Специальные функции в критической полосе Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РИМАНА

В. Ю. Макаров

Статья посвящена изучению свойств функций Ж0 и Ж0 *, содержащих £ - функцию Римана в критической полосе .

Ключевые слова: £ - функция Римана, критическая полоса , преобразование Меллина, принцип Фрагмена-Линделефа, контур интегрирования , специальные функции .

Введем и будем исследовать в дальнейшем две специальные функции

Ж0(а,г) = Е0(а + /г) + Е0(а - 'г) и Ж0 * (а,г) = /{Е0(а + /г) -Е0(а -'г)}, где г е Я и 1 ^

параметр а е (^Х Е0(5) = Г (^)С (5)>5 = а + /г,£ (5) - функция Римана. Функции Ж0(а,г), Ж0*(а,г) содержат £ -функцию в критической полосе.

Теорема 1. Для функции Ж0(а, г) справедлива формула

3

- Тг2(а-(1-а)хШ /„-2х\ , „(1-а)х1

1 -l-w J

2 J W0 (s, t) cos(tx)dt = p2{e)x Y2 (ex) + e°-s)x Y2 (e2x)} —pch(sx).

Доказательство. Представим интеграл | ^0(а, г)соб 1х& в виде суммы двух интегралов

0

Воспользовавшись определением функции W0(а, г)

| Ж0 (а, г) соэ гхаг = -| {Е0 (а + /г) + Е0(а - /г )}(е/гх + е-гх )аг =

0 2 0

+ ¥

1 -T'-.KI 1 -T'-.KI

= — J {E0 (s + it) + E0(s - it)}exp(itx)dt + — J {E0 (s + it) + E0(s - it)}exp(—itx)dt =

2 0 2 0

= — J {E0 (s + it) + E0(s — it )}exp(itx)dt + — J {E0 (s — it) + E0(s + it )}exp(itx)dt =

2 0 2 0 — +¥ — +¥ = - JE0(s + it)eltx dt + — JE0(s — it)eltxdt = I— +I2.

, /I)е аг + — I Е0(а - /г)е 2 - 2 -

Вычислим сначала первый интеграл I-

* +¥ s + i¥ s +i¥

I— = 2 JE0(s + it)eiix dt = 2-— JE0(s)exsds = ■— J Г(S)Z(s)exsds =

2 J 2iexp(sx) J 2ie J 2

— ¥ Г V / s —1¥ s —1¥

s + i¥ 1 2+i¥ 1 1

= J Гz(s)(exx )'ds = f Гz(s)(e')'ds—2p -—пгГ

s— i¥ 2—1¥

-1 1+/¥

J Г(w)Z (2w)(e2x )wdw - )^л/л7

/e

где заменили контур интегрирования х = а на контур х = 2. воспользовавшись принципом Фрагмена-Линделефа см. [1]

J U(s)ds + 2л/ Re s U(s) = J U(s)ds

J s=1 J

и it = s - с, dt = —, w = —, ds = 2dw, тогда I =1 f E0(s + it)eltx dt i 2 1 2 J

1 + ¥ i"1"'"" = -4 S J Г (w)

/е J

+ ¥ 1+/¥ 2\ 3

2 x

«=1 1-i¥ è e

dw - л2 e

2„ x(!-S )

Воспользуемся преобразованием Меллина см. [1] ,[2], используя ряд экспонент, абсолютно сходящийся в правой полуплоскости Re s > 0 : F(s) = ^ exp(-n2s),

n=1

тогда

e-x° 3 / \ 3 ^ ~ • ^ ' n2e-2x ) - p 2 ex(1-s) = 2P e sxF(e-2x P 2 ex(1-s)

n=1

e ^ _ / \ _ /1 = — 2Pexp( - n 2e ~2x ) - p2 ex(1-s ) = 2p e^F^ )-p2 e

Теперь вычислим

^ +¥ ^ -¥ SX S-!¥

12 = -2 JE0(s - it)eitxdt = - -2 JE0(s + it)e-txdt = - — JE0 (s)e~sxds : 2 ¥ 2 +¥ 2i

S x S +/¥ s x S+/¥

e- J Г(2)e-xsz (s)ds = J Г(2x (s)(ex )-sds =

2i - 2 2i V 2

s -i¥ s -i¥

e x 2+i s e x 1 e x 1+i

V Г l-W^NÎ^^N^VN - С * ~ .С' 1-Г ✓ ^ - x T-k f ' N Ъ

г J Г(2Z(s)(ex)-sds - 2m — Г(^ Re s Z(s) = — JГ(К%(2R)(e2x)-R dR

2-i 1-i e Sx +¥ 1+i ¥ 3

(1-S)x = S J Г(R)(n2e2x )-RdR - л2e-x(1-S) = i n=1 1-i¥

+ ¥ 3 / \ 3 2л/ • S exp(- n2e2x ) - л2 e"x(1-S) = 2л eœF(e2x )- л2 e~x(1-S), s = 2R, ds = 2dR.

