Статистические характеристики спектров изотропного магнетика гейзенверга Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 4

А. Г. Антипов

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРОВ ИЗОТРОПНОГО МАГНЕТИКА ГЕЙЗЕНВЕРГА

1. Введение. Изотропный магнетик Гейзенберга (ХХХ-ша^е!) - интегрируемая периодическая цепочка из N частиц, между которыми существует спиновое взаимодействие. Гамильтониан системы записывается в виде [1]

n

Н = ^^ -^«(Зпвп+х), 8^+1 = Эь (1)

п=1

где в - спин частицы; Р2в - определенный полином порядка 2з; 8„ = -

операторы спина = = ^ (8П)2 = т)2з(з + 1). Мо-

дель обобщает введенную Гейзенбергом [2] цепочку из частиц со спином 1/2 на случай произвольного спина.

Интегрируемость системы описывается в рамках Д-матричного формализма квантового метода обратной задачи [3]. Матрица перехода для изотропного магнетика

*.<«>= (""йг1* "-1.....

удовлетворяет фундаментальным коммутационным соотношениям с рациональной Д-матрицей. Матрица монодромии

гг< ч _ /А(и) В(и)\ dei т , , т ! \

Т(и)={с\и) дЦ) =£*(«)■•-¿100

также подчиняется указанным соотношениям. Ее след и) = А(и) + И (и) служит генерирующей функцией интегралов движения системы:

1{и) = 2и" - 2(С1+С2+ ... -Ье^У^1 + + /3гЛ"3 + ... + 1М .

Нетривиальные коэффициенты t(u) вместе с проекцией полного спина 1\ = 53 = б"]* + + ... + образуют базис кольца взаимно коммутирующих сохраняющихся величин, причем гамильтониан (1) входит в это кольцо [1]. Спектральная проблема формулируется в виде уравнения

<(м)Ф = т(и)Ф, (2)

где волновая функция Ф не зависит от и, а коэффициенты полинома т{и) суть искомые значения интегралов движения.

Одним из методов решения спектральной проблемы является квантовое разделение переменных [4-6].Его смысл заключается в переходе к представлению, в котором волновые функции факторизуются и общая задача сводится к решению набора одномерных задач. Решение (2) ищется в виде

Ф(х) = ■■■ И ЛГ(х|«1,..(3)

г>1=с1 —и ЛГ—1 =сл/_1 -¡Т)3

© А. Г. Антипов, 2006

где суммирование с шагом щ проводится по гипероктанту в С" Чтобы волновая функция в представлении разделения Ф(га,... ,vn-i) факторизовалась, на ядро преобразования накладывается условие

= 0, t= 1, ...,7V -1. Тогда An D действуют как операторы сдвига на К(х \ ы,..., vn~i ) ■

n

А(ьк)К(у:\...,ук,...) = JJ(t>fc-Cn-i»7(a+l))if(x|...>vfc - it?,...),

n=l n

d(vk)k(x i..., vk,...) = J] (vk-cn+iriis+l)) k(x i..., vk + ir),...).

n=l

В результате подстановки (3) в (2) получаем

1 n-i

<s>(vi,...,vn-i) =-f ч п ¥>*(«*)>

пг(^) L\

хф] 4 '

где каждый сомножитель <pk удовлетворяет удовлетворяет одному и тому же уравнению Бакс-

n n

t(v)<p(v)= сп— ir)s) 4>{v + щ) + Cn+itjs) (fi(v — if)) . (4)

71 = 1 71=1

Таким образом, разделение переменных свелось к одномерному разностному уравнению. Метод не дает указаний, как именно решать (4). Тем не менее известно, что у систем, обладающих состоянием вакуума (к числу которых относятся и магнетики), искомое решение уравнения Бакстера представляет собой полином. Степень полинома М определяет количество возбуждений системы и фиксирует значения двух первых интегралов движения. В п. 2 представлен способ работы с уравнением Бакстера, использующий полиномиальность как критерий отбора истинных решений при квантовании.

