CC BY
41
Экономика и финансы
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА РИСКА НЕУРОЖАЙНОСТИ ПРИ СТРАХОВАНИИ ПОСЕВОВ
Б.А. Матвеев
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск
В настоящей работе на примере риска неурожайное™ зерновых культур рассмотрены различные методы измерения статистического риска. Под статистическим риском понимается риск, связанный с колеблемостью получаемого результата, поведение которого в течение определённого промежутка времени известно. К статистическим рискам (далее -рискам) относится большое число экономических, предпринимательских, финансовых, страховых, сельскохозяйственных и других рисков.
В качестве исследуемого был выбран риск неурожайности сельскохозяйственных культур по следующим причинам:
1) риск неурожайности обусловлен, главным образом, множеством случайных, независимых агроклиматических факторов: суммой активных температур, суммой выпавших осадков, плодородием почвы и т.д. По этой причине в качестве математической модели урожайности может быть выбран случайный процесс с нормальным законом распределения [1], что сильно упрощает статистический анализ;
2) количественная оценка риска неурожайности играет первостепенную роль при страховании сельскохозяйственных посевов.
Под риском неурожайности будем понимать возможность наступления одного или нескольких случайных событий, являющихся причиной отклонения урожайности от ожидаемого значения. Такими событиями могут засуха, затяжные дожди, поздние весенние и ранние осенние заморозки и др.
Исследование статистического риска вообще и неурожайности в частности может быть сведено к изучению сигнала риска [2]. Под сигналом риска для урожайности понимается отклонение урожайности от ожидаемого значения под воздействием риска (рискового события).
Сигнал риска s{t) для урожайности математически можно описать следующим образом:
s(t) = x(t)-x0(t), (1)
где x(t) и ха (?) - соответственно фактически полученная и ожидаемая урожайность (реализация урожайности).
В качестве ожидаемого значения урожайности можно принять её математическое ожидание:
x0(t) = m(t). (2)
Тогда величина сигнала риска для конкретного момента времени tx будет иметь вид:
Si = s(tf) = x(t{) - m(t) = x,~ mit) . (3)
На рис. 1 представлены линейные диаграммы сигнала риска, построенные на основе данных об урожайности зерновых культур для Челябинской области и шести её районов. От линейных диаграмм урожайности они отличаются смещением по оси ординат на величину математического ожидания m(t).
В качестве оценки математического ожидания можно взять среднюю арифметическую величину урожайности х за период наблюдения Т : m(l) - х . Такое возможно, когда m(t) = m = const.
Если математическое ожидание урожайности имеет существенные изменения в пределах наблюдаемого периода (0; Т), то последний следует разбить на отдельные интервалы АТк (^АТк =Т), в пределах которых к
математическое ожидание можно считать неизменным. За оценку математического ожидания внутри каждого такого интервала может быть принято среднее значение урожайности: mk = хк ~ const.
В результате сигнал риска для урожайности станет центрированной случайной вели-чиной, а совокупность таких величин в тече-
ние наблюдаемого периода (0; Т) - центрированным случайным процессом. Корреляционная функция (коэффициент корреляции) урожайности и сигнала риска в этом случае совпадают и имеют вид, показанный на рис. 2 [1]. Таким образом, сигнал риска, как и урожайность, обладает свойством эргодичности как по отношению к математическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной функции [1].
Односторонний энергетический спектр (со) сигнала риска для урожайности связан с его корреляционной функцией к5 (г) преобразованием Фурье [3]:
ТР, Л л 2к№
Р (со) = — 1£ (г)со8<игсг =
я ■’
Я
f—— COSt»rfi?r = Z(Js ■ fр. (г) cos cor dr, (4)
2a,
2 eo
K(0)
где ps(r) =
n
- нормированная корреляци-
онная функция сигнала риска для урожайности (коэффициент корреляции); к5(0) = а2 - дисперсия сигнала риска, равная дисперсии урожайности а2 : a2 - a2 .
