Спектральная проблема для квантовой дискретной системы с самовзаимодействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145

А. Г. Антипов. И. В. Комаров

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 4 (№28)

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА

ДЛЯ КВАНТОВОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

С САМОВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

1. Введение. Квантовая дискретная система с самовзаимодействием (Discrete Self-Trapping (DST)) представляет собой вполне интегрируемую систему со следующим гамильтонианом:

N

Н = +сіхіді + ЬХі+іді') . (1)

t=1

Интегрируемость системы доказывается в рамках Д-матричного формализма квантового метода обратной задачи рассеяния [1]. Для этого вводятся зависящие от спек-

трального параметра и матрицы перехода

Ldn) = (U~ С1~дГ'ХгЭг ^ , i = l,...,N, (2)

удовлетворяющие фундаментальным коммутационным соотношениям

12 2 1 R(ui - и2) Li (ui) Li (и2) =Li (и2) Li (и^Щщ - и2) , (3)

1 2

где Li= Li®I, Li= I®Lt , R(u) = 1+rju JP12 (P12 — оператор перестановки в тензорном произведении квантовых пространств из (3)). Из фундаментальных коммутационных соотношений для матриц перехода и ультралокальности

[Li (ui), Lj (и2)} = 0, i,j = l,...,N, і Ф j, следует, что матрица монодромии

(4)

также удовлетворяет указанным соотношениям:

R(Ul -и2) Т (tti) Т (иг) =Т (и2) Т (гц)Л(иі - и2). (5)

Отсюда следует коммутативность следов матрицы монодромии t{u) = tr(T(u)) при

различных значениях спектрального параметра:

[і(гіі),і(и2)] = 0. (6)

След матрицы монодромии — полином степени N по спектральному параметру:

N

*о = Х>-««\ /о = і .

г=0

© А. Г. Антипов, И. В. Комаров, 2003

Из коммутативности (6) вытекает, что коэффициенты полинома образуют набор взаимно коммутирующих интегралов движения [1г, 1^\ =0, г,.у — 1, ..., Первый интеграл билинеен по бозонным операторам Хі, дг:

N

І1 = - + Щгді) , (7)

г=1

а второй — связан с энергией системы (1):

= У(8)

г=1

Основной задачей при рассмотрении квантовомеханической системы является решение спектральной проблемы для набора взаимно коммутирующих операторов 1ь, к = 1,..., N [2]. Эта задача эквивалентна решению спектральной проблемы для следа матрицы монодромии:

Ь{и)Ф = т(и)Ф , (9)

где Ф не зависит от параметра и.

Отметим также тот факт, что действие квантового детерминанта, оператора, определенного равенством

Д(и) = л(и+ Г£)в(и - - в(и+ ^)с(и-, (10)

2) V 2-

сводится к домножению на постоянную, а именно

N

А(и) = Ъ"Щи + + -Ч). (11)

і=і ^

Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на вытекающее из фундаментальных коммутационных соотношений свойство, характерное для детерминантов: А(и) = Ддг(и)Алг-1(ы).. . Дх(и) (Д^ —квантовый детерминант матрицы перехода Lj, j = l,...,N).

2. Алгебраический анзац Бете. Распространенным методом решения спектральной проблемы (9) для довольно большого класса систем является алгебраический анзац Бете (см., например, [3]). Он применим, если существует независимый от спектрального параметра и вакуум Фо, аннулируемый элементом матрицы монодромии (4) — оператором С:

С(и)Фо = 0 .

Тогда собственную функцию Ф оператора {(и) удается построить в виде

Ф = В(им)В(им-г)... В(их)Фо , (12)

где им, • • ,и1 — набор некоторых параметров (параметров Бете), а функция Фо одновременно является собственной для операторов А и О. Для ВЭТ-системы в качестве вакуумной функции годится Фо = 1:

N

А(и)Ф0 = Д(и-с;)Фо , £>(и)Ф0 = Ь^Фо ■ (13)

г=1

Уравнения для параметров Бете следуют из действия следа матрицы монодромии па функцию Ф. Воспользовавшись правилами коммутации операторов А и О с оператором В, содержащимися в фундаментальных коммутационных соотношениях (5), а также формулами (13), можно получить

4(и)Ф = (А(и) + 0(и))В(им) ... В(гц)Ф0 =

N М , М

гг (и _ с ) гг +ьл' П ц~^+т?