2. Решение уравнения Бакстера посредством асимптотического разложе-

def

ния в пределе малых г). Рассмотрим предел т) —> 0, T)s = S ~ const. Подставим в уравнение Бакстера (4) асимптотические разложения

t(v) = r0(v) + ti(v)t) + t2(v)t}2 + • ■ • , 4>(v) = V»o(v) + <pi(v)ri + <P2(v)r}2 + ... ,

одновременно заменив <p(v ± ir?) рядами Тейлора

ip(v ± ir)) = ip(v) ± iip'(v)r) — ^ ^ T)2 ± ... .

Тогда, приравнивая выражения слева и справа от знака равенства при степенях по т) -г)°,т)1,...,т)к,..., получаем соответственно

To(v)<po(v) = (&+(v)+A-(v))vo(v), (5)

Ti(v)<p0(v) + rtv)Vi(v) = (A+(v)+A-(v)) ^(v) - i (A+(v)-A_(v)) <p'0(v), (6)

9

П (у)<рК-к (V) = 2^ -й- ^х--* '

А;=0 к=0

n n

А+(ь) = П (V - Сп + Ю), Д-» = (*+(«))* = П (" - -

П=1 П=1

В нулевом приближении термы интегралов движения сливаются в одну точку. Предельные значения интегралов определяются следующим из (5) равенством

7Ь(«) = (Д+(«) + Д_(«)). (8)

Они представляют собой полиномы по четным степеням в, причем коэффициенты полиномов - симметричные функции по {01,02,..., Сдг}.

Первое приближение. В первом приближении удается произвести квантование исходя из полиномиального характера функции 1р(у). Учитывая (8), от (6) переходим к уравнению

Т1(«)<р0(«) = -1 (Д+(«)-Д-0>)Ы(«)-

Отсюда непосредственно следует

N-1

ы») = П («-г»гп. (9)

п=1

N-1 N-1 п=1 1=1,1фп

где {ш 1,7712, • • ■ ,гпдг_1} - квантовые числа, характеризующие поведение термов при г)0, а Г1,Г2, ■ ■ • ,гн-1 - корни полинома Д+(г>) — Д-(г»)

ЛГ-1

-1(Д+(«)-Д_(«)) = 27У5 Д (v - гп).

п= 1

Можно показать, что Г1,Г2, -.. , г/у-1 вещественны, различны при з > 0 и лежат в интервале

-51ап (тг^^) +тт{сп}£и<г;<51ап (тг^^) + тах{ся}^1,

г = 1,...,7У-1.

Величины г1,Г2, ■ ■ ■,суть набор возможных значений параметров Бете в рассматриваемом пределе; числа {т1,т2, ■ ■ ■ ,тдг_1} представляют собой кратности вырождения соответствующих параметров, связанные с конкретным состоянием. Отметим также, что

ЛГ-1

£ тп = М, (10)

71—1

где М - число возбуждений системы. 10

К-тое приближение. Индуктивный переход. Предположим, что (К—1)-тое приближение уже получено, т. е. известны функции то, т\,..., тк-х и ■ ■ ■ > фк-ъ-

Нужно определить К-тую поправку к решению уравнения Бакстера (рк-1 и одновременно коэффициенты при г)к в разложениях интегралов движения, задаваемые тк-

С учетом того, что благодаря (8) слагаемые при А; = 0 в обеих частях (7) сокращаются, приходим к следующему неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно

- + тф)<рК-\&) =

« [-Ук (А-(У) + (-1)«А+(У)) (к) \

= ^-—¡л-~ тМ<рК-М I.

Функция ц>о(ь) (9) - решение соответствующего однородного уравнения. Нас интересует частное решение неоднородного уравнения, а именно

ЛГ-1

П (у-гп)тп . к

У-М =-Ш-у £ (--к\--Ух-иМ +

+ тк(у)<рК-кШ —-—-. (И)

' П (г>-гя)"*-+1

п= 1

Фигурирующие в (11) функции - полиномы различной степени:

Полином Д+-+-Д- Д+ — Д_ (ро^ к = 1,2,... то Т1,Т2 тк, /с = 3,4,...

