 1 +1, 1 + 2, ..., l,
l, l
-, l
2’
1, l
3 2,
, l.
Следовательно, вдоль каждой спиновой цепочки имеют место представления
ти, Т1+2,i-1, тг+1,г-1, т1+3,i-1,
, т ii,
где спин s = l — l изменяется следующим образом:
l — l , l — l + 1, l — l + 2, l — l + 3, ..., l — l.
Например, рассмотрим спиновую цепочку (7-плет)
(0,3) ___ (1 5) ( 2 , 2 ) — (1,2) ___ (3 3) ( 2,2 ) — (2,1) ___ (5 1) ( 2,2 ) — (3,0)
• • • • • • •
3 2 1 0 — 1 2 3
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
23
(о. 2)
(0,3)
- (2.3) (1.2) • (2.2) • (2.2) (2.1) • ■Ч1. со
• •
(1 5) ( 2 2 ) • (1.2) • (3 3) ( 2.2 ) • (2.1) • (5 1) ( 2.2 ) •
(0.2) • (2.2) • (1.2) • -ч (2.1) • (2.2) • (2. 0) •
1 1 1 (0.2) • (1 3) ( 2 2 ) • (1.1) • (3 1) ( 2.2 ) • (2 .0) • 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 (0.2) • (2.1) • -ч [- (1.2) • (2. 0) • 1 1 1 1 1 1 1
(3.0)
(0.1)
(11) ( 2.2 )
(1.0)
(0.2) __ + __ (1.0) • •
(0.0)
(0.1)
(0.2) __4__ (1.0)
• •
(1 1) ( 2.2 )
(1.0)
(0.3)
(0 2)
1 1 1 1 1 1 1 (0.2) • (2.1) • -ч- (1.2) • (2. 0) • 1 1 1 1
1 1 1 (0.2) • (1 3) ( 2.2 ) • (1.1) • (3 1) ( 2.2 ) • (2 .0) •
(0.2) • (2.2) • (1.2) • -ч Ч- (2.1) • (2.2) •
(1 5) ( 2.2 ) • (1 2) • (3 3) ( 2.2 ) • (2.1) • (5 1) ( 2.2 •
- (2.3) (1.2) • (2.2) • (2.2) (2.1) •
• • \ 1 1 1
(2.0)
(3.0)
(3.2) ... (7.0)
Рис. 1. Спиновые мультиплеты пространства Hfs+1 ® Ите. Верхний конус муль-типлетов представляет собой материю, нижний (отражённый) - антиматерию.
На уровне спинорной структуры с этим спиновым мультиплетом ассоциирована следующая последовательность алгебр:
C2 ® C2 ® C2 ® C2 ® C2 ® C2 <—у C2 Q£) C2 ® C2 ® C2 ® C2 ® C2 <—у
i---У C2 ® C2 С2 ® C2 ® С2 ® С2 i-------У C2 ® C3 ® C2 С2 ® C2 ® С2 i-У
i---У С2 ® С2 ® С2 ® С2 (S^) С2 ® С2 i--У С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 (S^) С2 i-У
7
5
3
1
1
3
5
7
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
i-У С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2.
24
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
Волновые уравнения для полей типа (/, 0) ф (0,/)3 и их решения в виде рядов по гиперсферическим функциям даны в [25-30]. Следует отметить, что волновые уравнения для полей (/, 0) ф (0,/) соответствуют обычному определению спина. В свою очередь, волновые уравнения для полей типа (/,/)ф(/,/)4 (произвольные спиновые цепочки) и их решения в виде рядов по обобщённым гиперсферическим функциям изучены в [31]. Волновые уравнения для произвольных спиновых цепочек (спиновых мультиплетов) соответствуют обобщённому спину s = |/ - / |.
2.1. Интерпретация Вигнера
Как известно, одно из основных положений релятивистской квантовой теории поля гласит, что векторы состояния квантовой системы образуют унитарное представление группы Пуанкаре P = T4 ©SL(2, C), т.е. квантовая система определяется унитарным представлением группы P в гильбертовом пространстве . В 1939 г. Вигнер [17] ввёл следующее (общепринятое в настоящее время) определение элементарной частицы.
Квантовая система, описываемая неприводимым унитарным представлением группы Пуанкаре, называется элементарной частицей.
