Спектральная оценка риска при страховании посевов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Б. А. Матвеев

СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РИСКА ПРИ СТРАХОВАНИИ ПОСЕВОВ

Описывается спектральный метод оценки статистического риска. На примере урожайности зерновых культур рассчитывается величина риска неуро-жайности и проводится сравнение традиционного и спектрального подходов к измерению риска.

В качестве исследуемого был выбран риск неурожайности сельскохозяйственных культур по следующим причинам:

1) риск неурожайности обусловлен множеством случайных, независимых факторов: суммой активных температур, суммой выпавших осадков, плодородием почвы и т. д. По этой причине в качестве математической модели урожайности может быть выбран случайный процесс с нормальным законом распределения [1], что значительно упрощает статистический анализ;

2) количественная оценка риска неурожайности играет первостепенную роль при страховании сельскохозяйственных посевов.

Для анализа нам потребуется соответствующая статистическая информация. В табл. 1 приведены данные об урожайности, взятые из ежегодных статистических сборников, выпускаемых Челябинским областным комитетом государственной статистики.

Таблица 1

Урожайность зерновых в Челябинской области за период с 1990 по 2005 г.*, ц/га

Годы 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Урожайность, ц/га 16,6 4,0 17,4 11,7 11,5 5,8 9,3 14,6

Годы 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Урожайность, ц/га 5,9 13,7 8,1 12,2 11,6 11,9 9,4 12,4

* Урожайность с 1 га убранной площади.

Под риском неурожайности (далее риском) будем понимать возможность наступления одного или нескольких случайных событий, являющихся причиной отклонения урожайности от ожидаемого значения. Такими событиями могут быть засуха, затяжные дожди, поздние весенние и ранние осенние заморозки и др.

Риск неурожайности относится к статистическим рискам [2]. Его исследование может быть сведено к изучению сигнала риска. Под сигналом риска в данном случае понимается отклонение урожайности от ожидаемого значения под воздействием риска (рискового события).

Сигнал риска s(t) для урожайности имеет вид

s(t) = x(t) - x0 (t), (1)

где x(t) и xo(t) — соответственно фактически полученная и ожидаемая урожайность, относящиеся к определённому периоду времени;

t — годы наблюдения.

В качестве ожидаемой урожайности можно принять ее математическое ожидание m(t):

Xo (t) = m(t). (2)

Приведенная на рис. 1 линейная диаграмма сигнала риска для урожайности отличается от линейной диаграммы урожайности смещением по оси ординат на величину математического ожидания т(ї).

Сигнал риска, ц/га

Рис. 1. Линейная диаграмма сигнала риска для урожайности

В качестве оценки математического ожидания можно взять среднюю арифметическую величину урожайности ~ за период наблюдения T : m(t) = ~ . Такое возможно, когда m(t) = m = const.

Если математическое ожидание урожайности имеет существенные изменения в пределах наблюдаемого периода (0; Т), то последний следует разбить на отдельные интервалы ATk T), в пределах которых математическое ожидание можно считать

неизменным. За оценку математического ожидания внутри каждого такого интервала может быть принято среднее значение урожайности mk = xk = const.

Сигнал риска для урожайности является центрированной случайной величиной, а совокупность таких величин в течение наблюдаемого периода (0; Т) — центрированным случайным процессом. Коэффициенты корреляции для урожайности и сигнала риска в данном случае совпадают и имеют вид, показанный на рис. 2 [1].

Коэффициент

корреляции

Можно показать, что сигнал риска обладает свойством эргодичности как по отношению к математическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной функции [1].

