Спектральные характеристики операторов дифференцирования и интегрирования относительно ортогональных финитных функций. I. симметричные сплайны Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ. I. СИММЕТРИЧНЫЕ СПЛАЙНЫ

К, А. Рыбаков, В, В, Рыбин

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, Москва

УДК 519.711.3

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10068

В первой части работы сформированы алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования и интегрирования относительно системы ортогональных финитных функций, которая порождается с помощью масштабирования и сдвига симметричного кусочно-линейного сплайна Леонтьева. Ключевые слова: ортогональные финитные функции, симметричный сплайн Леонтьева, спектральная форма математического описания, спектральный метод, финитная базисная система.

Введение

Спектральная форма математического описания и спектральный метод применяются в различных задачах теории автоматического управления для систем как с сосредоточенными, так и распределенными параметрами при детерминированных и случайных воздействиях [3,4,7,9]. Истоки спектрального метода для расчета линейных нестационарных систем автоматического управления лежат в представлении сигналов и их временных характеристик в виде ортогональных рядов по выбранной базисной системе функций. Коэффициенты этих рядов, отделенные от самих рядов, рассматриваются как характеристики сигналов и систем управления [8,9]. Отличительной особенностью спектральной формы математического описания и спектрального метода является то, что все операции при решении задач производятся не с ортогональным рядом, а с упорядоченным набором коэффициентов при базисных функциях, который в общем случае представляется в виде бесконечной матрицы-столбца и называется спектральной характеристикой.

Для линейных преобразований спектральных характеристик функций (сигналов) используются спектральные характеристики линейных операторов, которые представляются бесконечными матрицами. В первую очередь применяются операторы умножения, дифференцирования и интегрирования. Они соответствуют элементарным звеньям линейных систем: усилительному, дифференцирующему и интегрирующему. Для эффективного применения спектральной формы математического описания разработаны пакеты прикладных программ в виде расширений систем компьютерной математики (МаЛсаё, МаЫаЬ, Марк и МаЛетаИса), а также в виде отдельных приложений (Спектр, вресЬтит) для аналитического и численного расчета спектральных характеристик [5]. При приближенном решении задач теории автоматического управления спектральным методом все спектральные характеристики «усекаются», т.е. осуществляется переход от ортогональных рядов к частичным суммам, либо изначально используются базисные системы с конечным числом функций.

С момента появления спектрального метода формировалось соответствующее алгоритмическое обеспечение: алгоритмы расчета спектральных характеристик функций и линейных операторов для различных

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-08-00530).

ISBN 978-5-901548-42-4

базисных систем [5, 9, 10]. В этой работе, состоящей из двух частей, сформированы алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования и интегрирования относительно ортогональных кусочно-линейных финитных функций, определенных в [1]. В первой части рассмотрен симметричный сплайн, а во второй части — несимметричный сплайн. Такие сплайны будем называть сплайнами Леонтьева.

1 Ортонормированные базисные системы

Пусть система функций {д(г, определенных па отрезке Т = [0, Т] со значениями в М, является орто-

нормированной:

{Ч(},Ъ),Ч(3,Ъ))Ь2Т) = J Ч(ь1)ч(3,1)<й = , г,з =0,1, 2,..., где — символ Кронекера, и х(€): Т ^ М — квадратично интегрируемая функция:

I х2(г)Л < х {х(г) е Ь2(Т)).

Т

Тогда

^ то

х(г) = ^2Хя(^), ^х? < х,

i=0 i=0

где

Хг = {^(1,Ь),х(Ь))¿2(Т) = J ц(г,1)х(1)А, % = 0,1, 2,...,

при этом функциональный ряд сходится к ж(£) по норме Ь2(Т), если система функций {я(г^)}?=о полна (такие системы функций будем называть базисными).

Упорядоченный набор X коэффициентов разложения Х^ функции х(Ь) то базисной системе {ч(г^)}°==0 представляется в виде бесконечной матрицы-столбца и называется нестационарной спектральной характеристикой функции х(1). Этот термин был введен в [9], нестационарность состояла в том, что границы отрезка Т в общем случае могли быть функциями времени, однако здесь ограничимся фиксированным отрезком и будем называть X и аналогичные ей характеристики спектральными характеристиками.