““ и*—и . , п — и,-

.7 = 1 3 = 1 •* 3 — 1 -3

+ Е ^ ПК - с,) п п П -ю-н-о. (14)

1=1 I 7 = 1 .7 = 1 ■> .7 = 1 ■* I ^ = 1

V ЭФ* ЭФ' ) Эт^*

Сумма, стоящая в (14), исчезает, если потребовать, чтобы выражения в фигурных скобках обращались в нуль. Отсюда возникает система уравнений Бете на параметры и\, ... , им

М - N

п;;_;;+;=-^пк-^ *=!,...,м. (15)

Выполнение требований (15) обеспечивает также отсутствие особенностей у собственных чисел т(и) следа матрицы монодромии (выражение в квадратных скобках в (14)), которое является полиномом ЛГ-й степени по параметру и. Интерполяция Лагранжа по точкам с,, г = 1,..., ТУ, с учетом асимптотики т{и)и—1со —* им + 0{ик~1), однозначно восстанавливает полином т(и) при произвольных и:

г(и) = П("-^+ь"Епс-^^ п

г~1 {=13 = 1 г 3 j=lyj^i 1

3. Первый интеграл движения. Выражение (12) позволяет сформулировать некоторые свойства собственных функций следа матрицы монодромии в исходном представлении. Нетрудно заметить, что элементы квантовых матриц перехода (2) действуют в пространстве однородных полиномов от переменных Х\,Х2,.. ■ ,хм следующим образом: элемент, стоящий в правом верхнем углу, повышает степень полинома на единицу, стоящий в левом нижнем углу — понижает на единицу, а диагональные элементы сохраняют степень полинома. По индукции эти свойства переносятся и на матрицу монодромии. Поэтому, например, пространство однородных полиномов фиксированной степени инвариантно относительно действия следа матрицы монодромии. Функция Фо = 1 — однородный полином степени 0, отсюда следует, что собственные функции спектральной задачи (9), определяемые формулой (12),— однородные полиномы степени М.

Тот же результат следует из выражения (7) для первого интеграла движения 1\ системы. Собственные функции этого оператора — однородные полиномы от х\,хъ, ■ ■ ■ ,хн, а собственные числа равны — (С1+С2+ ... -Ьсдг-Ь г/И), где П — степень однородного полинома. Таким образом, спектральная задача (9) естественным образом разбивается на набор подзадач, параметризуемый числом М, или, что эквивалентно, значением первого интеграла движения.

4. Разделение переменных. Другим способом решения спектральной проблемы (9) является метод разделения переменных, иногда называемый также функциональным анзацем Бете. Смысл данного метода заключается в переходе в представление, в котором волновые функции факторизуются, и общая задача сводится к решению набора одномерных задач — отсюда название метода. Оригинальное изложение квантового разделения переменных содержится в [4, 5], предложенная ниже адаптация метода к РЭТ ближе к представленному в работе Лебедева и Харчева [6].

Собственная функция спектральной задачи (9) ищется в виде линейной комбинации

оо оо

Ф= ... ^2 Ф(г>1, ■ ■ ■ ,ьк-1)ф{У1,... ,ад-1} , (16)

г>1=С1 ,С1+Т7,...

где , г/дт-х} — функция, принадлежащая ядрам операторов С(^):

,... , 1>дг-х} = 0, 3 = 1,.. . ,N — 1 . (17)

Суммирование проводится по гипероктанту (]У—1)-мерной сетки с шагом 77, сдвинутому на с\,. . . , Сл/-1 от начала координат.

Операторы А(г^) и 0{ук) действуют на системе функций ф как сдвиги к-го аргумента на г/. Действительно, пусть

N-1

С(и)ф{у1,. . = -Г)дц Д (и - у^)ф{ы,.. ., г>л/—1}

] = 1

(это выражение эквивалентно (17), поскольку старший член в разложении оператора С (и) по степеням и есть —r)дNUN~1). Используя вытекающее из фундаментальных коммутационных соотношений операторное равенство

С(и)А(у) =-------— V -{- г})А(у)С(и) — г}А(и)С(у,

находим

N-1

С(и)А(ук)ф{у 1, • ■ • ,г>^_х} = -т) Д (и - V] + г]6$)А(ук)дкф{уь ... ,и;у-х} .