Для оценки нормированной корреляционной функции сигнала риска для урожайности воспользуемся функцией
ps(r) = e~aT cos fir cos сот [1] и подставим её в выражение (4):
2^“ я
Эгг
F (со) =—- \ps(T)QO$mdz =
-тт *
2а,
я
о
2 <о
— je~aT cos fit cos cox dr =
2 oo
-El
я
je ar[cos(<y + P)r + cos(co - P)r]dr
я
x[ Je~" cos(co + P)rdr + je~at cos (со - P)rdr], о о
r > 0. (5)
Воспользуемся табличным интегралом [4]
QO
P
je px cos qxdx =
о
2 2 p +Я
(6)
Тогда интегралы в формуле (5) будут равны:
00
а
je ar cos(ft) + р)тdr ■■
о
а2 + (со + /З)2
je ат cos (со- P)rdr = -
а
0 а + (со-р)
С учётом полученного преобразуем выражение в квадратных скобках формулы (5):
00 00
je~aт соз(со + /?)Ыг + /е-ат сов(со - =
а
а2 + (со + Р)2 = 2а
+
а
а2 + (со-J3)2
2 2 со + у
a? +2(az -р2)со2 + у4 где у2 = а2 + р2.
(7)
В результате выражение (5) с учётом ра-примет вид:
венства а2 = а2
2 2 со + у
F' (со)- —-2а-
я co‘l+2(a^-pz)coz+y4
2 аа
2 2
со
я со4 + 2(а2-р2)со2+у4' (8)
Энергетические спектры сигнала риска для урожайности, вычисленные по формуле (8), представлены на рис. 3. Все спектры имеют ярко выраженную низкочастотную составляющую <у0 = Р . В то же время другие гармоники, в том числе и постоянная составляющая (соо = 0) сильно ослаблены. Заметим, энергетический спектр сигнала риска характеризует распределение дисперсии урожайности по частоте, а сумма дисперсий всех гармонических составляющих равна дисперсии
урожайности а2 [5].
Вид энергетического спектра сигнала риска определяет поведение реализации урожайности во временной области. Наличие периодической составляющей в энергетическом спектре обусловлено повторяющимися на Южном Урале через определённое количество лет неблагоприятными погодными условиями в виде засухи или длительных дождей. В то же время влияние погодных условий в разных районах области сказывается по-разному. Так, судя по величине гармонической составляющей в энергетическом спектре сигнала риска это влияние сильнее в Соснов-ском районе и менее заметно в Нагайбакском и Карталинском районах.
Отметим, что периодическая составляющая, вокруг которой сосредоточена большая часть дисперсии урожайности, является основным источником риска неурожайности
Рис. 2. Нормированные корреляционные функции урожайности (сигнала риска) зерновых культур
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Энергетически й спектр
Челябинская область
Частота, Гд
Энергетический
спектр
Сосновский район Чебаркульский район
Частота, Гц
Энергетический
спектр
Агаповский район Нагайбакский район
Частота, Гц Н
Энергетически й спектр
Варненский район Карталинский район
Частота, Гц
Рис. 3. Энергетические спектры сигнала риска урожайности зерновых культур
в регионе. Даже не проводя соответствующих измерений по виду энергетических спектров, можно предположить, что риск неурожайно-сти будет самым высоким для Сосновского района и самым низким - для Челябинской области и Варненского района.
Измерение риска неурожайности (далее риска) проведём двумя методами: спектральным и традиционным. Спектральный метод будет представлен коэффициентами риска, для расчёта которых воспользуемся выражениями, полученными в [6].
Традиционный метод оценки риска основан на измерении одного из показателей вариации. Пусть это будет дисперсия
Х<х-*)2
-----, (9)
где Я - уровень риска; х и а - соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия урожайности; х1 - фактическая урожайность /-го года; п - период наблюдения, лет.