Наряду с полными базисными системами широкое применение нашли финитные базисные системы {ц(г, ^¿см Для них в приведенных выше формулах индексы г и з ограничены: 1,3 =0,1,... ,Ь — 1, а представление функции х(Ь) частичной суммой в общем случае выполняется лишь приближенно. В частности финитные базисные системы можно определять с помощью масштабирования и сдвига некоторой порождающей финитной функции (сочетание проекционного-сеточного [2] и спектрального методов [7]). Спектральная характеристика в этом случае — ^-мерный вектор.

2 Симметричные кусочно-линейные финитные функции

Определим две вспомогательные финитные функции:

в№

М е [—[, [),

0,1 е [—2,2),

Ф* (а, 0,Ь)

—1 ^ е [—2, — 2 + 6), »е [—2 + 0,2 — О],

—I,г е (2 — 2],

0^ е [—2,2^

где а и в — параметры: а > 0 0 < в <

Симметричный сплайн степени р можно выразить через функции Ф0(а,9,Ь) и В*(1) (В-сплайн нулевой степени) следующим образом [1]:

/+то

Ф*р_ [ (а,в,т )В*(г — т )(1т, р =1, 2, 3,...

-со

Ограничимся случаем р = 1. Тогда

' ^ + 1, г е [о, в],

Ф*(а,в, г) = <

- т_Ш (* - 2) + 2, [в, 1 - в],

1), ¿е [1 - в, 1], о, г > 1,

при дополнительном условии четности, т.е. Ф*(а, О, - Ь) = Ф*(а, в, Ь).

Кусочно-линейный сплайн Ф\(а,в, ¿) порождает финитную базисную систему на отрезке Т = [О, Т] с помощью масштабирования и сдвига согласно правилу

1 / + \ Т

Ф^г, г) = —= Ф 1[а,в,--г , к =-, ¿е Т, г = 0,1,...,Ь - 1.

лД V к ) Ь - 1

В общем случае матрица Грама для системы функций {Ф].(г,^¿О является трехдиагональной, так как носители функций этой системы с номерами, отличающимися на единицу, имеют непустое пересечение, однако при условии

й 1 У4Т - 5

0=4 и а = —(1)

скалярные произведения функций {Ф1 (г, 1 с номерами, отличающимися на единицу, равны нулю и |Ф1(г,¿)} — ортогональная система функций. Свойство ортогональности позволяет не использовать процедуры ортогонализации или построения двойственной базисной системы [4].

Отметим некоторые свойства функции Ф\(а,9, Ь), которые будут использованы в дальнейшем, в частности

г1 2 г1 2 г°

/ (Ф*(а,0, ¿)) = 1, (Ф*(а,0, ¿)) 2<И = (Ф*(а, в, ¿))

и-1 -1 о и-1

= 2 •

т.е. условие нормировки выполнено для функций {Ф1 (г, }^=-о1 с номерами г = 1, 2,..., Ь - 2, а для функций с номерами г = 0 и г = Ь - 1 нужен дополнительный нормировочный коэффициент \[2. Таким образом, функции

—к ф1И

где 70 = 7ь_1 = ... = 7ь_2 = 1 образуют ортонормированную систему па отрезке Т = [О, Т].

Ф 1( г, г) = —к к -г ^ = 74Ф1(г, Ь), 1 = 0, 1,...,Ь - 1,

3 Спектральные характеристики операторов дифференцирования и интегрирования

При использовании спектральной формы математического описания возникает необходимость использования спектральных характеристик операторов дифференцирования и интегрирования (двумерных нестационарных передаточных функций дифференцирующего и интегрирующего звеньев). При выборе финитных

Ь

тральные характеристики производных и первообразных соответственно функций {, ¿)}^_01.