Действие группы SL(2, C) на пространстве-времени Минковского R1,3 приводит к разделению пространства-времени R1,3 на орбиты O. Перечислим типы существующих орбит:
1. от : Р2 - pi - pi - p3 = m2, m > 0, po > 0;
2. ОД : p2 - pi - p2 - p3 = m2, m > 0, po < 0;
3. Oim : p2 - pi - p2 - p2 = -m2, m > 0;
4. O+ : p2 - p2 - p2 - p3 = 0, m = 0, po > 0;
5. O- : p2 - p2 - p2 - p3 = 0, m = 0, po < 0;
6. O0 : 0 = (0, 0, 0, 0), m = 0.
Таким образом, имеем шесть типов неприводимых унитарных представлений U группы P, соответствующих орбитам O. Каждое представление U действует в гильбертовом пространстве Ите. Например, в случае орбиты O^ имеем представление Um,+,s, которое описывает массивную частицу спина s и массы m, где s = |/ - / |. При этом существует бесконечно много массовых орбит (гиперболоидов) типа O^ и Om, где распределение масс задаётся формулой
m<‘> = м0 (/ + 0 (/ + 0 , (5)
здесь s = |/ - / |. Представление Um,+,s действует в пространстве H™,+,s.
3Поля, расположенные на образующей конуса представлений в Hfs+1 ® Ито, см. Рис. 1. 4Поля, расположенные внутри конуса представлений.
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
25
3. Барионный октет F\/2 группы SU(3) и SU(3)/ SU(2)-редукция
В этом параграфе рассмотрим подробно один из базовых супермультиплетов SU(3)-тeopии (барионный октет F^5), основанный на восьмимерном регулярном представлении Sym°11), а также его редукцию на изотопические мульти-плеты подгруппы SU(2). Как известно [24], SU(3)/SU(2)-pедyкция регулярного представления Sym°1;1) даётся следующим выражением:
*
Sym011) = Ф3 ® Ф2 ® Ф2 ® Фо, (6)
где Ф3, Ф2, Ф2, Ф0 - зарядовые мультиплеты подгруппы SU(2), Ф3 - триплет, Ф2
*
и Ф2 - дублеты, Ф0 - синглет. Ниже мы рассмотрим SU(3)/SU(2)-pедyкцию и спектр масс октета F1/2 с точностью до зарядовых мультиплетов.
F1/2 является фермионным супермультиплетом группы SU(3), содержащим барионы спина 1/2. Следовательно, все частицы супермультиплета F1/2 описываются векторами абстрактного гильбертова пространства HS ® HQ ® Ите, принадлежащими линии спина 1/2 с положительной чётностью P2 = 1. В согласии с (6), SU(3)/SU(2)-pедyкция октета F1/2 приводит к следующим зарядовым мультиплетам:
Фз :
Ф2 :
Ф2 :
Е+ = со со ь- Sym(67,66) C266, S2133 , P2 = 0 ■
Е0 = со со ь- Sym(67,66) C135,131, S2133 , P2 = 1 ), (7)
Е- = со со Ь- Sym(67,66) C266, S2133 , P2 = 1 )■
P = т c т 59,29, Sym(59,58), C234, S2117 , P2 = 1 ) ■ (8)
N = т r т f ,29, Sym(59,58), ^119,1^ S2117 , P2 = 1 ■
— — т c т 71,35 Sym(71,70) C282, S2141, P2 = 1 ) ■ \ (9)
Н0 = т r т71,35 Sym(71,70) ^143,139, S2141, P2 = 1 ■
Фо : Л
Т 625,32, Sym(65,64),
С^131,127, S2129 , P2 = 1
(10)
Здесь Ф3 - Е-триплет, Ф2 - нуклонный дублет, Ф2 - H-дублет, Ф0 - Л-синглет.
Определим нуклонный дублет, т.е. протонное |e1) = P и нейтронное |e2) = N состояния в рамках представления т% . Представление т% дей-
ствует в пространстве Sym(59,58) степени 3540. Пусть C ® C?119,115 ~ C234 -алгебра Клиффорда, ассоциированная с протонным состоянием |e1) = P. Вещественная подалгебра Q?119,115 имеет кватернионное кольцо деления K ~ H, тип
5«Восьмеричный путь» Гелл-Манна [18] начинается с этого октета.