В основе спектрального подхода к измерению риска лежит сравнение формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума [6]. В зависимости от рассматриваемой области частот Асо и используемых показате-
лей формы спектра могут быть предложены различные методы оценки риска.
При измерении риска на основе эффективной полосы частот его уровень оценивается с помощью коэффициента Яр [6]
Юр!
| ^(©У«, (10)
Кр=-
р К
1
т\~р2 <ор1
■ок
где Р5 (со) - энергетический спектр сигнала риска; Рт - максимальное значение в энергетическом спектре сигнала риска; сор1 и сор2 -
граничные частоты энергетического спектра сигнала риска, которые находятся из условия Рр = рРт (рис. 4); р - заданный уровень
энергетического спектра сигнала риска.
Под эффективной полосой энергетического спектра сигнала риска А <оа понимается полоса частот, найденная из условия равенства площади под кривой энергетического спектра сигнала риска в полосе частот А сор -о)р2 — сор\ и площади под кривой энергетического спектра полосового белого шума
*№) = •**(РИС- 4)'
Из формулы (10) следует, что величина коэффициента риска зависит от уровня р. Чтобы не потерять сравнимость результатов измерения рисков у разных объектов исследо-
Рис. 4. К определению эффективной полосы энергетического спектра
сигнала риска Ай)„
вания, необходимо придерживаться выбранного однажды значения р.
В табл. 1 приведены рассчитанные по формуле (10) значения коэффициента риска 11р .
Ещё одна проблема рассматриваемого способа измерения риска заключается в его низкой чувствительности. На самом деле, значения коэффициента риска для разных территорий Челябинской области при р < 0,05 и р> 0,2 практически не отличаются между собой. Поэтому уровень р при расчёте риска данным способом мы рекомендуем выбирать в диапазоне значений от 0,05 до 0,2.
Таким образом, применение рассматриваемого метода для измерения и сравнения различных рисков (риск доходности ценных бумаг, риск убыточности в страховании, риск снижения прибыли и др.) связано с выбором единого для всех случаев уровня р. В этом нам видится основная проблема количественной оценки риска на основе эффективной полосы частот.
Для сравнения традиционного и спектрального методов оценки риска в табл. 2 приведены значения дисперсии и коэффициента риска, рассчитанные по формулам (9) и (10) соответственно.
Таблица 1
Оценка риска неурожайности зерновых культур с помощью коэффициента риска Яр ,%
Территория Коэффициент риска Кр при уровне р, равном
0,01 0.05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1. Челябинская область 19,28 28,87 40,14 54,87 64,65 72,22 78,47 83,82 88,52 96,52 96,52
2. Сосновский район 19,52 34,54 41,07 53,42 64,13 71,97 78,35 83,76 88,50 92,71 96,52
3. Чебаркуль-ский район 19,44 3-1,11 40,40 53,70 64,21 72,01 78,36 83,77 88,50 92,71 96,52
4. Агаповский район 19,39 33,83 39,96 53,85 64,26 72,03 78,37 83,78 88,50 92,71 96,52
5. Нагайбак-ский район 19,07 32,36 37,71 54,35 64,43 72,11 78,41 83,80 88,51 92,72 96,52
6. Варненский район 18,16 28,92 40,12 54,86 64,64 72,22 78,47 83,82 88,52 92,72 96,52
7. Карталин-ский район 18,28 29,33 39,94 54,86 64,64 72,22 78,47 83,82 88,52 92,72 96,52
Таблица 2
Сравнительная оценка риска неурожайности зерновых культур
Территория Спектральный метод оценка риска Традиционный метод оценки риска
Коэффициент риска Кр , (%) при р = 0,05 Дисперсия -2 урожайносте, а
1. Челябинская область 28,Ь7 14,25
2. Сосновский район 34.54 19,69
3. Чебаркульский район 34,11 28,46
4. Агаповский район 33,83 20,47
5. Нагайбакский район 32,36 17,62
6. Варненский район 28,92 12,94
7. Карталинский район 29,33 10,84
Как видим, спектральный и традиционный методы оценки риска дают разные количественные и, что особенно плохо, качественные результаты.