)=1

Воспользовавшись значением коммутатора [А,9дт] = [—г)х^дг^А^^1 + ЬхнСц-\,дм] — т]дмАц-1 — ЬСр/-1 = —С (здесь Ащ-1 и Сдг_ 1 - элементы матрицы, полученной перемножением первых ТУ — 1 матриц перехода), приходим к выводу, что действие С(и) на функцию ф{у\, ... ,ук — г),..., г>^-х} ~ А{ук)ф{у\,. .. , х}, к = 1,. . ., N — 1, представимо в виде

С{и)ф{у\ УН-1 } =

N-1

= -фн П (и ~ + ^) Ф{У1, ■ ■. ,Ук - Г), . . . ,УН-1}-

3 = 1

Аналогичная процедура применима и к £>(17*.), являющемуся оператором правого сдвига: ф{у\,..., ■и*4-Г],... ,1>ЛГ_1} ~ В{ук)ф{ух,.. . ,Ум-1}.

Построение системы функций ф естественно начать с 1^{сх,. .., Слг-х} = ж]!/. В самом деле, действие оператора, стоящего в левом нижнем углу матрицы монодромии, на , как и на любую другую функцию, зависящую только от Хр/, сводится к

N-1

С(и)х% = -Т)дн Д (и-С])х% .

3=1

Выбор степени М фиксирует значение первого интеграла движения 1\ = — (сх 4- ... + сдг + т)М). Применяя последовательность из операторов О с соответствующими параметрами к ф{с\,... ,сдг_х}, можно получить функцию в любом узле сетки (с точностью'до нормировочной постоянной):

,ЛГ-1 ч

Ф{Ь1,...,УЦ~1} ~ ( Д 0(у, -Г])...0(с, +п)П{С])\х^ .

' з=1 '

Действие + 7)) И (у к), к = 1,..., ТУ — 1, на функцию -0{г^1,..., 1} приводит к домножению

ее на числовой коэффициент, представляющий собой квантовый детерминант:

+ 2) =г>ЛГ П^*+г>-сз)

(см. (10) и (11)). Поэтому возникает ограничение на выбор нормировки функций ф в узлах сетки. Будем считать, что

А{ьк)ф{У1,. ..,ук,... , Зд-х} = ф{у\, ■ ..,ук-Т],... ,илг-х} ,

N

0(ук)ф{у\,. ,.,ук,.. . ,уц-1} = Д (ук + г] - с-,) ■ ■ ■ , Ук + Ч, ■ • • ,«лг-1}-

^=1

Тогда след матрицы монодромии действует следующим образом:

^Ук)Ф{У1, ■ ■. ,Ук, ■ • • ,1>лг-1} = (18)

N

= Ь1яф{у1,...,ук-Г),... ,зд_х} + Д (^ +77 - с7-)^{г>1,. ■ ■,«*+»?,.. .,«^-1} ■

3 = 1

Интерполяцией Лагранжа по точкам ук, к = 1,... , N - 1, с учетом асимптотики 4(и)„_оо —» и^ + /іим-1 + 0(и!^~2) можно восстановить след матрицы монодромии при любой величине спектрального параметра в подпространстве, выделяемом значением — (а + . .. + сдг + г]М) первого интеграла движения:

7У-1 ІУ-1 N N-1 ЛГ-1

*(«) = П “ ук)(и+ Е ^ ~ Е Ск ~ Т>МЇ + Е П — _г,; Цук) ■ (19)

к = 1 к=1 * = 1 А:=1 і=1,]фк Ьк Ь)

Подставляя линейную комбинацию (16) в спектральную задачу (9), приходим к условиям для