26
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
p—q = 4 (mod 8), и чётность с квадратом P2 = 1. Далее, пусть §2117 - комплексное спинпространство, ассоциированное с \e\) = P (CPT-группа состояния P действует в этом спинпространстве). В свою очередь, нейтронное состояние \e2) = N описывается вещественным представлением тгЬ9 , принадлежащим
также линии спина 1/2 с алгеброй Клиффорда О?119)115 и кватернионным спинпространством S2ii7(H). Таким образом, векторы нуклонного дублета задаются выражениями (8).
Согласно массовой формуле (5) и схеме зацеплений (см. рис. 1), следующим представлением на линии спина 1/2 после т% (нуклонный дублет) является
4556-мерное комплексное представление т0^ 33, поскольку ms/me « 2280. Это представление может быть идентифицировано с Е-триплетом. Здесь имеются три зарядовых состояния: \ei) = Е+, \e2) = Е0 и \e3) = Е-. Представление т% 33 действует в пространстве Sym(67 66) степени 4556. Пусть C ® О?135;131 ~
C266 - алгебра Клиффорда, ассоциированная с состоянием \e1) = Е+. Вещественная подалгебра О?135;131 имеет кватернионное кольцо деления K ~ H (тип p — q = 4 (mod 8)) и, следовательно, чётность с квадратом P2 = 1. Далее, пусть S2i33 - комплексное спинпространство, ассоциированное с состоянием \e1) = Е+, а также с \e3) = Е- (CPT-группы состояний Е+ и Е- действуют в этом спинпространстве). В свою очередь, состояние \e2) = Е0 описывается
вещественным представлением те7 „„, принадлежащим также линии спина 1.2
2 ,33
с алгеброй Клиффорда О?135;131 и кватернионным спинпространством S2i33(H). Векторы Е-триплета в пространстве HS ® HQ ® задаются выражениями (7). Е-дублет строится в рамках комплексного представления т05 орбиты Oi„
и степени 5112, поскольку ms/me ~ 2520. Это представление принадлежит линии спина 1/2 с положительной четностью (P2 = 1) и действует в пространстве Sym(7170). На уровне спинорной структуры с состоянием \e1) = Е-ассоциированы алгебра C282 ~ C ® О?143;139 и комплексное спинпространство S2i4i. Вещественная подалгебра О?143;139 имеет кватернионное кольцо K ~ H, тип p — q = 4 (mod 8), следовательно, P2 = 1. Состояние \e2) = Е0 описывается
вещественным представлением тг75 , принадлежащим также линии спина 1/2
2 ,35
с алгеброй Клиффорда О?133;139 и кватернионным спинпространством S2i4i(H). Векторы E-дублета определяются выражениями (9).
Л-синглет определяется в рамках представления тГб 32 орбиты O^A и сте-
пени 4290, поскольку тЛ/те ~ 2140. Это представление принадлежит линии спина 1/2 и действует в пространстве Sym(65 64). Вещественная алгебра О?131;127 (тип p — q = 4 (mod 8), K ~ H, P2 = 1) и спинпространство S2i29 (H) ассоциированы с Л-синглетом на уровне спинорной структуры. Вектор, описывающий Л-синглет в пространстве HS ® HQ ® Нте, имеет вид (10).
Зарядовые мультиплеты, рассмотренные выше, составляют восьмимерное регулярное представление группы SU(3), в рамках которого определяется октет F1/2 (см. Рис. 2). При этом мы не использовали кварковую структуру октета F1/2, поскольку эта структура является производной конструкцией, исходящей от SU(3)-cимметpии. Кварковая схема сама по себе является результатом пере-
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
27
формулировки теории представлений группы SU(3) в терминах тензорных произведений векторов фундаментальных представлений Sym°10) и Sym°01). Так, кварки u, d, s описываются в рамках представления Sym01;O), а антикварки u, d, s в рамках Sym0O)1). Кварки и антикварки имеют дробные заряды Q и гиперзаряды Y. Каждый адронный супермультиплет может быть построен из кварков и антикварков в тензорном пространстве Ck,r, которое соответствует
стандартному представлению группы SU(3). Пространство Ck,r является тензор*
ным произведением k пространств C3 и r пространств C3. Кварковое строение отдельной частицы, принадлежащей данному супермультиплету группы SU(3), определяется следующим образом. 1-базис конструируется из собственных векторов операторов заряда Q и гиперзаряда Y в пространстве неприводимого представления данного супермультиплета. Эти базисные векторы представляют частицы супермультиплета; каждый из них лежит в пространстве Ck,r и, следовательно, выражается посредством полинома от базисных векторов e1, e2, e3
*
пространства C3 и базисных векторов ё1, е2, е3 пространства C3 степени k + r. Замена e1, e2, e3, e1, e2, e3 через u, d, s, u, d, s приводит к кварковому составу частицы. Предполагается, что кварки и антикварки имеют спин 1/2 (отметим, что спин не является объектом SU(3)-теopии). Отсюда непосредственно следует, что максимальный спин частицы, состоящей из k кварков и r антикварков, равен (k + r)/2. При нечетном k + r получаются частицы с полуцелым спином - фермионы, а при чётном k + r - частицы с целым спином, т.е. бозоны.