Спектральную характеристику оператора дифференцирования будем обозначать V, а спектральную характеристику оператора интегрирования — Р-1, их элементы определяются формулами

= [ д(г, ^д'и, ±)&, Р-1 =[ч(г, г)[д(з, т)йтЛ, г,3=0,1,...,Ь - 1. (2)

■1т -1т о

Найдем производную функции Ф*(а, в, ¿) на интервале (-1,1), из которого исключены 0, ±в, ±(1 - в):

|, ъ е (0, в),

Ф*'(а,6, г) =

-1_2§, ге (в, 1 - в), |, ье (1 - в, 1),

0, > 1,

при дополнительном условии нечетности, т.е. Ф\'(а,9, —1) = — Ф|'(а, в,€). То, что производная функции Ф*(а, 9, I) те определена в точках 0, ±9, ±(1 — 9), не имеет принципиального значения для нахождения элементов Vij, поскольку интегралы в (2) не зависят от значения подынтегральной функции па множестве нулевой меры.

Отметим, что при выводе соотношений для расчета элементов спектральных характеристик линейных операторов, в частности операторов дифференцирования и интегрирования, как правило, используются различные свойства функций базисной системы. Например, для ортогональных полиномов это рекуррентные формулы, связывающие базисные функции с их производными и первообразными; для тригонометрических функций это тригонометрические тождества и т.п. Для финитных базисных систем целесообразно использовать правило, согласно которому они определяются: масштабирование и сдвиг порождающей финитной функции.

Запишем соотношения, необходимые для расчета спектральной характеристики оператора дифференцирования (здесь и далее интегрирование по отрезку [0,1] используется для учета функции финитной базисной системы с номером I = 0, то отрезку [—1,1] — с номерами i = 1, 2,... ,Ь — 2 и то отрезку [—1,0] — с номером г = Ь — 1), а именно

— для элементов главной диагонали:

/1 1 о

1 1 1 о 1 1 1 1 1

1

2;

для элементов наддиагонали и поддиагонали:

г-1 !■ 1

[ Ф**(а,9,г)Ф1 '(а, в, г — 1)<И = [ Ф*1(а,в,г)Ф*1'(а,в,г — 1)<М =

Зо 2

J Ф*1(а,9,г)Ф*1'(а,9,г + 1)<И = ^ Ф*1(а,9,г)Ф*1'(а,в,Ь + 1)<И = — 1;

для остальных элементов (к > 1): 1 1

[ Ф*1(а,9,г)Ф*1'(а,9,г — к)<И = [ Ф1(а, 9,г)Ф**'(а,в,Ь — к)& = 0,

-1 о

J Ф *(а,9,г)Ф1'(а,9,г + к)<И = ^ Ф *(а,9,1)Ф\'(а,в,Ь + к)<И = 0,

поскольку функции Ф *(а, 9,1) и Ф \'(а, 9,1 ± к) имеют непересекающиеся носители. Так так

Ф1 („ 9 I к

Ф 1(Ы)

кл/к

Ф1'( "'«-к—О'

г = 0, 1,...,Ь- 1,

получаем Vij = (1/к) С^, где

Соо = —1, Сь-1,ь-1 = 1; Сц = ... = Сь-2,ь-2 =0 (Ь > 2);

С01 = 1 (Ь = 2); С01 = СЬ-2,ь-1 = ^ (Ь > 2); С\2

Сь-з,ь-2 = 2 (ь> 3);

а/2 1

Сю = —1 (Ъ = 2); Сю = Сь-1,ь-2 = —^ (Ъ > 2); С21 = ... = Сь-2,ь-з = — ^ (^ > 3); Сг-к,г = с^-к =0, г = 2, 3,...,Ь — 1, к = 2, 3,...,1 (Ь > 2),

следовательно,

Г=-

(—-Г1)

(Ь = 2);

-=к

/ —1 У2 2 0 \

-д 2 0 -2 2

\ 0 -2 2 1 )

(Ь = 3);

Р = к ■

_1 Я2 1 2

2 0

00

2 0

0 -1

0

0

00 00

0 ^ 0 2

0

0 2

(Ь > 3).

0

0

0

0

1

Помимо спектральной характеристики V оператора дифференцирования в спектральной форме матема-

Р

с учетом начального значения функции [4,9]. Она определяется в виде Р = V + (/(0) ■ дт (0), где (/(0) — матрица столбец значений функций базисной системы в точке £ = 0, т.е. Р — квадратная матрица порядка Ь

Р

11]

= / Я(г, *) ч' О, № + я(г, 0)д(з, 0) = Тц + ч(г, 0)Ч(з, 0), г,з=0, 1,...,Ь- 1.

