CC BY
61ЯДЕРНАЯ ЭНЕРГЕТИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 621.372.801
А.С. Раевский, С.Б. Раевский, О.В. Усков
СПЕКТР ВОЛН КРУГЛОГО ОТКРЫТОГО СЛОИСТОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
С позиции теории несамосопряженных операторов формулируются краевые задачи для круглого открытого диэлектрического волновода. Рассматривается полный спектр волн, включая собственные и несобственные комплексные волны. Основное внимание уделяется особенностям волн, связанных с несамосопряженностью электродинамических операторов.
Ключевые слова: круглый открытый диэлектрический волновод, спектр волн, собственные и несобственные комплексные волны.
Введение
Круглый открытый диэлектрический волновод (ОДВ) является одной из наиболее широко используемых открытых направляющих структур как СВЧ и КВЧ, так и оптического диапазонов волн. Интерес к нему определяется, с одной стороны, широкими возможностями его использования при построении линий связи и функциональных узлов (ФУ) указанных диапазонов, с другой стороны, тем, что ОДВ удобен для теоретического исследования особенностей открытых направляющих структур в силу возможности строгого решения соответствующей ему краевой задачи. Для круглого ОДВ возможна точная запись (в замкнутой форме) дисперсионных уравнений, гарантирующая адекватность используемой математической модели реальной направляющей структуре. Математическая модель круглого регулярного ОДВ позволяет выявить основные особенности волн, направляемых открытыми диэлектрическими волноводами, в частности, волоконными световодами. В большинстве работ [18], посвященных исследованию ОДВ, он рассматривался в основном как структура, направляющая поверхностные волны, поля которых экспоненциально убывают в радиальном направлении. Теория именно таких волн получила наиболее полное развитие [9-16]. Поверхностные волны - основной тип волн, на которых осуществляется перенос энергии в волоконных световодах, для их исследования используется математическая модель ОДВ. Однако в целом ряде устройств (это, в первую очередь, относится к плавным переходам линий передач с малым замедлением [16] и к антеннам неосевого излучения) поверхностные волны используются лишь для возбуждения, подвергаясь затем преобразованию в волны, слабо связанные с направляющей структурой, имеющие большую поперечную протяженность поля. При этом возникают задачи о расчете поля излучения и характеристик передачи нерегулярных участков тракта [16], при решении которых неизбежно приходится учитывать полный спектр волн диэлектрического волновода.
В отличие от экранированных направляющих структур полный спектр открытых волноводов, помимо дискретной, имеет (в силу отсутствия на внешней границе краевого усло-
© Раевский А.С., Раевский С.Б., Усков О.В., 2010.
вия, соответствующего задаче Штурма-Лиувилля [17]) непрерывную часть, представляемую интегралом по одному из волновых чисел. Волновые числа непрерывного спектра изменяются в пределах от нуля до бесконечности и соответствуют полю излучения из волновода и полю вблизи источника. Эти поля частично описываются также различными типами комплексных волн (КВ), входящих в дискретную часть спектра. Комплексность волновых чисел указанных волн не связана с тепловыми потерями в средах направляющей структуры.
1. Краевые задачи для открытого слоистого диэлектрического волновода.
Виды возможных решений
Общее решение уравнения (уравнения Гельмгольца: АПет + к2Пеm = 0 , где к = Ю^ВЦ ) в случае ОДВ имеет вид
ПГ = Z.(а,,,^"е-" , (1)
[sin "ф
где Z. - цилиндрическая функция 1 -го рода для внутреннего слоя, линейная комбинация цилиндрических функций 1-го и 2-го рода для промежуточных слоев, цилиндрическая функция 3-го рода для внешней области.
При n = 0 поля волн ОДВ не зависят от координаты ф (симметричные волны). При наложении граничного условия на бесконечности общее число граничных условий прямой краевой задачи будет:
Um = 0; m = 1,2,..., 2q; N = 2q,
где q - число слоев, на которое разбивается поперечное сечение рассматриваемой структуры. Поскольку число граничных условий сопряженной краевой задачи
N * = q(2.)- N = 2q; N * = N , оператор является самосопряженным. Здесь . - порядок дифференциального уравнения.
При снятии граничного условия на бесконечности N = 2q — 1. В результате, поскольку
N * = q(2.) — (2q — 1) = 2q +1 Ф N, оператор становится несамосопряженным.