В связи с этим интересно отметить, что k + r тензорных произведений би*
кватернионных алгебр С2 и С2 в (2), которые генерируют спинорную структуру, приводят к фермионному представлению группы Spin+(1, 3) при нечётном k + r и к бозонному представлению при чётном k + r (см. спин-линии на рис. 1). Благодаря различию в размерностях базовых составляющих в тензорных произведениях (n =2 для спиноров и n =3 для кварков), которые определяют спинорную и кварковую структуры, можно предположить, что спиноры более фундаментальны чем кварки.
Р
2+
uus
Рис. 2. Барионный октет F1/2. Каждый барион октета является вектором гильбертова пространства HSПриведена кварковая структура барионов согласно SU(3)-теории.
28
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
4. Спектр масс
В этом параграфе рассмотрим спектр масс барионного октета Fi/2. В определении спектра масс существенную роль играет комплексный момент. Комплексный момент представляет собой квантово-механический оператор энергии, генерирующий базисные энергетические уровни, которые соответствуют неприводимым представлениям группы SL(2, C) (группы Spin+(1, 3) на уровне спинорной структуры). С другой стороны, базисные энергетические (массовые) уровни соответствуют элементарным частицам, которые группируются в спиновые мультиплеты согласно зацепляющимся схемам6 и определяются как векторы в пространстве HS ® HQ ® Ите. Следующее массовое (гиперзарядовое и зарядовое) расщепление базисных массовых уровней генерируется действием группы SU(3) в пространстве HS®HQ®H^. Действие группы SU(3) аналогично эффекту Зеемана в атомных спектрах, т.е. посредством SU(3)/SU(2)-pедyкции это действие приводит к различным массовым уровням внутри зарядовых муль-типлетов. Схематично спектр масс данного супермультиплета группы SU(3) в SU(3)/SU(2)-pедyкции может быть определён следующим образом. Базисные массовые уровни (термы) описываются формулой
mV = l + 2) , * = 1,..., ^,
где s = |l — 11, у0 - минимальная масса покоя, N - число зарядовых мультипле-тов подгруппы SU(2) в данном супермультиплете группы SU(3). Массы частиц, принадлежащих супермультиплету, равны
m
m° + a + fiYj + y
Ij (Ij + 1)
1 j
4 j
+
+ a
в 'Qj + Y
Uj (Uj +1)
- Q2
4 QJ
j = 1, ...,M, (11)
где
m°
(s)
m\
I (s) . I (s)
+ m2 + ... + mN
N
(12)
M - число частиц, входящих в супермультиплет, Qj и Yj - заряды и гиперзаряды частиц, Ij и Uj - изотопические спины7.
Центральную роль в процессе декомпозиции гильбертова пространства играет унитарное иоле Румера-Фета Zba.
\/3 0 0 2/3 0 0
Z = C 0 1/3 0 + C' 0 — 1/3 0 , (13)
0 0 — 2/3 0 0 — 1/3
6Напомним, что масса частиц, принадлежащих любой спиновой цепочке (горизонтальной линии на рис. 1) одна и та же.
71- и U-спины соответствуют различным фиксациям подалгебры su(2) в алгебре su(3).
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
29
где С' ^ С. Первый член в (13) расщепляет супермультиплет группы SU(3) на I-мультиплеты подгруппы SU(2) согласно различным собственным значениям гиперзаряда Y. Второй член в (13) генерирует зарядовое расщепление I-мультиплетов.
Физический смысл унитарного поля неясен (см. [23,24]). Поле Zba не является одним и тем же для всех супермультиплетов SU(3)-теopии. Однако Z-поля различных супермультиплетов отличаются друг от друга только двумя вещественными параметрами. Z-поле типа (13) также имеет место при SU(6)/SU(3)-pедyкции в SU(6)-теopии. В некотором смысле Z-поле может быть идентифицировано с нелокальным квантовым субстратом в теории декоге-ренции [32]. В данном контексте аналогия с эффектом Зеемана или с тонкой (и сверхтонкой) структурой атомного спектра позволяет представить Z-поле как математическое описание (декомпозиция гильбертова пространства) процесса декогеренции (локализации) частиц, т.е. редукции исходного квантового субстрата в виде локализованных частиц при данном уровне энергии.