Односторонний энергетический спектр Р (а>) сигнала риска для урожайности связан с его корреляционной функцией к(т) преобразованием Фурье [3]:

2 і* zcг і*

к.\ ґ):-'/і':УГ.Ч: ''' .: /; •'

' 7ГІ 7Г {

2сг„

где л(г) :

— нормированная корреляционная функция сигнала риска (коэффи-

кХ°)

циент корреляции);

/с(0) = сг/— дисперсия сигнала риска, равная дисперсии урожайности а2: а 2 = а2. Для выравнивания рассчитанных на основе экспериментальных данных значений коэффициента корреляции воспользуемся функцией вида рХт) = е~а 003Рти подставим ее в выражение (3). Тогда получим [1]

ОД:

2аа

со +у

(4)

п со4 + 2(а2 - р2 )а>2 + у'4 ’

где у2 = а2 + в2. (5)

Энергетический спектр сигнала риска, вычисленный по формуле (4), представлен на рис. 3. Он имеет ярко выраженную низкочастотную составляющую ао = в . В то же время другие гармоники, в том числе и постоянная составляющая (ао = 0), сильно ослаблены.

Энергетический

спектр

Частота, Г ц

Рис. 3. Энергетический спектр сигнала риска

Заметим, энергетический спектр сигнала риска характеризует распределение дисперсии урожайности по частоте, а сумма дисперсий всех гармонических составляющих равна дисперсии урожайности а2 [4].

Вид энергетического спектра определяет поведение реализации урожайности во временной области. Наличие периодической составляющей обусловлено повторяющимися на Южном Урале неблагоприятными погодными условиями в виде засухи или длительных дождей.

Отметим, что периодическая составляющая, вокруг которой сосредоточена большая часть дисперсии урожайности, является основным источником риска неурожайности в регионе.

Измерение риска проведем двумя способами: традиционным и спектральным.

Традиционный метод оценки риска предполагает измерение одного из показателей вариации, например дисперсии:

Іи,-л;Г

п

где Я — уровень риска;

х и а2 — соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия урожайности; х — фактическая урожайность /-го года; п - период наблюдения, лет.

В основе спектрального подхода к измерению риска лежит сравнение формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума. В работе [2] предлагается уровень риска оценивать с помощью коэффициента Яе:

где F(а) — энергетический спектр сигнала риска;

а2 = а2 — дисперсия урожайности;

т — математическое ожидание частоты сигнала риска.

а ее — верхняя граничная частота заданной полосы Аа для которой справедливо соотношение Рзе = еР3, где Р= а2 — средняя мощность (дисперсия) сигнала риска, а е — доля средней мощности сигнала риска.

Уровень риска, рассчитанный по формуле (7), будет находиться в диапазоне значений от 0 до 100 %.

Математическое ожидание частоты сигнала риска определяется по формуле [2]

Величина е вводится для исключения влияния «хвоста» энергетического спектра сигнала риска на величину математического ожидания частоты т^. В результате рассматривается область частот Аае (рис. 4), содержащая основную часть средней мощности сигнала риска, которая и учитывается в расчётах.

При измерении риска данным способом энергетический спектр белого шума рассматривается в эффективной полосе Ааа.

Под эффективной полосой энергетического спектра сигнала риска Ааа понимается полоса частот, найденная из условия равенства площади под кривой энергетического спектра сигнала риска в заданной полосе частот Аае и площади под кривой энергетического спектра полосового белого шума ^(а) = Fm [2], где ¥т — максимальное значение в энергетическом спектре сигнала риска.

Полосовым белым шумом называется стационарная случайная функция, спектральная плотность которой постоянна в некотором диапазоне частот и равна нулю вне этого диапазона:

(7)

нимаемый за плотность распределения случайной величины а.

!’ь(со) = /'!. = соті при сон <со< со0; Fb(а) = 0 при а < ан; а > а,

(9а)

(9б)

где Юн и Юд — нижняя и верхняя граничные частоты рассматриваемого диапазона соответственно.

Рис. 4. Энергетические спектры сигнала Fs(a>) и белого шума Fь(ш) в заданной полосе частот Дш

е

В табл. 2 приведены рассчитанные по формуле (7) значения коэффициента риска Я

Таблица 2

Оценка риска неурожайности (2005 г.)

Величина е 0,85 0,90 0,95 0,97

Коэффициент риска Яе, % 47,90 37,80 25,18 18,07

С ростом величины е повышается точность вычисления математического ожидания тно одновременно увеличивается время, необходимое для расчета. Поэтому мы рекомендуем выбирать е = 0,95.

