CC BY
264
КОНЦЕПТ
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт. -
^о-^тоъи^ „¿„прошив щрш» --0,3 Гол. - URL.
ART 14258 УДК 378.147 Эл № фс 77-49965. - issn 2304-120X.
Кузьмиченко Максим Витальевич,
студент физико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Ишимский государственный педагогический институт им. П. П. Ершова», г. Ишим
Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла»
Аннотация. В статье предлагается программа спецкурса для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов.
Ключевые слова: спецкурс, дифференциальные уравнения, приложения дифференциальных уравнений.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
В ходе преподавания такой дисциплины, как «Дифференциальные уравнения», уделяется мало внимания прикладной составляющей дифференциальных уравнений. Разные науки (химия, биология, физика) имеют задачи, основным способом решения которых является составление и решение дифференциального уравнения.
При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений ученые могут составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса [1].
Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями [2]. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения. Можно также написать дифференциальные уравнения движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли.
Многие законы и соотношения, используемые в этих науках, даются студентам в готовом, оформленном виде, что негативно сказывается на уровне усвоения знаний и понимания учебного материала.
Например, из курса физики известно, что давление с увеличением высоты над уровнем моря изменяется по формуле
p = p0 ■ e RT - барометрическая формула, где p0 - атмосферное давление над уровнем моря, h - высота над уровнем моря,
M - молярная масса сухого воздуха, R - универсальная газовая постоянная, T -абсолютная температура воздуха, g - ускорение свободного падения. Возникает вопрос: «Каким образом получено это аналитическое выражение?» На этот и подобные вопросы призван ответить данный спецкурс «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла». Цели спецкурса мы видим в следующем.
1) Актуализировать и обобщить знания студентов по составлению и решению простейших дифференциальных уравнений.
2) Показать практическое приложение дифференциальных уравнений при решении задач других наук.
3) Наладить межпредметные связи математики с другими науками естественного цикла.
(Vi Л nj
КОНЦЕПТ
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт. -
ио^о-^оЪичесаш эЛ^ро^и щрна, --°'3 Гол. - Ц£.
ART 14258 УДК 378.147 Эл № ФС 77-49965. - ISSN 23°4-12°X.
Достижение данных целей окажется возможным только при решении следующих задач:
1) Развивать навыки решения простейших дифференциальных уравнений.
2) Рассмотреть решение некоторых междисциплинарных задач при помощи дифференциальных уравнений.
После окончания данного спецкурса студенты физико-математических факультетов получат более широкое представление о дифференциальных уравнениях и способах их решения.
По завершении спецкурса студенты должны знать:
- стандартный вид простейших дифференциальных уравнений;
- алгоритм составления дифференциального уравнения по условию задачи;
- способ получения некоторых стандартных формул дисциплин естественного цикла. По завершении спецкурса студенты должны уметь:
- решать стандартные простейшие дифференциальные уравнения;
- решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;
- производить доказательство некоторых стандартных формул дисциплин естественнонаучного цикла.
Спецкурс предназначен для студентов IV курса физико-математических факультетов. Программа спецкурса рассчитана на 22 аудиторных часа.
Тематический план спецкурса
Номер занятия Тема Количество часов занятий
лекционных практических
1-4 Способы решения некоторых простейших дифференциальных уравнений 2 2
5-6 Геометрическое приложение дифференциальных уравнений 0 2
7-8 Физическое приложение дифференциальных уравнений 0 2
9-10 Приложение дифференциальных уравнений в науках естественного цикла 0 2
11 Зачётное занятие
Перечень дидактического материала:
1) Виленкин В. И., Бохан К. А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. - М.: Просвещение, 1971. - 336 с.
2) Давыдов Н. А., Коровкин П. П. и др. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Просвещение, 1973. - 256 с.
3) Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис-пресс, 2013. - 608 с.
Несмотря на небольшое количество часов, отведённое на спецкурс, данная дисциплина позволит существенно расширить представление студентов о различных математических моделях, позволит закрепить практические умения по составлению и решению дифференциальных уравнений.
Рассмотрим одну из задач данного спецкурса.