Прежде всего, рассмотрим массовое расщепление октета Fi/2 на мультиплеты подгруппы SU(2), определяемое первым членом в формуле Гелл-Манна-Окубо (11). В этом случае унитарное поле имеет вид
Z = С
и, следовательно, из (11) при а'
1/3 0 0
0 1/3 0
0 0 -2/3
в' = y' = 0 получим
m
mo + а + eY + y
I (I +1)
4Y 2
(14)
Поскольку на этом шаге мы пренебрегаем расщеплением масс внутри мультиплетов, то из формулы (14) непосредственно следует гиперзарядовое расщепление масс, приведённое в таблице 1. В таблице 1 N - нуклонный дублет
Таблица 1. Гиперзарядовое расщепление масс октета f\/2.
I Y mexp mth
hH 1 2 -1 1318 mo + а 'C' ^h|<N + 1
Е 1 0 1192 mo + а + 2y
Л 0 0 1115 mo + а
N 1 2 1 939 mo + а + в + 2 y
(N+ = P, N0 = N), а Е-триплет, Е- и N-дублеты определены в предыдущем параграфе. Исключая неизвестные параметры, получим следующие соотношения между массами:
ms + mN = 2m0 + 2а + y
31
2 mл + 2 mCT, ms + mw
1
2
(З-шл + ms).
30
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
С другой стороны, поскольку mo является внешним параметром относительно 8и(3)-теории, то можно предположить, что mo описывается массовой формулой (5), определяющей связь между массой и спином. Для каждого су-пермультиплета группы SU(3) параметр m0 является средним значением всех масс, соответствующих зарядовым мультиплетам. В случае барионного октета Fi/2 из формулы (12) следует
то = ^(тм + тл + ms + ms),
где базовые массовые уровни mN, mл, ms, ms определяются массовой формулой (5).
Зарядовое расщепление октета Fi/2 определяется вторым членом в формуле (11) и, следовательно, мы приходим к полной линейной формуле Гелл-Манна-Окубо. В этом случае унитарное поле Румера-Фета описывается выражением (13). Учитывая значения U-спина, вычислим теоретические массы всех частиц, принадлежащих барионному октету Fi/2. Результаты приведены в таблице 2.
Таблица 2. Зарядовое расщепление октета Т\/2.
Q mexp mth
— hH -1 1320 8 mo + a - в + 2 Y + a' + в' + 2 Y'
0 1314 3 mo + a - в + 2 Y + a' + 2y '
£- -1 1197 1 mo + a + 2y + a' + в' + 2 Y'
£0 0 1192 4 mo + a + 2y + a' + 2y '
£+ 1 1189 4 mo + a + 2y + a' - в' + 2 Y'
Л 0 1115 4 mo + a + a'
N 0 939, 5 mo + a + в + 2 Y + a' + 2y'
P 1 938, 3 mo + a + в + 2 Y + a' — в' + 2y '
Фермионный супермультиплет Fx/2 имеет двойника, составленного из античастиц, Fх/2. Более того, согласно правилу суперотбора, октеты Fi/2 и Fi/2 являются когерентными подпространствами гильбертова пространства HS 0 HQ 0 по спину (s = 1/2) и чётности (P2 = 1). С другой стороны,
Fi/2 и Fi/2 образуют различные когерентные подпространства относительно барионного числа.
Литература
1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М. : Мир, 1980.
2. Michel L. Invariance in quantum mechanics and group extension. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. Gordon & Breach, New York, 1964. P. 135-200.
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
31
3. Coleman S., Mandula J. All Possible Symmetries of the S Matrix // Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 1251-1256.
4. Pais A. Dynamical Symmetry in Particle Physics // Rev. Mod. Phys. 1966. V. 38. P. 215-255.
5. Penrose R. The twistor programme // Rep. Math. Phys. 1977. V. 12. P. 65-76.
6. Penrose R., MacCallum M.A.H. Twistor theory: an approach to the quantization of fields and space-time // Physics Reports. 1972. V. 6. P. 241-316.