Согласно спектральному методу наибольший риск неурожайности в Сосновском районе, а наименьший - для Челябинской области, Варненского и Карталинского районов.
При традиционном способе измерения наибольшим риском обладает Чебаркульский район, а наименьшим - Карталинский район.
При измерении риска на основе дисперсии частоты в эффективной полосе частот его уровень оценивается с помощью коэффициента Яаа [6]:
12^2 т^+л"<>/2 &ш=—Г | (П)
0 т1е-дчоа/2
где /^(©) - энергетический спектр сигнала риска; Рт - максимальное значение в энергетическом спектре сигнала риска; сг2 = сг2 -дисперсия урожайности; Асоа - эффективная полоса энергетического спектра сигнала риска; т5е - математическое ожидание частоты для сигнала риска.
Математическое ожидание частоты для сигнала риска определяется по формуле [6]
т*е= |]со^~-йсо^
о о
1 <ое
=— (12)
^ о ^(о)
где /Дсо)= - нормированный энерге-
тический спектр сигнала риска, условно принимаемый за плотность распределения случайной величины со ; сое - значение частоты, совпадающее с полосой частот А сое для заданной доли е средней мощности сигнала риска(рис. 5)
Р^еР^еа), (13)
где Рве - принимаемая в расчётах средняя
мощность сигнала риска; е - доля средней
мощности сигнала риска Р$ = ст2.
Уровень е вводится для исключения влияния «хвоста» энергетического спектра сигнала риска на величину математического ожидания частоты т5е. В результате рассматривается область частот Асое (см. рис. 5), содержащая основную часть средней мощности сигнала риска, которая и учитывается в расчётах. Такая процедура не приводит к сущест-
Рис. 5. Энергетические спектры сигнала риска Р.,(ю) и белого шума Рь(ш) в заданной полосе А й)е
венному росту ошибки в оценке риска, но позволяет ускорить процесс вычислений.
При измерении риска данным способом энергетический спектр белого шума рассматривается в эффективной полосе Асоа, середина которой находится в точке со = т$е.
В табл. 3 приведены значения коэффициента риска, рассчитанные по формуле (11), а также оценки того же риска с помощью коэффициента (10) и дисперсии (9).
Отметим, что оценки риска, полученные с помощью спектрального метода на основе коэффициентов риска Кр и Кта, на качественном уровне совпадают. Максимальный риск имеет Сосновский район, минимальный - Челябинская область.
Определение риска через показатель вариации с?2 даёт противоположный, максимальный для Челябинской области, результат.
При измерении риска на основе дисперсии частоты в заданной полосе частот его уровень оценивается с помощью коэффициента Кае [6]:
12 °*е
^*=-2-2 (14)
О
где Р5 (ю) - энергетический спектр сигнала риска; сг2 = сг2 - дисперсия урожайности; тхе - математическое ожидание частоты для сигнала риска; сое - верхняя граничная частота заданной полосы Асое, для которой справедливо соотношение Р$е = еР5, где Р5 ~ а] -средняя мощность (дисперсия) сигнала риска, а е - заданный уровень средней мощности сигнала риска.
В табл. 4 приведены рассчитанные по формуле (14) значения коэффициента риска
Ке-
С ростом величины е повышается точность вычисления математического ожидания т5е, но одновременно увеличивается время, необходимое для расчёта. Поэтому мы рекомендуем выбирать е = 0,95 .
Чтобы сравнить все рассмотренные нами методы измерения риска составим сводную табл. 5.
Приведённые результаты свидетельствуют о том, что все методы спектральной оценки рисков дают одинаковые оценки риска. Самый низкий уровень риска получен для Челябинской области. Этому есть простое объ-
яснение - урожайность для Челябинской области является усреднением урожайности отдельных регионов. Колеблемость урожайности относительно среднего в этом случае снижается, её предсказуемость становится выше, а риск - меньше. Несколько ниже риск неурожайности - в Варненском и Карталин-ском районах.