Т

Все функции финитной базисной системы {Ф 1(1, принимают нулевое значение при Ь = 0 за ис-

ключением Ф 1(0,£). Значение последней определяется величиной Ф|(а,0,0) = 1 и нормировочным коэффициентом \]'2/к. Таким образом, в матрице д(0) ■ дт(0) первый элемент первой строки равен 2/к, остальные элементы — нулевые, следовательно,

Р = -

(Л!)

/ 1 ^ 0 \

(Ь = 2); Р = т

0 ^

V! 2

(Ь = 3);

V 0 1 )

Р=к ■

1 Я2 1 2

2 0

00

2 0

0 -!

0

0

00 00

0 ^ 0 2

0

0 2

(Ь > 3).

0

0

0

0

Далее приведем две первообразных функции Ф*(а, в, €):

Ф*(а, в, т)йт = <

, ъ е [0, в),

2 + в+ (*_в)((*+в_ 12)((22Г11))_2(а_е+ 1)}, г е [0, 1 -в),

1 + щв + а(+в_т_в_ 1), t е [1 - в, 1),

2 ^ о 1

-^^, ге [-1,0 - 1),

г > 0;

2в

1

Ф*(а, в, т)<т = <

_ав _ (г_в+1)(е_в+1+2а(^+в)) + с[а_1 _а) 2 2(2в_1) , 1 е Г 1, а),

^ -о- ^хуь2^, ге -,0),

2 + ^^, tе [0, в),

+ в+ (г_в)((t+в_l2)((22в-+ll))_2(щ_в+l)), ^ [в, 1 - в), 1 + % + щ(^+в_2в(^_в_1), ге [1 - в, 1), 1, г > 1,

г > -1.

С учетом (1) получаем соотношения, необходимые для расчета спектральной характеристики оператора интегрирования, а именно

— для элементов главной диагонали:

Г-1

(а, в, ¿) / Ф1(а,

J Ф*(а, в, ¿) У Ф1(а, в, т)с!тсМ = 1, р1 р ь /»о г ь

/ Ф* (а, в, г) Ф1(а,в, т)<тА = Ф1(а,в, г) Ф* (а, в, т)<тА

Jо Jо и-1 и-1

о о _1 _1

для элементов наддиагонали и поддиагонали за исключением первого столбца и последней строки:

/ Ф1(а, в, г)( Ф1(а, в, т)<1тА =/ Ф*(а,<9, ¿)/ Ф1(а,0, т)<1тА = — - ^ и_1 и_1 Jо и_1 192

17 —41 = 175 —4Т;

192 + "б^ = 192 +

1

64

£ Ф*(а, * ^ С Ф1(а, ^ = 1 - 192 + = ^ +

для остальных элементов за исключением первого столбца и последней строки (здесь и далее к > 1):

/1 л г_к л 1 л г+к

Ф*(а, в, ¿) у Ф1(а, в, т)скА = 0, J Ф* (а, в, £)у Ф*(а,0, т)<тЛ = 1;

1 _1 для оставшихся элементов первого столбца: 1 /-«+1 / Ф*(а,0, ¿)

Ж*. Л N , и 1 17 79 л/41

Ф* (а, в, т)йт<Ы, =----+ -- =--+ --,

и ' ' ; 2 192 64 192 64

_1 ио

^ ФЦа,.,«) Г Ф* (аЛ г<гЛ =1 - £ + ^ = ^ + 1/41

1о для оставшихся элементов последней строки: г г+к 1

_1 _1 2 _1 Так так

4 192

0

Ф* (а,

1

64 192 64

+к

/1 !-г+к 1 ,-о ,-ъ+к 1

Ф*(а, в, г) Ф1(а, в, т)йтА =1, Ф1(а,0, ¿)/ Ф*(а,0, т)йтА = -;

1 о 2 _1 о 4

Г Г'+к 1 /"о /"+1 79 —41

Ф*(а, в, г) Ф*(а, в, т)йт& = 1, Ф\(а,в, г) Ф*(а,в, т)йт& = -+ -—

_1 _1 2 _1 _1 192 64

•к X

<Ф 1(г, т)<т

7ок —к .