Действительным собственным значениям краевой задачи соответствуют решения дисперсионного уравнения, являющиеся волновыми числами поверхностных волн. Это волны, направляемые данной структурой. Их распространение обусловлено полным внутренним отражением на границах раздела сред.
Известно [6, 18], что на критических частотах поверхностные волны переходят в волны излучения - вытекающие волны. Для описания этих волн необходимо вводить вместо (1) интегральное представление поля и соответственно непрерывный спектр собственных значений, хотя термин «собственные значения» в данном случае не является строгим, поскольку вытекающие волны не удовлетворяют условию излучения, в результате чего краевая задача для них не является однородной.
В случае несимметричных волн (. Ф 0) второе условие самосопряженности оператора не выполняется (в независимости от граничного условия на бесконечности), в результате чего в спектре решений дисперсионного уравнения краевой задачи, которая является несамосопряженной, присутствуют комплексные значения, соответствующие различным типам комплексных волн. Для собственных комплексных волн, удовлетворяющих условию излучения, они соответствуют однородной краевой задаче, для несобственных (не удовлетворяющих условию излучения) - полуоднородной.
Несобственные комплексные волны подразделяются [19, 20] на вытекающие и медленные несобственные волны. Дисперсионные характеристики вытекающих волн, первое упоминание о которых было в [18], являются продолжениями характеристик поверхностных волн на частотах ниже критических. Комплексность их волновых чисел обусловлена потерями на излучение. Вытекающие волны могут переходить в собственные комплексные волны.
Термин «собственные» означает, что они при тех же параметрах рассматриваемой структуры будут присутствовать и в спектре решений однородной задачи. В случае малых п такие волны существуют при достаточно высоком значении отношения диэлектрических проницаемо-стей слоев ОДВ. В случае больших п они появляются при меньших значениях этого отношения [21]. Характерной особенностью таких волн является равенство нулю среднего за период потока мощности, переносимой через поперечное сечение структуры.
С уменьшением частоты собственные комплексные волны снова переходят [19] в вытекающие, а те, в свою очередь, в медленные несобственные. Физическая природа комплексности решений, соответствующих медленным несобственным комплексным волнам, не вполне ясна.
Если в рассматриваемом ОДВ учесть потери на поглощение хотя бы в одном из слоев, то краевая задача будет несамосопряженной независимо от того, накладывается условие излучения или не накладывается. Все собственные значения будут комплексными, а значит, и решения дисперсионного уравнения также будут комплексными. В данном случае комплексность волновых чисел обусловлена потерями на поглощение, приводящими к уменьшению амплитуд полей по продольной координате ОДВ.
Дисперсионное уравнение двухслойного ОДВ имеет [19] вид
"2 fe1} (в 2а?
a tt2
SlMla 2
B1J (ttia) __ a1J„ (a1a)
в 2 H'n{2) (a 2a )
2 H<n] 2a)
a1Jn (a1a)
[2 H'}2) (a 2 a)" a 2 Hn2) (a 2a)_
(2)
= 0,
ОЛ
где J п - функция Бесселя; Нп - функция Ханкеля 2-го рода.
На рис.1 приведены качественные частотные зависимости фазовых постоянных и коэффициентов затухания, для гибридных волн с п = 1, взятые из [19]. На рисунке обозначено:
~ = / - нормированная фазовая постоянная (сплошные линии), = ^82ц2; ~2 = —02а -нормированный коэффициент затухания (пунктир), а - радиус ОДВ. Продольное волновое число в общем случае комплексное: 0 = + ¡02; 8=8!/ 82.
Рис. 1. Частотные зависимости фазовых постоянных и коэффициентов затухания волн круглого ОДВ
Из рисунка видно, что с уменьшением длины волны X нормированные фазовые постоянные поверхностных волн ЕН1т и НЕ1т стремятся к . На критических частотах (в точках Х^ / а ) волны ЕН1т переходят в вытекающие. При достаточно больших значениях на характеристиках волн ЕНп и ЕН12 есть участки, соответствующие собственным комплексным волнам (р1 < о), которые при уменьшении частоты переходят сначала в вытекающие, а затем в медленные несобственные. Волны НЕ1т, как, впрочем, и все волны НЕпт, продолжения в виде вытекающих на частотах ниже критических в структуре без диссипации энергии не имеют.