Задача 1. Вывести зависимость давления газа р от высоты Л в гравитационном поле Земли.
КОНЦЕПТ
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт. -
^о-^тоъи^ „¿„прошив щрш» --0,3 Гол. - URL.
ART 14258 УДК 378.147 Эл № фс 77-49965. - issn 2304-120X.
Решение. Рассмотрим произвольную цилиндрическую колонну газа высотой h с площадью горизонтального сечения S. Тогда давление, оказываемое этой колонной, будет равно
F mg pVg pShg
p = S=mf ^= V= pgh, (1)
так как m = pV, V = Sh, где m - масса газа, p - плотность газа, V - объём газа, g -ускорение свободного падения. Вывод формулы (1) был не обязателен, так как эта формула известна из школьного курса. Теперь выделим из этой колонны газа высотой h небольшой столб, равный по сечению исходной колонне, но с высотой dh .
Очевидно, что такой слой газа вызывает изменение давления на величину
dp = -pgdh. (2)
Знак минус означает, что с увеличением высоты давление будет уменьшаться. Будем рассматривать атмосферный воздух как идеальный газ, следовательно, для него справедливо уравнение Менделеева - Клапейрона:
,, m pV = — RT, M
где M - молярная масса сухого воздуха, R - универсальная газовая постоянная, T -
абсолютная температура воздуха. С учётом вышеуказанных соотношений имеем:
.. pVRT pRT pM
pV = --^ p = -—^p =. (3)
M M RT
С учётом (2) и (3) имеем:
dp = -p^gdh ^ d-p = -Mgdh. (4)
p RT p RT V '
Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем:
f ^ = -f ^dh ^ ln|p| = -^ + lnС ^ p = С■ e^. J p f RT 11 RT
Константу С определим из начального условия p(h = 0) = p0.
-Mg.h
p = po ■ eRT . (5)
Формула (5) является барометрической формулой. Она позволяет определить давление на любой высоте от поверхности моря с учётом особенностей окружающего воздуха.
Рассмотрим задачу, предложенную на региональном туре студенческой олимпиады «Интеллект-2014» (физика).
Задача 2. Азот находится в очень высоком сосуде в однородном поле тяжести при температуре T. Температуру увеличили в ц раз. На какой высоте h концентрация молекул осталась прежней?
Из физики известна формула, связывающая давление, концентрацию и температуру газа p = nkT. Рассмотрим два случая.
pi
p1 = nkT ^ n =
p2 = n2kT2 ^ n2 =
kT, ' p2
kT2
M 3
КОНЦЕПТ
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт.
научно-^тодичесаш эЛ^ро^и щрна, -О'3 - " ^
ДОТ 14258 УДК 378.147 Эл № ФС 77-49965. - ББЫ 2304-120Х.
кг
Воспользуемся барометрической формулой р = р0 ■ е
р2 = р1 -ект2 .
zMg.fi _
_ рл рл .ект2 кг1 Т
Так как концентрации равны, то п = п2 ' ^-^ е3 = .
т т т т & 1 Мд1 , Л ^Т , 1 1
Так как Т2 = гТ = гТ, имеем: ек' = — ^ —— = 1п —; 1 = —— .|п —.
г К]Т л Мд л
Барометрическая формула довольно громоздка и запоминается с трудом, а без неё данная задача неразрешима. Но, имея минимальную математическую подготовку, студент мог бы вывести её, подобно выкладкам, рассмотренным выше.
Умение решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, подразумевает составление дифференциального уравнения по условию. Рассмотрим типовой пример подобной задачи.
Задача 3. Материальная точка массы т замедляет своё движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V (0) = 100 м/с, а V (1) = 50 м/с.
Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки V будет функцией t, т. е. V = VЦ). Для нахождения V^) воспользуемся вторым законом Ньютона: Г = ат , где а = V ) есть ускорение движущегося тела, Г - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае Г = -ку2, к > 0 - коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V = V ^) является решением дифференциального уравнения:
, 2 . к 2 dv , 2 dv kdt
mv = -к^ ^ V =--V ; т--= -—V ^ — =--.