____ S n

iexS

n=1

3

Тогда I1 +I2 = 2p{eF(e~2x) + eœF(e2x)} - 2p2ch(x(1 - s)). Воспользуемся формулами :

1 + 2Ф(e~2x ) = 4nex [1 + 2 Y2(e2x )] и 1 + 2F(e2x) = 4Pe~x [1 + 2 Y2(e-2x) ], где

Y2 (s) - сумма абсолютно сходящегося ряда экспонент в правой полуплоскости

2-/¥

Яе 5 > 0 : ) = ^ ехр(-ж 2п25) , тогда получим окончательно формулу

2

n=l

3

1 Т^ э

- IW{)(а,г)соъ(гх)с1г = ж2{е41-7)х¥2(е^х) + е°'а)х^2(е2х)}-жек(ах) и теорема 1 доказана.

2 о

Замечание .Если в качестве комплексного параметра взять х = -'а, тогда

1 Э

- IЖ0(а,г)ек(га)Сг = ж2{е(1~а)/а¥2(е2/'а) + еЧ1-а)/а¥2(е"2''а)}-жсоБ(аа). 20

Кроме того , получили еще две формулы для вычисления интеграла

3

J W0(s, t )cos(tx)dt = 2p {esxF (e2 x ) + VPe 0—7) x Y2(e2 x )} —pe—sx — p 2 e°-s) x и

0

+¥ 3

J W0(s, t) cos(tx)dt = 2p {e ^ F(e ~2 x ) + e® F(e2 x )} — 2p 2 ch( x(— — s )).

Теорема 2. Для функции W0 *( а ,1) справедлива формула

1 +¥ 3

- IЖ0 * (а, г)б1и(гх)Сг = ж{еФ(е~2х) - ежФ(е2х)} - ж2х(1 - а)).

20

Доказательство. Вычислим интеграл:

JW0 *(s, t)sin(tx)dt = - J[E0(s + it) — E0(s — it)](eitx — e—tx)dt =

0 2 0

= - J [E0 (s + it) — E0(s — it)\ixdt — - J [E0(s + it) — E0(s — it)]e—txdt = 2 0 2 0 1 +¥ 1 —¥ = - J [E0 (s + it) — E0(s — it)\ltxdt + - J [E0(s — it) — E0(s + it)];itxdt = 2 0 2 0 ^ +¥ * 0 = - J [E0 (s + it) — E0(s — it)eitxdt — - J [E0(s — it) — E0(s + it)];itxdt = 2 0 2 —¥

- J [E0 (s + it) — E0(s — it)];itxdt = - JE0(s + it)eitxdt — - JE0(s — it)eitxdt = I— —12.

^ +/г)-Е0(а -'г)е аг = -| Е0(а + - 0 .-0

2 -1 2 * 2

-¥ -¥ -¥

Так как интегралы 11 и 12 вычислены в теореме 1 , имеем :

3

11 -12 = 2ж{е_ахФ(е"2х) - еаФ(е2х)} - ж2(ех(1-а) - е(1-а)) и окончательно получаем формулу для интеграла :

+¥ 3

I Ж0* (а, г) Бт( гх)сг = 2ж{е ^Ф(е~2х) - еаФ(е2х)} - 2ж2 5Й(х(1 - а)) и теорема 2 доказана

0

В результате получили значение интеграла с параметром х е С :

1 3

- j W0 * (О-, t) sin(tx)dt = p{e-axФ(ex ) - e^Ф(e2x)} - p2sh(x(1 - o)).

2 0

Замечание . Если взять значение параметра x = -ia , тогда

1 з

- j W0 * (o, t)sh(ta)dt = Pf{e°1'aF(e-a) - e-0'0^"2ia)} + p2 sin(a(1 - o)).

2 0

В работах [3],[4] и [5] рассматривались функции W(o, t) = E(o + it) + E(o - it) и W * (о, t) = i{E(о + it) - E(о - it)}, где t e R параметр О e (■- ,1),

s

— s

E(s) = p 2 Г(-)Z (s), s = о + it.

Для функций W(о, t) cos(tx) и W * (o, t) sin(tx) были получены интегральные представления и доказано , что функции W(o, t) и W * (o, t) меняли знак в критической полосе Римана .

In this paper is devoted to studying of properties of functions W0 and W0 * ,containing Z - function Riemann. The key words: Z - function Riemann., the critical strip , transformation Mellin , principle F-L, countor of the integration , special functions.

Список литературы

1. Titchmarsh E. C. The Theory of the Riemann Zeta - Fuction, second edition, edited and with a preface by D. R. Heath-Brown, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1986.

2. Ramanujan S., New expressions for Riemann's function Z(s) and x(t). Quart. Math. 46. 1915. Pp 253-261.

3. Макаров B^.The Riemann Hypothesis ,International Conference. Protaras. Cyprus.

2006 .

4. Макаров В.Ю.Интегралы от функций , содержащих нули Zeta -функции в критической полосе. Международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения. Новороссийск. 2008 .

5. Макаров В.Ю. Свойства функций W и W* в критической полосе Zeta-функции Римана. Труды XVI международного симпозиума Ряды Фурье и их приложения. Южный Федеральный университет. Ростов- на -Дону. 2008 .

Об авторе

В.Ю. Макаров - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, makarov17@ bk.ru .