2. Критические частоты НЕ и ЕН-волн двухслойного ОДВ
Традиционно считается [6], что поверхностные волны ЕНпт и НЕпт+1 имеют одинаковые критические частоты, ниже которых только волны ЕНпт имеют продолжения в виде вытекающих. Однако численные расчеты показывают, что на частотах, близких к критическим, дисперсионные характеристики волн НЕпт не просчитываются, на них Р очень близко подходит к (= 81 / в2), но не достигает этого значения.
Проведем анализ дисперсионного уравнения двухслойного ОДВ (2) вблизи критических частот поверхностных волн, которое, как известно [22], может быть записано в виде
рп (а1а ) =1 Рп (а 2а )а-2 а 2
82 | Д2^ V 81
4
а1 8 2
Ча2 J Ч81 J
±
J
2
±Лр2(а2а)| — —+ 0
2 - (3)
81^1
где а1 и а 2 - поперечные волновые числа внутри ОДВ и в окружающей среде соответственно; 81з ^ и 82, д 2 - диэлектрическая и магнитная проницаемости ОДВ и окружающей среды; а - радиус ОДВ;
р(пп)~ Гп(а1а) ■ П - (а2 _а2 ) (82^2а2 _81^1а2 ) рп (а1а )= Т ( V " = 244 •
Jn (а1а) а а4а2
В общем случае поле во внешней среде описывается (1) функциями Ханкеля, при этом
Рп (а2а) = (а2а) / Н^а). (4)
Поля поверхностных волн во внешней среде могут быть также представлены [23] функциями Мак-Дональда. В этом случае
Рп (а2а)= _кп (а2а) / Кп (а2а) • (5)
В (5) Кп - функции Мак-Дональда; штрих в (4) и (5) означает дифференцирование по всему аргументу. Поперечное волновое число во внутренней области вычисляется как
а1 = д/81д1ш2 _Р2 • (6)
Поперечное волновое число в окружающей среде в (4) определяется аналогичным соотношением
7 2 2
82^2® _Р , (7)
а в формуле (5) - соотношением:
7 2 2 _82^2<э +Р •
2
Два знака перед радикалом в уравнении (3) указывают [6] на существование у дисперсионного уравнения двух ветвей решений. При использовании представления (5) знак минус соответствует [6] волнам НЕпт, знак плюс - волнам ЕНпт . При использовании представления (4) знак минус соответствует [19] волнам ЕНпт, знак плюс - волнам НЕпт. Поверхностная волна НЕ11, как известно, не имеет критической частоты. Критические частоты других гибридных волн, считается, попарно совпадают: ЕН11 и НЕ12, ЕН ^ и НЕ13 и т.д. [6].
Используя представление функции Еп(а2а) в виде (5), уравнение (3) при п= 1 вблизи
критических частот поверхностных волн ( ю — ю^), взятое со знаком плюс перед радикалом. приводим к виду
у
2 ( 11 ^
2 /(х)= ~ + , (8)
в
со знаком минус - к виду
/ (х) / х2 =-
8 + Ц
ь (21 +с
(9)
где х = а1а; у = а2а;~ =81/в2; ~ = ц1/ц2; /(х) = хJ[(х) / /1(х); С - постоянная Эйлера. Уравнение (8) дает участки дисперсионных характеристик поверхностных волн ЕН1т вблизи их критических частот, уравнение (9) - волн НЕ1 т+1 также вблизи критических частот (т=1,2,3,...).
Нетрудно показать, что ветвь решений уравнения (8) доходит до точки х = Н1т, у = 0, где Н1т - т-й корень уравнения J1(х)= 0, соответствующий критической частоте волны
ЕН 1т . Действительно, при ю — ю имеем х — Н1т; ~ = — — 1,>/~~ -1 ^^ — Н1т , в ре-
р 2л X
зультате чего уравнение (8) принимает вид
(2ха Т -1)-х2 1 1 1 Х ; = 1 +1. (10)
х(х - Ьт) 8 ~
Численный анализ показывает, что величина ^-1 при ю — ю^ стремится к Н1т
X
медленнее, чем х — И1т . В результате левая часть уравнения (10) вблизи юкр всегда положительная и решение этого уравнения устойчиво сходится к точке х = , у = 0, ~ = 1.