Полученные результаты хорошо согласуются с многолетними наблюдениями. Степная зона Южного Урала, к которой относятся Варненский и Карталинский районы, считаются менее рискованными для земледелия, чем остальные.
Исследование показало, что уровень риска коррелирует с типом агроклиматической зоны. Риск снижается при переходе от северной степной зоны (Чебаркульский и Сосновский районы) к южной лесостепной (Агаповский и Нагайбакский районы) и далее к степной зоне (Варненский и Карталинский районы).
Из трёх рассмотренных методов спектральной оценки риска предпочтение, на наш взгляд, следует отдать методу на основе дисперсии частоты в заданной полосе частот, то есть измерению риска с помощью коэффициента Лае. В отличие от измерения коэффициента Яр он не требует предварительного
выбора уровня р в энергетическом спектре сигнала риска. А по сравнению с расчётом коэффициента Яша данный способ позволяет сравнивать энергетические спектры сигнала риска и белого шума в более широкой полосе, а значит - точнее измерить риск.
С учётом прогнозируемой урожайности [7] можно определить значение риска на следующий за рассматриваемым периодом год. В табл. 6 приведены фактически полученные (Яюе ф) и прогнозные (Кае.пр Значения риска,
а также средняя ошибка прогноза. Относительная погрешность прогнозирования 8 оценивалась по формуле
5У^ф:^А.ш%_ (15)
п 4 7
Лсое.ф
По всем рассмотренным вариантам средняя ошибка прогнозирования риска не превышает 2,17% (Агаповский район) от её фактического значения. Наиболее точный результат получен для Челябинской области. Здесь средняя ошибка составила 0,44%.
Таблица 3
Оценка риска неурожайности зерновых культур
Спектральный метод Традиционный метод
оценка риска оценки риска
Территория Коэффициент риска, % Дисперсия урожайности
р КР л2
(е-0,95) (Р = 0,05) <7
1. Челябинская область ■45.14 28 87 14,25
2. Сосновский район 46.62 34.54 19,69
3. Чебаркульский район 46,34 34,11 28.46
4. Агаповский район 46,16 33,83 20,47
5. Нагайбакский район 45,49 32,36 17,62
6. Варненский район 45.14 28,92 12 94
7. Карталинский район 45,11 29,33 10.144
Таблица 4
Оценка риска неурожайности зерновых культур с помощью коэффициента риска Иае
Территория Коэффициент риска Я0)е, (%) при значении е, равном
0,85 0,90 0.45 0,97
1. Челябинская область 47,90 37,80 2МК 18,07
2. Сосновский район 51,48 41,05 27.2(1 19,51
3. Чебаркульский район 51,22 40,81 27.02 19,36
4. Агаповский район 51,07 40,67 26.44 19,24
5. Нагайбакский район 50,22 39,91 20.47 19,02
6. Варненский район 47,93 37,83 18,06
7. Карталинский район 48,24 38,13 25.311 18,24
Таблица 5
Сравнение методов оценки риска неурожайности зерновых культур
Территория Спектральный метод оценка риска Традиционный метод оценки риска
Коэффициент риска, % Дисперсия урожайности
Ср = 0,05) р Лша Ке (е-0,95) <7
1. Челябинская область 28 87 45.14 25.18 14,25
2. Сосновский район 34 54 46.62 27.20 19,69
3. Чебаркульский район 84 и 46.34 27.02 28.46
4. Агаповский район 33,83 46,16 26,94 20,47
5. Нагайбакский район 32.36 45,49 26,47 17,62
6. Варненский район 28.92 45,14 12,94
7. Карталинский район 20.33 45.11 *■39 10.84
Матвеев Б.А,
Таблица 6
Результаты прогнозирования риска неурожайности зерновых культур, %
Территория Год Средняя ошибка прогноза, %
2001 2003 2005
сое.ф ^(ое.пр ^■сое.ф р 1К(»е.пр р сое.ф Я -‘'•азе.пр
1. Челябинская область 24,90 24,96 25,20 24.98 25,18 25,23 0,44
2. Сосновский район 26,28 25,57 26,67 26.67 27,21 26,93 1.24
3. Чебаркульский район 26,83 26,77 27,12 27,00 27,02 27,73 1,10
4. Агаповский район 25,81 25,80 25,60 . 25,1§ 26,94 2,17
5. Нагайбакский район 25,95 25,80 26,07 2(1.1) 1 26,47 0,74
6. Варненский район 25,19 25,78 25,36 25,26 25,18 0,94
7. Карталинский район 25,39 25,05 25,55 25,49 25,39 0,67
Анализ показывает, что ошибки в прогнозировании урожайности и риска коррелируют между собой: чем точнее прогноз урожайности, тем меньше ошибка в прогнозировании риска.