определения коэффициентов Ф(иі,..., идг-і). Используя (18) и (19), получаем

Ф(г>і,...,г>лг—і) х

VI «лг-і /ЛГ-1 N-1 ЛГ

Х( П Ук -^С/с -77М)^{і;ь...,і;^_і} +

V /с=1 к=1 /с=1

N-1 ' ДГ \

+ Е П” —- < ЬКф{уі,... ,Ук-г),... ,г>лг-і} + Д (Ук + т) ~ Сі)ф{ьі,... ,ук+і?,... ,ад_і} і І. к—1 ]=1 Щ 1 І=1 > )

Іфк

Сдвигами Ук + т] ^ Ук н Ьк — V —> Ук можно добиться того, чтобы выражение под знаком сумм 2,..., 53 было однородным по ф{у\,..., и лг_і}:

“1 “Я-1

N-1 ЛГ-1 N

<(«)Ф = Е-Е (ф(иі,... ,г>^_і) Д (и - у к) (и + У ук - У ск - уМ)+

VI гідг _ і \ к—1 к=1 к = 1

+ Е* д1 Ук~У ф(«і

к^\ /=1 >• /=І Ък + Ч-Ч

г-Ак

N Л,~1 у _ . 1 \

+ Д («к-*) П —-—— ФЫ,--,Ук-г1, ••■1«лг-1)И^>{г'11--..«лг-1}. (20)

,=1 Ък-П-У, ))

Чтобы выполнялось Ь(и)Ф = т(и)Ф = (им — (с1 +... + с/у +г]М)и1^~1 +12^~2 +.. . +/дг)Ф, необходимо потребовать

Ь1* Д —----------— Ф(VI,. ..,ук + г1,...,Ун-1)+

ДД Ук-'г'Ч — У]

** (21)

ЛГ N-1 _

+ Д («к - С;) Д —------— Ф(«1,. .. ,Ук - Г),...,г?лг—х) = т(г^)Ф(г>1,... ,ад-1).

“ /=1

Тогда выражение в круглых скобках в (20) будет произведением Ф(к1,..., идг_ 1) на интерполяционную формулу для полинома т(и). Уравнение (21) допускает решение в виде

ЛГ-1

ф(«1.0- „-Д-..;' П «М») ■

пг(^)

Произведение Г-функций позволяет избавиться от дробных сомножителей, а в оставшемся уравнении происходит разделение переменных, причем каждая из функций <рк по-своему должна удовлетворять одному и тому же уравнению

N

(vN - (сх + ... + См + г)М)ум~1 + І2УК~2 + • ■ • + /дг)^(^) = Ь+ V) + П О - Сі)<р(у - ті) (22)

і— 1

— уравнению Бакстера.

5. Связь между методами анзаца Бете и разделения переменных. Установим соответствие между анзацем Бете и методом разделения для решения спектральной проблемы (9). Если взять выражение для собственного числа следа матрицы мо-нодромии из уравнения Бакстера (22)

т(ь) = (Vй - (с! + ... + слг + г\М)ум~1 + 12ум~2 + ... 4- /дг) =

П",.. „ N -Г]) , ф + 7?)

(и — с, ----------------------—-1- о -——

5=1 <р{и) <р(у)

и подставить в него полиномиальное решение в виде произведения по корням, являю-

щимися решениями уравнения Бете (15),

м

<р(у) = П(«-«,) ’

то ответ в точности совпадет с результатом анзаца Бете (14). Следовательно, анзац сводится к построению решения уравнения Бакстера в виде полинома с нулями в точках параметров Бете. Система уравнений Бете возникает, если потребовать, чтобы функция т(у) не имела особенностей в точках V = щ ,..., V = им- Поскольку совсем не всегда уравнение Бакстера допускает полиномиальное решение, можно говорить о большей фундаментальности метода разделения переменных по сравнению с анзацем Бете.

Указанная связь между двумя методами позволяет установить направление поисков решения уравнения Бакстера: если поставлена задача определить спектр интегралов движения, выделяемый значением — {с\ + ... 4- с + т/М) первого интеграла, следует искать решение в виде полинома степени М.

6. Решение уравнения Бакстера. В конечном итоге метод разделения переменных сводится к решению уравнения Бакстера. В соответствии с указанным в п. 5 будем искать решения (22) как полином степени М.