Поскольку левая и правая части уравнения (9) при х — Н1т, у — 0 стремятся к бесконечности, создается впечатление, что решение этого уравнения в пределе также стремится к точке х = \т, У = 0, Р —> 1, в результате чего критические частоты волн ЕН1т и НЕ1т+1 совпадают. Однако в действительности такого совпадения нет, потому что при ю — юкр в левой
и правой частях уравнения (9) получаются бесконечности разного порядка. Действительно, уравнение (9), переписанное в виде
/ (х) _ 2
х2Г
г[1п((у/2) + с)] ~ + ~ ' (11)
в левой части при ю — юкр имеет неопределенность вида да/да . Только в том случае, когда предел левой части уравнения (11) при х — И1т будет конечной величиной, это уравнение будет иметь решение в точке х = \т, у = 0, ~ = 1.
Рис. 2. Дисперсионные характеристики волн ОДВ с параметрами:
8 = 2,1025 ; е2 = 1
Поскольку
Ах)
Нш -
х^т х211п [11 + С
= Нш
Ьт \т^1т _ х)
можно утверждать, что уравнение (11) не может иметь решения в точке х = Н1т, у = 0, соответствующей критической частоте волны ЕН1т. Как показывают численные расчеты, дис-
2
х—^
персионные характеристики волн НЕ1 т+1, начиная с определенных частот, достаточно удаленных от юкр (ЕН1т), находятся на линии ~ = 1 в пределах точности получаемых результатов. Таким образом, утверждение [6] о том, что критические частоты поверхностных волн НЕ 1т+1 и ЕН1т совпадают, является ошибочным.
На рис. 2, а приведены дисперсионные характеристики гибридных волн ОДВ с п=1 для = 2,1025, ^ = 1. Видно, что фактически критические частоты волн НЕ1т+1, на которых
~ начинает отличаться от , находятся несколько выше критических частот волн ЕН1т . Из рис. 2, б в видно, что при п = 2, 3 эта тенденция усиливается.
3. Трансформация поверхностных волн в комплексные
Рассмотрим характеристики несимметричных волн ОДВ вблизи их критических частот.
Дисперсионное уравнение волн ОДВ, составленное методом согласования полей на границе раздела сред, имеет вид (2). Это уравнение решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа (6) и (7).
Спектр волн ОДВ, определяемый по корням дисперсионного уравнения (2), включает в себя [20] поверхностные (направляемые) волны и различные типы волн излучения: вытекающие, медленные несобственные и собственные комплексные волны. Считается [6], что все поверхностные волны, за исключением волны НЕ11, имеют критические частоты, на которых поперечное волновое число во второй области (окружающая среда) а2 = 0. При этом фазовая постоянная р1=к0=ш 82д2. На частотах выше критических у поверхностных волн а2 -чисто мнимое отрицательное, что приводит к экспоненциальному убыванию поля при удалении от ОДВ.
Рассмотрим поведение волновых чисел волн ОДВ в закритической области. Обратимся к несимметричным волнам с индексом п = 1. Известно [19], что для ОДВ краевая задача может быть поставлена с наложением нулевого условия на бесконечности и без него. В первом случае в спектре ОДВ, помимо поверхностных волн, могут присутствовать лишь собственные комплексные волны, поле которых убывает при удалении от ОДВ, поскольку у них 1т(а2) < 0. Однако эти волны возникают лишь при определенных параметрах направляющей структуры и не могут являться продолжением поверхностных волн в закритической области. Во втором случае в спектре ОДВ дополнительно появляются комплексные волны, которые являются несобственными (1т(а2) > 0, поле нарастает с удалением от ОДВ). На рис. 3, а, б приведены дисперсионные характеристики волн при п = 1. Вытекающие волны являются непосредственным продолжением поверхностных волн в закритическую область. С уменьшением частоты при Р1 > к0 они переходят в медленные несобственные волны. Считается [24], что на критических частотах в вытекающие при п ^ 0 переходят лишь поверхностные волны типа ЕНпт. Как показано в [19], в спектре ОДВ присутствуют также волны НЕт комплексные во всем частотном диапазоне, также являющиеся несобственными. Характеристики указанных комплексных волн, приведенные на рис. 3, соответствуют параметрам 81= 2,12980; 82 = 80.