т dt V т
Интегрируем: Г^ + — Гdt = -С 1 + — + С = 0. 3 V тJ V т
1
Отсюда V = —--общее решение дифференциального уравнения в явном виде.
- + С т
—
Найдём параметры — и С . Согласно условию задачи, имеем:
т
1 1 1 к 1 V(0) = - = 100 и V(1) = —-— = 50 . Отсюда С =
с — + с ' 100' т 100'
т
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V =100. Поэтому
t +1
V (3) = 25 м. с
ГУ
КОНЦЕПТ
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт. -
научно-методический электронный журнал 2014. - № 09 (сентябрь). - ART 14258. - 0,3 п. л. - URL:
http://e-koncept.ru/2014/14258.htm. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
Гос. рег.
ART 14258 УДК 378.147
В науках естественного цикла дифференциальные уравнения нашли широкое применение. В силу особенностей преподавания дисциплин на физико-математических факультетах наукам естественного цикла отводится очень мало часов. Поэтому мы будем рассматривать только некоторые модели, не углубляясь в предметную теорию.
Рассмотрим пример из биологии.
Задача 4. Рост колонии микроорганизмов [3].
За время dt прирост численности равен dx = R - S , где R - число родившихся, S - число умерших за время dt особей, пропорциональные этому промежутку времени: Ax = [R(x) - S(x)]At. Разделив на dt, получим дифференциальное уравнение:
dx
dx = R(x) - S(x). dt
В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональны численности:
dx _ _ dx
— = ax - 6x,a - В = r ^ — = rx.
dt dt
Разделим переменные и проинтегрируем:
— = rdt ^ In x = rt + C.
x
Переходя от логарифмов к значениям переменной x и определяя произвольную постоянную C из начальных условий, получим экспоненциальную форму динамики роста.
x = x0 • er ; x0 = x(t = 0) (6).
График функции (6) при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы скорости роста представлен на рис. 1.
Рис. 1
Теперь рассмотрим применение дифференциальных уравнений в химии. Задача 5. Вещество переходит в раствор.
Пусть количество вещества, переходящего в раствор, пропорционально интервалу времени и разности между максимально возможной концентрацией Р и концентрацией х в данный момент времени:
Ах = (Р - х )М.
В форме дифференциального уравнения этот закон выглядит так:
— = к(Р - х). dt
Разделим в этом уравнении переменные и проинтегрируем:
dx
P - x
= kdt; - ln( P - x) = kt + C ; x = P - C ■ e
kt
m С M
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал. ART 14258 УДК 378.147
Если х(0) = 0, C = P ; х = P(1 - e-Kt). График этой функции представлен на рис. 2.
Кузьмиченко М. В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Концепт. -2014. - № 09 (сентябрь). - ART 14258. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14258.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X. kt\
Рис. 2
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям.
Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием быстро развивающийся раздел математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками.
Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Ссылки на источники
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис-пресс, 2013. - 608 с.
2. Давыдов Н. А., Коровкин П. П. и др. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Просвещение, 1973. - 256 с.
3. Виленкин В. И., Бохан К. А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. - М.: Просвещение, 1971. - 336 с.
Maxim Kuzmichenko,
student of the Faculty of Physics and Mathematics of Federal State Budget Establishment of Higher Education "Ishim Ershov State Teachers' Training Institute", Ishim Special course for students of physical and mathematical faculties "Appendices of the differential equations in physics and sciences of a natural and mathematical cycle"
Abstract. In article the program of a special course for students of physical and mathematical faculties of pedagogical higher education institutions is offered. Key words: special course, differential equations, appendices of the differential equations. References
1. Pis'mennyj, D. T. (2013) Konspektlekcijpo vysshejmatematike, Ajris-press, Moscow, 608 p. (in Russian).
2. Davydov, N. A., Korovkin, P. P. et al. (1973) Sbornik zadach po matematicheskomu analizu, Prosvesh-henie, Moscow, 256 p. (in Russian).
3. Vilenkin, V. I., Bohan, K. A. et al. (1971) Zadachnik po kursu matematicheskogo analiza, chast' 2, Pros-veshhenie, Moscow, 336 p. (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Ермаковой Е. В., кандидатом педагогических наук;
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
977230412014209