Проведённые исследования свидетельствуют о том, что показатели вариации, характеризующие риск в среднем, имеют низкую точность оценки. Традиционный подход не позволяет измерять риски в реальном масштабе времени и, тем более, заниматься их прогнозированием. Дисперсия в рассмотренном примере даёт искажённую картину распределения риска по агроклиматическим зонам Южного Урала, поскольку не учитывают его «внутреннюю» структуру, его поведение во времени.
Проблема может быть решена, если обратиться к «энергетическому спектру риска» -разложить сигнал риска на отдельные спектральные составляющие, каждая из которых характеризуется своей «средней мощностью». Уровень риска в этом случае будет определяться составом спектра. Чтобы получить относительную оценку риска, необходимо сравнить «его» энергетический спектр со спектром белого шума.
С точки зрения спектральной теории дисперсия является средней мощностью всех спектральных составляющих сигнала риска. Вот почему дисперсия, также как и другие производные от неё показатели вариации, не может использоваться для измерения риска. Ведь она характеризует лишь среднюю мощность сигнала риска и не учитывает её распределение по частотным составляющим. А это -существенно для правильной оценки риска.
В заключение отметим, что проведённые на примере урожайности зерновых культур исследования подтверждают основные положения спектральной теории рисков.
Литература
1. Матвеев, Б.А. Статистический анализ урожайности зерновых культур / Б.А. Матвеев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Рынок: теория и практика». - 2006. - Вып. 4. -№ 15(70). - С. 125-128.
2. Матвеев, Б.А. Понятие сигнала риска и математический аппарат для его изучения / Б.А. Матвеев // Стратегическое управление ресурсами предприятия: сб. статей Междунар. науч.-практ. конф., 25-26 апреля 2003 г. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - С. 347-351.
3. Вентцелъ, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцелъ. - М.: Высш. шк„ 2002. - 576 с.
4. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, КМ. Рыжик. -М.: Наука, 1971. - 1108 с.
5. Матвеев, Б.А. Энергетический спектр урожайности зерновых в Челябинской области I Б.А. Матвеев, Б.Б. Матвеев //Вестник ЧГАУ, Челябинск: Изд-во ЧГАУ, 2004. - Т. 43. - С. 120-121.
6. Матвеев, Б.А. Методы измерения статистических рисков / Б.А. Матвеев // Проблемы формирования информации о деятельности экономических субъектов: сб. статей Всерос. науч.-практ. конф., 7-9 февраля 2007 г. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007.-С. 119-126.
7. Баев, Л.А. Статистический метод прогнозирования урожайности / Л. А. Баев, Б.А. Матвеев, Б.Б. Матвеев //Материалы XXI Междунар. науч.-практ. конф. -Челябинск, 15-16 апреля 2004 г. -Челябинск: Изд-во УрСЭИ АТ и СО, 2004. - Ч. V,-С. 127-130.