Пусть ф\ = {ср(У1), ср{ь!1 +7)),..., +г]М)} — вектор значений, которые принимает

искомое решение уравнения Бакстера на эквидистантном наборе из М+1 точек. По этому вектору можно восстановить решение на всей комплексной плоскости у. В частности, выполняя интерполяцию Лагранжа, нетрудно получить, что значения, принимаемые в точках ь\ —г), У\ +гу(М + 1), равны

м

<р(у 1 - V) = (^+1)^1 + т),

<р(У1 + 77(М +1)) = Е(-1)м^' (ММ)+ \}^1 + Г!3) ’

где (д^^) — биномиальный коэффициент. Требование выполнения уравнения Бакстера в точках VI, г>1 +т],..., У\ +Т}М приводит к однородной системе линейных уравнений с трехдорожечной (М + 1) х (М + 1) матрицей М%, с условиями периодичности:

= -5гкт(у 1 + (к - 1)т]) + 5гк+1Ьм + <5£+1Д+(г;1 + кт]) +

4- (-1)*+^ (Н + Д+(и1) + (-1 )м+'~к6'м+1 (ММ+ +1 г,к = 1,..., М+1,

(23)

где

Д+(и) = П(«-9#) = ^зг ]=\

для фактора квантового детерминанта.

Чтобы система уравнений имела нетривиальные решения, определитель матрицы должен обращаться в нуль, откуда возникает уравнение, связывающее значения интегралов движения. Левая и правая части равенства (22) — полиномы стенени М + N с двумя фиксированными старшими коэффициентами, поэтому выполнения уравнения Бакстера в М + 1 точке недостаточно для того, чтобы оно выполнялось на всей комплексной плоскости (за исключением системы с двумя степенями свободы). Следовательно, необходимо рассмотреть, по крайней мере, N — I векторов ф\, ф2,..., фи-1 и соответствующих им систем линейных уравнений. Совокупность условий обращения детерминантов матриц последних в нуль и дает систему уравнений на собственные значения интегралов движения 12,... ,/дг:

&еЬ(Мз(12,...,1ц))= 0, j — 1,..., N — 1 . (24)

В качестве VI, Ь2, ■ ■ ■ ,^лг-1 удобно выбирать нули Д+(и), а именно с1гс2,... ,сы- Тогда элементы (М^)хк, к = 3,...,М+1, верхней строки матрицы обращаются в нуль, и между главными минорами возникают рекуррентные соотношения

£_1=1, Бо =-т(уз + г)М) + (М + 1)Ъ" ,

Пк = -т(у, + г](М — к))Ок_1 - ЬМА+^ + 77(М-/с+1))^_2 + ^^,

к = 1,... ,М ,

Им+х = . (25)

Рекуррентные соотношения (25) сильно упрощают вычисление определителей матриц.

Особый случай представляет собой система с двумя степенями свободы (димер) [7]. При N = 2 остается всего один неопределенный интеграл движения 12, который входит как слагаемое в диагональные элементы матрицы М\ (23). Таким образом, отыскание спектра 12 сводится к отысканию набора собственных чисел матрицы М\. Положим У\ равным С1 или с2 и сделаем преобразование подобия, переводящее матрицу в трехдиагональную (в исходном представлении это преобразование соответствует переходу в базис однородных мономов). Тогда главные миноры не только связаны между собой рекуррентными соотношениями, но и как функции от 12 образуют систему Штурма. Последнее обстоятельство позволяет легко находить корни ск^Мх), т.е. собственные значения интеграла 12.

7. Результаты расчетов. Предельные случаи. На рисунке представлены результаты численного расчета системы, состоящей из трех узлов (ЛГ = 3),—спектры энергии (связанной с 12 (8)) и третьего интеграла движения /3 при различных значениях параметра г). Остальные параметры фиксировались — с\ — 1, с2 = 17, сз = 20,

Ь = 1, М = 3 (11 = —38 — Зт;). Использовался как метод разделения переменных (численно решалась система уравнений (24)), так и метод анзаца Бете (15). Результаты расчетов по обоим методам совпали с точностью до вычислительной погрешности.