Степень ТУ N-1 М-1 М-1-1 N N-2 ЛГ-3

Коэффициенты тк определяются из требования полиномиальное™ <рк-1, что выражается в отсутствии полюсов первого порядка у подынтегрального выражения. Введем полюсные характеристики

~ , ч _п(у) „ Л ч>к (У)

п (v) =--—-, ук (v) = —-.

2МБ П (*-Гп) П (у-гпГ"

П=1 П=1

Поправки к интегралам движения вполне описываются N — 1 коэффициентом при полюсах первого порядка тк в точках Г\,Г2,. • . ,т\лг-1- Сумма коэффициентов дает к-тую поправку к значению второго интеграла и при к > 3 равна нулю. Функция то, помимо полюсной, имеет линейную и постоянные составляющие.

Поправки к решению разностного уравнения однозначно задаются коэффициентами при полюсах фк в точках гп, п = 1,... — 1, порядка до тпп включительно (всего М коэффициентов (10)).

В терминах полюсных характеристик формула (11) приобретает вид

И

2к\ П (у-гп)

Выражение в фигурных скобках имеет в точках гп, п = 1,..., /V — 1, полюса от первого до тп + 1 порядка включительно. Полюсные коэффициенты тк приравниваются к полученным коэффициентам при полюсах первого порядка. В результате при интегрировании не образуется логарифмическая компонента. Функция (рк-1 приобретает требуемые полюсные характеристики - имеет полюса не выше тп-го порядка.

3. Статистические характеристики спектров. Изучение статистических характеристик спектров сохраняющихся величин квантово-механических систем, прежде всего распределения расстояний между ближайшими уровнями, имеет большое практическое значение. Начало теоретического исследования этого вопроса положено работой Вигнера [7], в которой предложена следующая формула плотности распределения расстояний:

где коэффициент /? определяется через среднюю величину промежутка между уровнями. Впоследствии эта формула была уточнена и обобщена на более широкий класс систем, обладающих различными свойствами симметрии, в рамках теории случайных матриц [8]. Интегрируемые системы выделяются среди прочих отсутствием отталкивания между соседними уровнями; иначе говоря, плотность распределения Р(а) у них не стремится к нулю при а —> 0, в отличие от (12). В работах Берри и др. [9, 10] утверждается, что у интегрируемых систем расстояния распределены по экспоненциальному закону

а сами собственные числа должны подчиняться статистике Пуассона. Следует отметить, что формула (13) получена в квазиклассическом пределе и может рассматриваться лишь как приблизительная.

В связи с вышесказанным представляет интерес проверить прямыми вычислениями, насколько оправданы предсказания Берри в отношении изотропного магнетика Гейзенберга. Расчеты велись для цепочки то N = 80 частиц с числом возбуждений М = 3, что дает (^^ ~2) = 85 320 различных состояний. Спин каждой частицы й = 2,

а сдвижки сп, п = 1,..., ./V, выбирались случайно в интервале [0,..., 100].

Результаты расчетов. Характеристики спектров нескольких из оставшихся незафиксированными интегралов движения Ij, у — 3,..., И, иллюстрирует рис. 1. Значения интегралов нормированы на симметричные функции от сдвижек сп, п = 1,..., /V:

Р(а) = 2/5сг ехр (—/За2)

(12)

Р(а) = /Зехр(-Ра)

(13)

и =

з

1,-2 (-1У Бут д-(с1,...,слг)

2 8ут_?(с1,...,сту)

1 (Ц + Сп)

На рис. 1,6 в виде гистограмм из 500 столбцов изображены плотности распределения расстояний между ближайшими собственными числами Р), на рис. 1, а - распределения самих собственных чисел рВнешний вид спектра существенно зависит от порядка интеграла 3.