7. Варламов B.B. Дискретные симметрии на пространствах фактор-представлений группы Лоренца // Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 7.
C. 114-127.
8. Varlamov V.V. Universal Coverings of Orthogonal Groups // Adv. Appl. Clifford Algebras. 2004. V. 14. P. 81-168; arXiv:math-ph/0405040 (2004).
9. Varlamov V.V. Discrete Symmetries and Clifford Algebras // Int. J. Theor. Phys. 2001. V. 40. P. 769-805; arXiv:math-ph/0009026 (2000).
10. Varlamov V.V. The CPT Group in the de Sitter Space // Annales de la Fondation Louis de Broglie. 2004. V. 29. P. 969-987; arXiv:math-ph/0406060 (2004).
11. Varlamov V.V. CPT groups for spinor field in de Sitter space // Phys. Lett. B. 2005. V. 631. P. 187-191; arXiv:math-ph/0508050 (2005).
12. Varlamov V.V. CPT Groups of Higher Spin Fields // Int. J. Theor. Phys. 2012. V. 51. P. 1453-1481; arXiv:1107.4156 [math-ph] (2011).
13. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Ч. 1. Теория систем отношений. М. : МГУ, 1996.
14. Joos Е., Zeh H.D., Kiefer C., Giulini D.J.W., Kupsch J., Stamatescu I.-O. Decoherence and Appearence of a Classical World in Quantum Theory. Springer-Verlag, 2003.
15. Zurek W.H. Decoherence, Einselection, and the Quantum Origins of the Classical // Rev. Mod. Phys. 2003. V. 75. P. 715; arXiv:quant-ph/0105127 (2001).
16. Zurek W.H. Decoherence and the transition from quantum to classical - REVISITED // arXiv:quant-ph/0306072 (2003).
17. Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group // Ann. Math. 1939. V. 40. P. 149-204.
18. Gell-Mann M., Ne’eman Y. The Eightfold Way. Benjamin, New York, 1964.
19. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М. : Наука, 1964.
20. Зиновьев Ю.М. О расширениях, связанных с группой Пуанкаре // ТМФ. 1973. Т. 15. С. 139-141.
21. Хрущев В.В. Центральные расширения группы Пуанкаре // ТМФ. 1975. Т. 22.
С. 422-424.
22. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными // УФН. 1999. Т. 169. С. 419-441.
23. Румер Ю.Б., Фет А.И. Мультипольная теория адронов // Ядерная физика. 1969. Т. 9. С. 1077-1084.
24. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория унитарной симметрии. М. : Наука, 1970.
25. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations // Int. J. Theor. Phys. 2003. V. 42. P. 583-633; arXiv:math-ph/0209036 (2002).
26. Varlamov V.V. Relativistic wavefunctions on the Poincare group // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. V. 37. P. 5467-5476; arXiv:math-ph/0308038 (2003).
27. Varlamov V.V. Maxwell field on the Poincare group // Int. J. Mod. Phys. A. 2005.
32
В.В. Варламов. Спинорная структура и 3и(3}-симметрия
V. 20. Р. 4095-4112; arXiv:math-ph/031005i (2003).
28. Варламов В.В. Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1) в терминах функций на группе Пуанкаре // Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
С. 74-91.
29. Varlamov V.V. Relativistic spherical functions on the Lorentz group // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. P. 805-822; arXiv:math-ph/0507056 (2005).
30. Varlamov V.V. Spherical functions on the de Sitter group // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. V. 40. P. 163-201; arXiv:math-ph/0604026 (2006).
31. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations II: Arbitrary Spin Chains // Int. J. Theor. Phys. 2007. V. 46. P. 741-805; arXiv:math-ph/0503058 (2005).
32. Zurek W.H. Decoherence, Einselection, and the Existential Interpretation (the Rough Guide) // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A. 1998. V. 356. P. 1793-1820; arXiv: quant-ph/9805065 (1998).
spinor structure and su(3)-symmetry
V.V. Varlamov
Doctor of Mathematics and Physics, e-mail; [email protected] Siberian State Industrial University
Abstract. A correspondence between Wigner definition of elementary particle as an irreducible representation of the Poincare group and SU(3)-description of the particle as a supermultiplet vector is established. This correspondence is realized on the ground of a spin-charge Hilbert space. Spinor structure and mass spectrum of baryon octet are studied. A physical sense of Rumer-Fet unitary field is discussed.
Keywords: spinor structure, mass spectrum, Clifford algebras, quarks.
