CC BY
26
УДК 517.956.6
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
Е. А. Козлова
Самарский государственный технический университет, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: leni2006@mail.ru
С помощью метода И. М. Гельфанда и Х. Баррос—Нето, применённого ими к исследованию уравнения Трикоми, в пространстве распределений построены фундаментальные решения для уравнения Геллерстедта, а также для его обобщения. Рассмотрена вырождающаяся система дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа, найдены её специальные решения в областях, ограниченных характеристиками уравнений (в гиперболической полуплоскости ). В построении использованы элементы теории матриц, теории обобщённых функций и некоторые специальные функции (гипергеометрический ряд).
Ключевые слова: фундаментальное решение, обобщённые функции, функции от матриц.
Фундаментальные решения дифференциальных операторов — важный инструмент решения различных задач для уравнений в частных производных.
Пусть задан некоторый дифференциальный оператор Ь. Фундаментальное решение Е оператора Ь — обобщённая функция, удовлетворяющая уравнению с 5-функцией в правой части: ЬЕ = 5. Известно, что частное решение соответствующего неоднородного уравнения Ьи = / можно построить в виде свёртки фундаментального решения оператора Ь с правой частью уравнения и = Е * / [1].
В работах [2-4] И. М. Гельфанд и Х. Баррос—Нето построили фундаментальные решения дифференциального оператора Трикоми относительно точки (жо, уо), лежащей в полуплоскости уо < 0, на основе специального решения уравнения Трикоми уихх + иуу = 0 вида
E(x, y; xo, yo) =
4(-yo)3 + 4(-y)3 - 9(x - xo)2 + 8(-yo)2 (-y)2
FI 11,1; Z
б’ б’ ,s
где
Z=
9(x - xo)2 - 4(-y)3 - 4(-yo)3 + 8(-yo)2 (-y)2
3 3
9(x - xo)2 - 4(-y)3 - 4(-yo)3 - 8(-yo)2 (-y)2
а Е (6,1,1; С) — гипергеометрическая функция [5].
Характеристики уравнения Трикоми, проходящие через точку (жо, уо), делят плоскость на области Д- и Д (Д- лежит ниже обеих характеристик, а Б*2 —дополнение Д/ до М2), в которых Е-(ж, у; ж0,у0) = 7Е(ж, у; ж0, у0) и
Елена Александровна Козлова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
1QS
Е|(ж,у;жо,уо) = —гЕ(ж,у;ж0,у0) —фундаментальные решения соответственно в Д и Д|; 7=2-1/3.
Результаты работ [2-4] можно обобщить на случай уравнения Геллерстедта [6]:
у ихх + иуу = 0,
где т — положительное нечетное число, а также уравнения с вещественным параметром а > 0:
®!§п(у) |у |°иЖж + иуу = 0.
Представляет интерес следующая модификация уравнения:
®!§п(у) |у |АиЖж + иуу = 0,
где А — постоянная квадратная матрица размерности (п х п), и = и(ж,у) — п-мерный вектор-столбец. Назовём это уравнение матричным уравнением Геллерстедта.
Рассмотрим дифференциальный оператор Ьа : С2(Х) ^ С(X), X С М2, действующий по правилу
д 2 д 2
Ь“ = 8‘«”(у)|у1“ + ду2,
и его матричный аналог Ьа : М2(Х) ^ М(X), X С М2 (под пространством МР(Х) понимаем пространство (п х п)-матриц с элементами из Ср^)), действующий как
• ^ м |А д2 д2
Ьа = *8»(у>М ^ ■
Здесь I — единичная матрица (п х п).
Попытаемся получить частное решение неоднородного матричного уравнения Геллерстедта Ь^и = / аналогично скалярному случаю. Для этого построим его специальные частные решения.
Определение. Специальным решением матричного уравнения Геллерстедта назовём матрицу-функцию Е, удовлетворяющую уравнению
ЬаЕ(ж,у; жо,уо) = 15(ж — жо;у — уо).
Тогда для Е получаем следующее уравнение:
®1§п(у) |у | аЕхх + Еуу = !£(ж — жо; у — уо).
Упростим полученное выражение. Пусть .] — нормальная Жорданова форма матрицы А, к которой приводит невырожденное преобразование Т, то есть А = Т7Т-1 [7]. Поэтому
81ёп(у)Т |у^ Т-1ЕХХ + Е уу = !£(ж — жо; у — уо),
что после умножения слева на Т-1 и замены Т-1Е = Ш даёт
®1§п(у) |у| ^ Шхх + Шуу = 15(ж — жо; у — уо).
Для определённости будем рассматривать и = (и1(ж, у), и2(ж,у))т и матрицу (2 х 2) А = (а^) с различными положительными собственными значениями Л1, Л2. Тогда Жорданова форма 3 имеет вид 3 = diag(A1, Л2), а |у|^ = diag(|y|Лl, |у|Аз). Распишем матричное равенство покомпонентно
|Лі 0 \ /Жпхх ^12уА = {511 «12^ £
0 |у|Л2 / \^21жж ^22жж/ \^21уу ^22уу/ \«21 «2^ ,
где Т 1 = Б = (з^), из которого получаем четыре уравнения:
Л
®1§п(у) |у| 4Шухх + Шууу = 5^5, * = 1, 2, ] = 1, 2.
Применим замены вида , которые сведут их к обычным урав-
нениям для нахождения фундаментальных решений с 5-функцией в правой части (или нулём, если какая-то из компонент равна нулю; тогда в нуль обратится и соответствующая компонента решения ):
®Щп(у)|у |ЛРухх + Рууу = 5, * = 1, 2, ; = 1, 2.