Собственных комплексных волн при этом нет. Помимо комплексных волн, характеристики которых ранее приводились [19], были обнаружены [22, 25] волны, появляющиеся на критических частотах поверхностных волн (К11 на рис. 3) и имеющие дисперсионные характеристики, сближающиеся с ростом частоты с характеристиками поверхностных волн НЕ1т. Однако у этих волн /т(а2) > 0 и растет с увеличением частоты, т.е. по характеру зависимости поля от радиальной координаты эти волны относятся к медленным несобственным волнам. С математической точки зрения эти комплексные волны, имеющие /т(а2) > 0, не являются собственными волнами ОДВ, поскольку описываются решениями полуоднородной задачи. Таким образом, при смене знака у /т(а2) происходит качественный скачок в опреде-
лении типа краевой задачи для ОДВ, заключающийся в переходе однородной задачи в полуоднородную.
РЛо 1,5
1
»1-,-,-1-1-1-1-1-1- ^
01 23456789
Ф
Рис. 3. Дисперсионные характеристики волн ОДВ с параметрами: ~ = 2,129 ; 82 = 1
Чтобы приблизить постановку задачи к реальным условиям, введем во внешней области потери, то есть запишем в2 = 80 (1 - г 1§5). Из рис. 4 видно, что при 1§5 = 0,001 дисперсионная характеристика волны НЕ11 переходит в характеристику волны НЕ12, в результате чего волна НЕк11 как таковая перестает существовать. Обнаруженный эффект с математической точки зрения можно объяснить, используя уравнение (7) для внешней области ОДВ. Из него следует
у252 = -Р1Р2 12 £2 5 . (12)
Поскольку р2 < 0, при определенном значении tg5 правая часть (12) обращается в нуль и далее с ростом tg5 становится отрицательной. При этом, поскольку у2>0, для выполнения равенства (12) должно быть: 52 < 0, то есть несобственная комплексная волна исчезает. Для волны К11 отмеченный эффект не наблюдается.
коа
Рис. 4. Трансформация волны НЕп в волну НЕ12 при введении потерь
Все отмеченные эффекты наблюдаются также для несимметричных волн при т=2. При определенном значении tg5 характеристика волны НЕк12 при р1 = к0 переходит в характеристику волны НЕ13. На характеристику волны К12 введение потерь в окружающей ОДВ области качественного влияния не оказывает.
Таким образом, на основании изложенного можно сделать следующие выводы. Во-первых, при введении потерь во внешней области волны типа НЕк1т исчезают, а у характеристик волн НЕ1,т+1 возникают продолжения в виде вытекающих волн, то есть они становятся подобными характеристикам волн ЕН1т. Во-вторых, если в краевой задаче для ОДВ не накладывается нулевое граничное условие на бесконечности среди решений дисперсионного уравнения существуют явно нефизичные (волна К1т). В-третьих, по-видимому, модель ОДВ, находящегося в среде с потерями, наиболее хорошо соответствует физической реальности. Например, волоконные световоды, используемые в технике оптической связи, имеют защитное полимерное покрытие, которое является для инфракрасного излучения слабопрозрачной средой. Сложность заключается в установлении критерия: каким брать значение tg5 для установления перехода поверхностных волн НЕ1,т+1 в вытекающие.
4. Круглый ДВ, помещенный в диссипативную среду
Рассмотрим изменение характеристик комплексных волн круглого диэлектрического волновода при введении потерь в окружающей среде.
Волны в круглом регулярном диэлектрическом волноводе (ДВ), в общем случае это может быть многослойный волновод, описываются решениями краевой задачи, состоящей из уравнения Гельмгольца:
Au + k u = 0
и граничного условия
дu ,
а — + = /
дn
ь'
(13)
(14)
где контур Ь соответствует внешней границе направляющей структуры; п - нормаль к этому контуру, лежащая в плоскости поперечного сечения; под функцией и подразумеваются продольные компоненты электрического и магнитного полей, связанные между собой в гибридной волне (в волне, имеющей азимутальную зависимость поля) дисперсионным уравнением.
Без нарушения общности в (14) можно полагать а = 1 (действительно, все граничное условие можно разделить на постоянную а). Тогда любые две функции ит и ик , являющиеся решениями краевой задачи (13), (14), будут удовлетворять уравнению
(к2 - к1){=<[
5
и.