Распределение собственных чисел интегралов низкого порядка хорошо описывается законом Пуассона

- (j\ =_7

р У

или, если оно обладает высокой симметричностью, нормальным законом

PG

Ниже приведены коэффициенты асимметрии -ух - значения третьего момента, нормированного на дисперсию, а также предельные доверительные вероятности гипотез о принадлежности распределений к типам Пуассона (ар) и Гаусса (ас) в соответствии с критерием Пирсона:

3 5 10 15 20 25 30

71 0,075 0,021 -0,13 0,25 -0,40 0,60

aG 2,0-10-5 0,012 1,9-10-" 1,5-Ю-197 < ю-1000 ^ ^Q-10000

ар 0,18 0,026 0,73 0,99972 1 - 4,6-Ю-17 0,78

Параметры гипотетических распределений /х, 8, 7 подбирались исходя из значений первых трех и первых двух моментов наблюдаемых распределений соответственно. Относительно малые доверительные вероятности у интегралов 5-го и 10-го порядков объясняются отсутствием боковых шлейфов у спектров и, следовательно, заниженной величиной дисперсии. Однако центральная часть этих спектров хорошо описывается как функцией Пуассона, так и функцией Гаусса, потому критерий Пирсона с оцениваемыми параметрами дает близкие к единице доверительные вероятности. При увеличении порядка интеграла асимметрия распределения растет, в результате чего описание функцией Гаусса становится явно неадекватным, однако функция Пуассона продолжает демонстрировать высокие уровни доверия. Очевидно, что паллиативное описание нормальным законом возможно лишь в случае, когда асимметрия спектра мала, а распределение Пуассона с большим основным параметром £ почти совпадает с гауссовым.

При дальнейшем увеличении порядка интеграла доверительная вероятность распределения Пуассона падает из-за наблюдаемой на рис. 1, V- VIII кластеризации спектра. Количественный рост асимметрии приводит при j ~ 45 к качественному изменению -массивный шлейф распадется на несколько не связанных между собой разновеликих частей. С увеличением j последние постепенно обособляются друг от друга, и сами распадаются на более мелкие образования. Наименьшие из кластеров состоят лишь из нескольких собственных чисел. Следует отметить, что все обособившиеся части спектра, вне зависимости от их мощности, сохраняют характерную уступообразную форму распределения Пуассона с высокой асимметрией.

Несмотря на значительные различия во внешнем виде спектра, распределения расстояний между ближайшими собственными числами интегралов движения качественно

13

Рис. 1. Распределения собственных чисел Ыр^ (а) и расстояний между ближайшими собственными числами ИР] (б) для нескольких интегралов движения.

NPs о 6000

4000

2000

0

"Peo 2000

1000

-2.1

-2.0

V NP, 1000

500

50 0,0

5,0-10"

-2.1

-2.0

5,0-10-

nplo 8000-

4000

np 8000

4000

0

-1

Шж

-1000

1

viii np, o 1000

500 -

O

1000 До 0,0 2,0-10"3 4,0-10"3

I-IV - интегралы низкого порядка: I - lio, II ~ ho, III - /30, IV - /40; V- VIII - интегралы высокого порядка: V- IВО) VI - leo, VII- 170, VIII- I&o-

vii np10 1000

5,0-10"6

In (np6s)

7,0 6,5 6,0 5,5 5,0

5,010"

1,010~7 a

0,0

2,0-10'

,-6

a

Рис. 2. а для ho

Распределение расстояний между ближайшими собственными числами при малых (а) и 165 (б).

1п (№„)

-12 1п(сг)

-5

-2 1п(ег)

Рис. 3. а для ho

Распределение расстояний между ближайшими собственными числами при больших (а) и ho (б).