В табл. 3 для сравнения приведены результаты оценки риска традиционным и спектральным методами.

Как видим, при спектральном методе оценки риска в последние годы наблюдается тенденция роста величины риска. Традиционный же способ измерения риска дает обратный результат: уровень риска снижается. Проведенные исследования для нескольких районов Челябинской области, расположенных в разных агроклиматических зонах Южного Урала, показали, что традиционный подход даёт искаженную картину оценки риска и не может быть использован для текущих измерений и прогнозирования.

Таблица 3

Сравнение методов оценки риска

Год Традиционный метод Спектральный метод

Дисперсия урожайности, <т* Коэффициент риска, Яе, % (е = 0,95)

2001 18,75 24,90

2002 16,10 25,20

2005 14,25 25,18

С учетом прогнозируемой урожайности [5] можно определить значение риска на следующий за рассматриваемым периодом год. В табл. 4 приведены фактически полученные (Яф и прогнозные (Яепр) значения риска, а также средняя ошибка прогноза. Относительная погрешность прогнозирования д оценивалась по формуле

Таблица 4

Результаты прогнозирования риска неурожайности Яе, % (е = 0,95)

2001 г. 2003 г. 2005 г. Средняя ошибка прогноза, %

Я ф е.ф Я е.пр Я ф е.ф Я е.пр Я ф е.ф Я е.пр

24,90 24,96 25,20 24,98 25,18 25,23 0,44

Таким образом, средняя ошибка прогнозирования риска не превышает 0,44 %. Как показал анализ, ошибка прогнозирования урожайности и риска коррелируют между собой: чем точнее прогноз урожайности, тем меньше ошибка в прогнозировании риска.

Проведенное исследование свидетельствует о том, что показатель вариации (в нашем случае — дисперсия), характеризующий риск в среднем, имеет низкую точность оценки. Традиционный подход не позволяет измерять риски в реальном масштабе времени и, тем более, заниматься их прогнозированием. Дисперсия в рассмотренном примере даёт искажённую картину величины риска, поскольку не учитывает его «внутреннюю» структуру и поведение во времени.

Проблема может быть решена, если обратиться к «энергетическому спектру риска» — разложить сигнал риска на отдельные спектральные составляющие, каждая из которых характеризуется своей «средней мощностью». Уровень риска в этом случае будет определяться составом спектра. Чтобы получить относительную оценку риска, необходимо сравнить его энергетический спектр со спектром белого шума.

С точки зрения спектральной теории дисперсия является средней мощностью всех спектральных составляющих сигнала риска. Вот почему дисперсия, как и другие производные от нее показатели вариации, не может использоваться для измерения риска. Ведь она характеризует лишь среднюю мощность сигнала риска и не учитывает ее распределение по частотным составляющим, а это существенно для правильной оценки риска.

В заключение отметим, что проведенные на примере урожайности зерновых культур исследования подтверждают основные положения спектральной теории рисков.

Список литературы

1. Матвеев, Б. А. Статистический анализ урожайности зерновых культур / Б. А. Матвеев // Вестн. ЮУрГУ Сер. «Рынок: теория и практика». 2006. Вып. 4, № 15 (70). С. 125-128.

2. Матвеев, Б. А. Методы измерения статистических рисков / Б. А. Матвеев // Проблемы формирования информации о деятельности экономических субъектов : сб. ст. Всерос. науч.-практ. конф., 7-9 февр. 2007 г. Челябинск : ЮУрГУ, 2007. С. 119-126.

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. М. : Высш. шк., 2002. 576 с.

4. Матвеев, Б. А. Энергетический спектр урожайности зерновых в Челябинской области / Б. А. Матвеев, Б. Б. Матвеев // Вестн. ЧГАУ 2004. Т. 43. С. 120-121.

5. Баев, Л. А. Статистический метод прогнозирования урожайности / Л. А. Баев, Б. А. Матвеев, Б. Б. Матвеев // Материалы XXI Междунар. науч.-практ. конф., Челябинск, 15-16 апр. 2004 г. Челябинск : УрСЭИ АТ и СО, 2004. Ч. V. С. 127-130.