дЫт
дп
■ + Уи„
- и„
дик дп
+ Уик
,
(15)
вытекающему из формулы Грина [17]. В формуле (15) кт и кк - поперечные волновые числа, являющиеся решениями дисперсионного уравнения и связывающие в неявном виде электрические и магнитные потенциальные функции гибридной волны.
С учетом того, что поперечное сечение рассматриваемой направляющей структуры состоит из двух областей, уравнение (15) можно переписать в виде
к2 - к2 К\к к\т
ь
5\
гди
| и^и®* + [ к2к - к2т
2
2
[ и(2)и(2Л =
-1 т к
5 2
и,
т
дп
уи
т
- и
т
дик
дп
- +
уик
.
(16)
Решения дисперсионного уравнения волн открытого ДВ могут соответствовать двум вариантам граничного условия (14) на контуре Ь, удаленном в бесконечность: /=0; /¿0. В структуре без диссипации энергии первый вариант соответствует поверхностным и собственным комплексным волнам, второй - вытекающим и медленным несобственным комплексным волнам [20]. В первом случае правая часть уравнения (16) обращается в нуль, во втором, поскольку на контуре Ь, удаляемом в бесконечность,/^», в правой части (16) получается расходящийся интеграл. Представляет интерес рассмотрение записи уравнения (16) для волн ДВ, помещенного в диссипативную среду.
В работах [25, 26] показано, что в точках, соответствующих критическим частотам поверхностных волн, в круглом ДВ возникают вытекающие волны, которые с уменьшением частоты при определенных параметрах волновода переходят в собственные комплексные волны. Последние в свою очередь при дальнейшем уменьшении частоты вновь переходят сначала в вытекающие, а затем в медленные несобственные волны. Таким образом, в определенных точках частотного диапазона происходит как бы стыковка решений однородной и полуоднородной краевых задач.
В слабонаправляющих световодах спектр волн оболочки практически совпадает со спектром указанных комплексных волн однослойного круглого ДВ. Поскольку оболочка световода, как правило, ограничена чехлом, представляет интерес исследование характеристик комплексных волн ДВ, помещенного в диссипативную среду с достаточно большим значением тангенса угла диэлектрических потерь О^б/
При решении различных дифракционных задач, связанных с расчетом полей на неодно-родностях диэлектрических волноводов (в частности, световодов), возникает вопрос об учете вытекающих волн, диапазоны существования которых перекрываются с диапазонами поверхностных волн. Для этого необходима информация об особенностях их распространения при наличии поглощения в среде.
Дисперсионное уравнение волн круглого ДВ (2) решается совместно с уравнениями (6) и (7), связывающими волновые числа, которые в общем случае являются комплексными величинами. При расчетах полагали, что входящая в дисперсионное уравнение (2) диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится ДВ, является комплексной величиной:
82 = 82 - .
На рис. 5 приведены дисперсионные характеристики (зависимости продольного волнового числа Р = Р\ + ¿Р2 от частоты к0а) волны ЕН11 круглого ДВ при различных значениях диэлектрической проницаемости е2 окружающей среды. Всем характеристикам соответствует значение в1=18. Внутренний слой (сам ДВ) считаем недиссипативным. Кривая 1 соответствует в2 = 0.
Как видно из рисунка, наличие потерь в окружающей среде приводит к качественным изменениям в поведении дисперсионных характеристик. Точки перехода поверхностных
ь
волн в вытекающие смещаются в более низкочастотный диапазон. При этом, как иллюстрирует кривая 3 (в2 =1,0-/ 2,0), при понижении частоты в начальном участке диапазона своего существования вытекающая волна может переходить в медленную несобственную. При не очень большом поглощении характеристики собственных комплексных волн и диапазон их существования мало отличаются, от характеристик в случае в " = 0. Однако уже при в " =4,0 наблюдается качественное изменение: собственная комплексная волна не переходит при понижении частоты в вытекающую, а продолжает свое существование во всем нижнем участке частотного диапазона (кривая 5).
Рис. 5. Дисперсионные характеристики затухания волны ЕНП круглого ДВ при В^ =18.0.