Поведение спектров при г? —> 0 (рисунок, а) и г) —* оо (рисунок, б) можно описать аналитически. В пределе г? —> 0 первое слагаемое в гамильтониане (1) исчезает. Оставшаяся часть Но — Нт^о Н обладает свойством распределительности

Зг3 » 60,05

Зг2 « 50,94 г,+2г3 » 41.04 г,+2г2 « 34,96

2г,+т3 & 22,02

2г,+г2 г» 18,98 3г,«3,01

Спектры интегралов движения при малых (а) и больших г] (б).

НоФіФ2 = (ЯоФі )Фг+Фі (//0Ф2), благодаря которому собственные функции оператора Но представляются в виде произведения собственных функций из линейной оболочки

*^1' *^21 ■ ■ • і ХМ.

N , N

N

Ф0({т1,т2,...,т^}) = Д( П (ск~гі)х]

г=1 ^^ = 1 (с=7 +1

N ІУ

Ео{{ті,т2,...,тм})-'^2г1ті, У'пгц=М

І-1

г=1

где Ш1, Ш2,..., тдг - неотрицательные целые числа, сумма которых определяет значение первого интеграла движения, а г* - корни уравнения Пг^1(г ~ с») ~ Спектры интегралов более высокого порядка при малых Т] описываются следующей формулой:

N /V л-1 І к—2 - 1

Ік({гпі,т2, ■ ... Е ■

г=1 л=1 ^2 = 1

/ N N Зі — І І к-2 — 1

+Ь"б%+( \ - Е • • ■ г,-*

г= 1 іі=і 32 —1 Л ^2^’ Ік-І*'

ЕАі

Окончание рисунка.

При больших г], напротив, определяющий вклад в гамильтониан вносит именно первое слагаемое. Индукцией по N можно показать, что при г] —* оо

| Е---'Е ^М(хМ...(хА)\,к + 0^) , к = 1,..., N.

\з1=Ъ2=1 >=1

| Общими собственными функциями операторов, стоящих при старших степенях г], являются однородные мономы

! ^

Ф0о({т1,т2,...,тЛг}) = х™1х™2 ...х™” , ^т* = М, (26)

г=1

а интегралы приобретают вид

/ ^ ^1-1 >-1-1 ч

Е Е- Е ™лт^---т^ЬЛ + 0(»7*:_1), А; = 1,...,Я

Л = 1 ^2 = 1 Зк = 1

Так, предельными значениями отношения энергии к 77 оказываются £оо({т1,т2,...,тлг}) М2

_ 2 2^ т^Ч ■

1<3

Соответствие между квантовыми числами, введенными при малых и больших г/, устанавливается с помощью предела Ъ —* 0. Когда константа связи b стремится к нулю, система распадается на набор невзаимодействующих частиц, и разделение переменных происходит уже в исходном представлении. Волновые функции факторизуются, становятся независимыми от 77 и совпадают с Фос (26). В результате зависимость интегралов движения от 77 при Ь = 0 становится полиномиальной, причем степень полинома определяется порядком интеграла.

Summary

Antipov A.G., Komarov I.V. DST system spectral problem.

Algebraic Bethe ansatz and quantum separation of variables methods are applied to find the DST-system spectra. Numerical data and some analytical results for limiting cases of weak and strong fields are presented.

Литература

1. Kopenun В. А., Боголюбов H. М., Изергии А. Г. Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции. М., 1992. 2. Komarov I. V. // Intern. J. Modern Phys. A. 1997. Vol. 12, N 1. P. 79-87.

3. Склянин E. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Д. // Teop. мат. физика. 1979. Т. 40, №1. С. 194—216.

4. Sklyanin Е. К. // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. Vol. 118. P. 35-60. 5. Kuznetsov V.B., Salerno М., Sklyanin E. K. // Physica. A. 2000. Vol. 33. P. 171-189. 6. Kharchev S., Lebedev D. // Lett. Math. Phys. 1999. Vo). 50. P. 53-77. 7. Enol’skii V. Z., Kuznetsov V. B., Salerno M. // Physica. D. 1993. Vol. 68. P. 138-152.

Статья поступила в редакцию 25 февраля 2003 г.