71 к

Ф^а,°,-кП-к

Ф*1а,в,--1 < -

= 0,

= 1, 2, . . . , Ь 1,

о

1

о

о

находим Р-1 = hCij, где

Cqo = Cl~I,l-I = с 11 = ... = Cl_2,l-2 = i (L > 2);

Coi = 2v (L = 2); Coi = Cl-2,l-1 = /2v (L > 2); С12 = ... = Cl-s,l-2 = v (L > 3); Ci-ki =0, i = 2, 3,...,L - 1, к = 2, 3,...,i (L > 2);

С io = Cl-i,l-2 = - v) (L> 2); C21 = ... = Cl-2,l-3 = 1 - v (L > 3);

Cii-k = 1, i = 2, 3,...,L - 2, к =1, 2,..., i - 1 (L > 3); C20 = ... = Cl-2,0 = ^2 (L> 3); С10 =2^4 - ^ (L = 2); Cl-I,O = 2 (L > 2);

Cl-I,I = ... = Cl-1,l-3 = —¡^ (L > 3),

= Ж _ VE ^

(

2^ Я

p-1 = h • ( 2,^ 7 ) (L = 22); p-1 = h ■

V2( 1 - v) 1 y/2v I (L = 3);

2

V 1 V2(2 - v) 4

0

P-

(

h

V2(2 - v)

V2 2

V2 2

V2 2

1 2

V2v

1 2

1 - V 1

V2 2

1 2

1 - V

V2 2

1 - V

V2 2

# V2(2 - v)

0 0

0

0

/2v

4 /

(L> 3).

0

0

0

V

0

V

1

V

1

1

Заключение

В первой части работы рассмотрена система ортогональных финитных функций, порожденная симметричным кусочно-линейным сплайном Леонтьева. Сформированы алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования и интегрирования относительно этой системы. Система ортогональных финитных функций, порожденная несимметричным кусочно-линейным сплайном Леонтьева, рассмотрена во второй части этой работы [6].

Список литературы

[1] Леонтьев В. Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003.

[2] Марчук Г. II.. Агошков В. II. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

[3] Рыбаков К. А. Построение множества допустимых управлений в спектральной форме математического описания // Вычислительные технологии. 2015. Т. 20. № 3. С. 58^74.

[4] Рыбаков К. А., Рыбин В. В. Моделирование распределенных и дробно-распределенных процессов и систем управления спектральным методом. М.: Изд-во МАИ, 2016.

[5] Рыбаков К. А., Рыбин В. В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета систем автоматического управления в спектральной форме математического описания / В кн. Современная наука: теоретические, практические и инновационные аспекты развития. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во Международного исследовательского центра «Научное сотрудничество», 2018. С. 171-199.

[6] Рыбаков К. А., Рыбин В. В. Спектральные характеристики операторов дифференцирования и интегрирования относительно ортогональных финитных функций. II. Несимметричные сплайны // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики (АПВПМ-2019). Международная конференция, Новосибирск, 1-5 июля 2019 г.: Материалы конф. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2019.

[7] Рыбин В. В. Моделирование нестационарных систем управления целого и дробного порядка проекци-онно-сеточным спектральным методом. М.: Изд-во МАИ, 2013.

[8] Семенов В. В. Формы математического описания линейных систем. М.: МАИ, 1980.

[9] Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974.

[10] Таблицы и математическое обеспечение спектрального метода теории автоматического управления / Под ред. В. В. Семенова. М.: МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1973.

Рыбаков Константин Александрович — к.ф.-м.н., доцент Московского авиационного института

(национального исследовательского университета)

e-mail: rkojfice@mail.ru;

Рыбин Владимир Васильевич — к .т.н., доцент Московского авиационного института

(национального исследовательского университета)

e-mail: vv-ribin@mail.ru.

Дата поступления — 22 апреля 2019 г.