Кривые 1-5 соответствуют значениям В2 =0; 1,0; 2,0; 3,0; 4,0. Сплошные линии - =р /& ,
штриховые линии - р2 = р2 /
На рис. 6 показано поведение поперечного волнового числа к2 внешней области, соответствующего характеристикам, изображенным на рис. 5. Как видно из рисунка, с увеличением 5 окружающей среды относительный диапазон существования вытекающей волны с нарастающим в радиальном направлении полем уменьшается. Так, при в "=1,0 указанный диапазон составляет 60 % от всего диапазона существования вытекающей волны, 40 % при
£ " =2,0; 30 % при в" =3,0; при В^ =4,0 диапазон вытекающих волн исчезает совсем.
На рис. 7 приведены дисперсионные характеристики и характеристики затухания вытекающей волны ЕН11 волоконного световода из кварцевого стекла с в1=2,127 (п}&1,46 на ^=0,589 мкм). На рис. 8 показано поведение поперечных волновых чисел к2, соответствующих этим характеристикам.
Как видно из рис. 7, при небольших значениях в1 качественный характер кривых $(кса), показанных на рис. 5, при изменении в" сохраняется, исчезает лишь частотная область существования собственных комплексных волн вследствие того, что при малом параметре в1 / в " дифракционные явления на криволинейной границе раздела сред слабо выражены и встречные потоки мощности, приводящие к возникновению собственных комплексных волн, не образуются. В этом случае при понижении частоты вытекающие волны переходят непосредственно в медленные несобственные. В поведении поперечных волновых чисел проявля-
ется уже отмеченная ранее закономерность: с увеличением б относительный диапазон существования вытекающей волны с нарастающим в радиальном направлении полем уменьшается. Так, при в" =0,5 этот диапазон составляет ~65 % от всего диапазона существования вытекающей волны, ~40 % при В2 =1,0; ~20 % при в"" =2,0.
Рис. 6. Частотные зависимости поперечного волнового числа к2 волны ЕН11 круглого ДВ при =18.0 в области II:
сплошные линии - Яе(к2а); штриховые - 1т(к2а)
Рис. 7. Дисперсионные характеристики и характеристики затухания волны ЕНп волоконного световода при =2,127. Кривые 1-4 соответствуют значениям В2 =0; 0,5; 1,0; 2,0:
сплошные линии - для Р\; штриховые - для р 2
к.а
ч Ч ^ ^
ч ч ^ ч
ч ч ^ ч
ч ч Ч ч Ч \ Ч Ч ч Ч Ч ч
ч \ Ч Ч
4 Ч ч S " ч \ ^ ^ чЧ ч ч
Рис. 8 Частотные зависимости поперечного волнового числа к2 волны ЕНп волоконного световода с ~ =2,127 в области II:
сплошные линии - Яе(к2а); штриховые - 1т(к2а)
Таким образом, можно сделать вывод, что при помещении ДВ в диссипативную среду его комплексные волны приобретают новые свойства. В частности, вытекающие волны в значительной части диапазона своего существования, а при больших 5 и во всем диапазоне имеют экспоненциально спадающее в радиальном направлении поле. В этом случае на контуре Ь, удаленном в бесконечность, /=0, в результате чего краевая задача становится однородной, а уравнение (16), записанное для собственных функций вытекающих волн, приводит к условию ортогональности последних:
где ит и ик - либо электрические, либо магнитные продольные компоненты поля гибридной волны, связанные между собой граничными условиями при г=а, из которых получается дисперсионное уравнение (2). Поперечные волновые числа, на которых определены эти потенциальные функции, находятся из совместного решения уравнений (2), (6) и (7). Амплитудные коэффициенты продольных компонент полей областей I и II в (17) связаны граничными условиями при г=а.
Выполнение условия (17) при решении дифракционных задач проекционными методами позволяет включать вытекающие волны в базис, по которому производится разложение дифракционного поля.
Отметим, что при наличии в окружающей среде диссипации энергии все свойства вытекающих волн (основное - это быстрые волны) сохраняются, однако их поле в значительном (или во всем) диапазоне частот становится экспоненциально убывающим при удалении от ДВ. При этом поперечные волновые числа для внешней области оказываются преимущественно в четвертом квадранте комплексной плоскости к2 (рис. 6, 8).
1. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. - М.: Радио и связь, 1988.
2. Каценеленбаум, Б.З. Высокочастотная электродинамика / Б.З. Кацеленбаум. - М.: Наука, 1966.