Решения таких уравнений — фундаментальные решения оператора Ьл4 относительно точки (жо, уо), уо < 0. Они аналогичны решениям И. М. Гельфанда и Х. Баррос—Нето и выражаются через функцию
Е(ж, у; жо, уо; Л*) = 4(—уо)Л+2 + 4(—у)Л+2 —
— (Лг + 2)2(ж — жо)2 + 8(—уо) 2 +1(—у) 2 +1 Е(вЛ4, вЛ4,1; Сл4^
где
^Л; = Л*
2(Лі + 2) л л
= (Лі + 2)2(ж - ж0)2 - 4(-у)Лі+2 - 4(-у0)Лі+2 + 8(-у0)л2+1(-у)~2+1 Лі (Лг + 2)2(ж - ж0)2 - 4(-у)Л+2 - 4(-у0)Лі+2 - 8(-у0)^+1(-у)^+1,
Р (в Лі , в Лі , 1; Слі ) — гипергеометрическая функция. Если обозначить через Д/л и области, на которые плоскость делят характеристики уравнения £ліи=0, и обозначить
Лі-2
7(Лі) = 2 л+2, (1)
то
7(Л*)Е(ж, у; ж0,У0; Лі), (ж, у) є Д/Лі;
(ж, у; ^, у0; Лі) —
-7(Лі)Е(ж, у; ж0,у0; Лі), (ж, у) є Дл.
Учитывая, что = Р*?5*^-, и записывая Ш в виде матрицы, получим (опуская аргументы (ж, у; жо,уо))
Ш = /^11^1)511 У12(Л1)«12\ /±7(Л1)Е(Л 1)з 11 ±7(Л1)Е(Л^з^ = у^21 (Л2)з21 Р22(Л2)з22у \±7(Л2)е(Л2)з21 ±7(Л2)е(Л2)з22/
Y (Л1)
(E (Лі)
О Y(Л2^ / \ О Е(Л2)
S,
где множитель ^ отвечает за знак выражения в нужной области. Теперь перепишем (1) с использованием функций от матриц:
Y (J) = (7(0Al)
О
Y (Л2)
О
2 лі+2 О 2 Л2+2
= 2(J-2/)k-
где K = J + 2I. Тогда
E(J) = (E(°l) e(°H ) = exp
- K2(x - xo)2 + 8(-yo)lK(-y)lK)] f( 1JK-1, 2 JK-1,1; Z(J)
- 2 JK-1 ln(4(-yo)K + 4(-y)K -
где
%(^) = £Л^ = 2(ж - ж0)2 - 4(-у0)К - 4(-у)К+
+ 8(-у0)2К(-у)1К)(к2(ж - ж0)2 - 4(-у0)К - 4(-у)К - 8(-у0)1К(-у)1К)
Р(А, В, С; г) — обобщение гипергеометрической функции на случай матричных параметров, а степенная функция выражена через экспоненту и логарифм, обобщения которых на матричный случай описаны, например, в [7]. За знак в областях I, II, III (см. рисунок) отвечает матрица 2:
( /л с\\
(ж, у) є Д/Лі, (I);
^ ^ I п 1 ) , (ж, у) Є Д/Л2 \ Д/Лі , (^О;
(ж, у) є М2 \ Д/Л2, (III).
1 О
О
-1 0^
О 1
-1 О
О -1
Теперь нужно вернуться к решению E:
E = TW = T2j7(J)E(J )T-1 = TSj T-1T7 (J )T-1TE (J )T-1 = Say (A)E (A).
Итак, на основе фундаментальных решений, полученных И. М. Гельфандом и Х. Баррос—Нето в [2-4], построено специальное частное решение матричного уравнения Геллерстедта.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с. [Vladimirov V. S. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1981. 512 pp.]
О
О
l
l
2. Barros-Neto J., Gelfand I. M. Fundamental solutions for the Tricomi operator // Duke Math. J., 1999. Vol. 98, no. 3. Pp. 465-483.
3. Barros-Neto J., Gelfand I. M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, II // Duke Math. J., 2002. Vol. 111, no. 3. Pp. 561-584.
4. Barros-Neto J., Gelfand I. M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, III // Duke Math. J., 2005. Vol. 128, no. 1. Pp. 119-140.
5. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions.
Vol. I / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
6. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l’equation ymzxx + zyy = 0 // Ark. Mat.
Astron. Fys. A, 1937. Vol. 26, no. 3. Pp. 1-32.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of
matrices. Moscow: Nauka, 1988. 549 pp.]
Поступила в редакцию 22/XII/2010; в окончательном варианте — 24/II/2011.
MSC: 35M10; 35A08
SPECIAL SOLUTIONS OF MATRIX GELLERSTEDT EQUATION
E. A. Kozlova
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.
E-mail: leni2006@mail.ru
Fundamental solutions for the Gellerstedt equation and its generalization were obtained, in the distribution space using the method applied, by I. M. Gelfand and J. Barros-Neto to the studying the Tricomi equation. The degenerating system of the mixed-type partial differential equations was considered, its special solutions were constructed in the regions bounded by the characteristics of these equations (in the hyperbolic halfplane ). The elements of the theory of matrices, theory of the generalized functions and the special functions (hypergeometric series) were used for this construction.
Key words: fundamental solution, generalized functions, matrix functions.
Original article submitted 22/XII/2010; revision submitted 24/II/2011.
Elena A. Kozlova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