схожи между собой. Плотности распределений монотонно убывают при увеличении а; при а —> 0 они стремятся к конечному, но не нулевому пределу. При расстояниях, сравнимых со средним расстоянием между собственными числами или меньших, Pj (а) хорошо описывается убывающей экспонентой ~e~bj(T (см. гладкие кривые на рис. 1, 5), что находится в соответствии с [9]. Логарифм плотности и аппроксимирующая его прямая для интегралов /20 и /65 изображены на рис. 2. Однако при больших расстояниях между собственными числами наблюдаемая плотность распределения стремится к нулю значительно медленнее, нежели убывающая экспонента, причем этот эффект становится более заметным с ростом порядка интеграла. Адекватнее описывает Pj (а) при больших а степенная функция . На рис. 3 показана зависимость логарифма

плотности распределения от In (а) для 50-го и 80-го интегралов. Наклон аппроксимирующих прямых, вычисленных по методу наименьших квадратов, определяет величины йбо и ago соответственно. Приведем коэффициенты cij, полученные аналогичным способом, для нескольких интегралов высокого порядка:

40 1,98

45 1,77

50 1,88

55 1,80

60 1,93

65 1,93

70 1,84

75 1,80

80 1,85

Значения коэффициентов варьируются в довольно узком коридоре - от 1| до 2. Статистика при малых j недостаточна, чтобы установить точные величины a,j для интегралов низкого порядка, однако нет оснований полагать, что они сильно отличаются от указанных выше.

4. Заключение. Расчеты показывают, что статистическое описание Берри спектров интегрируемых систем имеет свои пределы. Интегралы низкого порядка, демонстрирующие поведение, близкое к квазиклассическому, в значительной степени удовлетворяют этому описанию: распределение их собственных чисел почти идеально совпадает с пуассоновым, а отклонение распределения расстояний от убывающей экспоненты малозаметно. Иначе обстоит дело с интегралами высокого порядка - при больших j спектр распадается на отдельные кластеры. Расположение и мощность кластеров определяются индивидуальными характеристиками системы (в рассматриваемом случае прежде всего величинами сдвижек) и в целом не могут быть описаны каким-либо универсальным законом. В данной ситуации имеет смысл говорить лишь о локальных свойствах спектра - огибающая отдельного, четко выраженного кластера достаточно точно следует функции Пуассона. Плотность распределения расстояний между ближайшими собственными числами у интегралов высокого порядка корректно описывается убывающей экспонентой только вблизи нуля, в области, где у неинтегрируемых систем наблюдается отталкивание уровней. При больших же расстояниях плотность правильнее аппроксимировать степенной функцией. Представляет интерес выяснить, насколько типичным для интегрируемых систем является такое распределение расстояний и в каких пределах изменяется его количественная характеристика - показатель степенной функции.

Автор благодарит проф. И. В. Комарова за полезные обсуждения, а также за ряд ценных замечаний и поправок, касающихся материала данной статьи.

Summary

Antipov A. G. Statistical properties of isotropic Heisenberg magnet spectra.

The quantum method of variable separation is applied to the spectral problem of an isotropic Heisenberg magnet. The difference Baxter equation is solved by means of special quasiclassical expansion. Statistical characteristics of the evaluated spectra are investigated. The differences between the findings and the theoretical integrable-specific evidence obtained earlier are observed.

Литература

1. Takhtajan L. A. // Phys. Lett. A. 1982. Vol. 87. P. 479-482. 2. Heisenberg W. // Z. Phys. 1928. Bd 49. S. 619-636. 3. Боголюбов H. M., Изергин А. Г., Корепин В. E. Квантовый метод обратной задачи и корреляционные функции. М., 1992. 4. Sklyanin Е. К. // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. Vol. 118. P. 35-60. 5. Kharchev S., Lebedev D. // Lett. Math. Phys. 1999. Vol. 50. P. 53-77. 6. Derkachov S. E., Korchemsky G. P., Manashov A. N. // J. High Energy Phys. 2003. Vol. 7. P. 47-73. 7. Wigner E. P. // Gatlinburg Conference on neutron physics by time-of-flight. Oak Ridge Natl. Lab. Rept. 1957. Vol. 2309. P. 59. 8. Mehta M. L. Random matrices. Amsterdam, 2004. 9. Berry M. V., Tabor M. // Proc. R. Soc. A. 1977. Vol. 356. P. 375-394. 10. Berry M. V. // Proc. R. Soc. A. 1985. Vol. 400. P. 229-251.

Статья поступила в редакцию 5 апреля 2006 г.