(17)
Библиографический список
3. Взятышев, В.Ф. Диэлектрические волноводы / В.Ф. Взятышев. - М.: Советское радио, 1970.
4. Интегральная оптика / под ред. Т. Тамира. - М.: Мир, 1978.
5. Семенов, Н.А. Оптические кабели связи. Теория и расчет/ Н.А.Семенов. - М.: Радио и связь, 1981.
6. Унгер, Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.Г.Унгер. - М.: Мир, 1988.
7. Гроднев, И.И., Оптические кабели / И.И. Гроднев, Ю.Т. Ларин, И.И. Теумин. - М.: Энергоиз-дат, 1991.
8. Волоконно-оптические системы передачи: учебник для вузов / М.М. Бутусов [и др.]; под ред.
B.Н.Гомзина. - М.: Радио и связь, 1992.
9. Беланов, А.С. Трехслойные волноводы для широкополосных оптических линий связи // Изв. АН СССР. Сер. Физическая, 1978. Т. 42. № 12. С. 1522-1533.
10. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М.Адамс. - М.:Мир, 1984.
11. Введение в интегральную оптику / под ред. М.Барноски.- М.:Мир, 1977.
12. Маркузе, Д. Оптические волноводы / Д.Маркузе. - М.: Мир, 1974.
13. Теумин, И.И. Волноводы оптической связи / И.И. Теумин. - М.: Связь, 1988.
14. Чео, П.К. Волоконная оптика / П.К. Чео. - М.: Энергоиздат, 1988.
15. Семенов, А.С Интегральная оптика для систем передачи и обработки информации/ А.С. Семенов, В.А. Смирнов, А.В. Шмалько. - М.: Радио и связь, 1990.
16. Шевченко, В.В. Плавные переходы в открытых волноводах / В.В.Шевченко. - М.: Наука, 1969.
17. Маделунг, Э. Математический аппарат физики / Э. Маделунг. - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961.
18. Arnbak J.Leaky Waves an Dielectric Road // Electronics Letts, 1969. V. 5. № 3. P. 41-42.
19. Веселов, Г.И. Слоистые металло-диэлектрические волноводы / Г.И. Веселов, С.Б. Раевский. -М.: Радио и связь, 1988.
20. Шевченко, В.В. Наглядная классификация волн, направляемых регулярными открытыми волноводами // Радиотехника и электроника, 1969. Т. 12. №10. С. 36-49.
21. Мурад-Мурадович, А.Н. О комплексных волнах высших типов круглого диэлектрического волновода // Радиотехника и электроника, 1995. Т. 40. №9. С. 1359-1361.
22. Раевский, А.С. Волны НЕ и ЕН круглого диэлектрического волновода // Радиотехника и электроника, 1999. Т.44. №5. С. 517-519.
23. Каценеленбаум, Б.З. Возбуждение диэлектрического волновода произвольного сечения при частоте, близкой к критической / Б.З. Кацененбаум // Радиотехника и электроника, 1980. Т. 25. №2. С. 241-246.
24. Бритов, И.Е. О характеристиках несимметричных волн открытого диэлектрического волновода вблизи критических частот / И.Е. Бритов, А.С. Раевский // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1999. Т. 2. № 2. С. 33-36.
25. Гетманцева, Т.Н. О комплексных волнах в круглом диэлектрическом волноводе / Т.Н. Гет-манцева,С.Б. Раевский // Изв. вузов. СССР. Радиофизика, 1978. Т. 21. № 9. С. 1332-1337.
26. Веселов, Г.И. Комплексные волны круглого диэлектрического волновода / Г.И. Веселов,
C.Б. Раевский // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28. № 2. С. 230-236.
Дата поступления в редакцию 30.03.2010
A.S. Raevsky, S.B. Raevsky, O.V. Uskov THE WAVE SPECTRUM OF CIRCULAR OPEN LAYERED DIELECTRIC WAVEGUIDE
By the theory of not self-adjoint operators is formulated boundary problem for a circular open dielectric waveguide. The full wave spectrum, including the proper and improper complex wave (CW). is considered. The special emphasis is placed for the characteristics of waves associated with not self-adjoint electrodynamics operators.
Key words: circular open dielectric waveguide, the wave spectrum, proper and improper complex waves.
